中考数学复习指导：判定三角形形状的十种常用方法
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1 判定三角形形状的十种常用方法
三角形既可以按边分类也可以按角分类，当我们得到了它们的边（或角）之间的关系
或最大角的度数时，就能据此判定三s角形的形状．本文就判定三角形形状的常用方法归
纳介绍如下，供参考．
一、利用因式分解
例1 在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且a2
＋2ab＝c2
＋2bc，
试判定△ABC的形状，
解∵a2
＋2ab＝c2
＋2bc，a2
－c2
＋2ab－2bc＝0，即（a－c）（a＋c)＋2b(a－c)＝0，
∴（a－c）（a＋c＋2b）＝0．
∵a＋c＋2b≠0，，∴a－c＝0，即a＝c，
故△ABC是等腰三角形．
二、利用配方法
例2 已知a、b、c是△ABC的三边，且满足a4
＋b4
＋c4＝a2
b2
＋b2
c2
＋c2
a2
，试判定
三角形的形状．
解将a4
＋b4
＋c4＝a2
b2
＋b2
c2
＋c2
a2
变形为：
2a4
＋2b4
＋2c4－2a2
b2
－2b2
C
2－2c2
a2
＝0．
配方，得
(a2
－b2
)2
＋(b2
－c2
)2
＋(c2
－a2
)2
＝0，
a2
－b2
＝b2
－c2
＝c2
－a2
＝0．
即a2
＝b2
＝c2
．
又∵a，b，c均为正数，∴a＝b＝c．
故三角形为等边三角形，
三、利用根的判别式
例3 已知a、b、c是△ABC的三边，且方程(a2
＋b2
＋c2
)x2
－(a＋b＋c)x＋3
4＝0有实
根，试判定△ABC的形状．
解据题意，有
2 △＝[－(a＋b＋c)]2
－4（a2
＋b2
＋c2
）×3
4
＝a2
＋b2
＋c2
＋2ab＋2bc＋2ac－3a2
－3b2
－3c2
＝－[(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2
]≥0，
∴（a－b)2
＋(b－c)2
＋(a－c)2
≤0．
又∵（a－b)2
＋(b－c)2
＋(a－c)2
≥0，
∴（a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2＝0．
∴a＝b，b＝c，a＝c，从而a＝b＝c，
故△ABC是等边三角形．
四、利用构造方程
例4 已知k>1，b＝2k，a＋c＝2k2
，ac
＝k4
－1，试判定以a、b、c为边的三角形形状，
解由a＋c＝2k2
，ac＝k4
－1，可知a、c是方程x2
－2k2
x＋k4－1＝0的两个根．解得
x
1＝k2
＋1，x
2＝k2
－1，
∴a＝k2
＋1，c＝k2
－1，
或a＝k2
－1，c＝k2
＋1．
∵（k2
－1)2
＋(2k)2
＝(k2
＋1)2
，
∴b2
＋c2
＝a2
，或a2
＋b2
＝c2
，
所以△ABC是直角三角形．
五、利用公共根
例5 设a、b、c是△ABC的三边长，方程x2
＋2ax＋b2
＝0与x2
＋2cx－b2
＝0有一个
相同的根，求证：△ABC是直角三角形
证明设两个方程的相同根（公共根）为a，则
a2
＋2aα＋b2
＝0①，α2
＋2cα－b2
＝0②．
①－②，得2(a－c) α＝－2b2
，
即(c－a) α＝b2
．
当a＝c时，b＝0不合题意，舍去；
3 当a≠c时，α＝2
b
ca．
将其代入①、②，得
2
22
2bb
a
caca＋b2
＝0．
化简，得b2
＋c2
＝a2
，所以△ABC是以∠A为直角的直角三角形．
六、利用韦达定理
例6 如果方程x2
－xbcos A＋acosB＝0的两根之积等于两根之和，a、b、c为三角形
的三边，试判定△ABC的形状．
解在△ABC中，作CD⊥AB于D，
在△ADC中，AD＝bcos A，
在△CDB中，BD＝acosB，
由韦达定理，得
x
1＋x
2＝bcos A，x
1·x
2＝acos B．
∴bcos A＝acosB，即AD＝BD．
又∵CD⊥AB，∴△ABC为等腰三角形，
七、利用三角形面积公式
例7 已知△ABC中，若h
a＋h
b＋h
c＝9r，其中h
a、h
b、h
c为三边上的高，r为三角形
内切圆的半径，试判定△ABC的形状．
解设△ABC面积为Ｓ，由三角形面积公式可得
