极值点偏移问题专题(五)——对数平均不等式(本质回归)

对数平均不等式(d e )典型应用极值点偏移问题(de)母题对数、指数平均不等式与高考中(de)一类热点,即极值点(de)偏移(类对称或淮对称)问题具有深该(de)内在联系,利用对数与指数平均不等式可建立极值点(de)偏移母题如下.[母题结构]:(Ⅰ)(对数模型)设P(x 1,y 1)、Q(x 2,y 2)是函数f(x)=mlnx+ax 2+bx+c(m≠0)图像上(de)任意两点,则当m>0时,f '(221x x +)<k PQ ;当m<0时,f '(221x x +)>k PQ ; (Ⅱ)(指数模型)设P(x 1,y 1)、Q(x 2,y 2)是函数f(x)=me x +ax 2+bx+c(m ≠0)图像上(de)任意两点,则当m>0时,f '(221x x +)<k PQ ;当m<0时,f '(221x x +)>k PQ . [母题解析]:(Ⅰ)由f(x)=mlnx+ax 2+bx+c⇒f '(x)=xm+2ax+b⇒f '(221x x +)=212x x m ++a(x 1+x 2)+b;又由k PQ =2121)()(xx x f x f --= m⋅2121ln ln x x x x --+a(x 1+x 2)+b⇒k PQ -f '(221x x +)=m(2121ln ln x x x x ---212x x +),由对数平均不等式:2b a +>ba ba ln ln --⇒2121ln ln x x x x -->212x x +⇒当m>0时,f '(221x x +)<k PQ ;当m<0时,f '(221x x +)>k PQ ; (Ⅱ)由f(x)=me x+ax 2+bx+c ⇒f '(x)=mex+2ax+b ⇒f '(221x x +)=me221x x ++a(x 1+x 2)+b;又由k PQ =2121)()(x x x f x f --=m⋅2121x x e e x x --+a(x 1+x 2)+b ⇒k PQ -f '(221x x +)=m(2121x x e e x x ---e221x x +),由指数平均不等式:ba e eb a -->e2b a +⇒2121x x e e x x -->e221x x +⇒当m>0时,f '(221x x +)<k PQ ;当m<0时,f '(221x x +)>k PQ .1.对数模型子题类型Ⅰ:(2011年辽宁高考试题)已知函数f(x)=lnx-ax 2+(2-a)x. (Ⅰ)讨论f(x)(de)单调性;(Ⅱ)设a>0,证明:当0<x<a 1时,f(a 1+x)>f(a1-x);(Ⅲ)若函数y=f(x)(de)图像与x 轴交于A,B 两点,线段AB 中点(de)横坐标为x 0,证明:f '(x 0)<0. [解析]:(Ⅰ)f(x)(de)定义域为(0,+∞),由f(x)=lnx-ax 2+(2-a)x ⇒f '(x)=-xx 12+(ax-1);①当a ≤0时,f '(x)>0⇒f(x)在(0,+∞)上递增;②当a>0时,f(x)在(0,a 1)上递增,在(a1,+∞)递减;(Ⅱ)令g(x)=f(a1+x)-f(a1-x)=ln(1+ax)-ln(1-ax)-2ax,则g '(x)=axa+1+axa -1-2a=222312xa x a ->0⇒g(x)在[0,a1)上递增⇒g(x)>g(0)=0⇒f(a 1+x)>f(a1-x);(Ⅲ)设A(x 1,0),B(x 2,0),则k AB =0,由f '(221x x +)<k AB =0⇒f '(x 0)<0.[点评]:若连续函数f(x)在区间(x 1,x 2)内有唯一(de)极值点x 0,且f(x 1)=f(x 2),研究221x x +与x 0(de)大小或判断f '(221x x +)(de)符号,统称为极值点(de)偏移问题;母题结论具有解决极值点偏移问题(de)根本性. 2.指数模型子题类型Ⅱ:(2010年天津高考试题)已知函数f(x)=xe -x (x ∈R). (Ⅰ)求函数f(x)(de)单调区间和极值;(Ⅱ)已知函数y=g(x)(de)图象与函数y=f(x)(de)图象关于直线x=1对称,证明:当x>1时,f(x)>g(x);(Ⅲ)如果x 1≠x 2,且f(x 1)=f(x 2),证明:x 1+x 2>2. [解析]:(Ⅰ)由f(x)=xe -x ⇒f '(x)=e-x-xe -x =(1-x)e -x ,列表如下,由表知f(x)在(-∞,1)内是增函数,在(1,+∞)内是减函数,函数f(x)在x=1处取得极大值f(1),且f(1)=e -1;(Ⅱ)由函数y=g(x)(de)图象与函数y=f(x)(de)图象关于直线x=1对称⇒g(x)=f(2-x)=(2-x)e x-2;当x>1时,令F(x)=f(x)-g(x)=xe -x +(x-2)e x-2,则F '(x)=(x-1)(e 2x-2-1)e -1>0⇒函数F(x)在[1,+∞)是增函数⇒F(x)>F(1)=0⇒f(x)>g(x);(Ⅲ)设P(x 1,y 0),Q(x 2,y 0),由x 1≠x 2,且f(x 1)=f(x 2),则x 1,x 2>0;令g(x)=lnf(x)=lnx-x,则g '(221x x +)<k PQ =0⇒212x x +-1<0⇒x 1+x 2>2.[点评]:指数与对数函数模型不仅具有相似(de)结论,实质上,由函数y=e x 与y=lnx(de)对称性知,母题中,指数与对数函数模型(de)结论是等价(de);把指数函数问题转化为对数函数问题是解决指数函数问题(de)常用方法. 3.切线背景子题类型Ⅲ:(2005年湖南高考试题)已知函数f(x)=lnx,g(x)=21ax 2+bx,a ≠0.(Ⅰ)若b=2,且h(x)=f(x)-g(x)存在单调递减区间,求a(de)取值范围;(Ⅱ)设函数f(x)(de)图象C 1与函数g(x)图象C 2交于点P 、Q,过线段PQ(de)中点作x 轴(de)垂线分别交C 1,C 2于点M 、N,证明:C 1在点M 处(de)切线与C 2在点N 处(de)切线不平行. [解析]:(Ⅰ)当b=2时,h(x)=f(x)-g(x)=lnx-21ax 2-2x ⇒h '(x)=x 1-ax-2=-x1(ax 2+2x-1)(x>0);所以,h(x)存在单调递减区间⇔h '(x)≤0在(0,+∞)内有解集区间⇔T(x)=ax 2+2x-1≥0在(0,+∞)内有解集区间⇔a>0,或a<0,且4+4a>0⇔ a(de)取值范围是(-1,0)∪(0,+∞);(Ⅱ)设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),A(x 1,0),B(x 2,0),由h(x)=f(x)-g(x)=lnx-21ax 2+bx ⇒h '(x)=f '(x)-g '(x)⇒h '(221x x +)=f '(221x x +)-g '(221x x +)<k AB =0⇒f '(221x x +)<g '(221x x +)⇒C 1在点M 处(de)切线斜率=f '(221x x +)<C 2在点N 处(de)切线斜率=g '(221x x +)⇒C 1在点M 处(de)切线与C 2在点N 处(de)切线不平行.[点评]:对数、指数平均不等式及其引伸(de)母题结论具有广泛(de)应用,尤其在解决双切线问题中,具有十分有力(de)深刻应用;掌握对数、指数平均不等式及其引伸(de)母题结论(de)证明是十分必要(de). 4.子题系列:1.(2016年安徽蚌埠二模试题)设函数f(x)=x 2+3x+3-ae x (a 为非零常数). (Ⅰ)求g(x)=xe xf )((de)单调区间;(Ⅱ)若存在b,c ∈R,且b ≠c,使f(b)=f(c),试判断a f '(2c b +)(de)符号.2.(2014年江苏南通二模试题)设函数f(x)=e x -ax+a(a ∈R),其图像与x 轴交于A(x 1,0),B(x 2,0)两点,且x 1≠x 2. (Ⅰ)求a(de)取值范围; (Ⅱ)证明:f '(21x x )<0(f '(x)为函数f(x)(de)导函数).3.