2014北京市海淀区高考数学(文)二模试题(附答案)

北京市西城区2014年高三二模试卷数学（文科）2014．5第I 卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．设集合{}20A x x =-<，集合{}1B x x =>，则（ ）．A ．AB ⊆ B ．B A ⊆C ．A B =∅D ． A B ≠∅2．在复平面内，复数()()12i 1i z =+-对应的点位于（ ）．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．直线2y x =为双曲线2222:1(0,0)x yC a b a b-=>>的一条渐近线，则双曲线C 的离心率是（ ）．ABCD4．某四棱锥的三视图如图所示，记A 为此棱锥所有棱的长度的集合，则（ ）．A ．2A ∈，且4A ∈ BA ，且4A ∈ C ．2A ∈，且ADAA5．设平面向量,,a b c 均为非零向量，则“()0⋅-=a b c ”是“=b c ”的（ ）．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．在ABC △中，若14,3,cos 3a b A ===，则角B =（ ）．A ．π4B ．π3C ．π6D ．2π37．设函数224,4,()log ,4x x x f x x x ⎧-+⎪=⎨>⎪⎩≤若函数()y f x =在区间(,1)a a +上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）．A ．(],1-∞B ．[]1,4C ．[)4,+∞D ．(][),14,-∞+∞8．设Ω为平面直角坐标系中的点集，从Ω中的任意一点P 作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为M ，N ，记点M 的横坐标的最大值与最小值之差为()x Ω，点N 的纵坐标的最大值与最小值之差为()y Ω．如果Ω是边长为1的正方形，那么()()x y Ω+Ω的取值范围是（ ）．A． B．2,⎡⎣ C．⎡⎣ D．⎡⎣第II 卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．在等差数列{}n a 中，141,7a a ==，则公差d =_________;12n a a a +++=___________．10．设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，M 为抛物线C 上一点，且点M 的横坐标为2，则MF =___________．11．执行如图所示的程序框图，输出的a 值为________．12．在平面直角坐标系xOy 中，不等式组0,0,80x y x y ⎧⎪⎨⎪+-⎩≥≥≤ 所表示的平面区域是α，不等式组04,04x y ⎧⎨⎩≤≤≤≤所表示的平面区域是β，从区域α中随机取一点(,)P x y ，则P 为区域β内的点的概率是________．13．已知正方形,2ABCD AB =,若将ABD △沿正方形的对角线BD 所在的直线进行翻折，则在翻折的过程中，四面体A BCD -的体积的最大值是_______．14．已知f 是有序数对集合{}(,),M x y x y **=∈∈N N 上的一个映射，正整数对(,)x y 在映射f 下的象为实数z ，记作(,)z f x y =，对于任意的正整数,()m n m n >，映射f 由下表给出：则(3,5)f =_________，使不等式(2,)4x f x ≤成立的x 的集合是________．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数()cos (sin cos )1f x x x x =-+．（I ）求函数()f x 的最小正周期；（II ）当π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的最大值和最小值．16．（本小题满分13分）为了解某校学生的视力情况，现采用随机抽样的方式从该校的,A B 两班中各抽5名学生进行视力检测．检测的数据如下：A 班的5名学生的视力检测结果：43．，51．，46．，41．，49．． B 班的5名学生的视力检测结果：51．，49．，40．，40．，45．． （I ）分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪个班的学生视力较好？（II ）由数据判断哪个班的5名学生视力方差较大？（结论不要求证明）（III ）根据数据推断A 班全班40名学生中有几名学生的视力大于46．？