湖南师大附中2013届高三第五次月考文科数学试题

湖南师大附中2013届高三第五次月考

数学（文科）

命题：曾克平 洪利民 苏萍 审题：湖南师大附中高三数学文科备课组

(考试范围：高中文科数学全部内容)

一．选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 设集合xxU3， 2Axx，则ACU= （ A ）

A．23xx B．23xx C．23xx D．2xx

【解析】利用数轴易知选A.

2．等差数列na中，31a，1479aaa，则86SS （ C ）

A．16 B．21 C．20 D．31

【解析】由31a，1479aaa可求得13,2ad.

3.给出如下四个命题：

① 若“p且q”为假命题，则p、q均为假命题；

②若等差数列{}na的前n项和为,nS则三点10100110(10,),(100,),(110,)10100110SSS共线;

③ “∀x∈R，x2＋1≥1”的否定是 “x∈R，x2＋1≤1”;

④ 在ABC中，“AB”是“sinsinAB”的充要条件．

其中正确．．的命题的个数是

（ D ）

A．1 B． 4 C． 3 D．2

【解析】若“p且q”为假命题，则p、q至少有一个为假命题，所以①错；若等差数列{}na的前n项和为nS，则数列nSn为等差数列，所以②对；“∀x∈R，x2＋1≥1”的否定是 “x∈R，x2＋1<1”; 所以③错;在ABC中,),0(),,0(BA “AB”等价于“sinsinAB”， 所以④对.

4. 已知平面内一点P及ABC，若ABPCPBPA，则点P与ABC的位置关系是（ C ）

A.点P在线段AB上 B.点P在线段BC上

C.点P在线段AC上 D.点P在ABC外部

【解析】PCPAPAPBPCPBPAABPCPBPA-2,，所以C对.

5.定义在R上的函数)(xf既是奇函数又是周期函数,若)(xf的最小正周期是，且当]2,0[x时，()cosfxx，则)35(f的值为

（ A ）

A. 21 B. 21 C. 23 D. 23

【解析】51()()()cos33332fff.

6.如下图，已知32()0,fxaxbxcxda记2412bac则当00()afx且时，的大致图像为

（ B ）.

【解析】'2()320,fxaxbxca且24120,0baca

'()yfx有两个零点，不防设为12,xx. 且12xx则当1xx或2xx时，'()0fx，()fx递减.当12xxx时， '()0fx，()fx递增.所以选B.

7. 设双曲线C：22221(,0)xyabab的一条渐近线与抛物线y2 = x的一个交点的横坐标为x0，若x0>1，则双曲线C的离心率e的取值范围是

（ C ）

A.(1，62) B. (2，+∞) C. (1，2) D. (62，+∞) A y

o x

D y

o x y

o x

C y

o x

B

【解析】联立双曲线渐近线和抛物线方程，消去y得：222bxxa，由x0>知221ba，即2221caa，故22e，又e >1，所以1< e <2，故选B.

8.在约束条件21010xxymxy≤≥≥下，若目标函数2zxy的最大值不超过4，则实数m的取值范围 （ D ）

A )3,3( B ]3,0[ C ]0,3[ D ]3,3[

【解析】作出可行域，即知目标函数2zxy在点2211(,)22mm处取得最大值.

由222max111324222mmmz得33m

9. 已知xxfx3log31，实数a、b、c满足fafbfc＜0，且0＜a＜b＜c，若实数0x是函数xf的一个零点，那么下列不等式中，不可能．．．成立的是 （ D ）

A．0x＜a B．0x＞b C．0x＜c D．0x＞c

【解析】当0xx时，,0log313xxfx当0xx时,0log313xxfx

fafbfc＜0，且cba0，cx0不可能成立.

二．填空题：本大题共7个小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．

（一）选做题：从下列两题中任意选做一题，若两题全做，则只按第9题记分．

10．（坐标系与参数方程选做题）极坐标方程为2sin的圆与参数方程为

122{xtyt的直线位置关系是_ _______相交_____.