(2013年湖南高考试题)已知函数f(x)=211x x +-e x .(Ⅰ)求f(x)(de)单调区间;(Ⅱ)证明:当f(x 1)=f(x 2)(x 1≠x 2)时,x 1+x 2<0.4.(2014年广东韶关二模试题)已知函数f(x)=ln(x+a 1)-ax,其中,a ∈R 且a ≠0.(Ⅰ)讨论f(x)(de)单调性;(Ⅱ)若不等式f(x)<ax 恒成立,求实数a(de)取值范围;(Ⅲ)若方程f(x)=0存在两个异号实根x 1,x 2,求证:x 1+x 2>0. 5.(2011年湖南高考试题)设函数f(x)=x-x1-alnx(a ∈R),(Ⅰ)讨论f(x)(de)单调性;(Ⅱ)若f(x)有两个极值点x 1和x 2,记过点A(x 1,f(x 1)),B(x 2,f(x 2)),(de)直线(de)斜率为k,问:是否存在a,使得k=2-a 若存在,求出a(de)值;若不存在,请说明理由. 6.(2015年广东广州二模试题)已知函数f(x)=alnx-11+-x x ,g(x)=e x (其中e 为自然对数(de)底数).(Ⅰ)若函数f(x)在区间(0,1)内是增函数,求实数a(de)取值范围;(Ⅱ)当b>0时,函数g(x)(de)图象C 上有两点P(b,e b ),Q(-b,e -b ),过点P,Q 作图象C(de)切线分别记为l 1,l 2,设l 1与l 2(de)交点为M(x 0,y 0),证明:x 0>0. 5.子题详解: 1.解:(Ⅰ)由g(x)=xex f )(=(x 2+3x+3)e -x -a ⇒g '(x)=-x(x+1)e -x ⇒g(x)在(-∞,-1)和(0,+∞)上递减,在(-1,0)上递增; (Ⅱ)令P(b,f(b)),Q(c,f(c)),则k PQ =0;①当-a>0,即a<0时,f '(2c b +)<k PQ =0⇒a f '(2cb +)>0;②当-a<0,即a>0时, f '(2cb +)>k PQ =0⇒a f '(2c b +)>0.综上,a f '(2cb +)>0. 2.解:(Ⅰ)由f '(x)=e x -a;①当a ≤0时,f '(x)>0⇒f(x)在(-∞,+∞)上单调递增⇒f(x)至多有一个零点,不合题意;②当a>0时,f(x)在(-∞,lna)上单调递减,在(lna,+∞)上单调递增,由f(x)有两个零点⇒f min (x)=f(lna)=2a-alna<0⇒a>e 2⇒lna>2;又f(1)=e>0,f(a -1lna)=e 1-alna-lna+a>a -1lna+1-(a-1)+a=a -1lna+2>0⇒f(x)有两个零点x 1,x 2,且1<x 1<x 2.故a(de)取值范围是(e 2,+∞);(Ⅱ)由f '(221x x +)<k PQ =0,且f '(x)=e x -a 在(-∞,+∞)上单调递增;又由1<x 1<x 2⇒21x x <221x x +⇒f '(21x x )<f '(221x x +)<0.3.解:(Ⅰ)由f(x)=211x x +-ex⇒f '(x)=-222)1()32(x x x x ++-ex⇒f(x)在(-∞,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减; (Ⅱ)不妨设x 1<x 2,由(Ⅰ)知x 1<0,x 2>0;由f(x 1)=f(x 2)⇒21111x x +-e 1x =22211x x +-e 2x >0⇒0<x 2<1,ln(1-x 1)-ln(1+x 12)+x 1=ln(1-x 2)-ln(1+x 22)+x 2⇒(x 1+x 2)22212221)1ln()1ln(x x x x -+-++)1()1()1ln()1ln(2121x x x x ------=1;根据对数平均不等式,有22212221)1ln()1ln(x x x x -+-+>222221++x x ,)1()1()1ln()1ln(2121x x x x ------>)(2221x x +-⇒(x 1+x 2)222221++x x +)(2221x x +-<1⇒(x 1+x 2)222221++x x +)(2221x x +--1<0⇒(x 1+x 2)222221++x x +)(22122x x x x +-+<0⇒(x 1+x 2)[222221++x x +)(2121x x +-]<0;由x 1<0,0<x 2<1⇒x 1+x 2<2⇒)(2121x x +->0⇒222221++x x +)(2121x x +->0⇒x 1+x 2<0.4.解:(Ⅰ)由f(x)(de)定义域为(-a1,+∞),f '(x)=-12+ax x a ;①当a<0时,f '(x)>0⇒f(x)在(-a 1,+∞)上单调递增;②当a>0时,在区间(-a1,0)上,f '(x)>0,在区间(0,+∞)上,f '(x)<0⇒f(x)在(-a1,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减;(Ⅱ)由f(x)<ax ⇔2ax-ln(x+a 1)>0,令x=e-a 1得:2a(e-a1)-1>0⇒2ea-3>0⇒a>0;令g(x)=2ax-ln(x+a1),则g '(x)=122+ax a (x+a21)⇒g(x)在(-a1,-a21)上单调递减,在(-a21,+∞)上单调递增⇒g min (x)=g(-a 21)=-1-ln(2a);由g min (x)>0⇒a>2e ⇒a(de)取值范围是(2e,+∞);(Ⅲ)由(Ⅰ)知a>0,且-a1<x 1<0<x 2,由f(x 1)=f(x 2)=0⇒ln(x 1+a 1)-ax 1=ln(x 2+a 1)-ax 2=0⇒x 1+a 1=e 1ax ,x 2+a1=e 2ax⇒x 2-x 1=e2ax -e1ax ⇒1212ax ax e e ax ax --=a1;又x 1+x 2+a2=e1ax +e2ax ,根据指数平均不等式,有=e 1ax +e2ax >2⋅1212ax ax e e ax ax --=a2⇒x 1+x 2+a2>a2⇒x 1+x 2>0.5.解:(Ⅰ)f(x)(de)定义域为(0,+∞),f '(x)=21x(x 2-ax+1);①当a ≤2时,f '(x)≥0⇒f(x)在(0,+∞)上单调递增;②当a>2时,由f '(x)=0⇒x 1=242--a a ,x 2=242-+a a ⇒f(x)在(0,x 1)和(x 2,+∞)上单调递增,在(x 1,x 2)上单调递减;(Ⅱ)由(Ⅰ)知,a<2,且x 1x 2=1;由k=2121)()(x x x f x f --=1+211x x -a 2121ln ln xx x x --;若存在a,使得k=2-a,则2121ln ln x x x x --=1,即2121ln ln xx x x --=21x x ;但由加细基本不等式知;2121ln ln xx x x -->21x x .故不存在a,使得k=2-a.6.解:(Ⅰ)由函数f(x)在区间(0,1)内是增函数⇔当x ∈(0,1)时,f '(x)=x a -2)1(2+x ≥0⇔当x ∈(0,1)时,a ≥212++xx ⇔a ≥21.故实数a(de)取值范围为[21,+∞);(Ⅱ)由g(x)=e x⇒g '(x)=e x⇒切线l 1:y=e b (x-b)+e b ,l 2:y=e -b (x+b)+e -b ⇒x 0=b ⋅bb b b e e e e ---+-1=b ⋅b bee 2211---+-1;设t=e -2b ∈(0,1),则lnt=-2b ⇒-1=tbln2⇒x 0=b ⋅t t -+11+t b ln 2=b(t t -+11+t ln 2);由(Ⅰ)知,当a=21时,f(x)=21lnx-11+-x x 在区间(0,1)内是增函数⇒f(t)=21lnt-11+-t t <f(1)=0⇒2ln t<11+-t t ⇒t t-+11+tln 2>0⇒x 0>0.。