17．（本小题满分14分）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，12AA =，E 为1AA 的中点，O 为1BD 的中点． （I ）求证：平面11A BD ⊥平面11ABB A ； （II ）求证：//EO 平面ABCD ；（III ）设P 为正方体1111ABCD A B C D -棱上一点，给出满足条件OP 的点P 的个数，并说明理由．18．（本小题满分13分）已知函数2e ()1xf x ax x =++，其中a ∈R ．（I ）若0a =，求函数()f x 的定义域和极值；（II ）当1a =时，试确定函数()()1g x f x =-的零点个数，并证明．19．（本小题满分14分）设12,F F 分别为椭圆22:12x W y +=的左、右焦点，斜率为k 的直线l 经过右焦点2F ，且与椭圆W 相交于A ，B 两点．（I ）求1ABF △的周长；（II ）如果1ABF △为直角三角形，求直线l 的斜率k ．20．（本小题满分13分）在无穷数列{}n a 中，11a =，对于任意*n ∈N ，都有*n a ∈N ，1n n a a +<，设*m ∈N ，记使得n a m ≤成立的n 的最大值为m b ．（I ）设数列{}n a 为1，3，5，7，L ，写出1b ，2b ，3b 的值； （II ）若{}n a 为等比数列，且22a =，求12350b b b b ++++L 的值； （III ）若{}n b 为等差数列，求所有可能的数列{}n a ．北京市西城区2014年高三二模试卷参考答案及评分标准 高三数学（文科） 2014.5一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．D 2．A 3．C 4．D 5．B 6．A 7．D 8．B 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．2 2n 10．3 11．2- 12．1213．314．8 {1,2} 注：第9，14题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：2()sin cos cos 1f x x x x =-+11cos 2sin 2122xx +=-+ ……………… 4分111sin 2cos 2222x x =-+π1)242x =-+，………… 6分 所以函数()f x 的最小正周期为2ππ2T ==. ……………… 7分 （Ⅱ）解：由 π02x -≤≤，得5πππ2444x --≤≤-.所以 π1sin(2)42x --≤≤， ……………… 9分所以 π1)42x -+≤1，即 ()1f x ≤. ……… 11分当ππ242x -=-，即π8x =-时，函数()f x 取到最小值π1()82f -=；… 12分当π5π244x -=-，即π2x =-时，函数()f x 取到最大值π()12f -=. …………13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：A 班5名学生的视力平均数为A 4.3+5.1+4.6+4.1 4.9==4.65x +， ………… 2分B 班5名学生的视力平均数为B 5.1+4.9+4.0+4.0 4.5==4.55x +. …………… 3分从数据结果来看A 班学生的视力较好. ……………… 4分 （Ⅱ）解：B 班5名学生视力的方差较大. ……………… 8分 （Ⅲ）解：在A 班抽取的5名学生中，视力大于4.6的有2名，所以这5名学生视力大于4.6的频率为25． ……………… 11分所以全班40名学生中视力大于4.6的大约有240165⨯=名，则根据数据可推断A班有16名学生视力大于4.6．………………13分17．（本小题满分14分）18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：函数e ()1xf x x =+的定义域为{|x x ∈R ，且1}x ≠-. ……………… 1分22e (1)e e ()(1)(1)x x xx x f x x x +-'==++. ……………… 3分 令()0f x '=，得0x =，当x 变化时，()f x 和()f x '的变化情况如下：4分故()f x 的单调减区间为(,1)-∞-，(1,0)-；单调增区间为(0,)+∞．所以当0x =时，函数()f x 有极小值(0)1f =. ……………… 5分 （Ⅱ）解：结论：函数()g x 存在两个零点.