【解析】.圆心（0,1）到直线10xy的距离小于半径1.

11．（优选法选做题）下列五个函数：①||2xy，②cosyx，3(,)22x，③sinyx，(,)2x，④223yxx，⑤32133yxxx中，不是单峰函数的是________．

【解析】根据单峰函数的定义知②⑤是单峰函数.

（二）必做题（11~16题）

12．定义运算()()abcdadbc，复数z满足(1)()1ziii

则复数z在复平面对应点为P_（2，-1） .

【解析】设zabi，则(1)()()(1)1ziiziiabiiibaii

即2,1ab，所以z在复平面对应点为P（2，-1）.

13．已知2()fxx，mxgx2)(，若对3,11x，2,02x，使)(1xf)(2xg，则m的范围 13m .

【解析】若对3,11x，2,02x，；使)(1xf)(2xg，则minmax()()fxgx

当3,1x时，min()(3)9fxf；当2,0x时，max()(2)4gxgm.

所以，由94m，得13m.

14．一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示，则该三棱锥的外接球表面积为（ A ）

A．29

B．30

C．229

D．216

【解析】由三视图复原几何体，几何体是底面是直角三角形，

一条侧棱垂直底面直角顶点的三棱锥；把它扩展为长方体，两者有相同的外接球，

它的对角线的长为球的直径，即292R该三棱锥的外接球的表面积为：294294S. 3

2 4

主视图 左视图

俯视图

15．已知M是面积为1的△ABC内的一点（不含边界），，若△MBC，△MCA和△MAB的面积分别为,,xyz，则1xyxyz的最小值是 3 .

【解析】由已知可得，

1113xyxyzxyzxyxyzxyzxyzxyz.

16．对于定义域和值域均为[0,1]的函数()fx，定义1()()fxfx，21()(())fxffx，„，1()(())nnfxffx，n=1，2，3，„．满足()nfxx的点称为f的n阶周期点．

（1）设()2[0,1]fxxx则f的2阶周期点的个数是____1_______;

（2）设12[0,]2()122[,1]2xxfxxx则f的2阶周期点的个数是____4_______ .

【解析】（1）xxfxffxf4)2())(()(12xxxf4)(2得0x；

（2）当2120x，即410x时，xxfxffxf4)2())(()(12.由xxxf4)(2

得0x;当1221x,即2141x时，xxxfxffxf42)2(22)2())(()(12

由xxxf42)(2，得52x；同理可得另两个周期点.

三、解答题：本大题共6个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．(本题满分12分)

已知A，B，C是ABC的三个内角，A，B，C对的边分别为a，b，c，设平面向量=(cosBsinC)m，-，=(cosCsinB)n，，1=2mn.

（Ⅰ）求角A的值；

（Ⅱ）若3a，设角B的大小为x，ABC的周长为y，求()yfx的最大值.

「解析」（Ⅰ）=(cosBsinC)m，-，=(cosCsinB)n，，且1=2mn

1coscossinsin2BCBC，即1cos()2BC „„„„（3分）  A，B，C是ABC的三个内角，BCA

1cos()2A即1cos2A，又0A

3A „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（6分）

（Ⅱ）由3a，3A及正弦定理得

32sinsinsinsin3bcaBCA „„„„„„„„„„„„„„„„„„（8分）

22sin2sin()3bxcx，

22sin2sin()323sin()36yxxx+3 „„„„„„„（10分）2033Ax，，5()666x，

62x当，即3x时，max33y „„„„„„„„„„„„„„„（12分）

18．(本题满分12分)

某同学利用国庆节进行社会实践，对[25，55]岁的人群随机抽取n人进行了一次生活习惯是否符合低碳生活的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：

组数 分组 低碳族的人数 占本组的频率

第一组 2530， 120 0.6

第二组 3035， 195 p