具有非线性传染率和易感者类具有Smith增长的SI传染病模型

第２５卷第５期　２００７年ｌＯ月　江　西　

ＪＩＡＮＧＸＩ　科　学　ＳＣＩＥＮＣＥ　Ｖｏ１．２５　Ｎｏ．５　０ｃｔ．２００７　

文章编号：１００１—３６７９（２００７）０５—０５７５—０７　

具有非线性传染率和易感者类具有　

Ｓｍｉｔｈ增长的ＳＩ传染病模型　

石　磊　，俞　军　

（１．南京农业大学理学院数学系，江苏南京２１００９５；２．南京理工大学理学院，江苏南京２１００９４）　

摘要：研究了一种具有非线性传染率且易感者类具有Ｓｍｉｔｈ增长的的传染病模型。以往的具有非线性传染率　

的传染病模型相比，这种模型引入了种群动力，也就是种群的总数不再为常数且种群的增长规律满足方程　

＝　。因此，该类模型更精确的描述了传染病传播的规律。讨论了模型的正不变集，运用微分方程稳　

定性理论分析了模型平衡点的存在性及稳定性，得出了疾病消除平衡点和地方病平衡点的全局渐进稳定的　充分务件。进一步得出了在某些参数范围内会出现Ｈｏｐｆ分支现象，并对上述模型进行了生物学讨论。　关键词：传染病模型；非线性传染率；Ｓｍｉｔｈ模型；平衡点；全局渐进稳定；Ｈｏｐｆ分支　中图分类号：０２３１　文献标识码：Ａ　

Ａｎ　ＳＩ　Ｅｐｉｄｅｍｉｃ　Ｍｏｄｅｌ　ｗｉｔｈ　Ｓｍｉｔｈ　Ｉｎｃｒｅａｓｉｎｇ　ａｎｄ　

Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　Ｉｎｃｉｄｅｎｃｅ　Ｒａｔｅ　

ＳＨＩ　Ｌｅｉ　．ＹＵ　Ｊｕｎ　

（１．Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ　ｏｆ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｃｏｌｌｅｇｅ　ｏｆ　Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｎａｎｊｉｎｇ　Ａｇｒｉｃｕｌｔｕｒａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｊｉａｎｇｓｕ　Ｎａｎｊｉｎｇ　２１００９５　ＰＲＣ；　２．ＣｏＵｅｇｅ　ｏｆ　Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｎａｎｊｉｎｇ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆ　Ｓｃｉｅｎｃｅ＆Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｊｉａｎｇｓｕ　Ｎａｎｊｉｎｇ　２１００９４　ＰＲＣ）　

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ　ｐａｐｅｒ　ｄｅａｌｓ　ｗｉｔｈ　ａ　ｋｉｎｄ　ｏｆ　ｅｐｉｄｅｍｉｃ　ｍｏｄｅｌｓ　ｗｉｔｈ　Ｓｍｉｔｈ　ｉｎｃｒｅａｓｉｎｇ　ａｎｄ　Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｉｎｃｉ—　

ｄｅｎｃｅ　ｒａｔｅ．Ｃｏｍｐａｒｅｄ　ｗｉｔｈ　ｔｈｅ　ｆｏｒｍｅｒ　ｅｐｉｄｅｍｉｃ　ｍｏｄｅｌｓ　ｗｉｔｈ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｉｎｃｉｄｅｎｃｅ　ｒａｔｅ，ｔｈｅ　ｍｏｄｅｌ　ｉｎ—　ｄｕｃｅｓ　ｐｏｐｕｌａｔｉｏｎ　ｄｙｎａｍｉｃｓ．Ｔｈａｔ　ｍｅａｎｓ　ｔｈｅ　ｔｏｔａｌ　ａｍｏｕｎｔ　ｏｆ　ｐｏｐｕｌａｔｉｏｎｓ　ｉｓ　ｎｏ　ｌｏｎｇｅｒ　ａ　ｃｏｎｓｔａｎｔ　ａｎｄ　