证明过程如下：由题意，函数2e ()11xg x x x =-++， 因为 22131()024x x x ++=++>， 所以函数()g x 的定义域为R . ……………… 6分求导，得22222e (1)e (21)e (1)()(1)(1)x x x x x x x x g x x x x x ++-+-'==++++， ………………7分令()0g x '=，得10x =，21x =，当x 变化时，()g x 和()g x '的变化情况如下：故函数的单调减区间为；单调增区间为(,0)-∞，． 当0x =时，函数()g x 有极大值(0)0g =；当1x =时，函数()g x 有极小值e(1)13g =-.… 9分 因为函数()g x 在(,0)-∞单调递增，且(0)0g =，所以对于任意(,0)x ∈-∞，()0g x ≠. ……………… 10分 因为函数()g x 在(0,1)单调递减，且(0)0g =，所以对于任意(0,1)x ∈，()0g x ≠. ……………… 11分因为函数()g x 在(1,)+∞单调递增，且e(1)103g =-<，2e (2)107g =->， 所以函数()g x 在(1,)+∞上仅存在一个0x ，使得函数0()0g x =， ………… 12分故函数()g x 存在两个零点（即0和0x ）. ……………… 13分19．（本小题满分14分） （Ⅰ）解：椭圆W的长半轴长a =1(1,0)F -，右焦点2(1,0)F ， … ……… 2分由椭圆的定义，得12||||2AF AF a +=，12||||2BF BF a +=， 所以1ABF ∆的周长为1212||||||||4AF AF BF BF a +++== ……………… 5分 （Ⅱ）解：因为1ABF ∆为直角三角形，所以o 190BF A ∠=，或o 190BAF ∠=，或o190ABF ∠=， 当o 190BF A ∠=时，设直线AB 的方程为(1)y k x =-，11(,)A x y ，22(,)B x y ， ……………… 6分由 221,2(1),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩ 得 2222(12)4220k x k x k +-+-=， ……………… 7分所以 2122412k x x k +=+，21222212k x x k -=+. ……………… 8分由o190BF A ∠=，得110F A F B ⋅=， ……………… 9分因为111(1,)F A x y =+，122(1,)FB x y =+， 所以11121212()1F A F B x x x x y y ⋅=++++2121212()1(1)(1)x x x x k x x =++++-- 2221212(1)(1)()1k x x k x x k =++-+++2222222224(1)(1)101212k k k k k k k-=+⨯+-⨯++=++， ……………10分解得k =. ……………… 11分 当o 190BAF ∠=（与o190ABF ∠=相同）时，则点A 在以线段12F F 为直径的圆221x y +=上，也在椭圆W 上，由22221,21,x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩解得(0,1)A ，或(0,1)A -， ……………… 13分 根据两点间斜率公式，得1k =±， 综上，直线l的斜率k =，或1k =±时，1ABF ∆为直角三角形. ……………14分 20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：11b =，21b =，32b =. ……………… 3分 （Ⅱ）解：因为{}n a 为等比数列，11a =，22a =，所以12n n a -=， ……………… 4分 因为使得n a m ≤成立的n 的最大值为m b ，所以11b =，232b b ==，45673b b b b ====，89154b b b ====，1617315b b b ====，3233506b b b ====， ……………… 6分所以12350243b b b b ++++=. ……………… 8分（Ⅲ）解：由题意，得1231n a a a a =<<<<<，结合条件*n a ∈N ，得n n a ≥. ……………… 9分 又因为使得n a m ≤成立的n 的最大值为m b ，使得1n a m +≤成立的n 的最大值为1m b +，所以11b =，*1()m m b b m +∈N ≤. ……………… 10分 设2 a k =，则 2k ≥. 假设2k >，即2 >2a k =，则当2n ≥时，2n a >；当3n ≥时，1n k a +≥. 所以21b =，2k b =. 因为{}n b 为等差数列， 所以公差210d b b =-=，所以1n b =，其中*n ∈N .这与2(2)k b k =>矛盾， 所以22a =. ……………… 11分 又因为123n a a a a <<<<<，所以22b =，由{}n b 为等差数列，得n b n =，其中*n ∈N . ……………… 12分 因为使得n a m ≤成立的n 的最大值为m b ，所以n n a ≤，由n n a ≥，得n n a =. ……………… 13分。

