天津市蓟县一中2013届高三第一次月考数学理试题(WORD解析版)

天津市蓟县2013届高三第一次模拟检测数学（理）试题注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．为虚数单位,复数ii++13= A.i +2 B. i -2 C.2-i D. 2--i2．已知实数y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-3004x y x y x ，则y x z +=2的最小值是A ．-4B ．－2C ．0D ．23．函数()2-+=x e x f x的零点所在区间是 A ．()1,0 B ．()2,1 C ．()3,2 D ．()4,34．如果执行右面的程序框图，那么输出的S =A ．119B ．719C ．4949D ．6005．在正项等比数列{}n a 中，442=a a ,143=S ,数列{}n b 满足n n a b 2log =,则数列{}n b 的前6项和是 A ．0 B ．2 C ．3 D. 56．要得到一个奇函数，只需将函数()x x x f 2cos 32sin -=的图象（ ）A ．向右平移π6个单位 B ．向右平移π3个单位 C ．向左平移π6个单位D ．向左平移π3个单位第4题0768.0088.0)8.01(8.0)8.01(8.0)8.01(8.0)8.01(8.0)(22=⋅⋅-+⋅-⋅-+⋅-⋅=B P .……8分②ξ可能取值为1，2，3，4，5. …… 9分8.0)1(==ξP ; 16.08.0)8.01()2(=⋅-==ζP032.08.0)8.01()3(2=⋅-==ζP0064.08.0)8.01()4(3=⋅-==ζP0016.0)8.01()5(4=-==ζP ……11分2496.1=∴ζE .17.（本小题满分14分）所以二面角1C AD C --的余弦值为23.则△=222222164(12)(28)8(84)0k m k m k m -+-=-+>,即22840k m -+>12221224122812km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩,19.（Ⅰ）解：(1)(),(1,)1x a ax f x x x --'=∈-+∞+. ………………2分（Ⅱ）解：① 当0=a 时，()1x f x x '=+. 故)(x f 的单调增区间是(0,)+∞；单调减区间是)0,1(-. ………………5分 ② 当0a >时，令()0f x '=，得10x =，或211x a=-. 当10<<a 时，()f x 与()f x '的情况如下：所以，()f x 的单调增区间是1(0,1)a -；单调减区间是)0,1(-和1(1,)a-+∞. …6分当1=a 时，)(x f 的单调减区间是),1(+∞-. ………………7分当1a >时，210x -<<，()f x 与()f x '的情况如下：所以，()f x 的单调增区间是(1,0)a -；单调减区间是(1,1)a--和(0,)+∞. …8分当1=a 时，)(x f 的减区间是),1(+∞-；当1a >时，()f x 的增区间是1(1,0)a -；减区间是1(1,1)a--和(0,)+∞. ………………10分由1(1)(0)0f f a->=，知不合题意. ………………12分 当1≥a 时，)(x f 在(0,)+∞单调递减，可得)(x f 在[0,)+∞上的最大值是0)0(=f ，符合题意.因为0122<-=+b a ,所以212223-=+=b a a ,023==b b . 因为3312a b +=-<,所以334124a b a +==-,430b b ==.下面用数学归纳法证明：①当2k =时，已证成立. ②假设当k l =（l *∈N ，且2l ≥）猜想成立，即110l l a b --+<，10l l b b -==，102l l a a -=<.故211,1 2.2n n n a n --=⎧⎪=⎨-≥⎪⎩. ……………………………………………… 6分（Ⅱ）解：当s k ≤≤2时，假设110k k a b --+<，根据已知条件则有1-=k k b b ，所以111111()22k k k k k k k a b b a a b a -----+-=-=-; …………………… 8分 当s k ≤≤2时，总有111()2k k k k b a b a ---=-成立.又110b a -≠，所以数列}{k k a b -(s k ,,2,1 =)是首项为11b a -，公比为12的等比数列, 11121)(-⎪⎭⎫⎝⎛-=-k k k a b a b ，1,2,,k s =,n n c c m+=21. 因为211n n n c c c m +=+，所以2110n n n c c c m+-=>.由2≥m ，则n n n c c m c +=+211<n n n c c c m ++11，即1111n n c c m+->-.…… 12分 因此1122111)11()11()11(1c c c c c c c c m m m m m +-++-+-=--- mm m m 121+=+-->.。

试卷(理)一.选择题: 1.若i-+2i71=a+bi(i 是虚数单位,a 、b ∈R),则ab 为 A.-1 B.1 C.-2 D.-3 2.已知几何体的三视图如图，则该几何体的体积为A.34B.4C.324D.334 3.设α、β、γ为不同的平面，m 、n 、l 为不同的直线， 则m ⊥β的一个充分条件为A.α⊥β,α∩β=l ,m ⊥lB.α∩γ=m, α⊥γ,β⊥γC.α⊥γ,β⊥γ,m ⊥αD.n ⊥α,n ⊥β,m ⊥α4.若函数y=a 1-x (a>0，a ≠1)的图像过定点A ，点A 在直线mx+ny=1(m 、n>0)上，则n1m1+的最小值为A.5B.2C.7D.45.在数列｛a n ｝中,a 1=2,a n+1=1-a n (n ∈N ∗ ),S n 为数列的前n 项和，则S 2006-2S 2007+S 2008为 A.5 B.-1 C.-3 D.26.函数y=2x-1+log 2x 的零点所在的区间为A.(0.5，2)B.(0.5，1)C.[0.5，1]D.[0.5，2]7.过点M(1,2)的直线把圆x 2+y 2-4x=5分成两段弧，则劣弧最短时直线方程为 A.3x-2y+2=0 B.x-y-1=0 C.x+y-3=0 D.x-2y+3=0 8.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为A.32(425-1)B.32(426-1) C.250-1 D.251-1 二.填空题:9.二项式6a)x (+展开式中x 2系数为60,则实数a 的值=_____. 10.已知5cos(45o +x)=3,则sin2x= .11.∆ABC 中，O 为中线AM 上一个动点，若AM=2，则)(+⋅的最小值= . 12.已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则双曲线的离心率= .13.极坐标系中，曲线ρ=10cos θ和直线3ρcos θ-4ρsin θ-30=0交于A 、B 两点,则线段AB 的长= .14.已知PA 是圆O 的切线，切点为A ，PO 交圆O 于B 、C 两点，PAB=30o ，则线段PB 的长=三.解答题:15.已知∆ABC 中，A 、B 、C 分别为三个内角， a 、b 、c 为所对边，22(sin 2A- sin 2C)=(a-b)sinB,O B C P APA B CDE∆ABC 的外接圆半径为2，(1)求角C ；(2)求∆ABC 面积S 的最大值.16.右图为一多面体，其底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，CE//DP ，且PD=2CE ，(1)求证：BE//平面PDA ；(2)若N 为线段PB 的中点，求证：EN ⊥平面PDB ；(3)若PD=2AD ，求平面PBE 与平面ABCD 所成的二面角的余弦值．17.设有编号为1，2，3，……，n 的n 个学生，编号为1，2，3，……，n 的n 个座位.规定每个学生坐一个座位，设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为ξ，已知ξ=2时，共有6种坐法.(1)求n 的值； (2)求随机变量ξ的概率分布列和数学期望.18.数列｛a n ｝的前n 项和S n ，点(a n ,S n )在直线y=2x-3n 上，(1)若数列｛a n +c ｝为等比数列，求常数c 的值；(2)求数列｛a n ｝的通项公式；(3) 数列｛a n ｝中是否存在三项，使它们构成等差数列？若存在，求出一组适合条件的项；若不存在，说明理由.19.已知椭圆C 1:)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为33，直线l : y=x+2与以原点为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆相切.(1)求椭圆C 1的方程；(2)设椭圆C 1的左、右焦点F 1、F 2，直线l 1过点F 1且垂直于椭圆长轴，动直线l 2垂直l 1于点P ，线段P F 2的垂直平分线交l 2于点M ，求点M 的轨迹C 2方程；(3)设C 2与x 轴交于Q 点，不同的两点R 、S 在C 2上，且满足⋅=0.，求∣QS ∣的取值范围.20.已知函数f(x)=ax 4lnx+bx 4-c (x>0),在x = 1处取得极值-3-c ，其中a,b,c 为常数.(1)试确定a,b 的值；(2)讨论函数f(x)的单调区间；(3)若对任意x>0，不等式f(x)+2c 2≥0恒成立，求c 的取值范围.答案：一、选择题： 1、D 2、C 3、D 4、D 5、C 6、B 7、D 8、A二、填空题： 9、±210、25711、-2 12、3 13、8 14、1三、解答题：15、解：（1）)(sin 22)sin (sin )2(2222b a B C A -=-a 2-c 2=ab-b 2即a 2+b 2-c 2=ab ∴2abcosC=ab cosC=21 c=3π（2）S ΔABC =21absinC =21absin 3π=sinAsinB 32 =)32sin(sin 32A A -π=)sin 21cos 23(sin 32A A A + =3sinAcosA+3sin2A=23sin2A+23(1-cos2A) =23sin2A-23cos2A+23=3sin(2A-6π)+23当2A-6π=2π 即A=3π时，S ΔABCmax =233 16、解：（1）取PD 中点F ，则FD //EC ，∴□EFDC ∴EF //CD //AB ∴□EFAB ∴ BE//AF ∴BE//平面PDA AF ⊆面PDA（2）设AC ∩BD=O 则NO //CE ∴□NOCE ∴CO//EN ∵ PD ⊥面ABCD ∴ PD ⊥NE ∴NE ⊥平面PDB PD//CE//NO BD ⊥NE（3）设平面PBE 与平面ABCD 所夹角为α∵PD ⊥平面ABCD 于D ，CE ⊥平面ABCD 于C ，∴PBES ∆∆=BDCS cos αS ΔBDC =2a 2，在ΔPBE 中，PB=2a ，BE=a 26，PE=a 26S ΔPBE =22222)26(22121a a a a EN PB =-⋅⋅=⋅⋅ ∴22222cos 22==a a α 17、解：（1）由ξ=2可知有n-2学生对位，2个错位，选n-2个学生对位 ∴62-n n=C ，∴n=4（2）P(ξ=0)=241144=A ，P （ξ=2）=446A =41P （ξ=3）=3124414=⋅A C ，P （ξ=4）=31944=AE ξ334131201=⨯+⨯+⨯+⨯= 18、把（a n ；S n ）代入y=2x-3n 中， S n =2a n -3nS n-1=2a n-1-3(n-1) (n ≥2) 两式相减：a n =2a n-1+3 即a n +3=2(a n-1+3)∴c=3，当n=1时，a 1=3（2）由{a n +3}是首项6公比2的等比数列 ∴a n +3=6·2n-1 ∴a n =3·2n -3(n ∈N*) （3）设0<<βα假设存在 则]323[2)323()323(-⋅=-⋅+-⋅βγα即βγα2222⋅=+222=+--βγβα事实上，0<-βα，0>-βγ∴ 0<12<-βα ∴222>+--βγβα 22>-βγ ∴假设存在不成立 ∴不存在 19、解：（1）由e=33可知 a=c 3 ∴2a 2=3b 2a 2=b 2+c 2由y=x+2与(x 2+y 2=b 2)相切b=22∴ b=2 123x 22=+y 为椭圆C 1的方程a=3（2）F 1（-1，0），F 2（1，0）由已知可知MF 2=MP即点M 到点F 2距离等于点M 到直线l 1：x=-1的距离点M 是焦点为F 2渐近线为x=-1的抛物线，p=2 ∴y 2=4x（3）由（2）可知Q 点为原点O ，设R （x 1，y 1） ，S （x 2，y 2）2221214y ,4y x x ==，由0=⋅RS OR即x 1(x 2-x 1)+y 1(y 2-y 1)=0 x 1x 2-21x +y 1y 2-21y =0， x 1x 2-21x -40x 4x x 121=-0)2(2)-x x (21221=+-x22-x x 121+=x 44112≥+=x x x ，当且仅当x 1=2时，x 2≥16而|QS|=|OS|=2222y x +=2224x x +≥815164162=⨯⨯∴|QS|∈[815,+∞) 另：设直线OR 方程 y=kx ⇒ R(k442，k )，不妨设k>0y 2=4x 直线RS 方程 y-k 4=-)44,)1(4()4(122k k k k s k x k --+⇒- y 2=4x ∴ |QS|=|OS|=4815)1()k 1(k 24≥+++kk （k+k1)2≥420、解：(1)f ’（x ）=4ax 3lnx+ax 3+4bx 3 由 f ’(1)=0f(1)=-3-c 即⎩⎨⎧-==∴⎩⎨⎧==+312c --3c -b 04b a b a （2）f(x)=12x 4lnx-3x 4-cf ’(x)=48x 3lnx+12x 3-12x 3=48x 3lnx ，（x>0） f(x)增区间(1，+∞)，减区间(0，1) （3）由对x>0，f(x)+2c 2≥0成立即：12x 4lnx-3x 4-c+2c 2≥0对x ∈R 成立 即：c-2c 2≤12x 4lnx-3x 4对x ∈R 成立 必须满足c-2c 2≤{12x 4lnx-3x 4}min设g(x)=12x 4lnx-3x 4 g ’(x)=48x 3lnx ，如图当x=1时，g(x)min =g(1)=-3 ∴c-2c 2≤3 即2c 2-c-3≥0 ∴c ≤-1或c ≥23。