ｉｎｃｒｅａｓｅｓ　ｂｙ　Ｓｉｍｉｔｈ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ，ＳＯ　ｔｈｅｙ　ｃａｎ　ｄｅｓｃｒｉｂｅ　ｔｈｅ　ｃｏｍｍｕｎｉｃａｂｌｅ　ｄｉｓｅａｓｅｓ’ｔｒａｎｓｍｉｔｔｉｎｇ　ｌａｗ　ｍｏｒｅ　ａｃｃｕｒａｔｅｌｙ．Ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ　ｔｈｅ　ｐｏｓｉｔｉｖｅ　ｉｎｖａｒｉａｎｔ　ｓｅｔ，ｔｈｅ　ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ　ａｎｄ　ｔｈｅ　ｓｔａｂｉｌｉｔｙ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｅｑｕｉｌｉｂｒｉｕｍ　ｂｙ　ｔｈｅ　ｓｔａｂｉｌｉｔｙ　ｔｈｅｏｒｙ　ｏｆ　ｏｒｄｉｎａｒｙ　ｄｉｆｅｒｅｎｔｉａｌ　ｅｑｕａｔｉｏｎ　ａｎｄ　ｔｈｅ　ｃｏｎ．ｄｉｔｉｏｎｓ　ｆｏｒ　ｔｈｅ　ｇｌｏｂａｌ　ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃ　ｓｔａ—　

ｂｉｌｉｔｙ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｄｉｓｅａｓｅ—ｆｒｅｅ　ｅｑｕｉｌｉｂｒｉｕｍ　ａｎｄ　ｔｈｅ　ｅｎｄｅｍｉｃ　ｅｑｕｉｌｉｂｒｉｕｍ　ａｒｅ　ｏｂｔａｉｎｅｄ．Ｆｕｒｔｈｅｒ，ｆｏｒ　ｓｏｍｅ　ｒａｎｇｅ　ｔｈｅ　ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ，ｔｈｅｙ　ｃａｎ　ｕｎｄｅｒｇｏ　Ｈｏｐｆ　ｂｉｆｕｒｃａｔｉｏｎ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：Ｅｐｉｄｅｍｉｃ　ｍｏｄｅｌ，Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｉｎｃｉｄｅｎｃｅ　ｒａｔｅ，Ｓｍｉｔｈ　ｍｏｄｅｌ，Ｅｑｕｉｌｉｂｒｉｕｍ，Ｇｌｏｂａｌ　ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃ　

ｓｔａｂｉｌｉｔｙ，Ｈｏｐｆ　ｂｉｆｕｒｃａｔｉｏｎ　

收稿１３期：２００７—０８—０８；修订日期：２００７—０８—１４　作者简介：石磊（１９８２一），女．江苏兴化人，硕士，助教，主要从事生物数学方面研究。　基金项目：南京农业大学理学院青年教师创新基金资助。

　维普资讯 http://www.cqvip.com ・５７６・　江西科学　２００７年第２５卷　

０　引言　

关于传染病传播的数学模型的研究是从Ｅｎ’　ｋ０（１８８９）开始的，作为奠基性的工作是１９２７年　

Ｋｅｒｍａｒｋ和Ｍｅｋｅｎｄｒｉｃｋ的研究。他们首先利用动　

力学的方法建立了传染病的ＳＩＲ传染病模型（即　所谓的ＫＭ模型），从此揭开了传染病数学建模研　

究的篇章。近２０年来，国际上传染病动力学的研　究进展迅速，大量的数学模型被用于分析各种各　

样的传染病问题，构成了丰富多彩的传染病动力　学模型。传染率是流行病建模中一个非常重要的　

概念，描述传染病传播过程和行为的传染病模型　中最重要的是对传染率的刻划。本文讨论的传染　率是形为　ｓ　的非线性传染率，近些年来，对带　

有非线性传染率的传染病模型也有了一些研究结　果　】。文献［１，２］对带有传染率为　ｓ　的传　

染病模型研究发现，此类模型会发生Ｈｏｐｆ分支　而产生周期解。文献［３，４］对带有传染率为　

Ｄ，ＰＣ　的传染病模型进行了分析，文献［４］并发现　ｌ十ｏｒ／　当Ｐ＝ｑ＝２时，模型会发生Ｈｏｐｆ分支和Ｂｏｇｄａｎｏｖ　

—Ｔａｋｅｎｓ分支，而这些都是假设所研究地区的人　

口（种群）的总数量是常数，早期的传染病模型大　多假设种群总数为常数，这种假设仅当疾病在种　群总传播速度很快且流行时间较短、短期内没有　出生和死亡或出生率和死亡率能够相互平衡，且　因病死亡率不大而可以忽略不计、环境封闭等条　

