【高中数学】2018最新北师大版高中数学必修一学案：第二章 2.2 函数的表示法(二) 2.3 映射

2.2函数的表示法(一)学习目标 1.了解函数的三种表示法及各自的优缺点.2.掌握求函数解析式的常见方法.3.尝试作图并从图像上获取有用的信息．知识点一解析法思考一次函数如何表示？梳理一个函数的对应关系可以用自变量的解析表达式(简称解析式)表示出来，这种方法称为解析法．知识点二图像法思考要知道林黛玉长什么样，你觉得一个字的描述和一张二寸照片哪个更直观？梳理用图像把两个变量间的函数关系表示出来的方法，称为图像法．知识点三列表法思考在街头随机找100人，请他们依次随意地写一个数字．设找的人序号为x，x＝1,2,3，…，100.第x个人写下的数字为y，则x与y之间是不是函数关系？能否用解析式表示？梳理用表格的形式表示两个变量之间函数关系的方法，称为列表法．函数三种表示法的优缺点：类型一解析式的求法例1根据下列条件，求f(x)的解析式．(1)f(f(x))＝2x－1，其中f(x)为一次函数；(2)f(x＋1x)＝x2＋1x2；(3)f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x.反思与感悟(1)如果已知函数类型，可以用待定系数法．(2)如果已知f(g(x))的表达式，想求f(x)的解析式，可以设t＝g(x)，然后把f(g(x))中每一个x 都换成t的表达式．(3)如果条件是一个关于f(x)、f(－x)的方程，我们可以用x的任意性进行赋值．如把每一个x换成－x ，其目的是再得到一个关于f (x )、f (－x )的方程，然后消元消去f (－x )． 跟踪训练1 根据下列条件，求f (x )的解析式． (1)f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－f (x )＝2x ＋9； (2)f (x ＋1)＝x 2＋4x ＋1； (3)2f (1x )＋f (x )＝x (x ≠0)．类型二 图像的画法及应用 命题角度1 画函数图像例2 试画出函数y ＝1－x 2的图像．反思与感悟 描点法作函数图像的三个关注点(1)画出函数图像时首先应关注函数的定义域，即在定义域内作图． (2)图像是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图像．(3)要标出某些关键点，例如图像的顶点、端点、与坐标轴的交点等．要分清这些关键点是实心点还是空心点．跟踪训练2 作出下列函数的图像并求出其值域． (1)y ＝2x ＋1，x ∈[0,2]； (2)y ＝2x ，x ∈[2，＋∞)；(3)y ＝x 2＋2x ，x ∈[－2,2]．命题角度2 函数图像的应用例3 已知f (x )的图像如图所示，则f (x )的定义域为________，值域为________．反思与感悟 函数图像很直观，在解题过程中常用来帮助理解问题的数学本质，寻求最优解． 跟踪训练3 函数f (x )＝x 2－4x ＋3(x ≥0)的图像与y ＝m 有两个交点，求实数m 的取值范围．类型三列表法及函数表示法的选择例4下表是某校高一(1)班三名同学在高一学年度六次数学测试的成绩及班级平均分表.(1)选择合适的方法表示测试序号与成绩的关系；(2)根据表示出来的函数关系对这三位同学的学习情况进行分析．反思与感悟函数的三种表示方法都有各自的优点，有些函数能用三种方法表示，有些只能用其中的一种来表示．跟踪训练4若函数f(x)如下表所示：则f(f(1))＝________.1．已知函数f(x)由下表给出，则f(f(3))等于()A.1 B．2 C．3 D．42．如果二次函数的图像开口向上且关于直线x＝1对称，且过点(0,0)，则此二次函数的解析式可以是()A．f(x)＝x2－1B．f(x)＝－(x－1)2＋1C．f(x)＝(x－1)2＋1D．f(x)＝(x－1)2－13．已知正方形的边长为x，它的外接圆的半径为y，则y关于x的解析式为()A．y＝22x B．y＝24xC．y＝28x D．y＝216x4．某同学从家里到学校，为了不迟到，先跑步，跑累了再走余下的路，设在途中花的时间为t，离开家里的路程为d，下面图形中，能反映该同学的行程的是()5．画出y＝2x2－4x－3，x∈(0,3]的图像，并求出y的最大值，最小值．1．如何求函数的解析式求函数的解析式的关键是理解对应关系f的本质与特点(对应关系就是对自变量进行对应处理的操作方法，与用什么字母表示无关)，应用适当的方法，注意有的函数要注明定义域．主要方法有：待定系数法、换元法、解方程组法(消元法)．2．如何作函数的图像一般地，作函数图像主要有三步：列表、描点、连线．