概率论与数理统计练习题

概率论与数理统计练习题

、填空题

设 A、B 为随机事件，且 P(A)= , P(B)= , P(B A)=，则 P(A+B)= ___ 。

(2, 13)。

设随机变量X ~ N (1,4)，已知①=，①=，则P

10.随机变量X的概率密度函数f(x) 1 e x2 2x 1 ,

12. 设 A, B为随机事件，且 P(A)=, P(AB)= P( AB),则 P(B)= ________

1 " 4x 4

13. 设随机变量X ~ N( , 2),其密度函数f(x) ——e 6 ，贝U = 2 o

14. 设随机变量X的数学期望EX和方差DX>0都存在，令Y (X EX)/、. DX，贝U DY= 1

15. 随机变量X与丫相互独立，且D(X)=4 , D(Y)=2，贝U D(3X — 2Y )=里4。

111

16. 三个人独立地向某一目标进行射击，已知各人能击中的概率分别为 -,-,-，则目标能被击

5 4 3

中的概率是3/5— o

17. 设随机变量 X 〜N (2 , 2)，且 P{2 < X <4}=，则 P{X < 0} =_。

18. 设随机变量X的概率分布为P(X 1) 0.2,P(X 2) 0.3,P(X 3) 0.5，则X的期望

EX= 1、

2、

3、 I, ?是常数的两个无偏估计量，若

设A、B为随机事件，且P(A)=, P(B)=, D(?) D(?2)，则称?比?有效。

P(AU B)=，贝U P( AB )=。

4.

5. 设随机变量X服从［0,2］上的均匀分布, Y=2X+1，贝U D(Y)= 4/3

f (x) 3x2 0 x 1，且 P X

0 其他 0 .784 ，则

6. 已知随机向量(X,Y)的联合密度函数f(x,y) 3 xy 2 0, 0 x 2,0

其他 y 1，则 E(Y)= 3/4

7. 若随机变量X〜N (1 , 4) , 丫〜N (2 , 9)，且X与丫相互独立。设 Z= X— Y+ 3,贝U Z 〜_N

8. 设A, B为随机事件，且P(A)= , P(A — B)=,则P(A B) - o

9.

11.已知随机向量(X, Y)的联合密度函数f(x,y) xy, 0 x 2,0

0, 其他 y 1，则 E(X)= 4/3

19.

设(X, Y)的联合概率分布列为

—1 0

4

1/9 1/3 2/9

1 1/18 a b

若X、丫相互独立，则a = 1/6 , b = 1/9 。

20. 设随机变量X服从［1 , 5］上的均匀分布，则P 2 X 4 1/2 。

21. 设随机变量X〜N(1 , 4)，则P X 2 =_。(已知 =,=)

22. 若随机变量X〜N (0 , 4) , 丫〜N( — 1, 5)，且X与丫相互独立。设Z= X+ Y- 3,则Z〜上

(—4, 9)。

23. 设随机变量X服从参数为 的泊松分布，且3P X 2 P X 4 ,贝U =6 _____________ 。

26.某人投篮，每次命中率为，现独立投篮 5次，恰好命中4次的概率是C： 0.74 0.31

28. ______________________________ 随机变量 X ~ N( ,4)，则 丫 x 〜N(0,1)

2

29. 设随机变量 X〜N(2 , 9)，且 P{ X a }= P{ X a }，则 a= 2

30. 称统计量 陆参数 的无偏估计量，如果E( )= _J—

二、选择题

1 •设随机事件A与B互不相容，且P(A) P(B) 0,则(D )。

A. P(A) 1 P(B) B. P(AB) P(A)P(B) C. P(A B) 1 D. P(AB) 1

2•将两封信随机地投入四个邮筒中，则未向前面两个邮筒投信的概率为(27.设随机变量X的密度函数f(x) 1

TTe (x 2)2

~2- P X c，贝q c =^2 ______

A )。 24.

25. 1

2

B. C2

C2 C. 2!

P42 D. 2!

4!

3.设随机变量 X ~ f(x),满足 f (x) f( x)， F(x)是x的分布函数，则对任意实数a有(

A. F( a) 1 a

0 f(x)dx B. F( a) a

0 f(x)dx C. F( a) F(a) D.

