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高考数学玩转压轴题专题13极值点偏移第一招不含参数的极值点偏移问题

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专题1.3 极值点偏移第一招--不含参数的极值点偏移问题
函数的极值点偏移问题，其实是导数应用问题，呈现的形式往往非常简洁，涉及函数的双零
点，是一个多元数学问题，不管待证的是两个变量的不等式，还是导函数的值的不等式，解
题的策略都是把双变量的等式或不等式转化为一元变量问题求解，途径都是构造一元函数.
例.（2010天津理）已知函数()()xfxxexR ，如果12xx，且12()()fxfx.
证明：
12
2.xx

构造函数()(1)(1),(0,1]Fxfxfxx，
则0)1()1(')1(')('21xxeexxfxfxF，
所以()Fx在(0,1]x上单调递增，()(0)0FxF，
也即(1)(1)fxfx对(0,1]x恒成立.
由1201xx，则11(0,1]x，
所以11112(1(1))(2)(1(1))()()fxfxfxfxfx，
即12(2)()fxfx，又因为122,(1,)xx，且()fx在(1,)上单调递减，
所以122xx，即证122.xx
2

法三：由12()()fxfx，得1212xxxexe，化简得2121xxxex，
不妨设21xx，由法一知，1201xx.
令21txx，则210,txtx，代入式，得11ttxex，
反解出11ttxe，
则121221ttxxxtte，故要证122xx，
即证221ttte，
又因为10te，等价于证明：2(2)(1)0ttte，
构造函数()2(2)(1),(0)tGtttet，则()(1)1,()0ttGtteGtte，
故()Gt在(0,)t上单调递增，()(0)0GtG，
从而()Gt也在(0,)t上单调递增，()(0)0GtG，
3

构造(1)ln2()(1)ln,(1)11ttMttttt，
则2212ln()(1)tttMttt，
又令2()12ln,(1)ttttt，则()22(ln1)2(1ln)ttttt，
由于1lntt对(1,)t恒成立，故()0t，
()t在(1,)t
上单调递增，

所以()(1)0t，从而()0Mt，
故()Mt在(1,)t上单调递增，

由洛比塔法则知：1111(1)ln((1)ln)1lim()limlimlim(ln)21(1)xxxxtttttMttttt，
即证()2Mt，即证式成立，也即原不等式122xx成立.
【点评】以上四种方法均是为了实现将双变元的不等式转化为单变元不等式，方法一、二利
用构造新的函数来达到消元的目的，方法三、四则是利用构造新的变元，将两个旧的变元都
换成新变元来表示，从而达到消元的目的.
例.（2013湖南文）已知函数21()1xxfxex，证明：当1212()()()fxfxxx时，

12
0.xx
【解析】易知，()fx在(,0)上单调递增，在(0,)上单调递减.
4

招式演练：
★已知函数2()lnfxxxx，正实数12,xx满足1212()()0fxfxxx.

证明：12512xx.
【解析】由1212()()0fxfxxx，得2211122212lnln0xxxxxxxx
从而212121212()()ln()xxxxxxxx，
令12txx，构造函数()lnttt，
得11()1tttt，可知()t在(0,1)上单调递减，在(1,)上单调递增，
5

所以()(1)1t，也即21212()()1xxxx，
解得：12512xx.
★已知函数lnfxxx．
（Ⅰ）求函数fx的单调区间；
（Ⅱ）若方程fxm (2)m有两个相异实根1x，2x，且12xx，证明：2122xx.
【答案】（Ⅰ）yfx在 (0,1)递增， yfx在(1,+ )递减；（Ⅱ）见解析

（2）由(1)可设的两个相异实根分别为，满足
且，
由题意可知
又有(1)可知在递减
故

所以，令
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极值点偏移问题的五个绝招

极值点偏移问题的五个绝招

一、极值点偏移的定义
二、对数平均定义与证明
（对数平均不等式在高考中不能直接用，在解答题中需要证明）
三、高考例题
极值点偏移问题在历年考题中反复出现，比如2016年全国卷、2013年湖南卷、2011年
辽宁卷、2010年天津卷等。

四、 解后思考：答题模板
第一步: 根据f(x1)= f(x1) 建立等式
第二步: 如果等式含有参数，则消参; 有指数的 则两边取对数，转化为对数式 第三步: 通过恒等变换转化为对数平均问题，利 用对数平均不等式求解
高考中对函数极值的考察正向多样化发
展，其中含参的函数极值不等式越来越被高考命题专家所钟爱，本文通过一道例题汇总一下此类题目的多种典型解法．
解法一：齐次构造消参
解法二: 构造函数1
解法三: 构造函数2
解法四: 引入变量1
解法五: 巧引入变量2。

