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最速下降算法

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重庆科技学院学生实验报告

课程名称 最优化方法 实验项目名称 最速下降法解多维无约束极值问题

开课学院及实验室 数理学院 I217 实验日期 2014.10.22

学生姓名 杜晗 学号 2012444087 专业班级 应数普12-2

指导教师 陈照辉 实验成绩

一、实验目的和要求

目的.熟悉最速下降算法的思想和步骤；

要求.掌握最速下降法求解多维无约束极值问题。

二、实验内容和原理

内容：对所给多维无约束极值问题用matlab编程进行求解；

原理：负梯度的方向使目标函数f(x)下降最快。它是无约束极值的最早数值方法。

三、主要仪器设备

操作系统为Windows 2000及以上的电脑，并装有matlab，1stopt软件。

四、实验操作方法和步骤

根据最速下降法的步骤，设计运算程序，并用该程序求解多维函数极值。

五、实验记录与处理（数据、图表、计算等）

1.以Tx)0,0(0为初始点进行计算

[R,n]=steel(0,0,0.00001)

R =2.0000 0.0000

n = 2

2.以Tx)1,0(0为初始点进行计算

[R,n]=steel(0,1,0.00001)

R = 2.0000 0.0000

n =12 R为取极值条件，n为迭代次数

六、实验结果及分析

x1=2 x2=0

max f(x) =0

不同的初始点，得到最终结果的迭代次数不相同；

程序运算结果与手算结果相同，结果正确，即极大值为0。

附页 源代码（M文件）：

function [R,n]=steel(x0,y0,eps)

syms x;

syms y;

f=(x-2)^2+2*y^2;%目标函数

v=[x,y];

j=jacobian(f,v); %梯度

T=[subs(j(1),x,x0),subs(j(2),y,y0)]; %梯度在初始点处的取值

temp=sqrt((T(1))^2+(T(2))^2); %长度

x1=x0;y1=y0;

n=0;

syms kk;

while (temp>eps) %迭代

d=-T; %负梯度方向

f1=x1+kk*d(1);f2=y1+kk*d(2);

fT=[subs(j(1),x,f1),subs(j(2),y,f2)];

fun=sqrt((fT(1))^2+(fT(2))^2);

Mini=minHJ(fun,0,1,0.00001); %用到上次实验中的黄金分割法求最优步长

x0=x1+Mini*d(1);y0=y1+Mini*d(2);

T=[subs(j(1),x,x0),subs(j(2),y,y0)];

temp=sqrt((T(1))^2+(T(2))^2);

x1=x0;y1=y0;

n=n+1;

end

R=[x0,y0]

function [x,minf] = minHJ (f,a,b,eps)

% f为目标函数

%[a,b]为区间

%eps为精度

l = a + 0.382*(b-a); %分割点

u = a + 0.618*(b-a); %分割点

k=1;

tol = b-a; %区间长度

while tol>eps && k<100000 %停止准则

fl = subs (f , findsym (f), l); % findsym (f) 给出f所有变量 fu = subs (f , findsym (f), u); % subs是一个符号函数，返回一个符号变量

if fl > fu

a = l;

l = u;

u = a + 0.618*(b - a);

else

b = u;

u = l;

l = a + 0.382*(b-a);

end

k = k+1;

tol = abs (b - a);

end

if k == 100000

disp ('找不到最小值！');

x = NaN;

minf = NaN;

return;

end

x = (a+b)/2;

minf = subs (f, findsym (f),x);

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用最速下降法求解无约束非线性规划问题

用最速下降法求解无约束非线性规划问题

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1文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持. 运

筹

学

实

习

报

告

姓 名： xxxxxxxxxx

学 号： xxxxxxxxxxx

专业班级： xxxxxxxxxxxx

2 0 1 3年 7 月 0 4 日文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.