6含对数式的极值点偏移问题二f 2X0 -X 2，比较X 2与2X0 7的大小，即比较X0与宁的大小.2.又一解题策略：根据f x ^ f X 2建立等式，通过消参、恒等变形转化为对数平均，捆绑构造函数，利用对数平均不等式链求解. 对数平均不等式的介绍与证明对数平均与算术平均、几何平均的大小关系: 、、ab 乞L(a,b)乞勺匕(此式记为 对数平均不等式) 取等条件：当且仅当 a 二b 时，等号成立._ a 亠b只证：当 a = b 时，.、ab ::: L(a,b)： 2证明如下:(I )先证:■. ab ： L(a,b)IHIIIa + b(II )再证：L(a,b)::2构造函数 g(x) =lnx 」2^ 9,(x 1)，则 g (x)=丄(x+1)不等式Cyf2( ---- 1 )a+b b(兰+i )1.若f X 的极值点为X 0，则根据对称性构造一元差函数Fx=fX0，X-fX 0-X ，F x 的单调性以及F 0 [=0，借助于f 为i= f X2 =X 。

- X 。

- X 2 与 f ||_X o •X o 巧借X 2两个正数a 和b 的对数平均定义:a-b -- @ 丰 b),ln (3 — ln2)a(a = b)..不失一般性，可设 a b .不等式★…一a a ；i)二 2Inxcx —〕(其中X = J2A 1) a xb构造函数 f(x)=2In x-(x 」,(x1)，2 1 1 2 则 f (刈二—-—二二「(1-一)2.XXX因为X 1时，f (x) - 0，所以函数f (x)在(1「：)上单调递减, 故f (x) ：： f(1) =0，从而不等式成立;4 (x-1)2・…2 , 亠八2 . X (x 1) x(x 1)a b因为x .1时，g(x) .0,所以函数g(x)在(1,七)上单调递增，故g(x) ：：：g(1) =0，从而不等式成立；m亠b综合(I)(II )知，对-a,b・R •，都有对数平均不等式ab_L(a,b) 成立，2当且仅当a二b时，等号成立.例 1.已知函数f(x)=lnx-ax2• (2-a)x.(1)讨论f (x)的单调性；1 1 1(2)设a . 0，证明：当0 ：：：x 时，f ( x) f ( x)；a a a(3)若函数y = f(x)的图象与x轴交于代B两点，线段AB中点的横坐标为沧，证明:【解析】门)易得：当*0时，/(力在(02)上单调递曹当心0时，/仗)在(0丄)上单调递増，在(-;+x)±B调递减一a a(2)法一：构造函数g(x) = f(— + x)-/(--算)：(0 < 兀< 丄), a a a二&(刃在①丄)上单调递増，a又£(0) = 0,二£(兀)>0, PP /(-+x) > /(- -x> .1 1法二：构造以a为主元的函数，设函数h(aH f ( x) - f( x)，a a1 1由0 ：：： x ，解得0 ::: a ：：：a x1 当0：：：a 时，h(a) 0 ,.•. h(a)在(0「：)上单调递增，x1 1 1而h(0) =0 ,所以h(a) 0，故当0 ：：x 时，f ( x) f ( x).a a a f (x。

极值点偏移——对数平均不等式（本质回归）笔者曾在王挽澜先生的著作《建立不等式的方法》中看到这样一个不等式链：， 不曾想，其中一部分竟可用来解极值点偏移问题． 对数平均不等式：对于正数，，且，定义为，的对数平均值，且，即几何平均数＜对数平均数＜算术平均数，简记为．先给出对数平均不等式的多种证法． 证法1（对称化构造） 设，则，，构造函数，则．由得，且在上，在上，为的极大值点．对数平，等价于，这是两个常规的极值点偏移问题，留给读者尝试．证法2（比值代换） 令，则，构造函数可证．证法3（主元法） 不妨设，111ln2e e 2ln b a b aa ab b ab ab b a b a ba b a b b b a a a ---⎛⎫-+⎛⎫<<<<<<⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭ab a b ≠ln ln a ba b--a b ln ln 2a b a ba b -+<-()()(),,,G a b L a b A a b <<0ln ln a bR a b-=>-ln ln k a k b a b -=-ln ln k a a k b b -=-()ln f x k x x =-()()f a f b =()1kf x x'=-()0f k '=()f x ()0,k Z (),k +∞]x k =()f x 2a b k +<<22a b kab k +>⎧⎨<⎩1at b=>()()11ln ln 2ln 2b t b t a b a ba b t -+-+<<⇔<<-()2111ln ln 21t t t t t t --+⇔<⇔<<+a b >．记，，则 ，得在上，有，左边得证，右边同理可证．证法4（积分形式的柯西不等式） 不妨设，则由得，； 由得，．证法5（几何图示法） 过上点作切线，由曲边梯形面积，大于直角梯形面积，可得，即； 如上右图，由直角梯形面积大于曲边梯形面积，可得． 由对数平均不等式的证法1、2即可看出，它与极值点偏移问题间千丝万缕的联系，下面就用对数平均不等式再解前面举过的例题．再解例1：即，，则ln ln ln ln 0ln ln a b a b a b a b -<⇔-<⇔-<-()ln ln f a a b =-(),a b ∈+∞()210f a a '==<()f a (),b +∞]()()0f a f b <=a b >()()()()2ln ln ln 22ln ln ln e e 1aa axx bbbdxdxdx <⎰⎰⎰()()()2221ln ln 2b a a b a b -<--ln ln 2a b a ba b -+<-()222111a a ab b bdx dx dx x x ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰()()211ln ln a b a b b a ⎛⎫-<-- ⎪⎝⎭ln ln a ba b-<-()1f x x =2,2a b a b +⎛⎫⎪+⎝⎭()11ln ln 2a b a b dx a b a b x -⋅<=-+⎰ln ln 2a b a b a b -+<-1dx x=< ⎪ ⎪⎝⎭ln ln a b a b -<-()()12f x f x =1212ee x x x x --=1122ln ln x x x x -=-12121ln ln x x x x -=-（正数，的对数平均数为1），得，且．再解例2：即；由得，两式相减得 ，下面用反证法证明．若，则，，取对数得，则．而由对数平均不等式得，矛盾．再解例3：由得， ； ． 由对数平均不等式得，，得． 再解练习1：由得，则，1x 2x 1212x x +<<121x x <122x x +>()()()22e 10xf x x a x =-+-=()()22e 10xx a x -=->()()120f x f x ==()()()()122112222e 12e 1x x x a x x a x ⎧-=-⎪⎨-=-⎪⎩()()()()121212122e 2e 2x xx x a x x x x ---=-+-122x x +<122x x +≥()()12122e 2e 0x x x x ---≤()()12122e 2e x xx x -≤-()()1122ln 2ln 2x x x x -+≤-+()()21121ln 2ln 2x x x x -≥---()()()()()()()()121221121212222221ln 2ln 2ln 2ln 222x x x x x x x x x x x x ----+--+=<=-≤------1122ln ln x x x x m ==11ln m x x =22ln mx x =1212121212ln ln ln ln ln ln ln ln m mx x x x mx x x x x x --==---()12121212ln ln ln ln ln ln m x x m mx x x x x x ++=+=()()12121212ln ln 0,ln 0,ln 0ln ln 2ln ln m x x mm x x x x x x +-<<<<+()12122ln ln ln x x x x ->+=1221e x x <1122ln ln x ax x ax -=-1212110ln ln e x x a x x a -⎛⎫=<< ⎪-⎝⎭1212x xa +<得； ，已证． 再解例4：同例1，不再详述． 再解例5：同例1得到，则． 再解例7（2）：易得，则，则，． 再解例8：，，得，则，，．再解练习2：原题结论抄写有误，应更正为．即，，则 ①－②得，则（正数，的对数平均数为1）．，得，且．①＋②得，由此可得．解练习3：选项D ：即，则，，所以1222ex x a +>>()2121212122e ln ln 22x x x x a x x x x a>⇔+>⇔+>⇔+>121x x <12112x x +>>()1ln 1ln ln ln 0,1a b a b a b a b ++-==∈-1ln ln a b a b->-12a b+>2a b +>11222ln 2ln x ax x ax -=-()()12122ln ln x x a x x -=-12122ln ln x x x x a -=-1222x x a +>124x x a +>()121224262x x x x x a a a+=++>+=0f '<()0f x =()()2e 1e x a x a =->()ln ln 1x a x =+-()()1122ln ln 1 ln ln 1 x a x x a x =+-⎧⎨=+-⎩①②()()()()12121211ln 1ln 1x x x x x x -=---=---()()()()1212111ln 1ln 1x x x x ---=---11x -21x -()()121112x x -+-<<()()12111x x --<124x x +>()()12122ln ln 112ln x x a x x a +=+--<12ln 2x x a +<<0f '<()()12f x f x =121222ln ln x x x x +=+()12122112222ln ln x x x x x x x x --=-=121212ln ln 2x x x x x x -=-． 顺带地，也有． 极值点偏移问题，多与指数函数或对数函数有关，解题的关键有以下几步： （1）根据建立等量关系；（2）等量关系中如果含有参数，可考虑消参；如果含有指数式，可考虑两边取对数； （3）通过恒等变形转化出对数平均数（的值或仍用，表示），代入对数平均不等式求解．细心的读者不难发现，用对数平均不等式来解极值点偏移问题的方法也有局限性，也不是万能的（再解过程中漏掉了例6），其中能否简洁地表示出对数平均数是关键中的关键，最后再举一例． 例10设函数的两个零点是，，求证：． 证法1：首先易知，且在上，在上，不妨设，，构造函数可证．证法2：由题意得，两式相减得 ， ，，121212442x x x x x x <⇒>⇒+>>()()1212111212121111122x x x x x x x x x x x x +<⇒<+⇔--<⇔+>()()120f x f x ==1x 2x ()()2ln 2f x x ax a x =-+-1x 2x 1202x x f +⎛⎫'< ⎪⎝⎭0a >()f x 10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭Z 1a ⎛⎫∞ ⎪⎝⎭]1210x x a <<<121212201022x x x x f a x x a ++⎛⎫'<⇔⋅->⇔+> ⎪⎝⎭()()2F x f x f x a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭()()21112222ln 20ln 20x ax a x x ax a x ⎧-+-=⎨-+-=⎩()()()()12121212ln ln 20x x a x x x x a x x --+-+--=()()()121212ln ln 2x x x x a x x a -=-++-()12121210ln ln 2x x x x a x x a -=>-++-所以．()()()()212121212122012x x a x x a x x a x x a +<⇒++-+->++-()()()12121212221002x x a x x x x x x f a +⎛⎫'⇒+-++>⇒+>⇒< ⎪⎝⎭。

