(人教B版)必修一名师精品：2.1.1.2《映射与函数》教案设计(含答案)

示范教案

2.1.1.2 映射与函数

整体设计

教学分析

课本将映射作为函数的一种推广，这与传统的处理方式有了逻辑顺序上的变化．这样处理，主要是想较好地衔接初中的学习，让学生将更多的精力集中理解函数的概念，同时，也体现了从特殊到一般的思维过程．

三维目标

1．了解映射的概念及表示方法，会利用映射的概念来判断“对应关系”是否是映射．

2．感受对应关系在刻画函数和映射概念中的作用，提高对数学高度抽象性和广泛应用性的认识．

重点难点

教学重点：映射的概念，映射与函数关系．

教学难点：理解映射的概念．

课时安排

1课时

教学过程

导入新课

思路1.复习初中常见的对应关系．

1．对于任何一个实数a，数轴上都有唯一的点P和它对应．

2．对于坐标平面内任何一个点A，都有唯一的有序实数对(x，y)和它对应．

3．对于任意一个三角形，都有唯一确定的面积和它对应．

4．某影院的某场电影的每一张电影票有唯一确定的坐位与它对应．

5．函数的概念．

我们已经知道，函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，这种对应就叫映射(板书课题)．

思路2.前面学习了函数的概念是：一般地，设A，B是两个非空数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的每个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应．

(1)对于任意一个实数，在数轴上都有唯一的点与之对应．

(2)班级里的每一位同学在教室内都有唯一的坐位与之对应．

(3)对于任意的三角形，都有唯一确定的面积与之对应．

那么这些对应又有什么特点呢？

这种对应称为映射．引出课题．

推进新课

新知探究

提出问题

①给出以下对应关系：

这三个对应关系有什么共同特点？

②阅读教材例4、例5、例6，请给出映射的定义． ③“有一个且仅有一个”是什么意思？

④函数与映射有什么关系？

⑤图中第1个映射与其他映射有何特点？

讨论结果：①集合A、B均为非空集合，并且集合A中的元素在集合B中都有唯一的元素与之对应．

②一般地，设A，B是两个非空的集合，如果按照某种对应法则f，对A中的任意一个元素x，在B中有一个且仅有一个元素y与x对应，则称f是集合A到集合B的映射．

这时，称y是x在映射f的作用下的象，记作f(x)．于是y＝f(x)，x称作y的原象．映射f也可记为：f：A→B，x→f(x)．其中A叫做映射f的定义域，由所有象f(x)构成的集合叫做映射f的值域，通常记作f(A)．

③包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思，即是一对一或多对一．

④函数是特殊的映射，映射是函数的推广．

⑤B中任一元素在A中有唯一的原象，这种映射称为一一映射．

应用示例

思路1

例1在图(1)(2)(3)(4)中，用箭头所标明的A中元素与B中元素的对应法则，试判断由A到B是不是映射？是不是函数关系？

解：在图(1)中，集合A中任一个数，通过“开平方”运算，在B中有两个数与之对应，这种对应法则不符合上述的映射定义，所以这种由A到B的对应关系不是映射，当然也不是函数关系．

在图(2)中，元素6在B中没有象，所以这种由A到B的对应关系不是映射，当然也不是函数关系．

在图(3)中，对A中任一个数，通过“2倍”的运算，在B中有且只有一个数与之对应，所以这种由A到B的对应法则是数集到数集的映射，并且是一一映射．这两个数集之间的对应关系是函数关系．

在图(4)中的平方运算法则，同样是映射，因为对A中每一个数，通过平方运算，在B中都有唯一的一个数与之对应，但不是一一映射．数集A到B之间的对应关系是函数关系．

点评：从集合A到集合B的映射，允许多个元素对应一个元素，而不允许一个元素对应多个元素.

变式训练

1．图(1)，(2)，(3)，(4)用箭头所标明的A中元素与B中元素的对应法则，是不是映射？

答案：(1)不是；(2)是；(3)是；(4)是．

2．在图中的映射中，A中元素60°的对应的元素是什么？在A中的什么元素与B中元素32对应？

答案：A中元素60°的对应的元素是12，在A中的元素30°与B中元素32对应．

思路2

例1下列对应是不是从集合A到集合B的映射，为什么？

(1)A＝R，B＝{x∈R|x≥0}，对应法则是“求平方”；[:

(2)A＝R，B＝{x∈R|x＞0}，对应法则是“求平方”；

(3)A＝{x∈R|x＞0}，B＝R，对应法则是“求平方根”；

(4)A＝{平面内的圆}，B＝{平面内的矩形}，对应法则是“作圆的内接矩形”．

活动：学生回顾映射的概念，教师适时点拨或提示．判断一个对应是否是映射，关键是确定是否是“一对一”或“多对一”的对应，即集合A中的任意一个元素，在集合B中都有唯一确定的元素与之对应．

解：(1)是映射，因为A中的任何一个元素，在B中都能找到唯一的元素与之对应．

(2)不是从集合A到集合B的映射，因为A中的元素0，在集合B中没有对应的元素．

(3)不是从集合A到集合B的映射，因为任何正数的平方根都有两个值，即集合A中的任何元素，在集合B中都有两个元素与之对应．

(4)不是从集合A到集合B的映射．因为一个圆有无穷多个内接矩形，即集合A中任何一个元素在集合B中有无穷多个元素与之对应．

点评：本题主要考查映射的概念．给定两集合A、B及对应法则f，判断是否是从集合A到集合B的映射，主要利用映射的定义．用通俗的语言讲：A→B的对应有“多对一”，“一对一”，“一对多”，前两种对应是A到B的映射，而后一种不是A到B的映射.