件下才成立。但在实际问题中，不论是动物还是　植物的总数量总是随着外界（种群的迁入和迁　

出）和内部（如种内的相互作用、资源的限制、疾　病的因病死亡）扰动而发生变化，当疾病流行时　

间较长时，则应该考虑种群变动这一因素。为了　更精确的描述传染病传播的规律，本文把传染病　动力学模型和种群动力学模型结合了起来在前人　

研究有非线性传染率的传染病模型的基础上增添　了种群动力学因素，对一类具有非线性传染率且　

易感者类具有Ｓｍｉｔｈ增长的的传染病模型进行了　

系统的研究和讨论。　

ｌ　模型的建立　

Ｓｍｉｔｈ模型即广义Ｌｏｇｉｓｔｉｃ模型，而Ｌｏｇｉｓｔｉｃ模　型是种群生态学中建立较早的一个经典的数学模　

型，文献［５］从化学实验的角度得出了广义Ｌｏｇｉｓ—　ｔｉｃ模型即Ｓｍｉｔｈ增长模型，Ｓｍｉｔｈ模型刻画了食物　有限的情况下种群的增长规律，食物主要用于２　个方面的需要，一方面用于维持该生物种群的生　

存，另一方面用于该生物种群的增长，并假设当种　群一旦达到饱和，种群就不再增长，食物仅用于生　

存，Ｓｍｉｔｈ模型比Ｌｏｇｉｓｔｉｃ模型更准确地描述了生　

物种群的增长规律。　设某生物种群在时刻ｔ的密度为　（ｔ），若该　

种群的增长规律满足方程　

一　！　＝　！　ｄ￡一Ｋ＋Ｄｘ　

这就是Ｓｍｉｔｈ模型－５　Ｊ，其中常数ｒ（ｒ＞Ｏ）称为该种　

群的内禀增长率，　为环境对该种群的最大容纳　

量，Ｄ为常数，当Ｄ＝０时，式（１）为典型的Ｌｏｇｉｓ—　

ｔｉｃ增长模型，当Ｄ＞０时，式（１）为典型的Ｓｍｉｔｈ　

ｎ　增长模型，　表示该种群对环境（包括营养资源　Ａ　等）利用程度的参数。Ｓｍｉｔｈ模型比Ｌｏｇｉｓｔｉｃ模型　

能更真实地反映种群的增长规律，所以对Ｓｍｉｔｈ　模型进行研究具有重要意义。本文主要研究一类　

易感者类具有Ｓｍｉｔｈ增长和具有非线性传染率的　

＃ｐｓ　的ｓＩ传染病模型，可用如下的微分方程描　绘此模型，即　

警＝　一＃ｐｓ　

ｄｌ＝　ｓ　一　（２）　

ｓ（ｏ）＝Ｓｏ＞Ｏ，Ｉ（０）＝１０　Ｏ　

其中，卢，ｒ，　，　均为常数，Ｐ，ｑ，Ｄ为常数，Ｐ　÷，ｑ　

１，Ｄ　０。这里假设：某地区种群成员分为二　类，即易感者类ｓ和染病者类，；传染者的传染率　

为函数＃ｐｓ　；／ｘ表示得病者的死亡率，新出生者　

来自易感者；在无疾病时，易感者的增长率为　

，　为种群最大容纳量。　

定理１：式（２）的正不变集为Ｂ＝｛（Ｓ，ｉ）／ｓ＞　

０，，　Ｏ｝。　证明：当Ｐ　１，ｑ　ｌ时，显然式（２）在ｓＩ平面　

内满足解的存在唯一性定理条件。由于Ｓ（ｔ）＝－０　

和，（ｔ）－－０分别是式（２）的轨线，故式（２）从　内　

出发的任何轨线仍在　内。　

当÷　ｐ＜１时，式（２）在在ｓＩ平面内除直线　

，＝０外均满足解的存在唯一性定理条件，显然ｓ　