1文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持. 题目：用最速下降法求解无约束非线性规划问题

摘要：

无约束最优化问题的求解方法分为解析法和直接法两大类。解析法需要计算函数的梯度，其中最速下降法就属于解析法中的一种。对于一个无约束非线性规划利用最速下降法求解，首先需要确定其优化方向，此优化方向应该选择为f在当前点处的负梯度方向，利用一维搜索法找出沿此方向上的最小值及其对应点，此后将该点作为新的出发点重复上述过程，直到达到允许的误差为止。本文通过理论的计算方法，进一步分析，最后用c++编程实现求出允许误差内的最优解。此编程可用于计算符合下列形式的函数求最优解过程：

f(x)=a[0]x1*x1+a[1]x2*x2+a[2]x1*x2+a[3]x1+a[4]x2+a[5]其中：a[i] (i=0,1,2,3,4,5) 为函数的系数。

本文以“ 李占利 主编，中国矿业大学出版社出版”的《最优化理论与方法》 第五章 “无约束最优化方法，5.1 最速下降法 ”例5—1为实例，首先利用上述迭代的方法，计算出各迭代点的函数值，梯度及其模。然后应用c++语言编程，得到在精度范围内的精确最优解。

C++编程计算的最优解为 : Txx]0329218.0,00823045.0[)3(*。

即转化为分数结果为：412432)3(*xx 。

满足精度要求的模为：1010736154.0||||)3(p。

共轭梯度法与牛顿法和最速下降法的异同点

共轭梯度法与牛顿法和最速下降法的异同点

共轭梯度法与牛顿法和最速下降法都是优化算法中常见的方法，它们各有特点。下面我将对这三种方法的异同点进行深入探讨。

1. 共轭梯度法

共轭梯度法是一种迭代法，用于求解对称正定线性方程组以及最小化二次函数的问题。它的特点在于每一步都是沿着一个共轭方向进行搜索，这使得它在相同迭代次数下相较于最速下降法更快地收敛。与最速下降法相比，它的收敛速度更快。

2. 牛顿法

牛顿法是一种较为常见的优化算法，它利用了函数的二阶导数信息来寻找极小值点。它的优点在于可以快速收敛并且通常具有二次收敛性，但其缺点在于需要计算二阶导数信息，在高维情况下计算量大且计算复杂。

3. 最速下降法

最速下降法是一种基本的优化方法，它是一种梯度下降法的特例，每一步沿着负梯度方向进行搜索。它的优点在于实现简单并且易于理解，但相较于共轭梯度法和牛顿法，最速下降法的收敛速度通常较慢。

从以上对三种方法的描述可以看出，共轭梯度法、牛顿法和最速下降法在优化问题中各有优缺点。共轭梯度法具有较快的收敛速度和不需要存储二阶导数信息的优点，但其对于非二次函数问题的适应性较差；牛顿法收敛速度快，但需要计算二阶导数信息，计算量大且复杂；最速下降法实现简单，但收敛速度相对较慢。

对于不同的优化问题，我们需要根据具体情况选择合适的算法。在实际应用中，需要综合考虑问题的特点以及算法的优缺点，来选取最适合的优化算法。

这篇文章通过对共轭梯度法、牛顿法和最速下降法的分析，使我更深入地理解了这些优化算法的特点和应用范围。我认为，在实际应用中，应该根据具体问题的特点来选择合适的算法，综合考虑收敛速度、计算复杂度以及存储需求等因素，以达到最优的优化效果。

希望这篇文章能够帮助你更全面、深刻和灵活地理解共轭梯度法、牛顿法和最速下降法。优化算法是在计算机科学和数学领域中非常重要的研究方向。在实际应用中，我们常常会面临需要最小化或最大化一个函数的问题，比如在机器学习、数据分析、工程优化等领域。而共轭梯度法、牛顿法和最速下降法作为常见的优化算法，为我们解决这类问题提供了有效的工具。