2014年北京市房山区高考数学二模试卷（文科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 若a ∈R ，i 为虚数单位，且(a −i)i =1+2i ，则a =( ) A.−1 B.0 C.1 D.22. 双曲线的x 2a 2−y 24=1(a >0)的一条渐近线方程是y =23x ，则a =( )A.√3B.3C.6D.93. 若向量a →、b →的夹角为60∘，|a →|=|b →|=1，则a →⋅(a →−b →)=( ) A.1+√32B.1−√32C.32D.124. 已知a >1，log a x <log a y <0，则（ ） A.1<x <y B.1<y <x C.0<x <y <1 D.0<y <x <15. 已知命题p:y =cos x 是偶函数，命题q:∃x ∈R ，sin x =2，则下列判断正确的是（ ） A.￢p 是真命题 B.￢q 是假命题 C.p ∧q 是真命题 D.￢p ∨q 是假命题6. 将函数y =sin 2x 的图象向右平移π8个单位后，所得图象的一条对称轴方程是（ ）A.x =π8B.x =−π8C.x =π4D.x =−π47. 对任意两实数a ，b ，定义运算“*”：a ∗b ={a,a ≥bb,a <b ，关于函数f(−x)=e −x ∗e x ，给出下列四个结论：①函数f(x)的最小值是e ； ②函数f(x)为偶函数；③函数f(x)在(0, +∞)上单调递增；④函数f(x)的图象与直线y =ex 没有公共点； 其中正确结论的序号是（ ） A.①③ B.②③C.①④D.②④8. 已知A(0, 1)，B(1, 0)，点C 在抛物线y 2=2x 的图象上，若△ABC 的面积大于32，则点C 纵坐标的取值范围为（ ）A.(−4, 2)B.(−2, 4)C.(−∞, −4)∪(2, +∞)D.(−∞, −2)∪(4, +∞)二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．某校高三年级共400名学生，现用分层抽样的方法随机抽取32人进行健康调查．若男生抽取了12人，则高三年级共有女生________人．直线x +√3y =0被圆x 2+y 2−4y =0截得的弦长为________．一个体积为16的三棱锥的三视图如图所示，其俯视图是一个等腰直角三角形，则这个三棱锥左视图的面积为________．设不等式组{0≤x ≤10≤y ≤1表示的平面区域为D ，在区域D 内任取一点P(x 0, y 0)，则点P 满足y 0<2x 0的概率为________．某房地产开发公司用800万元购得一块土地，该土地可以建造每层1000平方米的楼房，已知第一层每平方米的建筑费用为600元，楼房每升高一层，每平方米的建筑费用增加40元．若把楼房建成n 层后，每平方米的平均综合费用最低（综合费用是建筑费用与购地费用之和），则n =________．设集合P n ={1, 2, ..., n}，n ∈N ∗，设集合A 同时满足以下三个条件：①A ⊆P n ；②若x ∈A ，则2x ∉A ； ③若x ∈∁P n A ，则2x ∉∁p n A ．当n =4时，写出一个满足条件的集合A ________；当N =9时，满足条件的集合A 的个数为________．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．在△ABC中，已知cos2C=−19，C为锐角．（1）求sin C的值；（2）若a=2，△ABC的面积为√5，求c的值．已知等比数列{a n}的公比为q，且q<0，其中a1，3a3，a2成等差数列．（1）求q的值；（2）设{b n}是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为S n，求使S n>0成立的最大正整数n．在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AA1=2AB，E，F分别是AA1，DD1的中点．（1）求证：B1C1 // 平面EFC；（2）求证：C1F⊥平面EFC；（3）在棱BB1上是否存在一点P，使得平面ADP⊥平面EFC？