这或许是史上最全的极值点偏移系列文章极值点偏移（0）——偏移新花样（拐点偏移）极值点偏移（1）——对称化构造（常规套路）极值点偏移（2）——函数的选取（操作细节）极值点偏移（3）——变更结论（操作细节）极值点偏移（4）——比值代换（解题方法）极值点偏移（5）——对数平均不等式（本质回归）极值点偏移（6）——泰勒展开（本质回归）极值点偏移（7）——好题精选一题多解23例今天带来极值点偏移系列 第三篇文章，供大家参考极值点偏移问题专题（二）——函数的选取（操作细节）例4 已知函数()e xf x ax =-有两个不同的零点1x ，2x ，其极值点为0x ．（1）求a 的取值范围；（2）求证：1202x x x +<； （3）求证：122x x +>；（4）求证：121x x <． 解：（1）()e x f x a '=-，若0a ≤，则()0f x '>，()f x 在R 上 ，()f x 至多有一个零点，舍去；则必有0a >，得()f x 在(),ln a -∞上 ，在()l n ,a +∞上 ，要使()f x 有两个不同的零点，则须有()ln 0e f a a <⇒>．（严格来讲，还需补充两处变化趋势的说明：当x →-∞时，()f x →+∞；当x →+∞时，()f x →+∞）．（3）由所证结论可以看出，这已不再是()f x 的极值点偏移问题，谁的极值点会是1呢？回到题设条件：()e e 0e x x xf x ax ax a x =-=⇔=⇔=，记函数()e xg x x =，则有()()12g x g x a ==． 求导得()()2e 1x x g x x -'=，则1是()g x 的极小值点，我们选取函数()g x 来证（3）中结论122x x +>；顺带地，也可证（4）中结论121x x <．（i ）()g x 在(),0∞上 ，在()0,1上 ，在()1,+∞上 ；()g x 与x 的符号相同；当x →-∞时，()0g x →；当0x -→时，()g x →-∞；当0x +→时，()g x →+∞时，()g x →+∞，()g x 的图像如下：由()()12g x g x a ==不妨设1201x x <<<．（ii ）构造函数()()()2G x g x g x =--，则()()()()()()()()2222222e 1e 12e e 12x x x x G x g x g x x x x x x x x --'''=+---=+-⎛⎫=-- ⎪ ⎪-⎝⎭，（4）（i ）同上；（ii ）构造函数()()1G x g x g x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则 ()()()()()1122222111e 1e 111e e 1x xx x G x g x g x x x x x x x x x x ⎛⎫'''=+ ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪-⎝⎭=+⋅⎛⎫ ⎪⎝⎭-=-⋅当01x <<时，10x -<，但因式1e e x x -的符号不容易看出，引进辅助函数()1e e xx x x ϕ=-，则()11e 1e x x x x ϕ⎛⎫'=+- ⎪⎝⎭，当()0,1x ∈时，()0x ϕ'>，得()x ϕ在()0,1上 ，有()()10x ϕϕ<=，则()0G x '>，得()G x 在()0,1上 ，有()()10G x G <=，即()()101g x g x x ⎛⎫<<< ⎪⎝⎭； （iii ）将1x 代入（ii ）中不等式得()()1211g x g x g x ⎛⎫=<⎪⎝⎭，又21x >，111x >，()g x 在()1,+∞上 ，故211x x <，121x x <． 点评：虽然做出来了，但判定因式()222e e 2x xx x ---及1e e x x x -的正负时，均需要辅助函数的介入，费了一番功夫，虽然()g x 的极值点是1，理论上可以用来做（3）、（4）两问，但实践发现略显麻烦，我们还没有找到理想的函数．再次回到题设条件：()()0e e ln ln ln ln x f x ax a x a x x x a =⇔=>⇔=+⇔-=，记函数()ln h x x x =-，则有()()12ln h x h x a ==．接下来我们选取函数()h x 再解（3）、（4）两问．（3）（i ）()11h x x '=-，得()h x 在()0,1上 ，在()1,+∞上 ，有极小值()11h =，又当0x +→时，()h x →+∞；当x →+∞时，()h x →+∞，故()h x 的图像如下：由()()12h x h x =不妨设1201x x <<<．（ii ）构造函数()()()2H x h x h x =--，则()()()()2111121112H x h x h x x x x x x '''=+-=-+--⎛⎫=-- ⎪-⎝⎭当01x <<时，10x -<，1102x x->-，则()0H x '<，得()H x 在()0,1上 ，有()()10H x H >=，即()()()201h x h x x >-<<点评：用函数()ln h x x x =-来做（3）、（4）两问，过程若行云流水般，格外顺畅．这说明在极值点偏移问题中，若函数选取得当，可简化过程，降低难度．注1：第（2）问也可借助第（4）问来证：将11ln ln x x a =+，22ln ln x x a =+相加得()12120ln 2ln 2ln 2x x x x a a x +=+<=．注2：在第（ii ）步中，我们为什么总是给定1x 的范围？这是因为1x 的范围()0,1较2x 的范围()1,+∞小，以第（3）问为例，若给定()1,x ∈+∞，因为所构造的函数为()()()2H x h x h x =--，这里0x >，且20x ->，得02x <<，则当2x ≥时，()H x 无意义，被迫分为两类：①若22x ≥，则1222x x x +>≥，结论成立；②当()1,2x ∈时，类似于原解答．而给字()0,1x ∈，则不会遇到上述问题．当然第（4）问中给定1x 或2x 的范围均可，请读者自己体会其中差别．思考：练习1（查看热门文章里极值点偏移（1））应该用哪个函数来做呢？ 提示：用函数ln x y x =来做212e x x >，用函数ln y x ax =-来做122x x a+>．练习2 （安徽合肥2017高三第二次质量检测）已知()ln()f x x m mx =+-（1） 求()f x 的单调区间（2） 设1m >, 1x ，2x 为函数()f x 的两个零点，求证120x x +<提示：将()0f x =，两边取对数转化为指数方程处理。