（ｔ）＝－０和，（ｔ）＝－０仍分别是式（２）的轨线，

设，卜　维普资讯 http://www.cqvip.com 第５期　石磊等：具有非线性传染率和易感者类具有Ｓｍｉｔｈ增长的ＳＩ传染病模型　・５７７・　

ｆ警＝　一卢　ｓ　

１　ｄＵ＝（１－ｐ）　一ｐ）ｇＵ　

【ｓ（ｏ）＝Ｓ０＞０，ｕ（ｏ）＝Ｕｏ　Ｏ　

由　１　ｐ＜１，有　１，式（３）在ｓｕ平面内　

满足解的存在唯一性定理条件。由式（３）可知：　

当Ｕ（０）＝０时，　（０）＞０（Ｓ（０）＞０），于是当ｔ＞　

０时，Ｕ（ｔ）＞０，，（ｔ）＝（Ｕ（ｔ））　＞０。当Ｉｏ：　

＝Ｏ，Ｓ。＝０时，式（３）有唯一轨线就是奇点（Ｏ，０），　

式（２）也只有唯一轨线就是奇点（０，０）；又因ｓ　

（ｔ）－－０是式（３）的轨线，故式（２）从从　内出发　的任何轨线仍在　内。　

综上所述可知：　是式（２）的正不变集。　

定理２：设Ｂｚ＝｛（Ｓ，，）／Ｓ＞０，，　Ｏ，Ｓ＋，ｓ　Ｚ＋　

Ｋ｝其中ｚ为大于　＃　Ｋ的任意常数，则　是　４１ｘｒ　式（２）的正不变集。　

证明：由定理１知，只需证明从直线Ｓ＋，＝Ｚ　

＋Ｋ上出发的任意轨线，当时间ｔ增加时进入　

内即可，事实上，由式（２）可得　

ｄ业ｔ　Ｓ：ｌ＋Ｋ＝　Ｋ　ＫＳ一　。　Ｊ　一　－Ｌ　一　＝＝：　

一　＝一素ｓ　＋ｒ）ｓ　）＜０　

（０＜ＳｓＫ＋Ｚ）　

由此及定理１立得所要证的结论。　

２，系统平衡位置的存在性　

设式（２）的平衡位置为（Ｓ　，　），则（Ｓ　，　）满　

足　

Ｊ．　一Ｋｓ　（４）　

【　Ｓ：一　＝Ｏ　（５）　

当　＝Ｏ时，由式（４）可知Ｓ　＝０或Ｓ　＝Ｋ，因　此系统总有平衡点（０，０）与疾病消除平衡点（Ｋ，　

０），为求式（２）的正平衡点（Ｓ　，　），设　＞０，由式　

（４）知０＜Ｓｔ＜Ｋ，由式（２），式（３）可得　

（蒜　＝　（６）　

其中，　：　＞０　设函数　ｓ）＝ｓｐ＋ｑ－ｉ（　Ｋ　－　Ｓ　．ｐ－ｉ，ｓＥ（Ｏ，　）　

厂（ｓ）＝（ｐ＋ｑ一１）Ｓｐ＋ｇ一　（　Ｋ　－Ｓ）　一　＋（ｐ一　

１）　＿Ｉ（丽Ｋ－Ｓ　＝　

（　Ｋ　－Ｓ）　一　［（ｐ＋ｑ一１）　Ｋ　－Ｓ＋（ｐ一１）ｓ　

。　］　（７）Ｋ　ｏｓ）　（　＋　（ｐ＋ｑ－１）丽Ｋ－Ｓ＋（ｐ－１）．ｓ志　

（８）　

（１）当　ｐ＜１时，由式（８）可得ｇ（ｓ）＞ｏ，　

（Ｓ∈（０，　））　（．ｓ）＞０，因　０）＝０，厂（ｓ）一＋∞　（Ｓ—Ｋ一），故对任意　＞０，方程（６）都有唯一解　

ｓ　＜ｓ　＜寺）。　

（２）当ｐ＝１时，显然厂（ｓ）＞ｏ，（ｓ　Ｅ（ｏ，告））　

因为　０）＝Ｏ　（Ｋ）＝　又　Ｓ）在（Ｏ，Ｋ）上严格　单调递增，所以，当ｔｒ＿＜Ｋ　时，方程（６）无解；当１３＂　＞Ｋ　时，方程（６）有唯一解。　

（３）当Ｐ＞１时，对ｇ（Ｓ）求导得