若存在，求出BPBB1的值；若不存在，请说明理由．已知函数f(x)=ln x+2ax，a∈R．（1）若函数f(x)在x=1处取得极值，求a的值；（2）若函数f(x)的图象上的点都在直线y=2的上方，求a的取值范围．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点分别为F1(−1, 0)，F2(1, 0)，短轴的一个端点为M，△MF1F2为等边三角形．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点(0, −2)的直线l与椭圆C相交于A，B两点，在直线y=−12上是否存在点N，使得四边形OANB为矩形？若存在，求出N点坐标；若不存在，请说明理由．定义在区间(0, +∞)上的函数f(x)满足：①f(x)不恒为零；②对任意x∈R+，a∈R都有f(x a)=af(x)．（1）若f(2)=1，求f(√2)的值；（2）求证：方程f(x)=0有且只有一个实数根；（3）若f(x)在(0, +∞)上单调递增，且m>n>0时，有|f(m)|=|f(n)|=2|f(m+n2)|，求证：3<m<2+√2．参考答案与试题解析2014年北京市房山区高考数学二模试卷（文科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1.【答案】 D【考点】复数代数形式的乘除运算 【解析】利用复数的运算法则即可得出． 【解答】解：∵ (a −i)i =1+2i ， ∴ −i ⋅i(a −i)=−i(1+2i)， ∴ a −i =−i +2， ∴ a =2． 故选：D ． 2.【答案】 B【考点】 双曲线的特性 【解析】 由双曲线的x 2a 2−y 24=1(a >0)的一条渐近线方程是y =23x ，可得2a =23，即可求出a 的值．【解答】解：∵ 双曲线的x 2a 2−y 24=1(a >0)的一条渐近线方程是y =23x ，∴ 2a =23， ∴ a =3． 故选：B ． 3. 【答案】 D【考点】平面向量数量积的性质及其运算律 【解析】由 a →⋅(a →−b →)=a →2−a →⋅b →=1−1×1cos 60∘，运算求得结果． 【解答】解：a →⋅(a →−b →)=a →2−a →⋅b →=1−1×1cos 60∘=12，故选D ．4.【答案】 C【考点】对数的运算性质 【解析】利用对数函数的单调性即可得出． 【解答】解：∵ a >1，log a x <log a y <0=log a 1， ∴ 0<x <y <1． 故选：C ． 5.【答案】 D【考点】复合命题及其真假判断 【解析】本题考查的知识点是复合命题的真假判定，解决的办法是先判断组成复合命题的简单命题的真假，再根据真值表进行判断． 【解答】解：∵ y =cos x 是偶函数， ∴ 命题p 为真命题；∵ 对于∀x ∈R ，都有sin x ≤1， ∴ 命题q 为假命题， ∴ ￢p 为假命题， ∴ ￢p ∨q 是假命题 故选：D ． 6.【答案】 B【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换 正弦函数的对称性 【解析】由y =A sin (ωx +φ)的图象变换规律可得所得图象对应的函数解析式为y =sin (2x −π4)，令2x −π4=kπ+π2，k ∈Z ，求得x 的值，可得所得图象的一条对称轴方程． 【解答】解：将函数y =sin 2x 的图象向右平移π8个单位后，所得图象对应的函数解析式为y =sin 2(x −π8)=sin (2x −π4)， 令2x −π4=kπ+π2，k ∈Z ，求得x =kπ2+3π8，∴ y =sin (2x −π4)的对称轴方程为：x =kπ2+3π8，k ∈Z ．当k =−1时，x =−π8. 故选B ． 7. 【答案】 B【考点】函数解析式的求解及常用方法 函数的图象变换【解析】求出函数f(x)的解析式，求出函数的最小值判断①的正误；利用奇偶性定义判断②的正误；利用函数的单调性判断③的正误；利用函数的图象的交点判断④的正误． 【解答】解：由题意得，函数f(−x)=e −x ∗e x ={e x ，x ≥0e −x ，x <0∴ f(x)={e −x ，x ≤0e x，x >0对于①，∵ f(0)=e 0=1，∴ f(x)的最小值是1，∴ ①错误；对于②，∵ f(−x)=e −x ∗e x =e x ∗e −x =f(x)，∴ f(x)为偶函数，∴ ②正确； 对于③，当x >0时，f(x)=e x 是增函数，∴ ③正确；对于④，构造函数g(x)=e x −ex ，其中x >0，当x =1时，g(x)=0，∴ 函数g(x)有零点， ∴ 函数f(x)与y =ex 有公共点，∴ ④错误． 