对数平均不等式极值点偏移大家好，今天咱们聊聊一个数学小问题，听上去可能有点拗口，但其实并不难懂。

我们要探讨的是“对数平均不等式极值点偏移”。

别急，听我慢慢道来。

1. 对数平均不等式的基础知识1.1 什么是对数平均不等式？首先，啥是对数平均不等式呢？简单来说，就是在数学里，有一种不等式，它涉及到对数运算。

对数平均不等式就是其中一种。

你可以把它当作是两个数的对数平均值和它们的对数和之间的关系。

这种不等式告诉我们，怎么计算这些对数值的平均数更能体现真实情况。

1.2 如何理解对数平均不等式？打个比方，就像是你和朋友一起去吃饭，大家都点了不同的菜。

你想算出每个人平均吃了多少，其实就是在用对数平均的办法。

这时候，如果你算出的数和大家的实际情况对不上，说明可能你的计算方法有点偏差。

对数平均不等式就是帮我们纠正这些偏差的工具。

2. 极值点的概念2.1 什么是极值点？接下来，我们聊聊极值点。

极值点就是函数图像上最高点或者最低点的地方，简单点说，就是“山顶”和“山谷”。

比如，你在山上爬山，爬到最高点就是极值点。

而在数学里，这个极值点帮助我们了解函数的行为和变化。

2.2 极值点偏移是什么意思？当我们说“极值点偏移”时，其实就是在探讨这些“山顶”和“山谷”位置的变化。

想象一下，你在画一个山的图形，如果你动了一下笔的位置，山的顶端可能就不在原来的地方了，这就是偏移。

在对数平均不等式中，我们研究的就是这些“山顶”和“山谷”位置怎么随着条件的变化而移动。

3. 对数平均不等式的极值点偏移3.1 为什么要关注极值点偏移？极值点偏移听起来有点复杂，但其实它在很多实际问题中都很重要。

比如在优化问题中，我们希望找到最优解，这时极值点的偏移可能会影响到我们的结果。

如果我们能搞清楚这些极值点如何变化，就能更准确地找到最佳解。

3.2 举个例子，聊聊实际应用比如说你在找最佳的购物打折策略。

假如你有一张优惠券，它的使用规则就像是对数平均不等式的一种情况。

极值点偏移与对数均值不等式【知识梳理】1．极值点偏移的基本特征：指单极值函数，由于函数极值点左右的增减速度不同，使得函数图象没有轴对称性．2．函数极值点偏移的含义：已知函数f(x)有唯一的极值点x＝x0，直线y＝a与函数f(x)的图象交于不同的两点A(x1，a)，B(x2，a)，AB的中点为M(x1＋x22，a)，若x0≠x1＋x22，则称f(x)的极值点出现了偏移．3．函数极值点偏移的分类：当x1＋x22＞x0时，称f(x)在x＝x0处的极值点左偏；当x1＋x22＜x0时，称f(x)在x＝x0处的极值点右偏．4．一般地，设函数f(x)在x＝a处取得极值，且当x＜a时，f(x)单调递增（递减），当x＞a时，f(x)单调递减（递增）．若f(x1)＝f(x2)，f(2a－x2)＞f(x2)＝f(x1)（f(2a－x2)＜f(x2)＝f(x1)），则有x1＋x2＜2a（x1＋x2＞2a）5．对数均值不等式：2x1＋x2＜ln x2－ln x1x2－x1＜1x1·x2．该不等式的几何意义是：曲线f(x)＝ln x上过点A(x1，ln x1)，B(x2，ln x2)的割线的斜率介于f(x)在点x＝x1＋x22处的切线斜率与在点x＝x1x2处的切线斜率之间．【例题分析】例1 （1）已知函数f(x)＝e x－ax有两个零点x1，x2（x1＜x2），则下列说法错误的是（）（A）a＞e （B）x1＋x2＞2（C）x1x2＞1 （D）有极小值点x0，且x1＋x2＜2x0（2）函数f(x)＝x(2ln x－a)＋1有两个零点x1，x2，在下列不等式中：①x1＋x2＞1；②0＜x1＋x2＜1；③x1x2＞14；④0＜x1x2＜14．其中成立的是（）（A）①③（B）①④（C）②③（D）②④（3）设a，b∈R，且a＜b，若a3e b＝b3e a，给出下列结论：①a＋b＞6；②ab＜9；③a＋2b＞9；④a＜3＜b．其中所有正确结论的序号有________．例2 （2011辽宁）已知函数f(x)＝ln x－ax2＋(2－a)x．若y＝f(x)的图象与x轴交于A，B两点，线段AB的中点的横坐标为x0，证明：f'(x0)＜0．例3 （2017安徽蚌埠模拟）若A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x0，y0)是函数f(x)＝ax2＋(1－2a)x－ln x （a∈R）图象上不同的三点，且x0＝x1＋x22，试判断f'(x0)与y1－y2x1－x2之间的大小关系．例4 已知函数f(x)＝x e－x，若x1≠x2，且f(x1)＝f(x2)，证明：x1＋x2＞2．例5 设函数f(x)＝e x－ax＋a（a∈R），其图象与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点，且x1＜x2，f'(x)为f(x)的导数，证明：f'(x1x2)＜0．例6 （2016镇江模拟）记函数f(x)＝e x的图象为C，函数g(x)＝kx－k的图象记为l．若图象C 与直线l有两个不同的交点A，B，其横坐标分别为x1，x2，设x1＜x2，求证：x1x2＜x1＋x2．例7 已知函数f(x)＝ln x－ax2（a∈R）．（1）讨论f(x)的零点个数；（2）当f(x)有两个零点x1，x2时，求证：x1x2＞e．例8 已知函数f(x)＝x ln x与直线y＝m交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，求证：0＜x1x2＜e－2．例9 （2017石家庄二模）设函数f(x)＝e x－ax＋a，其中e为自然对数的底数，其图象与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点，且x1＜x2．（1）求实数a的取值范围；（2）证明：f'(2x1＋x23)＜0（f'(x)为函数f(x)的导函数）．。

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利用对数平均不等式破解极值点偏移问题
作者：杨瑞强
来源：《中学数学杂志(高中版)》2016年第05期
近几年的高考数学压轴题中，经常出现与函数的极值点偏移有关的问题，由于这类问题的解决往往需要构造函数，技巧性较强，考生难于切入，在短时间内难以解决.如果我们借助对数平均不等式加以放缩，那么问题难度大大降低.下面谈谈利用这个不等式破解此类高考导数的压轴题.
1极值点偏移的定义
对于函数y=f（x）在区间（a，b）内只有一个极值点x0，方程f（x）=0的解为x1，x2，且a
（1）若x1+x22>x0，则称函数y=f（x）在区间（a，b）上极值点x0左偏，简称x0左偏；（2）若x1+x22
4转化策略与步骤
极值点偏移问题中，函数中多有形如ex和lnx的式子，并且极值点偏移问题实质是双变量的问题，而双变量的问题许多都可以回归对数平均.常利用对数平均不等式放缩解决，其转化的步骤有：
第一步：根据f（x1）=f（x2）建立等式；
第二步：如果等式含有参数，则消参；有指数的则两边取对数，转化为对数式；
第三步：通过恒等变换转化为对数平均问题，利用对数平均不等式放缩求解.
作者简介杨瑞强（1979—），男，湖北黄冈人，中学一级教师，黄石市优秀班主任，黄石市优秀数学教师，主要从事数学教育与中学教学研究.近几年，在数学专业杂志上发表文章80余篇.。

极值点偏移问题--对数不等式法我们熟知平均值不等式：第2关：参数范围问题—常见解题6法求解参数的取值范围是一类常见题型．近年来在各地的模拟试题以及高考试题中更是屡屡出现．学生遇到这类问题，较难找到解题的切入点和突破口，下面介绍几种解决这类问题的策略和方法．一、确定“主元”思想常量与变量是相对的，一般地，可把已知范围的那个看作自变量，另一个看作常量．例1.对于满足0的一切实数，不等式x2+px>4x+p-3恒成立，求x的取值范围．分析：习惯上把x当作自变量，记函数y= x2+(p-4)x+3-p,于是问题转化为当p时y>0恒成立，求x的范围．解决这个问题需要应用二次函数以及二次方程实根分布原理，这是相当复杂的．若把x 与p两个量互换一下角色，即p视为变量，x为常量，则上述问题可转化为在[0,4]内关于p的一次函数大于0恒成立的问题．解：设f(p)=(x-1)p+x2-4x+3，当x=1时显然不满足题意．由题设知当0时f(p)>0恒成立，∴f(0)>0,f(4)>0即x2-4x+3>0且x2-1>0，解得x>3或x<-1．∴x的取值范围为x>3或x<-1．二、分离变量对于一些含参数的不等式问题，如果能够将不等式进行同解变形，将不等式中的变量和参数进行分离，即使变量和参数分别位于不等式的左、右两边，然后通过求函数的值域的方法将问题化归为解关于参数的不等式的问题。