作图像时一般应先确定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式，再根据所列表中的点描出图像，画图时要注意一些关键点，如与坐标轴的交点，端点的虚、实问题等．3．如何用函数图像常借助函数图像研究定义域、值域、函数变化趋势及两个函数图像交点问题．答案精析问题导学 知识点一思考 y ＝kx ＋b (k ≠0)． 知识点二思考 一张二寸照片． 知识点三思考 对于任意一个人的序号x ，都有一个他写的数字y 与之对应，故x ，y 之间是函数关系，但因为人是随机找的，数字是随意写的，故难以用解析式表示．这时可以制作一个表格来表示x 的值与y 的值之间的对应关系． 题型探究例1 解 (1)由题意，设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)， ∵f (f (x ))＝af (x )＋b ＝a (ax ＋b )＋b ＝a 2x ＋ab ＋b ＝2x －1，由恒等式性质，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2，ab ＋b ＝－1，∴⎩⎨⎧ a ＝2，b ＝1－2或⎩⎨⎧a ＝－2，b ＝1＋ 2.∴所求函数解析式为f (x )＝2x ＋1－ 2 或f (x )＝－2x ＋1＋ 2. (2)∵f (x ＋1x )＝x 2＋1x 2＝(x ＋1x )2－2，∴f (x )＝x 2－2.又x ≠0，∴x ＋1x ≥2或x ＋1x≤－2，∴f (x )中的x 与f (x ＋1x )中的x ＋1x 取值范围相同，∴f (x )＝x 2－2，x ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)． (3)∵f (x )＋2f (－x )＝x 2＋2x ，将x 换成－x ，得f (－x )＋2f (x )＝x 2－2x ， ∴联立以上两式消去f (－x )， 得3f (x )＝x 2－6x ，∴f (x )＝13x 2－2x .跟踪训练1 解 (1)由题意，设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)， ∵3f (x ＋1)－f (x )＝2x ＋9， ∴3a (x ＋1)＋3b －ax －b ＝2x ＋9， 即2ax ＋3a ＋2b ＝2x ＋9，由恒等式性质，得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，3a ＋2b ＝9，∴a ＝1，b ＝3.∴所求函数解析式为f (x )＝x ＋3. (2)设x ＋1＝t ，则x ＝t －1， f (t )＝(t －1)2＋4(t －1)＋1， 即f (t )＝t 2＋2t －2.∴所求函数解析式为f (x )＝x 2＋2x －2. (3)∵f (x )＋2f (1x )＝x ，将原式中的x 与1x 互换，得f (1x )＋2f (x )＝1x .于是得关于f (x )的方程组⎩⎨⎧f (x )＋2f (1x )＝x ，f (1x )＋2f (x )＝1x，解得f (x )＝23x －x3(x ≠0)．例2 解 由1－x 2≥0解得函数定义域为[－1,1]． 当x ＝±1时，y 有最小值0.当x ＝0时， y 有最大值1. x ＝±12时，y ＝32.利用以上五点描点连线， 即得函数y ＝1－x 2的图像如下：跟踪训练2 解 (1)列表：当x ∈[0,2]观察图像可知，其值域为[1,5]．(2)列表：当x ∈[2，＋∞)时，图像是反比例函数y ＝2x的一部分，观察图像可知其值域为(0,1]．(3)列表：图像是抛物线y ＝x 2＋2x 由图可得函数的值域是[－1,8]．例3[－2,4]∪[5,8][－4,3]解析函数的定义域对应图像上所有点横坐标的取值集合，值域对应纵坐标的取值集合．跟踪训练3解f(x)＝x2－4x＋3(x≥0)图像如图，f(x)与直线y＝m图像有2个不同交点，由图易知－1<m≤3.例4解(1)不能用解析法表示，用图像法表示为宜．在同一个坐标系内画出这四个函数的图像如下：(2)王伟同学的数学成绩始终高于班级平均水平，学习情况比较稳定而且成绩优秀．张城同学的数学成绩不稳定，总是在班级平均水平上下波动，而且波动幅度较大．赵磊同学的数学成绩低于班级平均水平，但他的成绩曲线呈上升趋势，表明他的数学成绩在稳步提高．跟踪训练4 1解析∵f(1)＝2，∴f(f(1))＝f(2)＝1.当堂训练1．A 2.D 3.A 4.C5．解y＝2x2－4x－3(0<x≤3)的图像如下：由图易知，当x＝3时，y max＝2×32－4×3－3＝3. 由y＝2x2－4x－3＝2(x－1)2－5，∴当x＝1时，y有最小值－5.。