导数压轴题分类(2)---极值点偏移问题(含答案)

导数压轴题分类(2)---极值点偏移问题(含答案)

导数压轴题分类（2）---极值点偏移问题极值点偏移问题常见的处理方法有⑴构造一元差函数()()()x x f x f F --=02x 或者()()()x x f x x f x F --+=00。

其中0x 为函数()x f y =的极值点。

⑵利用对数平均不等式。

2ln ln ab ba b a b a +<--<。

⑶变换主元等方法。

任务一、完成下面问题，总结极值点偏移问题的解决方法。

1．设函数22()ln ()f x a x x ax a R =-+-∈ （1）试讨论函数()f x 的单调性;（2）()f x m =有两解12,x x （12x x <）,求证：122x x a +>. 解析：（1）由22()ln f x a x x ax =-+-可知2222(2)()()2a x ax a x a x a f x x a x x x--+-'=-+-==因为函数()f x 的定义域为(0,)+∞，所以① 若0a >时，当(0,)x a ∈时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，当(,)x a ∈+∞时，()0f x '>，函数()f x 单调递增；② 若0a =时，当()20f x x '=>在(0,)x ∈+∞内恒成立，函数()f x 单调递增； ③ 若0a <时，当(0,)2a x ∈-时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，当(,)2ax ∈-+∞时，()0f x '>，函数()f x 单调递增； （2）要证122x x a +>，只需证122x x a +>，(x)g =222(x)2,g (x)20(x)(x)a a f x a g f x x'''=-+-=+>∴=则为增函数。

只需证：12x x ()()02f f a +''>=，即证()2121221212221+0+0a x x a x x a x x x x a-+->⇔-+->++（*） 又2222111222ln ,ln ,a x x ax m a x x ax m -+-=-+-=两式相减整理得：1212212ln ln 1(x x a)0x x x x a --++-=-，把1212212ln ln 1(x x a)x x a x x -+-=-代入（*）式，即证：121212ln ln 20x x x x x x --+>+-化为：121112222(1)2(1)ln 0,=,ln 011x x x x t t t x x x t x ---+>-+>++令即证： ()()2222(1)41(t 1)(t)ln (01),(t)0111t t t t t t t tϕϕ---'=-+<<=-+=<+++令则所以(t)ϕ为减函数，(t)(1)0ϕϕ<= 综上得：原不等式得证。

导数中的极值点偏移、泰勒公式与洛必达法则秒杀高考数学压轴题大集

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导数压轴题分类(2)---极值点偏移问题(含答案)

导数压轴题分类(2)---极值点偏移问题(含答案)

导数压轴题分类(2)---极值点偏移问题(含答案)极值点偏移问题是在求解函数的极值点时，由于函数表达式的特殊性质，导致极值点位置发生偏移，需要采用特殊的解决方法。

常见的处理方法有以下几种：1.构造一元差函数F(x)=f(x)-f(2x-x)或F(x)=f(x+x)-f(x-x)，其中x为函数y=f(x)的极值点。

2.利用对数平均不等式ab<a-b+a+b。

3.变换主元等方法lna-lnb^2<ln(a-b^2)。

接下来，我们以一个具体的例子来说明极值点偏移问题的解决方法。

题目：设函数f(x)=-alnx+x-ax(a∈R)，试讨论函数f(x)的单调性；若f(x)=m有两解x1,x2(x12a。

解析：1.讨论函数f(x)的单调性由f(x)=-alnx+x-ax可知：f'(x)=-a/x+1-a=-(a/x+a-1)因为函数f(x)的定义域为(0,+∞)，所以：①若a>0时，当x∈(0,a)时，f'(x)0，函数f(x)单调递增。

②若a=0时，当f'(x)=1/x>0在x∈(0,+∞)XXX成立，函数f(x)单调递增。

③若a0，函数f(x)单调递增。

2.求证x1+x2>2a因为f(x)=m有两解x1,x2(x1<x2)，所以：alnx1+x1-ax=m，-alnx2+x2-ax=m将两式相减，整理得：lnx1-lnx2+ln(x1-x2)=a根据对数平均不等式，有：ln(x1-x2)<(lnx1-lnx2)/2代入上式得：a>-[(lnx1-lnx2)/2]化XXX：x1-x2<2e^-2a因为x1+x2>2x2>a，所以：x1+x2>2a综上所述，极值点偏移问题的解决方法包括构造一元差函数、利用对数平均不等式和变换主元等方法。

在具体求解中，需要根据函数表达式的特殊性质，选择合适的方法进行处理。

2(t-1)x2-1)/(4(t-1)2+1)为减函数，且在(1,∞)上递增，所以原不等式得证。