天津一中2013届高三（上）零月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）1．（3分）若=a+bi（i是虚数单位，a、b∈R），则ab为（）A．﹣1 B．1C．﹣2 D．﹣3考点：复数代数形式的乘除运算；复数相等的充要条件．专题：计算题．分析：利用复数的代数形式的乘除运算，知==﹣1+3i=a+bi，由此能求出ab．解答：解：∵====﹣1+3i=a+bi，∴a=﹣1，b=3，∴ab=﹣3．故选D．点评：本题考查复数的代数形式的乘除运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．2．（3分）已知几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（）A．B．4C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：根据已知的三视图可判断出该几何体是一个正四棱锥，且可得底面棱长为2，侧面高为，由此求出底面面积和棱锥的高，代入棱锥体积公式，可得答案．解答：解：由已知可得该几何体是一个底面棱长为2侧面高为的正四棱锥则棱锥的高h==∴棱锥的高V=Sh=×2×2×=故选C点评：本题考查的知识点是由三视图求体积，其中根据已知分析出几何体的形状是解答的关键．3．（3分）（2005•天津）设α、β、γ为平面，m、n、l为直线，则m⊥β的一个充分条件是（）A．α⊥β，α∩β=l，m⊥l B．α∩γ=m，α⊥γ，β⊥γC．α⊥γ，β⊥γ，m⊥αD．n⊥α，n⊥β，m⊥α考点：直线与平面垂直的判定．专题：证明题；转化思想．分析：根据面面垂直的判定定理可知选项A是否正确，根据平面α与平面β的位置关系进行判定可知选项B和C是否正确，根据垂直于同一直线的两平面平行，以及与两平行平面中一个垂直则垂直于另一个平面，可知选项D正确．解答：解：α⊥β，α∩β=l，m⊥l，根据面面垂直的判定定理可知，缺少条件m⊂α，故不正确；α∩γ=m，α⊥γ，β⊥γ，而α与β可能平行，也可能相交，则m与β不一定垂直，故不正确；α⊥γ，β⊥γ，m⊥α，而α与β可能平行，也可能相交，则m与β不一定垂直，故不正确；n⊥α，n⊥β，⇒α∥β，而m⊥α，则m⊥β，故正确故选D点评：本小题主要考查空间线面关系、面面关系以及充分条件的判定等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力，属于基础题．4．（3分）若函数y=a1﹣x（a＞0，a≠1）的图象过定点A，点A在直线mx+ny=1（m、n＞0）上，则的最小值为（）A．5B．2C．7D．4考点：基本不等式．专题：计算题．分析：函数y=a1﹣x（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，知A（1，1），点A在直线mx+ny﹣1=0上，得m+n=1结合mn＞0，可得m＞0，n＞0，利用1的变换构造出可以用基本不等式求最值的形式求最值解答：解：由已知定点A坐标为（1，1），由点A在直线mx+ny﹣1=0上，∴m+n=1，又mn＞0，∴m＞0，n＞0，∴=（）（m+n）=2当且仅当即m=n=时取等号故选D点评：本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是利用1的代换配凑基本不等式应用的条件5．（3分）在数列{a n}中，a1=2，a n+1=1﹣a n（n∈N∗），S n为数列的前n项和，则S2006﹣2S2007+S2008为（）A．5B．﹣1 C．﹣3 D．2考点：数列的求和；等差数列．专题：计算题．分析：依题意，可求得a1=a3=…=a2n﹣1=2，a2=a4=…=a2n=﹣1．从而可求得答案．解答：解：∵数列{a n}中，a n+1=1﹣a n（n∈N∗），∴a n+a n+1=1．又a1=2，∴a2=﹣1，∴a3=2，同理可求，a4=﹣1，a5=﹣1，…∴a1=a3=…=a2n﹣1=2，a2=a4=…=a2n=﹣1．∴S2006=1003；同理可求得S2007=1005，S2008=1004，∴S2006﹣2S2007+S2008=﹣3．故选C．点评：本题考查数列的求和，分析出a1=a3=…=a2n﹣1=2，a2=a4=…=a2n=﹣1是关键，考查分析与计算能力，属于中档题．6．（3分）函数y=2x﹣1+log2x的零点所在的区间为（）A．（0.5，2）B．（0.5，1）C．[0.5，1]D．[0.5，2]考点：函数的零点．专题：计算题．分析：判断函数在区间端点处函数值的符号，当它们异号时存在零点．解答：解：因为2×0.5﹣1+log20.5=log20.5＜0，2×1﹣1+log21=1＞0，又在（0.5，1）上函数y=2x﹣1+log2x的图象是连续不断的一条曲线，所以函数y=2x﹣1+log2x在区间（0.5，1）上存在零点．故选B．点评：本题考查函数零点存在的条件，须满足两条：①在区间上图象连续不断；②端点处函数值异号．7．（3分）过点M（1，2）的直线把圆x2+y2﹣4x=5分成两段弧，则劣弧最短时直线方程为（）A．3x﹣2y+2=0 B．x﹣y﹣1=0 C．x+y﹣3=0 D．x﹣2y+3=0考点：直线与圆相交的性质．专题：计算题；直线与圆．分析：设已知圆的圆心为C，根据平面几何知识，得劣弧最短时相应的弦长也最短，所以求出过点M，且与CM垂直的直线l即可，根据垂直直线斜率之间的关系算出l的斜率，最后利用点斜式列式，再化成一般式方程，即得所求．解答：解：∵劣弧最短时，相应的弦长也最短∴过点M（1，2）的直线l截圆C：x2+y2﹣4x=5，所得短劣弧对应的直线与CM垂直∵圆x2+y2﹣4x=5的圆心C（2，0）∴CM的斜率k==﹣2，可得直线l的斜率k1=﹣=由此可得直线l方程为：y﹣2=（x﹣1），整理得x﹣2y+3=0故选：D点评：本题给出圆内一点M，求经过点M且被圆截得最短弧的直线l的方程，着重考查了直线的位置关系和直线与圆相交的性质等知识，属于基础题．8．（3分）（2013•甘肃三模）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．（425﹣1）B．（426﹣1）C．250﹣1 D．251﹣1考点：程序框图．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出等比数列的和．解答：解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=0+2+23+…+249==（425﹣1）故选A．点评：本题主要考查了直到型循环结构，直到型循环是先循环后判断．对循环体每次循环需要进行分析并找出内在规律．本题属于基础题二.填空题：9．（3分）的展开式中x2项的系数为60，则实数a=±2．考点：二项式系数的性质．专题：计算题．分析：在的通项公式中，令x的指数等于2，求得r=2，从而得到展开式中x2项的系数为60=C62a2，解方程求得实数a的值．解答：解：的通项公式为T r+1=C6r a r，令=2可得r=2，展开式中x2项的系数为60=C62a2，∴a2=4，a=±2．故答案为：±2．点评：本题主要考查二项式定理，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，得到60=C62a2，是解题的关键，属于中档题．10．（3分）已知5cos（45°+x）=3，则sin2x=．考点：二倍角的正弦．专题：三角函数的求值．分析：由题意可得cos（45°+x）=，再利用二倍角的余弦公式求得sin2x=﹣cos（90°+2x）的值．解答：解：由题意可得cos（45°+x）=，∴sin2x=﹣cos（90°+2x）=﹣cos[2（45°+x）]=﹣2cos2（45°+x）+1=﹣2×+1=，故答案为．点评：本题主要考查二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．11．（3分）（2005•江苏）在△ABC中，O为中线AM上一个动点，若AM=2，则的最小值是﹣2．考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；压轴题．分析：利用向量的运算法则：平行四边形法则作出，判断出共线，得到的夹角，利用向量的数量积公式将转化成二次函数求出最小值，解答：解：以OB和OC做平行四边形OBNC．则因为M为BC的中点所以且反向∴=，设OA=x，（0≤x≤2）OM=2﹣x，ON=4﹣2x∴=2x2﹣4x（0≤x≤2）其对称轴x=1所以当x=1时有最小值﹣2故答案为﹣2点评：本题考查向量的运算法则、向量共线的充要条件、向量的数量积公式、二次函数最值的求法．12．（3分）（2007•海南）已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为3．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：过双曲线的顶点A、焦点F分别向其渐近线作垂线，垂足分别为B、C，根据比例线段的性质可知进而求得a和c的关系，则离心率可得．解答：解：如图，过双曲线的顶点A、焦点F分别向其渐近线作垂线，垂足分别为B、C，则：故答案为3点评：本题主要考查了双曲线的简单性质．考查了比例线段的知识和双曲线的离心率问题．13．（3分）极坐标系中，曲线ρ=10cosθ和直线3ρcosθ﹣4ρsinθ﹣30=0交于A、B两点，则线段AB 的长=8．考点：简单曲线的极坐标方程；直线与圆相交的性质．专题：直线与圆．分析：先把曲线和直线的极坐标方程化为普通方程，再利用|AB|=2（d为圆心到直线的距离）即可得出答案．解答：解：∵曲线ρ=10cosθ，∴ρ2=10ρcosθ，化为普通方程：x2+y2=10x，即（x﹣5）2+y2=25，∴圆心C（5，0），半径r=5．∵直线3ρcosθ﹣4ρsinθ﹣30=0，∴普通方程为3x﹣4y﹣30=0．圆心C（5，0）到直线的距离d==3，∴|AB|===8．故答案为8．点评：充分理解|AB|=2（d为圆心到直线的距离）是解题的关键．当然也可以先把交点A、B的坐标求出来，再利用两点间的距离公式即可求出．14．（3分）（2010•怀柔区二模）已知PA是圆O（O为圆心）的切线，切点为A，PO交圆O于B，C两点，，则线段PB的长为1．考点：圆的切线方程．专题：压轴题．分析：利用直径上的圆周角是直角，切点与圆心连线与切线垂直，推出△OAB是正三角形，PB=AB=r （半径），然后求出结果．解答：解：PA是圆O（O为圆心）的切线，切点为A，PO交圆O于B，C两点，∠CAB=90°，又OA⊥AP，∠PAB=30°∴∠CAO=30°△OAB是正三角形，且∠ACO=30°，∠APO=30°∴AB=PB设圆的半径为r，则；PB=1故答案为：1．点评：本题考查圆的切线方程，平面几何知识，是中档题．三.解答题：15．已知△ABC中，A、B、C分别为三个内角，a、b、c为所对边，2（sin2A﹣sin2C）=（a﹣b）sinB，△ABC的外接圆半径为，（1）求角C；（2）求△ABC面积S的最大值．考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：（1）利用正弦定理化简已知等式的右边，整理后再利用余弦定理变形，求出cosC的值，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数；（2）由C的度数求出A+B的度数，用A表示出B，利用三角形的面积公式列出关系式，利用正弦定理化简后，将sinC的值及表示出的B代入，利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理后利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的图象与性质即可得出面积的最大值．解答：解：（1）利用正弦定理化简已知的等式得：2（sin2A﹣sin2C）=2sinB（a﹣b），整理得：a2﹣c2=ab﹣b2，即a2+b2﹣c2=ab，∵c2=a2+b2﹣2abcosC，即a2+b2﹣c2=2abcosC，∴2abcosC=ab，即cosC=，则C=；（2）∵C=，∴A+B=，即B=﹣A，∵==2，即a=2sinA，b=2sinB，∴S△ABC=absinC=absin=×2sinA×2sinB×=2sinAsinB=2sinAsin（﹣A）=2sinA（cosA+sinA）=3sinAcosA+sin2A=sin2A+（1﹣cos2A）=sin2A﹣cos2A+=sin（2A﹣）+，则当2A﹣=，即A=时，S△ABCmax=．点评：此题考查了正弦、余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，二倍角的正弦、余弦函数公式，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．16．如图为一多面体，其底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，CE∥DP，且PD=2CE．（1）求证：BE∥平面PDA；（2）若N为线段PB的中点，求证：EN⊥平面PDB；（3）若PD=AD，求平面PBE与平面ABCD所成的二面角的余弦值．考点：直线与平面平行的判定；二面角的平面角及求法．专题：综合题；空间角．分析：（1）取PD中点F，证明四边形EFAB为平行四边形，可得BE∥AF，利用线面平行的判定可得BE∥平面PDA；（2）设AC∩BD=O，证明CO∥EN，C0⊥平面PDB，即可得到NE⊥平面PDB；（3）设平面PBE与平面ABCD所夹角为α，利用即可求得结论．解答：（1）证明：取PD中点F，则FD∥EC，FD=EC∴四边形EFDC为长方形∴EF∥CD∥AB∴四边形EFAB为平行四边形∴BE∥AF∵BE⊄面PDA，AF⊂面PDA∴BE∥平面PDA；（2）证明：设AC∩BD=O，则NO∥CE，NO=CE∴四边形NOCE为长方形，∴CO∥EN∵PD⊥面ABCD，∴CO⊂面ABCD∴PD⊥CO，∵CO⊥BD，PD∩BD=D∴C0⊥平面PDB∴NE⊥平面PDB；（3）解：设平面PBE与平面ABCD所夹角为α∵PD⊥平面ABCD于D，CE⊥平面ABCD于C，∴在△PBE中，PB=2a，BE=，PE=，∴S△PBE=∵S△BDC=，∴点评：本题考查线面平行，线面垂直，考查面面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．17．（2007•深圳二模）有编号为1，2，3，…，n的n个学生，入坐编号为1，2，3，…n的n个座位．每个学生规定坐一个座位，设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为ξ，已知ξ=2时，共有6种坐法．（1）求n的值；（2）求随机变量ξ的概率分布列和数学期望．考点：离散型随机变量及其分布列．专题：计算题．分析：（1）解题的关键是ξ=2时，共有6种坐法，写出关于n的表示式，解出未知量，把不合题意的舍去．（2）学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为ξ，由题意知ξ的可能取值是0，2，3，4，当变量是0时表示学生所坐的座位号与该生的编号都相同，当变量是2时表示学生所坐的座位号与该生的编号有2个相同，理解变量对应的事件，写出分布列和期望．解答：解：（1）∵当ξ=2时，有C n2种坐法，∴C n2=6，即，n2﹣n﹣12=0，n=4或n=﹣3（舍去），∴n=4．（2）∵学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为ξ，由题意知ξ的可能取值是0，2，3，4，当变量是0时表示学生所坐的座位号与该生的编号都相同，当变量是2时表示学生所坐的座位号与该生的编号有2个相同，当变量是3时表示学生所坐的座位号与该生的编号有1个相同，当变量是4时表示学生所坐的座位号与该生的编号有0个相同，∴，，，，∴ξ的概率分布列为：∴．点评：培养运用从具体到抽象、从特殊到一般的观点分析问题的能力，充分体现数学的化归思想．启发诱导的同时，训练了学生观察和概括归纳的能力．18．数列{a n}的前n项和为S n，S n=2a n﹣3n（n∈N*）（1）若数列{a n+c}成等比数列，求常数c值；（2）求数列{a n}的通项公式a n（3）数列{a n}中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，请求出一组适合条件的项；若不存在，请说明理由．考点：等差数列与等比数列的综合．专题：计算题；压轴题．分析：（1）利用递推公式可得a n=s n﹣s n﹣1，利用等比数列的定义可求c（2）由递推公式a n=s n﹣s n﹣1（n≥2），a1=s1求解（3）假设存在a s，a p，a r成等差数列，则2a p=a s+a r，结合（2）中的通项公式进行推理．解答：解：（1）由S n=2a n﹣3n及S n+1=2a n+1﹣3（n+1）得a n+1=2a n+3∴，∴c=3（2）∵a1=S1=2a1﹣3，∴a1=3，a n+3=（a1+3）•2n﹣1∴a n=3.2n﹣3（n∈N*）（3）设存在S，P，r∈N*，且s＜p＜r使a s，a p，a r成等差数列∴2a p=a s+a r即2（3•2p﹣3）=（3•2s﹣3）+（3•2r﹣3）∴2p+1=2s+2r∴2p﹣s+1=1+2r﹣s∵s，p，r∈N*且s＜p＜r∴2p﹣s+1、2r﹣s为偶数1+2r﹣s为奇数矛盾，不存在满足条件的三项点评：本题主要考查了数列的递推关系a n=s n﹣s n﹣1（n≥2），a1=s1的应用及等比数列的定义，而对存在性问题，一般是先假设存在，然后由假设结合已知条件进行推理，看是否产生矛盾，从而判断存在性．19．（2013•梅州二模）已知椭圆的离心率为，直线l：y=x+2与以原点为圆心、椭圆C1的短半轴长为半径的圆相切．（1）求椭圆C1的方程；（2）设椭圆C1的左焦点为F1，右焦点为F2，直线l1过点F1且垂直于椭圆的长轴，动直线l2垂直于直线l1，垂足为点P，线段PF2的垂直平分线交l2于点M，求点M的轨迹C2的方程；（3）设C2与x轴交于点Q，不同的两点R，S在C2上，且满足，求的取值范围．考点：圆与圆锥曲线的综合；平面向量数量积的运算；轨迹方程；椭圆的标准方程．专题：计算题；压轴题．分析：（1）先由离心率为，求出a，b，c的关系，再利用直线l：y=x+2与以原点为圆心、椭圆C1的短半轴长为半径的圆相切，求出b即可求椭圆C1的方程；（2）把题中条件转化为动点M的轨迹是以l1：x=﹣1为准线，F2为焦点的抛物线，即可求点M的轨迹C2的方程；（3）先设出点R，S的坐标，利用求出点R，S的坐标之间的关系，再用点R，S 的坐标表示出，利用函数求最值的方法即可求的取值范围．解答：解：（1）由得2a2=3b2，又由直线l：y=x+2与圆x2+y2=b2相切，得，，∴椭圆C1的方程为：．（4分）（2）由MP=MF2得动点M的轨迹是以l1：x=﹣1为准线，F2为焦点的抛物线，∴点M的轨迹C2的方程为y2=4x．（8分）（3）Q（0，0），设，∴，由，得，∵y1≠y2∴化简得，（10分）∴（当且仅当y1=±4时等号成立），∵，又∵y22≥64，∴当y22=64，即y2=±8时，∴的取值范围是．（13分）点评：本题是对圆与椭圆知识的综合考查．当直线与圆相切时，可以利用圆心到直线的距离等于半径求解．，也可以把直线与圆的方程联立让对应方程的判别式为0求解．20．（2007•重庆）已知函数f（x）=ax4lnx+bx4﹣c（x＞0）在x=1处取得极值﹣3﹣c，其中a，b，c 为常数．（1）试确定a，b的值；（2）讨论函数f（x）的单调区间；（3）若对任意x＞0，不等式f（x）≥﹣2c2恒成立，求c的取值范围．考点：利用导数研究函数的极值；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性．专题：计算题．分析：（1）因为x=1时函数取得极值得f（x）=﹣3﹣c求出b，然后令导函数=0求出a即可；（2）解出导函数为0时x的值讨论x的取值范围时导函数的正负决定f（x）的单调区间；（3）不等式f（x）≥﹣2c2恒成立即f（x）的极小值≥﹣2c2，求出c的解集即可．解答：解：（1）由题意知f（1）=﹣3﹣c，因此b﹣c=﹣3﹣c，从而b=﹣3又对f（x）求导得=x3（4alnx+a+4b）由题意f'（1）=0，因此a+4b=0，解得a=12（2）由（I）知f'（x）=48x3lnx（x＞0），令f'（x）=0，解得x=1当0＜x＜1时，f'（x）＜0，此时f（x）为减函数；当x＞1时，f'（x）＞0，此时f（x）为增函数因此f（x）的单调递减区间为（0，1），而f（x）的单调递增区间为（1，+∞）（3）由（II）知，f（x）在x=1处取得极小值f（1）=﹣3﹣c，此极小值也是最小值，要使f（x）≥﹣2c2（x＞0）恒成立，只需﹣3﹣c≥﹣2c2即2c2﹣c﹣3≥0，从而（2c﹣3）（c+1）≥0，解得或c≤﹣1所以c的取值范围为（﹣∞，﹣1]∪点评：考查学生利用导数研究函数极值的能力，利用导数研究函数的单调性的能力，函数恒成立时条件的应用能力．。