所以，正确的结论有②③． 故选：B ． 8.【答案】 C【考点】 抛物线的求解 【解析】利用△ABC 的面积大于32，可得C 到直线AB 的距离大于√2，根据点到直线的距离公式，即可得出结论．【解答】解：设C(x, y)，点C 到AB 的距离为d ，则直线AB 的方程为x +y −1=0，|AB|=√2 ∵ △ABC 的面积大于32，S =12|AB|d ， ∴ d >√2 ∴√2>√2， ∴ |x +y −1|>3， ∴y 22+y −1>3或y 22+y −1<−3，∴ y <−4或y >2． 故选：C ．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．【答案】 250【考点】 分层抽样方法 【解析】根据分层抽样的特征，求得样本中男女学生的比例，再根据比例计算总体中女生人数． 【解答】解：由题意知样本容量为32，男生抽取12人，女生抽取20人， 男女比例为12:20=3:5，∴ 高三年级共有女生数为400×58=250人．故答案为：250． 【答案】 2【考点】直线与圆相交的性质 【解析】写出圆的标准方程，求出弦心距，再利用弦长公式求得弦长． 【解答】解：圆x 2+y 2−4y =0即 x 2+(y −2)2=4，它的圆心为(0, 2)，半径为r =2． ∵ 圆心到直线x +√3y =0的距离为d =√3|√1+3=√3，∴ 弦长为2√r 2−d 2=2， 故答案为：2． 【答案】 √24【考点】由三视图求体积 【解析】根据三棱锥的俯视图是一个斜边长为√2的等腰直角三角形，可得左视图的宽，再根据体积求得左视图的高，代入三角形的面积公式计算． 【解答】解：由三棱锥的三视图知：底面等腰直角三角形斜边上的高为√22， ∴ 侧视图的宽为√22，设棱锥的高为H ，则13×12×√2×√22×H =16，∴ 棱锥的高H =1，∴ 侧视图的高为1，又侧视图为直角三角形， ∴ 侧视图的面积S =12×√22×1=√24． 故答案为：√24． 【答案】34【考点】 简单线性规划 【解析】作出不等式组对应的区域，利用几何概型的概率公式，即可得到结论． 【解答】解：不等式组{0≤x ≤10≤y ≤1表示的平面区域为D 的面积为1，不等式y <2x 对应的区域为梯形OABC ， 当y =1时，x =12，即C(12, 0)， 则梯形OABC 的面积S =(12+1)×12=34，则在区域D 内任取一点P(x 0, y 0)，则点P 满足y 0<2x 0的概率为341=34，故答案为：34．【答案】20【考点】函数解析式的求解及常用方法 【解析】根据题意，公司把楼建成n 层，求出每平方米的购地费用以及建n 层的每平方米的建筑费用，列出目标函数，利用均值不等式求最值即可． 【解答】解：建成x 层楼房，每平方米的购地费用为8000000÷1000n =8000n（元），∵ 第一层建筑成本为600元，每升高一层，每平方米的建筑费用增加40元， ∴ 每平方米的建筑费用为600+40+40×2+⋯+40(n−1)n=20n +580（元），所以每平方米的平均综合费用为：y =20n +580+8000n≥2√20n ×8000n+580=2×400+580=1380（元），当且仅当20n =8000n，即n =10时，该楼房每平方米的平均综合费用最低．故答案为：20． 【答案】{2}或{1, 4}或{2, 3}或{1, 3, 4},32 【考点】集合的包含关系判断及应用 【解析】(1)由题意可得P 4={1, 2, 3, 4}，符合条件的集合A 为：{2}，{1, 4}，{2, 3}，{1, 3, 4}，故可求f(4)；(2)任取偶数x ∈p n ，将x 除以2，若商仍为偶数，再除以2…，经过k 次后，商必为奇数，此时记商为m ，可知，若m ∈A ，则x ∈A ，⇔k 为偶数；若m ∉A ，则x ∈A ⇔k 为奇数，求出f(n)的解析式，将9代入可得答案． 【解答】解：(1)当n =4时，P 4={1, 2, 3, 4}，符合条件的集合A 为：{2}，{1, 4}，{2, 3}，{1, 3, 4}， 故答案为：{2}或{1, 4}或{2, 3}或{1, 3, 4}；(2)任取偶数x ∈p n ，将x 除以2，若商仍为偶数，再除以2…，经过k 次后，商必为奇数，此时记商为m ， 于是x =m ⋅2k ，其中m 为奇数，k ∈N ∗由条件可知，若m ∈A ，则x ∈A ⇔k 为偶数； 若m ∉A ，则x ∈A ⇔k 为奇数；于是x 是否属于A 由m 是否属于A 确定，设Q n 是P n 中所有的奇数的集合，因此f(n)等于Q n 的子集个数，当n 为偶数时（或奇数时），P n 中奇数的个数是12n （或n+12），∴ f(n)={2n2，n 为偶数2n+12，n 为奇数，故当N =9时，f(9)=25=32， 故答案为：32．