例2．若对于任意角总有成立，求的范围．分析与解：此式是可分离变量型，由原不等式得，又，则原不等式等价变形为恒成立．根据边界原理知，必须小于的最小值，这样问题化归为怎样求的最小值．因为即时，有最小值为0，故．评析：一般地,分离变量后有下列几种情形：①f(x)≥g(k) [f(x)]min≥g(k)②f(x)> g(k) g(k) < [f(x)] min③f(x)≤g(k) [f(x)] max≤g(k)④f(x)<g(k) [f(x)] max < g(k)三、数形结合对于含参数的不等式问题，当不等式两边的函数图象形状明显，我们可以作出它们的图象，来达到解决问题的目的．例3．设，若不等式恒成立，求a的取值范围．分析与解：若设函数，则，其图象为上半圆．设函数，其图象为直线．在同一坐标系内作出函数图象如图，依题意要使半圆恒在直线下方，只有圆心到直线的距离且时成立，即a的取值范围为．四、分类讨论当不等式中左、右两边的函数具有某些不确定因素时，应用分类讨论的方法来处理，分类讨论可使原问题中的不确定因素变成确定因素，为问题的解决提供新的条件。

对数平均不等式极值点偏移你有没有想过，数学里的一些“规则”有时候其实也会有点儿“小脾气”？对数平均不等式就是这样一个例子，它看似是个严肃的数学概念，但其实背后隐藏了不少有趣的故事。

今天咱们就来聊聊对数平均不等式的极值点偏移，轻松一点儿，不用当真，毕竟数学也是有趣的！1. 对数平均不等式概述1.1 对数平均不等式的基本概念首先，咱们得搞清楚什么是对数平均不等式。

别担心，这不是啥深奥的数学难题。

简单来说，对数平均不等式就是说，当你比较两个数的对数平均值和它们的算术平均值时，对数平均值总是小于或等于算术平均值。

看上去是不是有点像某种神秘的魔法？实际上，这就是数学世界的基本规则之一。

1.2 对数平均值的计算对数平均值的计算其实挺简单的，拿两个正数a和b，咱们先求它们的对数平均值。

公式是：对数平均值 = (1 / (b a)) * (b * ln(b) a * ln(a))。

别看公式复杂，其实用起来没那么难。

主要是记住，当b和a越接近时，对数平均值越接近它们的算术平均值。

2. 极值点的概念2.1 什么是极值点？说到极值点，其实就是在某个函数的图像上，那个点的值比周围的值要高（最大值）或者低（最小值）。

打个比方，极值点就像是山顶或者山谷，在那个点上，你能看到周围的一切高低差别。

它就是那种让你一眼就能发现的“高点”或者“低点”。

2.2 对数平均不等式的极值点在对数平均不等式的背景下，极值点的偏移就涉及到当对数平均值和算术平均值的关系发生变化时，那些特殊点的位置如何发生了微妙的改变。

这个偏移不一定显眼，但一旦发现，能让你对数学有更多的理解和欣赏。

3. 极值点偏移的实际影响3.1 理论上的偏移说到理论上的偏移，那就是当你调整对数平均值和算术平均值之间的关系时，极值点的位置会发生怎样的变化。

这种变化虽然看上去很抽象，但其实在实际应用中，有时会影响到数据分析、统计预测等领域。

3.2 实际应用中的趣事在实际应用中，这种偏移有时会带来一些意想不到的结果。

极值点偏移问题中（极值点为x0），证明x1+x2>2x0或x1+x2<2x0的方法：①构造F(x)=f(x)―f(2x―x)，②确定F(x)的单调性，③结合特殊值得到f(x)―f(2x0―x2)>0或f(x2)―f(2x0―x2)<0，再利用f(x1)=f(x2)，2得到f(x)与f(2x0―x2)的大小关系，1④利用f(x)的单调性即可得到x1+x2>2x0或x1+x2<2x0.处理极值点偏移问题中的类似于x1x2<a（f(x)=f(x2)）的问题的基本步骤如下：1①求导确定f(x)的单调性，得到x1,x2的范围；②构造函数F(x)=f(x)―f a，求导后可得F(x)恒正或恒负；x极值点偏移问题的一般题设形式：1.若函数f(x)存在两个零点x1,x2且x1≠x2，求证：x1+x2>2x0（x为函数f(x)的极值点）；2.若函数f(x)中存在x1,x2且x1≠x2满足f(x1)=f(x2)，求证：x1+x2>2x0（x为函数f(x)的极值点）；3.若函数f(x)存在两个零点x1,x2且x1≠x2，令x0=x1+x22，求证：f′(x)>0；4.若函数f(x)中存在x1,x2且x1≠x2满足f(x1)=f(x2)，令x0=x1+x22，求证：f′(x)>0.比值换元的目的也是消参、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值点的比值作为变量，从而实现消参、减元的目的．设法用比值（一般用t表示）表，化为单变量的函数不等式，继而将所求解问题转化为关于t的函数示两个极值点，即t=x1x2问题求解．两个正数a和b的对数平均定义：L(a,b)=a―bln a―ln b(a≠b), a(a=b).对数平均与算术平均、几何平均的大小关系：ab≤L(a,b)≤a+b2（此式记为对数平均不等式）取等条件：当且仅当a=b时，等号成立．。

对数均值不等式与极值点偏移对数均值不等式是一种数学推理方法，它可以用于证明一些数学不等式，也可以用于解决数学问题。

在这篇文章中，我们将介绍对数均值不等式以及极值点偏移的相关知识。

一、对数均值不等式对数均值不等式是一种经典的不等式，它在数学分析、物理学、经济学、工程学等领域都有广泛的应用。

该不等式可以用来证明很多重要的定理，例如柯西不等式、阿贝尔不等式等。

对数均值不等式的表述如下：设$a_1,a_2,\cdots,a_n$是$n$个正实数，则有$$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\ln{a_{i}}\ge\ln{\Big(\frac{1}{n}\sum_{i=1 }^{n}a_{i}\Big)}$$其中，$\ln{x}$表示以$e$为底的自然对数。

这个不等式的证明可以用“摆动法”或“反证法”。

摆动法的思路是通过改变不等式中的式子，使其变得更加有利于证明。

而反证法的思路则是假设不等式不成立，利用推导过程中产生的矛盾来证明它一定成立。

二、极值点偏移极值点偏移也是一种常见的数学方法，它可以将一个函数的极值点向左或向右移动，从而得到新的极值点。

这种方法在计算机科学、物理学、统计学等领域也有广泛应用。

极值点偏移的基本原理是改变函数的自变量，使得函数的值发生变化，并且使新的极值点更加有利于求解。

这个方法的具体实现方法包括用迭代法、优化算法等对函数进行求解。

举个例子，假设我们要求解函数$y=x^2+2x$在$x=1$处的极值点。

通过分析函数的图像，我们可以发现在$x=-1$处函数有一个极小值点。

如果我们想要将极值点向左偏移2个单位，我们可以将函数变成$y=(x-2)^2+2(x-2)$，此时当$x=1$时，函数的极小值点就变成了$x=-3$，相对于原来的极值点向左偏移了2个单位。