第二章函数的概念教材分析：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型．高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，高中阶段更注重函数模型化的思想．教学目的：（1）通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；（2）了解构成函数的要素；（3）会求一些简单函数的定义域和值域；（4）能够正确使用“区间”的符号表示某些函数的定义域；教学重点：理解函数的模型化思想，用合与对应的语言来刻画函数；教学难点：符号“y=f(x)”的含义，函数定义域和值域的区间表示；教学过程：一、引入课题1.复习初中所学函数的概念，强调函数的模型化思想；2.阅读课本引例，体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想：（1）炮弹的射高与时间的变化关系问题；（2）南极臭氧空洞面积与时间的变化关系问题；（3）“八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数与时间的变化关系问题备用实例：3.4.根据初中所学函数的概念，判断各个实例中的两个变量间的关系是否是函数关系．二、新课教学（一）函数的有关概念1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B 的一个函数（function）．记作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域（domain）；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域（range）．注意：○1“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；○2函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x．2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域3．区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示．4．一次函数、二次函数、反比例函数的定义域和值域讨论 （由学生完成，师生共同分析讲评） （二）典型例题 1．求函数定义域 课本P 20例1 解：（略） 说明：○1 函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如果课前三个实例； ○2 如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；○3 函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式． 巩固练习：课本P 22第1题 2．判断两个函数是否为同一函数课本P 21例2 解：（略） 说明：○1 构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）○2 两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。

北师大版高一数学必修1第二章函数教案生活中变量关系与函数的概念教学目标：通过丰富实例，学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的三要素；会求一些简单函数的定义域与值域，并能用“区间”的符号表示。

教学重点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数。

教学难点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数教学过程：一、探究新知：学生阅读教材内容和区间的概念及写法，完成以下填空和问题．在初中学习过的函数实际上描述了两个变量之间的某种依赖关系：在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于x的每一个确定的值，y都有与之对应，此时y是x的函数，这两个变量x、y分别称为和。

．通过课本中实例1、2、3我们可以看到并非所有的依赖关系都有函数关系。

只有两个变量满足什么样的依赖关系时，才具有函数关系？．一枚炮弹发射，经26秒后落地击中目标，射高为845米，且炮弹距地面高度h与时间t的变化规律是.t与h是否有函数关系？二、抽象概括函数的概念：归纳：从实例1、2、3我们可以看到有函数关系的两个变量之间的关系都可以描述为：对于数集A中的每一个x，按照某种对应关系f，在数集B中都与唯一确定的y和它对应，记作：函数的定义：设A、B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么称为从集合A到集合B的一个函数，记作：其中，x叫自变量，x的取值范围A叫作定义域，与x 的值对应的y值叫函数值，函数值的集合叫值域。

显然，值域是集合B的子集。

例题讲解：一次函数y=ax+b的定义域是R，值域也是R；二次函数的定义域是R，值域是B；当a>0时，值域；当a﹤0时，值域。

反比例函数的定义域是，值域是。

四、课堂训练：．已知函数①求的值；②当a>0时，求的值。

求函数的值域教材练习2五、课堂小结函数的本质含义是定义域内任意一个x值，必须有且仅有唯一的y值与之对应。

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2．1 函数概念1．通过实例,了解生活中的变量关系．(易混点）2．理解函数的概念及函数的三要素．(重点)3．会求一些简单函数的定义域和值域．(重难点)4．能够正确使用区间表示某些函数的定义域和值域．[基础·初探]教材整理 1 生活中的变量关系阅读教材P23～P25内容，完成下列问题．并非有依赖关系的两个变量都有函数关系．只有满足对于其中一个变量的每一个值，另一个变量都有唯一确定的值与之对应时，才称它们之间具有函数关系．下列变量之间是函数关系的是( )A．体重与身高的关系B．某超载检测站，通过汽车的数量与时间的关系C．在空中作斜抛运动的标枪,标枪距地面的高度与时间的关系D．数学成绩与物理成绩的关系【解析】A，B,D中两种关系不是确定的关系,不符合函数的定义，C中标枪距地面的高度与时间的关系是函数关系．【答案】C教材整理 2 函数的概念阅读教材P26~P27“值域是{s｜s≥0}”之间的部分，完成下列问题．1．定义给定两个非空数集A和B，如果按照某个对应关系f，对于集合A中任何一个数x，在集合B中都存在唯一确定的数f(x）与之对应，那么就把对应关系f叫作定义在集合A上的函数．2．记法f:A→B,或y＝f(x)，x∈A。