最速下降算法的改进研究

最速下降算法的改进研究

２０１０年第４期　广东技术师范学院学报（自然科学）　

Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｇｕａｎｇｄｏｎｇ　Ｐｏｌｙｔｅｃｈｎｉｃ　Ｎｏｒｍａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　Ｎｏ．４，２０１０　

最速下降算法的改进研究　

黎明　肖政宏　

（广东技术师范学院，广东广州５１０６３１）　

摘要：最速下降算法在最优化理论中一个重要的算法，最速下降算法更是共轭梯度算法中不可或缺的重要　组成部分，所以研究最速下降算法的改进，对改进共轭梯度算法，以至与之相关的一些最优化算法，都有一定的研　究价值．本文主要针对最速下降算法的一些不足之处，进行改进．理论证明，该改进方法确实能抑制最速下降算法　的”锯齿现象”。并大大提升了原算法的收敛速度．　关键词：最优化理论；一维线性搜索；改进的最速下降算法；共轭梯度算法　

中图分类号：０　２２４　文献标识码：Ａ　文章编号：１６７２—４０２Ｘ（２０１０）・０４—００ｏ５—０４　

０引言　

最优化理论作为运筹学中的一个重要理论方　

法，在工业生产，金融经济活动，工商管理，国防建设，　

计算机应用中，都有着重要的应用．最优化理论通过　

给出生产活动中的各类实际问题的数学模型，通过　

最优化方法，寻求该问题的最优解或满意解．　

最速下降算法是最优化理论中常见的一个重要　

算法．　

最速下降算法的基本思想为沿目标函数值下降　

得最快的方向搜索目标函数的极小点．　

由函数　）在点　处沿方向ｄ的变化率Ｖｆ（ｘ）Ｔｄ　

可知，求目标函数的最速下降方向，实际上归结为求　

解线性规划问题：　

ｍｉｎ　Ｖｆ（ｘ）Ｔｄ　

ｓ．ｔ　Ｉｌｄｌｌ≤１．　

根据Ｓｃｈｗａｒｔｚ不等式，有：　

Ｉ　Ｖｆ（ｘ）Ｔｄ　Ｉ≤ｌｌ　Ｖｆ（ｘ）ｌｌ・Ｉｌｄｌｌ≤Ｉｌ　Ｖｆ（ｘ）ｌ１．　

再根据上面的式子，可以得到：　

ｆ（ｘ）　≥＿Ｉ　Ｖｆ（ｘ）ｌ　Ｊ，当ｄ＝一　黼，等号　

成立。　

这说明函数．　）的最速下降方向为函数的负梯　

度方向．　

根据以上原理，可以得到最速下降算法的算法　步骤：　

给定一初始点　（　允许误差￡＞０，置ｋ＝ｌ　

最速下降法matlab代码

最速下降法matlab代码

最速下降法matlab代码

最速下降法（Steepest Descent Method）是一种用于数值优化问题的迭代算法。下面是一个简单的最速下降法的 MATLAB 代码示例：

1.定义目标函数

function f = objective(x)

f = x(1)^2 + 4*x(2)^2 - 4*x(1) - 8*x(2); % 示例目标函数，可根据实际问题进行修改

end

2.定义目标函数的梯度

function g = gradient(x)

g = [2*x(1) - 4; 8*x(2) - 8]; % 示例目标函数的梯度，可根据实际问题进行修改

end

3.最速下降法function steepestDescent()

x = [0; 0]; % 初始点

epsilon = 1e-6; % 收敛准则，可根据实际问题调整 maxIterations = 1000; % 最大迭代次数，可根据实际问题调整

for k = 1:maxIterations

g = gradient(x); % 计算梯度

if norm(g) < epsilon % 判断梯度范数是否小于收敛准则

break;

end

alpha = 0.01; % 步长，可根据实际问题调整

x = x - alpha * g; % 更新参数

end

disp('Optimization Results:');

disp('---------------------');

disp(['Iterations: ', num2str(k)]);

disp(['Minimum point: (', num2str(x(1)), ', ', num2str(x(2)), ')']);