)(A B P A=棱柱的体积公式S表示棱柱的底面面积A B=]2,2C.1D.2x的值为1,()B.73D.585()B.①②D.②③22(0)px py=>的准线分别2,AOB△,则p=()C.2D.33,则sin BAC∠=C.10D.5C.3D.4的不等式()()f x a f x+<的解集为A.若()A.B.C.13(0,+D.(-∞第Ⅱ卷注意事项：1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2.本卷共12小题,共110分.二、填空题：本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.已知a,b∈R,i是虚数单位.若(i)(1i)ia b++=,则ia b+=.10.6(x的二项展开式中的常数项为.11.已知圆的极坐标方程为4cosρθ=,圆心为C,点P的极坐标为π(4,)3,||CP=.12.在平行四边形ABCD中,1AD=,60BAD︒∠=,E为CD的中点.若1AC BE=,则AB的长为.13.如图,ABC△为圆的内接三角形,BD为圆的弦,且BD AC∥.过点A作圆的切线与DB的延长线交于点E,AD与BC交于点F.若AB AC=,6AE=,5BD=,则线段CF的长为.14.设2a b+=,0b>,则当a=时,1||2||aa b+取得最小值.三、解答题：本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）,过点F 且与x 轴垂直的直（Ⅱ）设A 、B 分别为椭圆的左、k 的直线与椭圆交于C ,D 两若8AC DB AD CB +=,求k n 项和为(*)n S n ∈N ,且33S a +,.20.（本小题满分14分）已知函数2l ()n f x x x =. （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）证明：对任意的0t >,存在唯一的s ,使()t f s =；（Ⅲ）设（Ⅱ）中所确定的s 关于t 的函数为()s g t =,证明：当2e t >时,有2ln ()15ln 2g t t <<.{AB x =∈R A ，然后根据交集的定义求出AB 即min 3257Z =-⨯=-.π3R ，故体积缩小到原来的18，命题1，3，5，等于圆3，5和3，3，12的圆心到直y =.而AOB 的面积13=322pp ，可得【提示】求出双曲线的渐进方程和抛物线的准线方程，进而求出双曲线的离心率为2可得cos BA BC ABC ∠，于是由正弦AC ABC∠，于是BAC ∠的值. 7.【答案】B【解析】令0.5()2|log |10xf x x =-=，可得0.51|log |2x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭.设0.5()|log |g x x =，1()2xh x ⎛⎫= ⎪⎝⎭在同一坐标系下分别画出函数()g x ，()h x 的图象，可以发现两个函数图象一定有2个交点，因此函数()f x 有2个零点.【提示】函数的零点转化为两个函数图像的交点个数，作出函数的图象即可判断. 【考点】函数的图象，函数零点的判断 8.【答案】A【解析】11,22A ⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦，()(0)f a f ∴<，(1||)0a a a ∴+<，解得10a -<<，可排除C ，又1122f a f ⎛⎫⎛⎫-+<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，111112222a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-++-+<-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，115224a a a a ⎛⎫∴-+-+<- ⎪⎝⎭10a -<<，115224a a ⎛⎫∴-+-+>- ⎪⎝⎭21524a ⎛⎫∴--+>- ⎪⎝⎭，21524a ⎛⎫∴-+<⎪⎝⎭，0a <<.排除B ，D ，应选A .【提示】由题目可知11,22A ⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦，将0x =带入()()f x a f x +<可得()(0)f a f <，解得10a -<<；将12x =-代入()()f x a f x +<0a <<.【考点】解含参的一元二次不等式第Ⅱ卷二、填空题 9.【答案】12i +【解析】由(i)(1i)i a b ++=可得(1)(1)i i a a b -++=，因此10a -=，1a b +=，解得1a =，2【解析】用AB ，AD 表示AC 与BE ，然后进行向量的数量积运算由已知得AC AD AB =+，12BE BC CE AD AB =+=-，∴221122AC BE AD AB AD AB AD AB =-+-2211111||1||||cos60||12222AB AD AB AB AD AB ︒+-=+-=，12AB =.EAB C ∠=∠，所AEBC 是平行四边EB ED ，于是5)，所以4EB =（负值舍又因为AFC △∽△456CF CF =-，解得83CF =. 是平行四边形，利用圆的切割线定理求出EB ，通过三角形相||4||b a a b++，由于0b >，||1|a b =，因此当1||2||a a b+的最小值是的最小值是-1||2||a a b +的最小值为34，||4||b a a b++，由于0b >，||1|a b =，由a 的值.三、解答题 15.【答案】（Ⅰ）2ππ2T == （Ⅱ）()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为2-【解析】（Ⅰ）ππ()2cossin 3sin 2cos244f x x x x x =+-， π2sin 22cos224x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，故()f x 的最小正周期2ππ2T ==；（Ⅱ）因为()f x 在区间3π0,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间3ππ,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，并且(0)2f =-，3π8f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，π22f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为2-. 【提示】（Ⅰ）利用两角和的正弦公式将πsin 24x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开，结合二倍角的正余弦公式化简合并，得()2sin 22cos2f x x x =-，再利用辅助角公式化简得π()24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，最后利用正弦函数的周期公式即可算出()f x 的最小正周期；（Ⅱ）由()f x 在区间3π0,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间3ππ,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，可得()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 【考点】三角函数的周期性和最值 16.【答案】（Ⅰ）67（Ⅱ）175EX =【解析】（Ⅰ）记“取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片”为事件A ，则13222525476()7C C C C P A C +==，故所求概率为67； （Ⅱ）X 的所有可能取值为1，2，3，4. 33471(1)35C P X C ===，34474(2)35C P X C ===，35472(3)7C P X C ===，36474(4)7C P X C ===，(1,0,1)，1(0,2,2)B1(1,2,1)C，.（Ⅰ）易得(1,0,B C=，(1,1,CE=-，故1B C CE=，因此11B C CE⊥；（Ⅱ）(1,2,1)B C=--，设(,,)n x y z=CE的法向量，则1n B Cn CE⎧=⎪⎨=⎪⎩，20y zy z-=+-=可得平面B的一个法向量()3,2,1n=--；，知11(1,0,B C=的一个法向量.1111,14|n B Cn B Cn B C<>==|21,n B C<>=角的正弦值为217；（Ⅲ）(0,1,0)AE=，(1,1,1)EC=，设(,EM ECλλλ==则(,AM AE EMλλ=+=取(0,0,2)AB=ADD Aθ11所成的角，||,|||||3AM ABAM ABAM AB<>==26=，解得13λ=（负值舍去）AB，AA1两两互相垂直，以A为坐标原点建立空间直角坐标系，标出点的坐标后，求出B C和，由11B C CE=得到11B C CE⊥；E和C1的坐标及待求系数表示，求出平面AM与平面11ADD A所成角的长可求.=.2222()1c ya b-+=，.22=132x y+.得直线CD的方程为(1)y k x=+，22223)6360k x k x k++-=，.所以AC DB AD CB+11222211()(3,)(3,)(3,)x y x y x y x y=+--++--1212622x x y y=--21212622(1)(1)x x k x x=--++22212126(22)2()2k x x k x x k=-+-+-22212623kk+=++.由已知得222126823kk++=+，解得k=【提示】，可求出a，b，c的关系，根据椭圆的一般方程，令x c=-代入求出弦长等于3，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）设点11(,)C x y，22(,)D x y，直线CD的方程为(1)y k x=+，由221132y k xx y=(+)⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y得2222(23)6360k x k x k+++-=，再由韦达定理进行求解，求得AC DB AD CB+，利用8AC DB AD CB+=，即可求得k的值.【考点】椭圆的定义与简单几何性质，直线与椭圆的位置关系19.【答案】（Ⅰ）13(1)2nn na-=-（Ⅱ）{}nT的最大项为56，最小项为712-【解析】（Ⅰ）设{}na的公比为q，因为33S a+，55S a+，44S a+成等差数列.所以55334455S a S a S a S a+--=+--，即534a a=，故25314aqa==.又{}n a不是递减数列，且132a=，故12q=-，故等比数列{na}的通项公式为11313(1)222nnn na--⎛⎫=⨯-=-⎪⎝⎭，（Ⅱ）由（Ⅰ）得12()11212()n nn nnSn--⎧+⎪⎛⎫=--=⎨⎪-⎝⎭⎪⎩为奇数为偶数，当n为奇数时，n S随n的增大而减小，故1312nS S<≤=，故111156nnS SS S<-≤-=；当n为偶数时，n S随n的增大而增大，故2314nS S=≤<，故2211712nnS SS S>-≥-=-.0)>，令()0f x '=得x =，由(1)t x -≥，由（Ⅰ）知，()h x 的的单调性可得1u >，从而ln 0u >。