三、结论对数均值不等式和极值点偏移都是一些常见的数学方法，它们可以用于解决许多实际问题。

对数均值不等式可以用来证明一些重要的定理，而极值点偏移可以用来求解函数的极值点。

极值点偏移问题的不等式解法我们熟知平均值不等式：,a b R+∈2112a ba b+≤≤≤+即“调和平均数”小于等于“几何平均数”小于等于“算术平均值”小于等于“平方平均值”等号成立的条件是a b=.我们还可以引入另一个平均值：对数平均值：ln lna ba b--那么上述平均值不等式可变为：对数平均值不等式,∀>≠a b a bln ln2a b a ba b-+-＜＜以下简单给出证明：不妨设a b>，设a bx=，则原不等式变为：2(1)1,ln1xx xx-∀><<+以下只要证明上述函数不等式即可.以下我们来看看对数不等式的作用.题目1：（2015长春四模题）已知函数()xf x e ax=-有两个零点12x x<，则下列说法错误的是A. a e> B.122x x+> C.121x x> D.有极小值点x，且1202x x x+<【答案】C【解析】函数()f x导函数：'()xf x e a=-有极值点lnx a=，而极值(ln)ln0f a a a a=-<，a e∴>，A正确.()f x有两个零点：11xe ax-=，22xe ax-=，即：11ln lnx a x=+①22ln lnx a x=+②①-②得： 1212l n l n x x x x -=- 根据对数平均值不等式：12121212ln ln x x x x x x +->=>-122x x ∴+>，而1>121x x ∴< B 正确，C 错误而①+②得：12122ln ln 2ln x x a x x a +=+<，即D 成立.题目2：（2011辽宁理）已知函数()2ln (2)f x x ax a x =-+-.若函数()y f x =的图像与x 轴交于,A B 两点，线段AB 中点的横坐标为0x ，证明：()0'0f x <【解析】原题目有3问，其中第二问为第三问的解答提供帮助，现在我们利用不等式直接去证明第三问：设11(,())A x f x ，22(,())B x f x ，12x x <，则1202+=x x x ， 2111ln (2)0x ax a x -+-=①2222ln (2)0x ax a x -+-=②①-②得：12121212ln ln ()()(2)()0x x a x x x x a x x --+-+--=，化简得：12121210()(2)ln ln x x a x x a x x -=>+---③ 而根据对数平均值不等式：121212ln ln 2x x x x x x -+<- ③等式代换到上述不等式12012011()(2)22(2)x x x a x x a ax a +<⇒<+----④ 根据：002(2)0ax a x -->（由③得出）∴④式变为：200002(2)10(21)(1)0ax a x x ax --->⇒+->∵0(21)0x +>，∴01x a>，∴0x 在函数单减区间中，即： 0'()0f x ∴<题目3：(2010天津理)已知函数()x f x xe -= ()x R ∈.如果12x x ≠，且()()12f x f x =.证明：122x x +>.【解析】原题目有3问，其中第二问为第三问的解答提供帮助，现在我们利用不等式直接去证明第三问：设12()()f x f x c ==，则11x x c e =，22x x c e =，12()x x ≠两边取对数 11ln ln x x c -=①22ln ln x x c -=②①-②得：12121ln ln x x x x -=- 根据对数平均值不等式12121212ln ln x x x x x x +->=- 122x x ∴+>题目4：（2014江苏南通市二模）设函数()x f x e ax a =-+ ()a R ∈，其图象与x 轴交于()()12,0,0A x B x 两点，且12x x <.证明：0f '<（()f x '为函数()f x 的导函数）. 【解析】根据题意：110x e ax a -+=，220x e ax a -+=移项取对数得：11ln(1)ln x x a =-+①22ln(1)ln x x a =-+②①-②得：1212ln(1)ln(1)x x x x -=---，即：1212(1)(1)1ln(1)ln(1)x x x x ---=--- 根据对数平均值不等式：1212(1)(1)1ln(1)ln(1)x x x x ---<=--- 1212(1)(1)1ln(1)(1)0x x x x ∴--<⇒--<，①+②得：12122ln ln(1)(1)2ln x x a x x a +=+--<根据均值不等式：12ln 2x x a +<< ∵函数()f x 在(,ln )a -∞单调递减∴0f <题目5：已知函数()ln f x x x =与直线y m =交于1122(,),(,)A x y B x y 两点. 求证：12210x x e<< 【解析】由11ln =x x m ，22ln =x x m ，可得：11ln m x x =①，22ln m x x =② ①-②得：211212121212ln ln ()ln ln ln ln ln ln ----=⇒=-x x x x m x x m x x x x x x ③ ①+②得：211212(ln ln )ln ln m x x x x x x ++=④ 根据对数平均值不等式 121212()2ln ln +->≠-x x m x x x x 利用③④式可得：121212(ln ln )2ln ln ln ln m x x m x x x x +-> 由题于y m =与ln y x x =交于不同两点，易得出则0m <∴上式简化为: 212ln()2ln x x e -⋅<-=∴12210<<x x e。

利⽤对数平均不等式处理极值点偏移压轴难题
在2016年全国卷出来，极值点偏移问题可谓是⽕遍⼤江南北，此类问题在各地区的模拟试题如
⾬后春笋不断出现。

本⽂介绍处理极值点偏移另⼀神器，对数平均不等式，也有⽼师称之为“A —L—G”不等式。

⼀、极值点偏移的定义
⼆、对数平均定义与证明
（需要说明的是对数平均不等式在⾼考中不能直接⽤，再解答题中需要证明，避免扣分）
三、⾼考例题
偏移问题在历年考题中也反复出现，⽐如2016年全国卷、2013年湖南卷、2011年辽宁卷、
2010年天津卷等，下⾯举例分别说明
四、解后思考：答题模板
第⼀步: 根据f(x1)=f(x1)建⽴等式;
第⼆步: 如果等式含有参数，则消参; 有指数的则两边取对数，转化为对数式;
第三步: 通过恒等变换转化为对数平均问题，利⽤对数平均不等式求解
上⾯四个⾼考真题也可以利⽤对称性构造函数⽅法解答，具体见上⼀篇⽂章
（给学⽣的话，⽼师可忽略是对数平均不等式在⾼考中不能直接⽤，再解答题中需要证明，避
免扣分。

解答极值点偏移问题的通法还是对称构造，但是通法并不⼀定是最简便的⽅法）
作者：湖北省黄⽯市第⼀中学杨瑞强。

这或许是史上最全的极值点偏移系列文章目录极值点偏移（0）——偏移新花样（拐点偏移）........................................ 错误!未定义书签。

极值点偏移（1）——对称化构造（常规套路）........................................ 错误!未定义书签。

极值点偏移（2）——函数的选取（操作细节）........................................ 错误!未定义书签。

极值点偏移（3）——变更结论（操作细节）............................................ 错误!未定义书签。

极值点偏移（4）——比值代换（解题方法）............................................ 错误!未定义书签。

极值点偏移（5）——对数平均不等式（本质回归）. (1)极值点偏移（6）——泰勒展开（本质回归）............................................ 错误!未定义书签。