变式训练

1．设集合A＝{a，b，c}，集合B＝R，以下对应关系中，一定能建立集合A到集合B的映射的是( )

A．对集合A中的数开平方

B．对集合A中的数取倒数

C．对集合A中的数取算术平方根

D．对集合A中的数立方

解析：当a＜0时，对a开平方或取算术平方根均无意义，则A、C错；

当a＝0时，对a取倒数无意义，则B错；

由于对任何实数都能立方，并且其立方仅有一个，

所以对集合A中的数立方能建立映射，故选D.[:

答案：D

2．设f：A→B是A到B的一个映射，其中A＝B＝{(x，y)|x，y∈R}，f：(x，y)→(x－y，x＋y)，求：

(1)A中元素(－1,2)在B中对应的元素；

(2)在A中什么元素与B中元素(－1,2)对应？

分析：这是一个映射的问题，由于A中元素(x，y)对应B中元素为(x－y，x＋y)，确定了对应法则，转化为解方程组．

解：(1)A中元素(－1,2)在B中对应的元素为(－1－2，－1＋2)，

即(－3,1)．

(2)设A中元素(x，y)与B中元素(－1,2)对应， 则 x－y＝－1，x＋y＝2，解得 x＝12，y＝32.

所以A中元素(12，32)与B中元素(－1,2)对应.

2设映射f：x→－x2是实数集R＝M到实数集R＝N的映射，若对于实数p∈N，在M中不存在原象，则实数p的取值范围是( )

A．(0，＋∞) B．[0，＋∞) C．(－∞，0) D．(－∞，0]

活动：让学生思考：若对于实数p∈N，在M中不存在原象，与函数f(x)＝－x2有什么关系？若对于实数p∈N，在M中不存在原象是指实数p表示函数f(x)＝－x2值域中的元素，转化为求函数f(x)＝－x2，x∈R的值域．集合M是函数f(x)＝－x2的定义域，集合N是函数f(x)＝－x2的值域．

解析：由于集合M，N都是数集，

则映射f：x→－x2就是函数f(x)＝－x2，

其定义域是M＝R，

则有值域Q＝{y|y≤0} N＝R.

对于实数p∈N，在M中不存在原象，

则实数p的取值范围是NQ＝RQ＝{y|y＞0}，

即p的取值范围是(0，＋∞)．

答案：A

点评：本题主要考查映射的概念和函数的值域，以及综合应用知识解决问题的能力．解决本题的关键是转化思想的应用．把映射问题转化为函数的值域问题，进一步转化为求函数的值域在实数集中的补集．其转化的依据是对映射概念的理解以及对函数与映射关系的把握程度.

变式训练

设f，g都是由A到A的映射，其对应法则如下表(从上到下)：

表1 映射f的对应法则

原象 1 2 3 4

象 3 4 2 1

表2 映射g的对应法则

原象 1 2 3 4

象 4 3 1 2

则与f[g(1)]相同的是( )

A.g[f(1)] B．g[f(2)]

C.g[f(3)] D．g[f(4)]

解析：f(a)表示在对应法则f下a对应的象，g(a)表示在对应法则g下a对应的象．由表1和表2，得f[g(1)]＝f(4)＝1，g[f(1)]＝g(3)＝1，g[f(2)]＝g(4)＝2，g[f(3)]＝g(2)＝3，g[f(4)]＝g(1)＝4，

则有f[g(1)]＝g[f(1)]＝1.

答案：A

知能训练

1．下列对应是从集合S到T的映射的是( )

A．S＝N，T＝{－1,1}，对应法则是(－1)n，n∈S

B．S＝{0,1,4,9}，T＝{－3，－2，－1,0,1,2,3}，对应法则是开平方

C．S＝{0,1,2,5}，T＝{1，12，15}，对应法则是取倒数

D．S＝{x|x∈R}，T＝{y|y∈R}，对应法则是x→y＝1＋x1－x

解析：判断映射方法简单地说应考虑A中的元素是否都可以受f作用，作用的结果是否一定在B中，作用的结果是否唯一这三个方面．很明显A符合定义；B是一对多的对应；C

答案：A

2．已知集合M＝{x|0≤x≤6}，P＝{y|0≤y≤3}，则下列对应关系中不能看作从M到P的映射的是( )

A．f：x→y＝12x B．f：x→y＝13x

C．f：x→y＝x D．f：x→y＝16x

解析：选项C中，集合M中元素6没有象，不是映射．

答案：C

3．已知集合A＝N＋，B＝{a|a＝2n－1，n∈Z}，映射f：A→B，使A中任一元素a与B中元素2a－1对应，则与B中元素17对应的A中元素是( )

A．3 B．5 C．17 D．9

解析：利用对应法则转化为解方程．由题意得2a－1＝17，解得a＝9.

答案：D

4．若映射f：A→B的象的集合是Y，原象的集合是X，则X与A的关系是________；Y与B的关系是________．

解析：根据映射的定义，可知集合A中的元素必有象且唯一；

集合B中的元素在集合A中不一定有原象．

故象的集合是B的子集．所以X＝A，Y B.

答案：X＝A Y B

5．已知集合M＝{a，b，c，d}，P＝{x，y，z}，则从M到P能建立不同映射的个数是________．

解析：集合M中有4个元素，集合P中有3个元素，则从M到P能建立34＝81个不同的映射．

答案：81

6．下列对应哪个是集合M到集合N的映射？哪个不是映射？为什么？

(1)设M＝{矩形}，N＝{实数}，对应法则f为矩形到它的面积的对应．