2013年普通高等学校招生全国统一考试（天津）卷数学（理科）一．选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给也的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知{}|||2A x R x =∈≤，{}|1B x x =≤，则A B = ( ) （A ）(],2-∞ （B ）[]1,2 （C ）[]2,2- （D ）[]2,1-2．设变量y x ,满足约束条件0230063x y x y y ≥--≤+-⎧-≤⎪⎨⎪⎩，则目标函数2z y x =-的最小值为( ) （A ）7- （B ）4- （C ）1 （D ）23．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入x 的值为1，则输出s 的值为( ) （A ）64 （B ）73 （C ）512 （D ）5854．已知下列三个命题：①若一个球的半径缩小到原来的12，则其体积缩小到原来的18；②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等；③直线10x y ++=与圆2212x y +=相切。

其中真命题的序号是( )（A ）①②③ （B ）①② （C ）②③ （D ）②③5．已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的两条渐近线与抛物线()220p y x p =>的准线分别交于B A ,两点，O 为坐标原点。

若双曲线的离心率为2，AOB ∆p =（ ） （A ）1 （B ）32 （C ）2 （D ）36．在ABC ∆中，4ABC π∠=，AB =3BC =，则sin BAC ∠=( ) （A（B（C） （D7．函数()0.52|log |1x f x x =-的零点个数为( ) （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 8．已知函数()()1||f x x a x =+，设关于x 的不等式()()f x a f x +<的解集为A ，若[]12,12A -⊆，则实数a 的取值范围是( )（A）⎫⎪⎪⎝⎭ （B）⎫⎪⎪⎝⎭ （C）⎛ ⎝⎫⎪⎪⎝⎭⎭ （D）⎛- ⎝⎭∞ 二．填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．设,a b R ∈，i 是虚数单位。

2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理 科 数 学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分, 共150分. 考试用时120分钟. 第Ⅰ卷1至2页, 第Ⅱ卷3至5页.答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上, 并在规定位置粘贴考试用条形码. 答卷时, 考生务必将答案凃写在答题卡上, 答在试卷上的无效. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷注意事项：1. 每小题选出答案后, 用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选凃其他答案标号.2. 本卷共8小题, 每小题5分, 共40分.参考公式:·如果事件A , B 互斥, 那么)()()(B P A P A P B ⋃=+·棱柱的体积公式V =Sh ，其中S 表示棱柱的底面面积, h 表示棱柱的高.·如果事件A , B 相互独立, 那么)()(()B P A A P P B =·球的体积公式34.3V R π= 其中R 表示球的半径.一．选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1) 已知集合A = {x ∈R | |x |≤2}, A = {x ∈R | x ≤1}, 则A B ⋂=(A) (,2]-∞ (B) [1,2] (C) [－2,2] (D) [－2,1](2) 设变量x , y 满足约束条件360,20,30,x y y x y ≥--≤+-⎧-≤⎪⎨⎪⎩则目标函数z = y－2x 的最小值为(A) －7(B) －4 (C) 1 (D) 2(3) 阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 若输入x 的值为1, 则输出S 的值为(A) 64 (B) 73(C) 512 (D) 585(4) 已知下列三个命题: ①若一个球的半径缩小到原来的12, 则其体积缩小到原来的18; ②若两组数据的平均数相等, 则它们的标准差也相等;③直线x + y + 1 = 0与圆2212x y +=相切. 其中真命题的序号是:(A) ①②③(B) ①② (C) ②③ (D) ②③(5) 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线与抛物线22(0)px p y =>的准线分别交于A , B 两点, O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB则p =(A) 1 (B) 32 (C) 2 (D) 3(6) 在△ABC 中, ,3,4AB BC ABC π∠==则sin BAC ∠ =(A)(B)(C)(D) (7) 函数0.5()2|log |1x f x x =-的零点个数为(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4(8) 已知函数()(1||)f x x a x =+. 设关于x 的不等式()()f x a f x +< 的解集为A , 若11,22A ⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦, 则实数a 的取值范围是(A) ⎫⎪⎪⎝⎭ (B) ⎫⎪⎪⎝⎭(C) ⎛⋃ ⎝⎫⎪⎝⎭⎪⎭ (D) ⎛- ⎝⎭∞ 2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理 科 数 学第Ⅱ卷注意事项：1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2. 本卷共12小题, 共110分.二．填空题: 本大题共6小题, 每小题5分, 共30分.(9) 已知a , b ∈R , i 是虚数单位. 若(a + i )(1 + i ) = bi , 则a + bi = . (10) 6x⎛ ⎝ 的二项展开式中的常数项为 . (11) 已知圆的极坐标方程为4cos ρθ=, 圆心为C , 点P 的极坐标为4,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭, 则|CP | = . (12) 在平行四边形ABCD 中, AD = 1, 60BAD ︒∠=, E 为CD 的中点. 若·1AD BE = , 则AB 的长为 .(13) 如图, △ABC 为圆的内接三角形, BD 为圆的弦, 且BD //AC . 过点A 做圆的切线与DB 的延长线交于点E , AD 与BC 交于点F . 若AB = AC ,AE = 6, BD = 5, 则线段CF 的长为 .(14) 设a + b = 2, b >0, 则当a = 时, 1||2||a a b+取得最小值.三．解答题: 本大题共6小题, 共70分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.(15) (本小题满分13分)已知函数2()26sin cos 2cos 41,f x x x x x x π⎛⎫=++- ⎪+⎝⎭∈R . (Ⅰ) 求f (x )的最小正周期;(Ⅱ) 求f (x )在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.(16) (本小题满分13分)一个盒子里装有7张卡片, 其中有红色卡片4张, 编号分别为1, 2, 3, 4; 白色卡片3张, 编号分别为2, 3, 4. 从盒子中任取4张卡片 (假设取到任何一张卡片的可能性相同).(Ⅰ) 求取出的4张卡片中, 含有编号为3的卡片的概率.(Ⅱ) 再取出的4张卡片中, 红色卡片编号的最大值设为X , 求随机变量X 的分布列和数学期望.(17) (本小题满分13分)如图, 四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中, 侧棱A 1A ⊥底面ABCD , AB //DC , AB ⊥AD , AD = CD = 1, AA 1 = AB = 2, E 为棱AA 1的中点.(Ⅰ) 证明B 1C 1⊥CE ;(Ⅱ) 求二面角B 1－CE －C 1的正弦值.(Ⅲ) 设点M 在线段C 1E 上, 且直线AM 与平面ADD 1A 1, 求线段AM 的长.(18) (本小题满分13分)设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F , , 过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截(Ⅰ) 求椭圆的方程;(Ⅱ) 设A , B 分别为椭圆的左右顶点, 过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C , D 两点. 若··8AC DB AD CB += , 求k 的值.(19) (本小题满分14分) 已知首项为32的等比数列{}n a 不是递减数列, 其前n 项和为(*)n S n ∈N , 且S 3 + a 3, S 5 + a 5, S 4 + a 4成等差数列.(Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ) 设*()1n n nT S n S ∈=-N , 求数列{}n T 的最大项的值与最小项的值.(20) (本小题满分14分)已知函数2l ()n f x x x =.(Ⅰ) 求函数f (x )的单调区间;(Ⅱ) 证明: 对任意的t >0, 存在唯一的s , 使()t f s =.(Ⅲ) 设(Ⅱ)中所确定的s 关于t 的函数为()s g t =, 证明: 当2>e t 时, 有2ln ()15ln 2g t t <<.高考资源网（ ）您身边的高考专家 版权所有@高考资源网 2013高考真题- 11 -。