极值点偏移（7）——好题精选一题多解23例 ......................................... 错误!未定义书签。

极值点偏移（8）—一题弄懂极值点偏移5大套路.................................... 错误!未定义书签。

极值点偏移（5）——对数平均不等式（本质回归）笔者曾在王挽澜先生的著作《建立不等式的方法》中看到这样一个不等式链：111ln2e e2lnb ab a aa bbab ab b a b a baba b b b a aa---⎛⎫-+⎛⎫<<<<<<⎪⎪+-⎝⎭⎝⎭，不曾想，其中一部分竟可用来解极值点偏移问题．对数平均不等式：对于正数a ，b ，且a b ≠，定义ln ln a ba b--为a ，b 的对数平均值，且ln ln 2a b a ba b -+<<-，即几何平均数＜对数平均数＜算术平均数，简记为()()(),,,G a b L a b A a b <<．先给出对数平均不等式的多种证法． 证法1（对称化构造） 设ln ln a bR a b-=>-，则ln ln k a k b a b-=-，ln ln k a a k b b -=-，构造函数()ln f x k x x =-，则()()f a f b =．由()1kf x x'=-得()0f k '=，且()f x 在()0,k 上，在(),k +∞上，x k =为()f x 的极大值点．对数平2a b k +<<，等价于22a b k ab k +>⎧⎨<⎩，这是两个常规的极值点偏移问题，留给读者尝试．证法2（比值代换） 令1at b=>，则()()11ln ln 2ln 2b t b t a b a ba b t -+-+<<⇔<-()2111ln ln 21t t t t t t --+⇔<<⇔<<+，构造函数可证． 证法3（主元法） 不妨设a b >，ln ln ln ln 0ln ln a b a b a b a b -<⇔-<⇔-<-．记()ln ln f a a b =-，(),a b ∈+∞，则 ()210f a a '==<，得()f a 在(),b +∞上，有()()0f a f b <=，左边得证，右边同理可证．证法4（积分形式的柯西不等式） 不妨设a b >，则由()()()()2ln ln ln 22ln ln ln e e 1aa axx bbbdxdxdx <⎰⎰⎰得()()()2221ln ln 2b a a b a b -<--，ln ln 2a b a ba b -+<-； 由()222111a a ab b bdx dx dx x x ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰得()()211ln ln a b a b b a ⎛⎫-<-- ⎪⎝⎭，ln ln a ba b-<-．证法5（几何图示法） 过()1f x x =上点2,2a b a b +⎛⎫ ⎪+⎝⎭作切线，由曲边梯形面积，大于直角梯形面积，可得()11ln ln 2a b a b dx a b a b x -⋅<=-+⎰，即ln ln 2a b a b a b -+<-； 如上右图，由直角梯形面积大于曲边梯形面积，可得1dx x=< ⎪ ⎪⎝⎭ln ln a b a b -<-． 由对数平均不等式的证法1、2即可看出，它与极值点偏移问题间千丝万缕的联系，下面就用对数平均不等式再解前面举过的例题． 再解例1：()()12f x f x =即1212ee x x x x --=，1122ln ln x x x x -=-，则12121ln ln x x x x -=-（正数1x ，2x 的对数平均数为1）1212x x +<<，得121x x <，且122x x +>．再解例2：()()()22e 10x f x x a x =-+-=即()()22e 10x x a x -=->；由()()120f x f x ==得()()()()122112222e 12e 1x x x a x x a x ⎧-=-⎪⎨-=-⎪⎩，两式相减得 ()()()()121212122e 2e 2x xx x a x x x x ---=-+-，下面用反证法证明122x x +<．若122x x +≥，则()()12122e 2e 0x x x x ---≤，()()12122e 2e x xx x -≤-，取对数得()()1122ln 2ln 2x x x x -+≤-+，则()()21121ln 2ln 2x x x x -≥---．而由对数平均不等式得()()()()()()()()121221121212222221ln 2ln 2ln 2ln 222x x x x x x x x x x x x ----+--+=<=-≤------，矛盾．再解例3：由1122ln ln x x x x m ==得11ln m x x =，22ln mx x = 1212121212ln ln ln ln ln ln ln ln m mx x x x mx x x x x x --==---； ()12121212ln ln ln ln ln ln m x x m mx x x x x x ++=+=． 由对数平均不等式得()()12121212ln ln 0,ln 0,ln 0ln ln 2ln ln m x x mm x x x x x x +-<<<<+，()12122ln ln ln x x x x ->+=，得1221e x x <． 再解练习1：由1122ln ln x ax x ax -=-得1212110ln ln e x x a x x a -⎛⎫=<< ⎪-⎝⎭，则1212x xa +<，得1222ex x a +>>； ()2121212122e ln ln 22x x x x a x x x x a>⇔+>⇔+>⇔+>，已证． 再解例4：同例1，不再详述． 再解例5：同例1得到121x x <，则12112x x +>>． 再解例7（2）：易得()1ln 1ln ln ln 0,1a b a b a b a b ++-==∈-，则1ln ln a b a b->-，则12a b+>，2a b +>． 再解例8：11222ln 2ln x ax x ax -=-，()()12122ln ln x x a x x -=-，得12122ln ln x x x x a -=-，则1222x x a +>，124x x a +>，()121224262x x x x x a a a+=++>+=．再解练习2：原题结论抄写有误，应更正为0f '<．()0f x =即()()2e 1e x a x a =->，()ln ln 1x a x =+-，则 ()()1122ln ln 1 ln ln 1 x a x x a x =+-⎧⎨=+-⎩①② ①－②得()()()()12121211ln 1ln 1x x x x x x -=---=---，则()()()()1212111ln 1ln 1x x x x ---=---（正数11x -，21x -的对数平均数为1）．()()121112x x -+-<<，得()()12111x x --<，且124x x +>．①＋②得()()12122ln ln 112ln x x a x x a +=+--<12ln 2x x a+<<，由此可得0f '<．解练习3：选项D ：()()12f x f x =即121222ln ln x x x x +=+，则()12122112222ln ln x x x x x x x x --=-=，121212ln ln 2x x x x x x-=-，所以121212442x x x x x x <⇒>⇒+>>． 顺带地，也有()()1212111212121111122x x x x x x x x x x x x +<⇒<+⇔--<⇔+>． 极值点偏移问题，多与指数函数或对数函数有关，解题的关键有以下几步： （1）根据()()120f x f x ==建立等量关系；（2）等量关系中如果含有参数，可考虑消参；如果含有指数式，可考虑两边取对数； （3）通过恒等变形转化出对数平均数（的值或仍用1x ，2x 表示），代入对数平均不等式求解．细心的读者不难发现，用对数平均不等式来解极值点偏移问题的方法也有局限性，也不是万能的（再解过程中漏掉了例6），其中能否简洁地表示出对数平均数是关键中的关键，最后再举一例． 例10设函数()()2ln 2f x x ax a x =-+-的两个零点是1x ，2x ，求证：1202x x f +⎛⎫'< ⎪⎝⎭． 证法1：首先易知0a >，且()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上，在1a ⎛⎫∞⎪⎝⎭上，不妨设1210x x a <<<，121212201022x x x x f a x x a ++⎛⎫'<⇔⋅->⇔+> ⎪⎝⎭，构造函数()()2F x f x f x a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭可证．证法2：由题意得()()21112222ln 20ln 20x ax a x x ax a x ⎧-+-=⎨-+-=⎩，两式相减得 ()()()()12121212ln ln 20x x a x x x x a x x --+-+--=， ()()()121212ln ln 2x x x x a x x a -=-++-，()12121210ln ln 2x x x x a x x a -=>-++-，所以()()()()212121212122012x x a x x a x x a x x a +<⇒++-+->++-()()()12121212221002x x a x x x x x x f a +⎛⎫'⇒+-++>⇒+>⇒< ⎪⎝⎭．。

对数平均不等式极值点偏移在数学的世界里，有一种神奇的公式叫做对数平均不等式。

这个公式就像是数学界的超级英雄，它能够解决我们生活中的各种问题。

但是，你知道吗？这个公式有时候会让我们陷入困境，因为它的计算过程非常复杂，有时候甚至会让我们感到困惑。

今天，我们就来聊聊这个神奇的公式，看看它是如何在我们的生活中发挥作用的。

我们要明确什么是对数平均不等式。

简单来说，就是当我们有两个数A和B，它们的比值大于1时，那么这两个数的对数之和一定大于0。

这个公式听起来是不是有点复杂？没关系，我们一步步来分析。

想象一下，你和你的朋友一起去爬山。

你们两个人一起爬了一段路，然后你的朋友突然说：“哎呀，我的腿好疼啊！”这时，你会怎么做呢？你会立刻停下来照顾他吗？当然不会！你会想：“我还要继续爬呢，先不理会他。

”这就是对数平均不等式的魅力所在。

再来举个例子，如果你去超市买了一包零食，你的朋友也买了一包。

你觉得这包零食比你买的好吃吗？你可能会说：“不一定吧，毕竟每个人的口味不同。

”这就是对数平均不等式的另一个应用。

现在，让我们回到数学的问题上来。

你知道为什么对数平均不等式这么神奇吗？其实，它的原理就在于我们对数的性质。

对数可以帮助我们简化复杂的运算，让我们能够轻松地解决各种问题。

那么，对数平均不等式的计算过程是怎样的呢？其实，它并不复杂。

我们只需要将两个数的比值取对数，然后相加即可。

但是，要注意的是，如果比值小于1，那么这个公式就不适用了。

那么，对数平均不等式在日常生活中有哪些应用呢？它可以帮助我们判断两个数的大小关系。

比如说，当你需要比较两个数字的大小时，你可以使用对数平均不等式来判断它们是否接近相等。

对数平均不等式还可以用于计算概率问题。

比如说，如果你想知道某个事件发生的概率，你可以使用对数平均不等式来计算。

总的来说，对数平均不等式是一个非常实用的工具，它能够帮助我们解决各种数学问题，同时也在生活中发挥着重要的作用。

所以，下次当你遇到一个复杂的问题时，不妨尝试着用对数平均不等式来解决它。