F( a) 2F(a) 1

4. 设A， B为随机事件, P(B) P(A|B) 1， 则必有(A

A. P(A B) P(A) B. B C. P(A) P(B) D. P(AB) P(A)

注：答案应该为A,因B不严谨, A和B可以相等。 5•设X!,X2是来自总体X的一个简单随机样本，则最有效的无偏估计是

A. ) -X1 -X2 2 2 ) 1 2 B. X1 X 2 C. 3 3 4X1 D.

)2X1 3X2

5 5

6.、已知A、B、C为三个随机事件，则 A、 B、C不都发生的事件为 (A)o

A. ABC B. ABC C. A+B+C D. ABC

7. (X,Y)是二维随机向量，与Cov(X,Y) 0不等价的是(

A. E(XY) E(X)E(Y) B. D(X Y) D(X) D(Y) C. D(X Y) D(X) D(Y) D.

8.

A.

9.

A. 和Y相互独立

设总体X ~ N( ,22)，其中未知，X1, X2,

方差为s2，则下列各式中不是统计量的是(

2X B. ,Xn为来自总体的样本, 样本均值为 样本

D. (n 1)s2

2

若随机事件A与B相互独立，则

P(A) P(B) B. P(A) P(B) P(A B)=

P(A)P(B)

10.若A与B对立事件，则下列错误的为(A

A. P(AB) P(A)P(B) B. P(A B) 1 C. C. P(A)P(B) D. P(A) P(B)

P(A B) P(A) P(B) D. P(AB) 0

11.设随机事件A、B互不相容，P(A) p, P(B) C )0

A. (1 p)q B. pq C. q D. P

12 .设 xx, 2, , £是一组样本观测值，则其标准差是( B )0 2 x

2

F (x) A Be

0, x 0

其它 A. 1 n

「 (x x)2 B. (丄(N x)2 1 n

C. (Xi x)2 D. n 1 \ i 1 ,n 1 i 1 n i 1

1 n

(Xi x)

n

i 1

13. 设随机变量X 〜叫卩，9), Y〜N［卩 ,25),记 P1 P{X 3}, P2 {Y 5}，则(B ) o

A. p1< P2 B. P 1= P2 C. P1>P2 D.

P1与P2的关系无法确定

14•若事件Ai, A2, A两两独立，则下列结论成立的是(B )

A. A1, A2, A3相互独立 B. A,A2, A3两两独立

C. P(A1 A>A3) P(AJP(A2)P(A3) D.兀入2, A3相互独立

15.设随机变量 X N(4,9)，则( )

(A) E(X) 2 (B) D(X) 3 (C) D(X) 9 (D)以上都不是

三、计算题

1 •已知连续型随机变量 X的概率密度为

a、x, 0 x 1

f(x)

0, 其它

求( 1) a； (2) X的分布函数F (x) ；(3) P ( X >o

解：⑴ f (x)dx 1

°a 、xdx -a

3 1

a 3/2

⑵当x 0时， F(x) x f(t)dt 0

当0 x 1时， F(x) x f(t)dt x .

3、、tdt x3/2 0 2

当x 1时， F(x) x

f (t)dt 1

0,

x 0

0

故 F(x) x3/2

1,

⑶ P ( X>1/4)=1— F(1/4)=7/8

2.已知连续型随机变量X的分布函数为

求(1) A, B; (2)密度函数 f (x) ； (3) P (1

(1) lim F(x) x A 1

解:

lim F(x) A B 0

x 0

B 1

⑵

x2/2

f(x) F (x) xe , x 0

0, x 0

⑶ P (1

3•设随机向量(X, Y)联合密度为

(1) 求系数A;

(2) 判断X, 丫是否独立，并说明理由;

(3) 求 P{ 0

f (x y)dxdy Ae (2x 3y)dxdy A e 2xdx e 3ydy =

0 0 0 0

可得A= 6 o

(2)因(X, 丫关于X和丫的边缘概率密度分别为

则对于任意的(x,y) R2，均成立f (x, y)= f X (x)* f Y (y)，所以X与丫独立。

2 1 2 1

(3) P{ 0

0 0 0 0

=(e 2x0)( e 3y0) (1 e 4)(1 e 3).

0 0

4•某车间生产滚珠，其直径 X〜N (,，从某天的产品里随机抽出9个量得直径如下(单位:

毫米)：f(x, y)= Ae (2x 3y) x 0,y 0;

0, 其它.

解：(1 ) 由1 =

A( ^e2x )( 2 0 ^e3y 3

f X ( x)= 2e 2x

0, x 0;

其它. fY (y)= 3e

0, 3y y 0;

其它.