天津一中2012—2013学年高三数学一月考试卷(理科)一、选择题:(共40分,每小题5分,每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求） 1.有关下列命题的说法正确的是A.命题“若x 2=1,则x=1”的否命题为:若“x 2=1则x ≠1” B.“1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件C.命题“∃x ∈R,使得x 2+x+1<0”的否定是:“∀x ∈R,均有x 2+x+1<0” D.命题“若x=y,则sinx=siny ”的逆否命题为真命题 【答案】D【解析】若x 2=1,则x=1”的否命题为21x ≠,则1x ≠，即A 错误。

若2560x x --=，则6x =或1x =-，所以“1x =-”是“2560x x --=”的充分不必要条件，所以B 错误。

∃x ∈R,使得x 2+x+1<0的否定是∀x ∈R,均有210x x ++≥，所以C 错误。

命题若x=y,则sinx=siny 正确，所以若x=y,则sinx=siny 的逆否命题也正确，所以选D.2.定义在R 上的偶函数f(x),当x ∈[0,+∞)时,f(x)是增函数,则f(-2),f(π),f(-3)的大小关系是 A.f(π)>f(-3)>f(-2) B.f(π)>f(-2)>f(-3)C.f(π)<f(-3)<f(-2)D.f(π)<f(-2)<f(-3) 【答案】A【解析】因为函数是偶函数，所以(2)(2),(3)(3)f f f f -=-=，又函数在[0,)+∞上是增函数，所以由(2)(3)()f f f π<<，即(2)(3)()f f f π-<-<，选A.3.函数f(x)=sin2x-4sin 3xcosx(x ∈R)的最小正周期为 A.8π B.4π C.2π D.π【答案】C【解析】221()sin 22sin 2sin sin 2(12sin )sin 2cos 2sin 42f x x x x x x x x x =-=-==,所以函数的周期为2242T πππω===，选C. 4.设函数sin()3y x π=+(x ∈R),则f(x)A.在区间[-π,2π-]上是减函数 B.在区间27[,]36ππ上是增函数C.在区间[8π,4π]上是增函数 D.在区间5[,]36ππ上是减函数 【答案】B 【解析】当2736x ππ≤≤时，2733363x πππππ+≤+≤+，即332x πππ≤+≤，此时函数sin()3y x π=+单调递减，所以sin()3y x π=+在区间27[,]36ππ上是增函数，选B. 5.在∆ABC 中,A,B,C 为内角,且sin cos sin cos A A B B =,则∆ABC 是 A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形【答案】D【解析】由sin cos sin cos A A B B =得sin 2sin 2sin(2)A B B π==-，所以22A B =或22A B π=-，即A B =或2A B π+=，所以三角形为等腰或直角三角形，选D.6.,,x y z 均为正实数,且22log x x =-,22log y y -=-，22log z z -=，则 A. x y z << B.z x y << C.z y x << D.y x z<<【答案】A【解析】因为,,x y z 均为正实数，所以22log 1x x =->，即2l o g 1x <-，所以102x <<。

2013年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷)理 科 数 学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题)两部分, 共150分. 考试用时120分钟. 第Ⅰ卷1至2页， 第Ⅱ卷3至5页.答卷前， 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上， 并在规定位置粘贴考试用条形码。

答卷时， 考生务必将答案凃写在答题卡上, 答在试卷上的无效. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷注意事项:1. 每小题选出答案后， 用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动， 用橡皮擦干净后， 再选凃其他答案标号。

2. 本卷共8小题， 每小题5分, 共40分.参考公式:·如果事件A ， B 互斥, 那么)()()(B P A P A P B ⋃=+·棱柱的体积公式V =Sh ,其中S 表示棱柱的底面面积, h 表示棱柱的高。

·如果事件A ， B 相互独立， 那么)()(()B P A A P P B =·球的体积公式34.3V R π=其中R 表示球的半径.一．选择题: 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1) 已知集合A = ｛x ∈R ｜ ｜x ｜≤2}， A = {x ∈R | x ≤1｝， 则A B ⋂=(A)(,2]-∞ （B) ［1，2] （C ） [－2，2］ (D) [－2,1]（2) 设变量x , y 满足约束条件360,20,30,x y y x y ≥--≤+-⎧-≤⎪⎨⎪⎩则目标函数z= y －2x 的最小值为(A ） －7 (B ） －4（C) 1 （D) 2（3) 阅读右边的程序框图， 运行相应的程序, 若输入x 的值为1， 则输出S 的值为（A) 64 (B ） 73（C) 512 （D) 585（4） 已知下列三个命题： ①若一个球的半径缩小到原来的12, 则其体积缩小到原来的18； ②若两组数据的平均数相等， 则它们的标准差也相等； ③直线x + y + 1 = 0与圆2212x y +=相切。

2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理 科 数 学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分, 共150分. 考试用时120分钟. 第Ⅰ卷1至2页, 第Ⅱ卷3至5页.答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上, 并在规定位置粘贴考试用条形码. 答卷时, 考生务必将答案凃写在答题卡上, 答在试卷上的无效. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷注意事项：1. 每小题选出答案后, 用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选凃其他答案标号.2. 本卷共8小题, 每小题5分, 共40分.参考公式:·如果事件A , B 互斥, 那么)()()(B P A P A P B ⋃=+·棱柱的体积公式V =Sh ，其中S 表示棱柱的底面面积, h 表示棱柱的高.·如果事件A , B 相互独立, 那么)()(()B P A A P P B =·球的体积公式34.3V R π= 其中R 表示球的半径.一．选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1) 已知集合A = {x ∈R | |x |≤2}, A = {x ∈R | x ≤1}, 则A B ⋂=(A) (,2]-∞ (B) [1,2] (C) [－2,2] (D) [－2,1](2) 设变量x , y 满足约束条件360,20,30,x y y x y ≥--≤+-⎧-≤⎪⎨⎪⎩则目标函数z =y －2x 的最小值为(A) －7 (B) －4(C) 1 (D) 2(3) 阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 若输入x 的值为1, 则输出S 的值为(A) 64 (B) 73(C) 512 (D) 585(4) 已知下列三个命题: ①若一个球的半径缩小到原来的12, 则其体积缩小到原来的18; ②若两组数据的平均数相等, 则它们的标准差也相等;③直线x + y + 1 = 0与圆2212x y +=相切. 其中真命题的序号是:(A) ①②③(B) ①② (C) ②③ (D) ②③(5) 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线与抛物线22(0)px p y =>的准线分别交于A , B 两点, O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB则p =(A) 1 (B) 32(C) 2 (D) 3 (6) 在△ABC 中, ,3,4AB BC ABC π∠===则sin BAC ∠ =(A)(B)(C)(D) (7) 函数0.5()2|log |1x f x x =-的零点个数为(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4(8) 已知函数()(1||)f x x a x =+. 设关于x 的不等式()()f x a f x +< 的解集为A , 若11,22A ⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦, 则实数a 的取值范围是(A) ⎫⎪⎪⎭(B) ⎫⎪⎪⎭(C) ⎛⋃ ⎝⎫⎪⎪⎭ (D) ⎛- ⎝∞2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理 科 数 学第Ⅱ卷注意事项：1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2. 本卷共12小题, 共110分.二．填空题: 本大题共6小题, 每小题5分, 共30分.(9) 已知a , b ∈R , i 是虚数单位. 若(a + i )(1 + i ) = bi , 则a + bi = . (10) 6x⎛ ⎝ 的二项展开式中的常数项为 .(11) 已知圆的极坐标方程为4cos ρθ=, 圆心为C , 点P 的极坐标为4,3π⎛⎫⎪⎝⎭, 则|CP | = .(12) 在平行四边形ABCD 中, AD = 1, 60BAD ︒∠=, E 为CD 的中点. 若·1AD BE = , 则AB 的长为 .(13) 如图, △ABC 为圆的内接三角形, BD 为圆的弦, 且BD //AC . 过点A 做圆的切线与DB 的延长线交于点E , AD 与BC 交于点F . 若AB = AC ,AE = 6, BD = 5, 则线段CF 的长为 .(14) 设a + b = 2, b >0, 则当a = 时, 1||2||a a b +取得最小值.三．解答题: 本大题共6小题, 共70分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.(15) (本小题满分13分)已知函数2()26sin cos 2cos 41,f x x x x x x π⎛⎫=++- ⎪+⎝⎭∈R .(Ⅰ) 求f (x )的最小正周期;(Ⅱ) 求f (x )在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.(16) (本小题满分13分)一个盒子里装有7张卡片, 其中有红色卡片4张, 编号分别为1, 2, 3, 4; 白色卡片3张, 编号分别为2, 3, 4. 从盒子中任取4张卡片 (假设取到任何一张卡片的可能性相同).(Ⅰ) 求取出的4张卡片中, 含有编号为3的卡片的概率.(Ⅱ) 再取出的4张卡片中, 红色卡片编号的最大值设为X , 求随机变量X 的分布列和数学期望.(17) (本小题满分13分)如图, 四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中, 侧棱A 1A ⊥底面ABCD , AB //DC , AB ⊥AD , AD = CD = 1, AA 1 = AB = 2, E 为棱AA 1的中点.(Ⅰ) 证明B 1C 1⊥CE ;(Ⅱ) 求二面角B 1－CE －C 1的正弦值.(Ⅲ) 设点M 在线段C 1E 上, 且直线AM 与平面ADD 1A 1, 求线段AM 的长.(18) (本小题满分13分)设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F , , 过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截(Ⅰ) 求椭圆的方程;(Ⅱ) 设A , B 分别为椭圆的左右顶点, 过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C , D 两点. 若··8AC DB AD CB += , 求k 的值.(19) (本小题满分14分) 已知首项为32的等比数列{}n a 不是递减数列, 其前n 项和为(*)n S n ∈N , 且S 3 + a 3, S 5 + a 5, S 4 + a 4成等差数列.(Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ) 设*()1n n nT S n S ∈=-N , 求数列{}n T 的最大项的值与最小项的值.(20) (本小题满分14分)已知函数2l ()n f x x x =.(Ⅰ) 求函数f (x )的单调区间;(Ⅱ) 证明: 对任意的t >0, 存在唯一的s , 使()t f s =.(Ⅲ) 设(Ⅱ)中所确定的s 关于t 的函数为()s g t =, 证明: 当2>e t 时, 有2ln ()15ln 2g t t <<.。

2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理 科 数 学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷 非选择题 两部分 共 分 考试用时 分钟 第Ⅰ卷 至 页 第Ⅱ卷 至 页答卷前 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上 并在规定位置粘贴考试用条形码 答卷时 考生务必将答案凃写在答题卡上 答在试卷上的无效 考试结束后 将本试卷和答题卡一并交回祝各位考生考试顺利第Ⅰ卷注意事项：每小题选出答案后 用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改动 用橡皮擦干净后 再选凃其他答案标号本卷共 小题 每小题 分 共 分参考公式如果事件 互斥 那么)()()(B P A P A P B ⋃=+棱柱的体积公式 ，其中 表示棱柱的底面面积表示棱柱的高如果事件 相互独立那么)()(()B P A A P P B =球的体积公式34.3V R π= 其中 表示球的半径一．选择题 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的已知集合 ∈ ∈ 则A B⋂=(,2]-∞ － －设变量 满足约束条件360,20,30,x yyx y≥--≤+-⎧-≤⎪⎨⎪⎩则目标函数 － 的最小值为－ －阅读右边的程序框图 运行相应的程序 若输入 的值为 则输出 的值为已知下列三个命题①若一个球的半径缩小到原来的12则其体积缩小到原来的18②若两组数据的平均数相等 则它们的标准差也相等③直线 与圆221 2x y+=相切 其中真命题的序号是①②③ ①②②③ ②③已知双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的两条渐近线与抛物线22(0)px py=>的准线分别交于 两点 为坐标原点 若双曲线的离心率为 △ 的面积为3 则32在 中 ,3,4AB BC ABC π∠===则sin BAC ∠函数0.5()2|log |1x f x x =-的零点个数为已知函数()(1||)f x x a x =+ 设关于 的不等式()()f x a f x +< 的解集为 若11,22A ⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦则实数 的取值范围是⎫⎪⎪⎝⎭⎫⎪⎪⎝⎭⎛⋃ ⎝⎫⎪⎝⎭⎪⎭ ⎛- ⎝⎭∞年普通高等学校招生全国统一考试 天津卷理 科 数 学第Ⅱ卷注意事项：用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上本卷共 小题 共 分二．填空题 本大题共 小题 每小题 分 共 分已知 ∈ 是虚数单位 若 则 6x⎛- ⎝ 的二项展开式中的常数项为 已知圆的极坐标方程为4cos ρθ= 圆心为 点 的极坐标为4,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭则在平行四边形 中60BAD ︒∠= 为 的中点 若·1AD BE = 则 的长为如图 △ 为圆的内接三角形 为圆的弦且 过点 做圆的切线与 的延长线交于点与 交于点 若 则线段 的长为设 则当 时1||2||a a b+取得最小值三．解答题 本大题共 小题 共 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤本小题满分 分 已知函数2()2sin 26sin cos 2cos 41,f x x x x x x π⎛⎫=-++- ⎪+⎝⎭∈R Ⅰ 求 的最小正周期Ⅱ 求 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值本小题满分 分一个盒子里装有 张卡片 其中有红色卡片 张 编号分别为 白色卡片 张 编号分别为 从盒子中任取 张卡片 假设取到任何一张卡片的可能性相同Ⅰ 求取出的 张卡片中 含有编号为 的卡片的概率Ⅱ 再取出的 张卡片中 红色卡片编号的最大值设为 求随机变量 的分布列和数学期望本小题满分 分 如图 四棱柱 － 中 侧棱 ⊥底面 ⊥为棱 的中点Ⅰ 证明 ⊥Ⅱ 求二面角 － － 的正弦值Ⅲ 设点 在线段 上 且直线 与平面 所成角的正弦值为2 求线段 的长本小题满分 分设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为 离心率为3 过点 且与 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为43 Ⅰ 求椭圆的方程Ⅱ 设 分别为椭圆的左右顶点 过点 且斜率为 的直线与椭圆交于两点 若··8AC DB AD CB += 求 的值本小题满分 分已知首项为32的等比数列{}n a 不是递减数列 其前 项和为(*)n S n ∈N 且 成等差数列Ⅰ 求数列{}n a 的通项公式Ⅱ 设*()1n n nT S n S ∈=-N 求数列{}n T 的最大项的值与最小项的值本小题满分 分已知函数2l ()n f x x x =Ⅰ 求函数 的单调区间Ⅱ 证明 对任意的 存在唯一的 使()t f s =Ⅲ 设 Ⅱ 中所确定的 关于 的函数为()s g t = 证明 当2>e t 时 有2ln ()15ln 2g t t <<。

2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理 科 数 学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分, 共150分. 考试用时120分钟. 第Ⅰ卷1至2页, 第Ⅱ卷3至5页.答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上, 并在规定位置粘贴考试用条形码. 答卷时, 考生务必将答案凃写在答题卡上, 答在试卷上的无效. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷注意事项：1. 每小题选出答案后, 用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选凃其他答案标号.2. 本卷共8小题, 每小题5分, 共40分.参考公式:·如果事件A , B 互斥, 那么)()()(B P A P A P B ⋃=+·棱柱的体积公式V =Sh ，其中S 表示棱柱的底面面积, h 表示棱柱的高.·如果事件A , B 相互独立, 那么)()(()B P A A P P B = ·球的体积公式34.3V R π= 其中R 表示球的半径.一．选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1) 已知集合A = {x ∈R | |x |≤2}, A = {x ∈R | x ≤1}, 则A B ⋂=(A) (,2]-∞ (B) [1,2] (C) [－2,2] (D) [－2,1](2) 设变量x , y 满足约束条件360,20,30,x y y x y ≥--≤+-⎧-≤⎪⎨⎪⎩则目标函数z= y －2x 的最小值为(A) －7 (B) －4(C) 1 (D) 2(3) 阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 若输入x 的值为1, 则输出S 的值为(A) 64 (B) 73(C) 512 (D) 585(4) 已知下列三个命题: ①若一个球的半径缩小到原来的12, 则其体积缩小到原来的18; ②若两组数据的平均数相等, 则它们的标准差也相等;③直线x + y + 1 = 0与圆2212x y +=相切. 其中真命题的序号是:(A) ①②③(B) ①② (C) ②③ (D) ②③(5) 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线与抛物线22(0)px p y =>的准线分别交于A , B 两点, O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB 的面积为3, 则p =(A) 1 (B) 32 (C) 2 (D) 3(6) 在△ABC 中, ,2,3,4AB BC ABC π∠===则sin BAC ∠ = (A) 10 (B) 10 (C) 310 (D) 5 (7) 函数0.5()2|log |1x f x x =-的零点个数为(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4(8) 已知函数()(1||)f x x a x =+. 设关于x 的不等式()()f x a f x +< 的解集为A , 若11,22A ⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦, 则实数a 的取值范围是(A) 15,0⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ (B) 13,0⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭(C) 15,0130,⎛⎫+⋃⎛ ⎪ ⎪⎝⎫- ⎪ ⎝⎭⎪⎭(D) 5,1⎛⎫-- ⎪ ⎝⎭∞⎪2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理 科 数 学第Ⅱ卷注意事项：1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2. 本卷共12小题, 共110分.二．填空题: 本大题共6小题, 每小题5分, 共30分.(9) 已知a , b ∈R , i 是虚数单位. 若(a + i )(1 + i ) = bi , 则a + bi = .(10) 6x x ⎛- ⎪⎝⎭ 的二项展开式中的常数项为 . (11) 已知圆的极坐标方程为4cos ρθ=, 圆心为C , 点P 的极坐标为4,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭, 则|CP | = .(12) 在平行四边形ABCD 中, AD = 1, 60BAD ︒∠=, E 为CD 的中点.若·1AD BE =, 则AB 的长为 .(13) 如图, △ABC 为圆的内接三角形, BD 为圆的弦, 且BD //AC . 过点A 做圆的切线与DB 的延长线交于点E , AD 与BC 交于点F . 若AB =AC , AE = 6, BD = 5, 则线段CF 的长为 .(14) 设a + b = 2, b >0, 则当a = 时, 1||2||a a b+取得最小值.三．解答题: 本大题共6小题, 共70分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.(15) (本小题满分13分)已知函数2()2sin 26sin cos 2cos 41,f x x x x x x π⎛⎫=-++- ⎪+⎝⎭∈R . (Ⅰ) 求f (x )的最小正周期;(Ⅱ) 求f (x )在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.(16) (本小题满分13分)一个盒子里装有7张卡片, 其中有红色卡片4张, 编号分别为1, 2, 3, 4; 白色卡片3张, 编号分别为2, 3, 4. 从盒子中任取4张卡片 (假设取到任何一张卡片的可能性相同). (Ⅰ) 求取出的4张卡片中, 含有编号为3的卡片的概率.(Ⅱ) 再取出的4张卡片中, 红色卡片编号的最大值设为X , 求随机变量X 的分布列和数学期望.(17) (本小题满分13分)如图, 四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中, 侧棱A 1A ⊥底面ABCD ,AB //DC , AB ⊥AD , AD = CD = 1, AA 1 = AB = 2, E 为棱AA 1的中点.(Ⅰ) 证明B 1C 1⊥CE ;(Ⅱ) 求二面角B 1－CE －C 1的正弦值.(Ⅲ) 设点M 在线段C 1E 上, 且直线AM 与平面ADD 1A 1所成角的正弦值为2, 求线段AM 的长.(18) (本小题满分13分)设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F , 离心率为3, 过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为43. (Ⅰ) 求椭圆的方程;(Ⅱ) 设A , B 分别为椭圆的左右顶点, 过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C , D 两点. 若··8AC DB AD CB +=, 求k 的值.(19) (本小题满分14分)已知首项为32的等比数列{}n a 不是递减数列, 其前n 项和为(*)n S n ∈N , 且S 3 + a 3, S 5 + a 5, S 4 + a 4成等差数列.(Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ) 设*()1n n nT S n S ∈=-N , 求数列{}n T 的最大项的值与最小项的值.(20) (本小题满分14分)已知函数2l ()n f x x x =.(Ⅰ) 求函数f (x )的单调区间;(Ⅱ) 证明: 对任意的t >0, 存在唯一的s , 使()t f s =. (Ⅲ) 设(Ⅱ)中所确定的s 关于t 的函数为()s g t =, 证明: 当2>e t 时, 有2ln ()15ln 2g t t <<.（注：文档可能无法思考全面，请浏览后下载，供参考。

2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理 科 数 学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分, 共150分. 考试用时120分钟.答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上, 并在规定位置粘贴考试用条形码. 答卷时, 考生务必将答案凃写在答题卡上, 答在试卷上的无效. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利! 注意事项：1. 每小题选出答案后, 用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选凃其他答案标号.2. 本卷共8小题, 每小题5分, 共40分. 参考公式: ·如果事件A , B 互斥, 那么)()()(B P A P A P B ⋃=+ ·棱柱的体积公式V =Sh ，其中S 表示棱柱的底面面积, h 表示棱柱的高. ·如果事件A , B 相互独立, 那么)()(()B P A A P P B =·球的体积公式34.3V R π= 其中R 表示球的半径.第Ⅰ卷一、选择题1．已知集合A ＝{x ∈R ||x |≤2}，B ＝{x ∈R |x ≤1}，则A ∩B 等于( )A ．(－∞，2]B ．[1,2]C ．[－2,2]D ．[－2,1] 答案 D解析 A ＝{x ∈R ||x |≤2}＝[－2,2]，B ＝{x ∈R |x ≤1}＝(－∞，1]，∴A ∩B ＝[－2,2]∩(－∞，1]＝[－2,1]，选D.2．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －6≥0，x －y －2≤0，y －3≤0，则目标函数z ＝y －2x的最小值为( )A ．－7B ．－4C ．1D ．2答案 A解析 可行域如图阴影部分(含边界)令z ＝0，得直线l 0：y －2x ＝0，平移直线l 0知，当直线l 过A 点时，z 取得最小值． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3，x －y －2＝0得A (5,3)． ∴z 最小＝3－2×5＝－7，选A.3．阅读右边的程序框图，运行相应的程序．若输入x 的值为1，则输出S 的值为( )A ．64B ．73C ．512D ．585 答案 B解析 第1次运行：S ＝0＋13＝1<50 第2次运行：x ＝2，S ＝1＋23＝9<50 第3次运行：x ＝4，S ＝9＋43＝73>50 ∴输出S ＝73，选B.4．已知下列三个命题：①若一个球的半径缩小到原来的12，则其体积缩小到原来的18；②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等；③直线x ＋y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝12相切，其中真命题的序号是( )A ．①②③B ．①②C ．①③D ．②③ 答案 C解析 ①正确，②不正确，③正确，选C.5．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p >0)的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为3，则p 等于( )A ．1 B.32C ．2D ．3答案 C解析 e ＝2，⎝⎛⎭⎫c a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝4，∴b a ＝3，双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ， ∴|AB |＝2·p2tan 60°又S △AOB ＝3，即12·p 2·2·p 2tan 60°＝3，∴p 24＝1，∴p ＝2，选C.6．在△ABC 中，∠ABC ＝π4，AB ＝2，BC ＝3，则sin ∠BAC 等于( )A.1010B.105C.31010D.55答案 C解析 在△ABC 中，由余弦定理AC 2＝BA 2＋BC 2－2BA ·BC cos ∠ABC ＝(2)2＋32－2×2×3cos π4＝5.∴AC ＝5，由正弦定理BC sin ∠BAC ＝ACsin ∠ABC得sin ∠BAC ＝BC ·sin ∠ABCAC ＝3×sin π45＝3×225＝31010，选C.7．函数f (x )＝2x |log 0.5 x |－1的零点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 B解析 当0<x <1时，f (x )＝2x log 0.5x －1，令f (x )＝0，则log 0.5x ＝⎝⎛⎭⎫12x由y ＝log 0.5x ，y ＝⎝⎛⎭⎫12x的图象知，在(0,1)内有一个交点，即f (x )在(0,1)上有一个零点． 当x >1时，f (x )＝－2x log 0.5x －1＝2x log 2x －1，令f (x )＝0得log 2x ＝⎝⎛⎭⎫12x，由y ＝log 2x ，y ＝⎝⎛⎭⎫12x 的图象知在(1，＋∞)上有一个交点，即f (x )在(1，＋∞)上有一个零点，故选B.8．已知函数f (x )＝x (1＋a |x |)．设关于x 的不等式f (x ＋a )<f (x )的解集为A .若⎣⎡⎦⎤－12，12⊆A ，则实数a 的取值范围是( )A .⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52，0 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1－32，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1＋32 D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，1－52 答案 A解析 f (x )＝x (1＋a |x |)，f (x ＋a )＝(x ＋a )(1＋a |x ＋a |)， 由f (x ＋a )<f (x )得，x ＋a ＋a (x ＋a )|x ＋a |<x ＋ax |x |， 而a ＋a (x ＋a )|x ＋a |<ax |x |， (1)当a ＝0时，不合题意．(2)当a >0时有1＋(x ＋a )|x ＋a |<x |x |由于当x ＝0时1＋|a |<0无解，故a <0，去掉C. (3)当a <0时，1＋(x ＋a )|x ＋a |>x |x |取a ＝－12，则1＋⎝⎛⎭⎫x －12⎪⎪⎪⎪x －12>x |x |* ①当x ≤0时，由*得－34<x ≤0②当0<x ≤12时，由☆得0<x ≤2＋279>12此时⎣⎡⎦⎤－12，12⊆A 符合题意，由于－12∉⎝ ⎛⎭⎪⎫1－32，0， －12∉⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1－52去掉B 、D ，故选A.第Ⅱ卷二、填空题9．已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若(a ＋i)(1＋i)＝b i ，则a ＋b i ＝________. 答案 1＋2i解析 由(a ＋i)(1＋i)＝b i 得a －1＋(a ＋1)i ＝b i ， ⎩⎪⎨⎪⎧ a －1＝0，a ＋1＝b ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2. ∴a ＋b i ＝1＋2i.10.⎝⎛⎭⎫x －1x 6的二项展开式中的常数项为________． 答案 15解析 T r ＋1＝C r 6x 6－r(－x －12)r ＝(－1)r C r 6x 6－3r 2(r ＝0,1，…，6)， 由题意得6－3r2＝0，∴r ＝4.故常数项为T 4＋1＝C 46(－1)4＝C 26＝6×52×1＝15.11．已知圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，圆心为C ，点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫4，π3，则|CP |＝________. 答案 2 3解析 由ρ＝4cos θ得：ρ2＝4ρcos θ而x 2＋y 2＝4x ，∴(x －2)2＋y 2＝4，圆心C (2,0)，点P ⎝⎛⎭⎫4，π3的直角坐标为P (2,23)． ∴|CP |＝2 3.12．在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →·BE →＝1，则AB 的长为________．答案 12解析 在平行四边形ABCD 中，取AB 的中点F ，则BE →＝FD →， ∴BE →＝FD →＝AD →－12AB →，又AC →＝AD →＋AB →，∴AC →·BE →＝(AD →＋AB →)·(AD →－12AB →)＝AD →2－12AD →·AB →＋AD →·AB →－12AB →2＝|AD →|2＋12|AD →||AB →|cos 60°－12|AB →|2＝1＋12×12|AB →|－12|AB →|2＝1.∴⎝⎛⎭⎫12－|AB →||AB →|＝0，又|AB →|≠0，∴|AB →|＝12.13．如图，△ABC 为圆的内接三角形，BD 为圆的弦，且BD ∥AC .过点A 作圆的切线与DB 的延长线交于点E ，AD 与BC 交于点F .若AB ＝AC ，AE ＝6，BD ＝5，则线段CF 的长为________．答案 83解析 设EB ＝x ，则ED ＝x ＋5，由切割线定理知x (x ＋5)＝62，∴x ＝4.∵AC ∥ED ，∴AB ＝CD ，又AB ＝AC .∴∠2＝∠3＝∠4＝∠5，又∠1＝∠3，∠3＝∠6. ∴∠1＝∠6，∴AE ∥BC ，即EBCA 为平行四边形． ∴AC ＝EB ＝4，BC ＝6，由△AFC ∽△BFD . ∴AC BD ＝CF 6－CF . 即45＝CF 6－CF ，∴CF ＝83.14．设a ＋b ＝2，b >0，则当a ＝________时，12|a |＋|a |b取得最小值．答案 －2解析 ∵a ＋b ＝2，b >0，显然b ≠2(∵a ≠0)， ∴a ＝2－b .①当0<b <2时，a ＝2－b >0，f (b )＝12|a |＋|a |b ＝12(2－b )＋2－b b ＝12(2－b )＋2b－1，f ′(b )＝12(2－b )2－2b2， 令f ′(b )＝0得b ＝43.当b ∈⎝⎛⎭⎫0，43时f ′(b )<0， 当b ∈⎝⎛⎭⎫43，2时f ′(b )>0.故当b ＝43，f (b )最小＝54.②当b >2时，a ＝2－b <0，f (b )＝12(b －2)＋b －2b ＝12(b －2)－2b ＋1，f ′(b )＝－12(b －2)2＋2b2， 令f ′(b )＝0得b ＝4.当2<b <4时，f ′(b )<0， 当b >4时，f ′(b )>0.故当b ＝4时，f (b )最小＝34，此时a ＝2－b ＝－2.三、解答题15．已知函数f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋6sin x cos x －2cos 2 x ＋1，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值． 解 (1)f (x )＝－2sin 2x ·cos π4－2cos 2x ·sin π4＋3sin 2x －cos 2x＝2sin 2x －2cos 2x ＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4. 所以，f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)因为f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，3π8上是增函数，在区间⎣⎡⎦⎤3π8，π2上是减函数．又f (0)＝－2，f ⎝⎛⎭⎫3π8＝22， f ⎝⎛⎭⎫π2＝2，故函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值为22，最小值为－2.16．一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1,2,3,4；白色卡片3张，编号分别为2,3,4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同)． (1)求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率；(2)在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望． 解 (1)设“取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片”为事件A ，则P (A )＝C 12C 35＋C 22C 25C 47＝67. 所以，取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率为67.(2)随机变量X 的所有可能取值为1,2,3,4.P (X ＝1)＝C 33C 47＝135，P (X ＝2)＝C 34C 47＝435，P (X ＝3)＝C 35C 47＝27，P (X ＝4)＝C 36C 47＝47.所以随机变量X 的分布列是随机变量X 的数学期望EX ＝1×135＋2×435＋3×27＋4×47＝175.17．如图，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，侧棱A 1A ⊥底面ABCD ，AB ∥DC ，AB ⊥AD ，AD ＝CD ＝1，AA 1＝AB ＝2，E 为棱AA 1的中点． (1)证明B 1C 1⊥CE ；(2)求二面角B 1－CE －C 1的正弦值；(3)设点M 在线段C 1E 上，且直线AM 与平面ADD 1A 1所成角的正弦值为26，求线段AM 的长．如图，以点A 为原点建立空间直角坐标系，依题意得A (0,0,0)，B (0,0,2)，C (1,0,1)，B 1(0,2,2)，C 1(1,2,1)，E (0,1,0)．方法一 (1)证明 易得B 1C 1→＝(1,0，－1)，CE →＝(－1,1，－1)，于是B 1C 1→·CE →＝0，所以B 1C 1⊥CE .(2)解 B 1C →＝(1，－2，－1)．设平面B 1CE 的法向量m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·B 1C →＝0，m ·CE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －z ＝0，－x ＋y －z ＝0.消去x ，得y ＋2z ＝0，不妨令z＝1，可得一个法向量为m ＝(－3，－2,1)．由(1)，B 1C 1⊥CE ，又CC 1⊥B 1C 1，可得B 1C 1⊥平面CEC 1，故B 1C 1→＝(1,0，－1)为平面CEC 1的一个法向量．于是cos 〈m ，B 1C 1→〉＝m ·B 1C 1→|m |·|B 1C 1→|＝－414×2＝－277，从而sin 〈m ，B 1C 1→〉＝217，所以二面角B 1－CE －C 1的正弦值为217.(3)解 AE →＝(0,1,0)，EC 1→＝(1,1,1)，设EM →＝λEC 1→＝(λ，λ，λ)，0≤λ≤1，有AM →＝AE →＋EM →＝(λ，λ＋1，λ)．可取AB →＝(0,0,2)为平面ADD 1A 1的一个法向量．设θ为直线AM 与平面ADD 1A 1所成的角，则sin θ＝|cos 〈AM →，AB →〉|＝|AM →·AB →||AM →|·|AB →|＝2λλ2＋(λ＋1)2＋λ2×2＝λ3λ2＋2λ＋1，于是λ3λ2＋2λ＋1＝26，解得λ＝13，所以AM ＝ 2.方法二 (1)证明 因为侧棱CC 1⊥底面A 1B 1C 1D 1，B 1C 1⊂平面A 1B 1C 1D 1，所以CC 1⊥B 1C 1.经计算可得B 1E ＝5，B 1C 1＝2，EC 1＝3，从而B 1E 2＝B 1C 21＋EC 21，所以在△B 1EC 1中，B 1C 1⊥C 1E ，又CC 1，C 1E ⊂平面CC 1E ，CC 1∩C 1E ＝C 1，所以B 1C 1⊥平面CC 1E ，又CE ⊂平面CC 1E ，故B 1C 1⊥CE .(2)解 过B 1作B 1G ⊥CE 于点G ，连接C 1G .由(1)，B 1C 1⊥CE ，故CE ⊥平面B 1C 1G ，得CE ⊥C 1G ，所以∠B 1GC 1为二面角B 1－CE －C 1的平面角．在△CC 1E 中，由CE ＝C 1E ＝3，CC 1＝2，可得C 1G ＝263.在Rt △B 1C 1G 中，B 1G ＝423，所以sin ∠B 1GC 1＝217，即二面角B 1－CE －C 1的正弦值为217.(3)解 连接D 1E ，过点M 作MH ⊥ED 1于点H ，可得MH ⊥平面ADD 1A 1，连接AH ，AM ，则∠MAH 为直线AM与平面ADD1A 1所成的角．设AM ＝x ，从而在Rt △AHM 中，有MH ＝26x ，AH ＝346x .在Rt △C 1D 1E 中，C 1D 1＝1，ED 1＝2，得EH ＝2MH ＝13x .在△AEH 中，∠AEH ＝135°，AE ＝1，由AH 2＝AE 2＋EH 2－2AE ·EH cos 135°，得1718x 2＝1＋19x 2＋23x ，整理得5x 2－22x －6＝0，解得x ＝ 2.所以线段AM 的长为 2.18．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，离心率为33，过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为433.(1)求椭圆的方程；(2)设A ，B 分别为椭圆的左、右顶点，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C ，D 两点．若AC →·DB →＋AD →·CB →＝8，求k 的值．解 (1)设F (－c,0)，由c a ＝33，知a ＝3c .过点F 且与x 轴垂直的直线为x ＝－c ，代入椭圆方程有(－c )2a2＋y 2b 2＝1，解得y ＝±6b 3，于是26b 3＝433，解得b ＝2，又a 2－c 2＝b 2，从而a ＝3，c ＝1，所以椭圆的方程为x 23＋y22＝1.(2)设点C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由F (－1,0)得直线CD 的方程为y ＝k (x ＋1)，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x 23＋y22＝1消去y ，整理得(2＋3k 2)x 2＋6k 2x ＋3k 2－6＝0.求解可得x 1＋x 2＝－6k 22＋3k 2，x 1x 2＝3k 2－62＋3k 2.因为A (－3，0)，B (3，0)，所以 AC →·DB →＋AD →·CB →＝(x 1＋3，y 1)·(3－x 2，－y 2)＋(x 2＋3，y 2)·(3－x 1，－y 1)＝6－2x 1x 2－2y 1y 2＝6－2x 1x 2－2k 2(x 1＋1)(x 2＋1) ＝6－(2＋2k 2)x 1x 2－2k 2(x 1＋x 2)－2k 2＝6＋2k 2＋122＋3k 2.由已知得6＋2k 2＋122＋3k 2＝8，解得k ＝±2.19．已知首项为32的等比数列{a n }不是．．递减数列，其前n 项和为S n (n ∈N *)，且S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设T n ＝S n －1S n(n ∈N *)，求数列{T n }的最大项的值与最小项的值．解 (1)设等比数列{a n }的公比为q ，因为S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列，所以S 5＋a 5－S 3－a 3＝S 4＋a 4－S 5－a 5，即4a 5＝a 3，于是q 2＝a 5a 3＝14.又{a n }不是递减数列且a 1＝32，所以q ＝－12.故等比数列{a n }的通项公式为a n ＝32×⎝⎛⎭⎫－12n －1＝(－1)n －1·32n .(2)由(1)得S n ＝1－⎝⎛⎭⎫－12n ＝⎩⎨⎧1＋12n ，n 为奇数，1－12n ，n 为偶数.当n 为奇数时，S n 随n 的增大而减小，所以1<S n ≤S 1＝32，故0<S n －1S n ≤S 1－1S 1＝32－23＝56.当n 为偶数时，S n 随n 的增大而增大，所以34＝S 2≤S n <1，故0>S n －1S n ≥S 2－1S 2＝34－43＝－712.综上，对于n ∈N *，总有－712≤S n －1S n ≤56.所以数列{T n }最大项的值为56，最小项的值为－712.20．已知函数f (x )＝x 2ln x . (1)求函数f (x )的单调区间；(2)证明：对任意的t >0，存在唯一的s ，使t ＝f (s )；(3)设(2)中所确定的s 关于t 的函数为s ＝g (t )，证明：当t >e 2时，有25<ln g (t )ln t <12.(1)解 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝2x ln x ＋x ＝x (2ln x ＋1)，令f ′(x )＝0，得x ＝1e.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以函数f (x )的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫0，1e ，单调递增区间是⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞.(2)证明 当0<x ≤1时，f (x )≤0，设t >0，令h (x )＝f (x )－t ，x ∈[1，＋∞)，由(1)知，h (x )在区间(1，＋∞)内单调递增，h (1)＝－t <0，h (e t )＝e 2t ln e t －t ＝t (e 2t －1)>0.故存在唯一的s ∈(1，＋∞)，使得t ＝f (s )成立． (3)证明 因为s ＝g (t )，由(2)知，t ＝f (s )，且s >1，从而 ln g (t )ln t ＝ln s ln f (s )＝ln s ln (s 2ln s )＝ln s 2ln s ＋ln ln s ＝u2u ＋ln u， 其中u ＝ln s ．要使25<ln g (t )ln t <12成立，只需0<ln u <u2，当t >e 2时，若s ＝g (t )≤e ，则由f (s )的单调性，有t ＝f (s )≤f (e)＝e 2，矛盾．所以s >e ，即u >1，从而ln u >0成立．另一方面，令F (u )＝ln u －u 2，u >1.F ′(u )＝1u －12，令F ′(u )＝0，得u ＝2.当1<u <2时，F ′(u )>0；当u >2时，F ′(u )<0.故对u >1，F (u )≤F (2)<0，因此ln u <u2成立．综上，当t >e 2时，有25<ln g (t )ln t <12.。

天津一中2012—2013学年高三 数学一月考试卷(理科) 一、选择题:(共40分,每小题5分,每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求） 1.有关下列命题的说法正确的是 A.命题“若x2=1,则x=1”的否命题为:若“x2=1则x≠1” B.“x=-1”是“x2-5x-6=0”的必要不充分条件 C.命题“x∈R,使得x2+x+1<0”的否定是:“x∈R,均有x2+x+1f(-3)>f(-2)B.f(π)>f(-2)>f(-3) C.f(π)<f(-3)<f(-2)D.f(π)<f(-2)<f(-3) 3.函数f(x)=sin2x-4sin3xcosx(x∈R)的最小正周期为A.π/8B.π/4C.π/2D.π 4.设函数π/3)|(x∈R),则A.在区间π,-π/2]上是减函数B.在区间π/3,7π/6]上是增函数 C在区间π/8,π/4]上是增函数D.在区间π/3,5π/6]上是减函数A.x<y<z B.z<x<y C.z<y<xD.y<x0,则函数g(x)=f(x)+x-1的零点的个数为A.1B.2C.0D.0或2 二、填空题:(共30分,每小题5分) 9.函数f(x)=ax+的值域为_________. 10.已知sinxcosx=3/8,且x∈(π/4,π/2),则cocx-sinx=_________. 11.曲线xy=1与直线y=x和y=3所围成的平面图形的面积为_________. 12.函数f(x)=sin(2x-π/3)(x∈R)的图象为C,以下结论中: ①图象C关于直线x=11π/12对称; ②图象C关于点(2π/3,0)对称; ③函数f(x)在区间(-π/12,5π/12)内是增函数; ④由y=3sin2x的图象向右平移π/3个单位长度可以得到图象C. 则正确的是 .(写出所有正确结论的编号) 13.点P(x,y)在曲线(θ为参数,θ∈R)上,则y/x的取值范围是 . 14.如图过⊙0外一点P分别作圆的切线和割线交圆于A,B,且PB=7,C是圆上一点使得BC=5,∠BAC=∠APB,则AB=. 三.解答题: 15.甲,乙二人进行一次围棋比赛,约定先胜3局者获得这次比赛的胜利,假设在一局中,甲获胜的概率为0.6,乙获胜的概率为0.4,各局比赛结果相互独立,已知前2局中,甲,乙各胜1局. (1)求甲获得这次比赛胜利的概率; (2)设ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数,求ξ的分布列及数学期望. 16.设命题p:函数f(x)=lg(ax2-4x+a)的定义域为R;命题q:不等式2x2+x>2+ax,对x∈(-∞,-1)上恒成立,如果命题“p∨q”为真命题,命题“p∧q”为假命题,求实数a的取值范围. 17.已知A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),且|AB|=2, (1)求cos(α-β)的值; (2)设α∈(0,π/2),β∈(-π/2,0),且cos(5π/2-β)=-5/13,求sinα的值. 18.已知函数f(x)=2cosxsin(x+π/3)-sin2x+snxcosx (1)求函数f(x)的单调递减区间; (2)将函数f(x)的图象沿水平方向平移m个单位后的图象关于直线x=π/2对称,求m 的最小正值. 19.已知函数f(x)=(x2+ax-2a2+3a)ex(x∈R),其中A∈R. (1)当a=0时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率; (2)当a≠2/3时,求函数f(x)的单调区间与极值. 20.已知函数,且在处取得极值求的值 (2)若对0≤x≤3, 不等式g(x)≤|m-1|成立,求m的取值范围; (3)已知ABC的三个顶点AB,C都在函数的图像上且横坐标依次成等差数列ABC是钝角三角形是等腰三角形 天津一中2012—2013学年高三数学一月考试卷(理科答案) 一、选择题 1-4 DACB5-8 DADC 二、填空题 9. (,+∞) 10. -0.5 11. 4-ln3 12. ①②③ 13.[-, ] 14. 三、解答题 15. 解:(1)若甲胜,那么以后的情况有两种.一是后两局甲全胜,一是后三局甲胜两局.甲全胜的概率是0.6*0.6=0.36.后三局甲胜两局有二种情况,则概率是2*0.6*0.6*0.4=0.288. 所以甲获胜的概率是0.36+0.288=0.648. (2)设进行的局数为ξ,则ξ的可取值为2,3, p(ξ=2)=0.6*0.6+0.4*0.4=0.52, p(ξ=3)=2*0.6*0.6*0.4+2*0.4*0.4*0.6=0.48. Eξ=2*0.52+3*0.48=2.48 16. 解:p:?0,故a>2; q:a>2x-2/x+1,对x∈(-∞,-1),上恒成立,增函数(2x-2/x+1)<1此时x=-1,故a≥1 “p∨q”为真命题,命题“p∧q”为假命题,等价于p,q一真一假.故1≤a≤2 17. 解:(1)由题知,所以 (2) ，又. 而则 18.解 （1） （2） 19. （1）解: （2） 以下分两种情况讨论。

2013年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷)理科数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷（非选择题)两部分, 共150分。

考试用时120分钟. 第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。

答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。

答卷时, 考生务必将答案凃写在答题卡上，答在试卷上的无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选凃其他答案标号。

2.本卷共8小题，每小题5分，共40分.参考公式:·如果事件A，B互斥，那么·棱柱的体积公式V=Sh,其中S表示棱柱的底面面积，h表示棱柱的高.·如果事件A, B相互独立, 那么·球的体积公式其中R表示球的半径。

一．选择题：在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

（1) 已知集合A = {x∈R| |x|≤2｝，A = {x∈R｜x≤1}，则(A) (B) ［1，2] （C）[－2，2］（D) [－2,1](2) 设变量x，y满足约束条件则目标函数z = y－2x的最小值为（A) －7 (B）－4（C）1 （D）2（3）阅读右边的程序框图, 运行相应的程序，若输入x的值为1，则输出S的值为（A) 64 （B) 73（C) 512 （D）585（4）已知下列三个命题：①若一个球的半径缩小到原来的，则其体积缩小到原来的；②若两组数据的平均数相等, 则它们的标准差也相等；③直线x + y + 1 = 0与圆相切。

其中真命题的序号是：（A）①②③（B）①②（C)②③（D）②③（5）已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点. 若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，则p =（A）1 (B）（C）2 （D）3（6）在△ABC中，则=（A) （B）（C）（D)(7）函数的零点个数为(A）1 (B）2 （C）3 （D）4(8）已知函数。