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．【答案】解：（1）∵ △ABC 中，cos 2C =1−2sin 2C =−19，C 为锐角， ∴ sin 2C =59，则sin C =√53； （2）∵ a =2，S △ABC =√5， ∴ 12ab sin C =√53b =√5，即b =3，∵ sin C =√53，∴ cos C =√1−sin 2C =23，由余弦定理得：c 2=a 2+b 2−2ab cos C =4+9−12×23=5， 则c =√5．【考点】余弦定理正弦定理【解析】（1）已知等式左边利用二倍角的余弦函数公式化简，即可求出sin C的值；（2）利用三角形面积公式列出关系式，将a，sin C以及已知面积代入求出b的值，再由sin C的值求出cos C的值，利用余弦定理即可求出c的值．【解答】解：（1）∵△ABC中，cos2C=1−2sin2C=−19，C为锐角，∴sin2C=59，则sin C=√53；（2）∵a=2，S△ABC=√5，∴12ab sin C=√53b=√5，即b=3，∵sin C=√53，∴cos C=√1−sin2C=23，由余弦定理得：c2=a2+b2−2ab cos C=4+9−12×23=5，则c=√5．【答案】解：（1）由a1，3a3，a2成等差数列知6a3=a1+a2，即6a1q2=a1+a1q，所以6q2−q−1=0，因为q<0，所以q=−13；（2）S n=2n+n(n−1)2⋅(−13)=−n2+13n6，所以−n2+13n>0，解得0<n<13，所以满足条件的最大值为n=12．【考点】等比数列的性质【解析】（1）由a1，3a3，a2成等差数列知6a3=a1+a2，即6a1q2=a1+a1q，解方程可求q；（2）利用等差数列的求和公式可求S n，令S n>0可求n的范围，结合n∈N∗，即可得出结论．【解答】解：（1）由a1，3a3，a2成等差数列知6a3=a1+a2，即6a1q2=a1+a1q，所以6q2−q−1=0，因为q<0，所以q=−13；（2）S n=2n+n(n−1)2⋅(−13)=−n2+13n6，所以−n2+13n>0，解得0<n<13，所以满足条件的最大值为n=12．【答案】（1）证明：∵长方体ABCD−A1B1C1D1中，AA1=2AB，E，F分别是AA1，DD1的中点，∴B1C1 // A1D1，EF // A1D1，∴B1C1 // EF，∵B1C1不包含于平面EFC，EF⊂平面EFC，∴B1C1 // 平面EFC．（2）证明：设AB=1，则AA1=2AB=2，D1F=DF=1，∴C1F=CF=√2，∴C1F2+CF2=CC12，∴C1F⊥CF，∵A1D1⊥平面CDD1C1，EF // A1D1，∴EF⊥平面CDD1C1，∵C1F⊂平面CDD1C1，∴C1F⊥EF，∴C1F⊥平面EFC．（3）解：棱BB1上存在中点P，使得平面ADP⊥平面EFC．证明如下：∵长方体ABCD−A1B1C1D1中，F是DD1中点，P是BB1中点，∴C1F // AP，∵C1F⊥平面EFC，∴AP⊥平面EFC，∵AP⊂平面ADP，∴平面ADP⊥平面EFC，此时BPBB1=12．【考点】平面与平面垂直的性质直线与平面垂直的判定直线与平面平行的判定【解析】（1）由已知条件推导出B1C1 // EF，由此能证明B1C1 // 平面EFC．（2）设AB=1，则AA1=2AB=2，D1F=DF=1，所以C1F=CF=√2，从而C1F2+CF2=CC12，进而得到C1F⊥CF，由线面垂直得到C1F⊥EF，由此能证明C1F⊥平面EFC．（3）棱BB1上存在中点P，使得平面ADP⊥平面EFC．从而得到平面ADP⊥平面EFC，时BPBB1=12．【解答】（1）证明：∵长方体ABCD−A1B1C1D1中，AA1=2AB，E，F分别是AA1，DD1的中点，∴B1C1 // A1D1，EF // A1D1，∴B1C1 // EF，∵B1C1不包含于平面EFC，EF⊂平面EFC，∴B1C1 // 平面EFC．（2）证明：设AB=1，则AA1=2AB=2，D1F=DF=1，∴C1F=CF=√2，∴C1F2+CF2=CC12，∴C1F⊥CF，∵A1D1⊥平面CDD1C1，EF // A1D1，∴EF⊥平面CDD1C1，∵C1F⊂平面CDD1C1，∴C1F⊥EF，∴C1F⊥平面EFC．（3）解：棱BB1上存在中点P，使得平面ADP⊥平面EFC．证明如下：∵长方体ABCD−A1B1C1D1中，F是DD1中点，P是BB1中点，∴C1F // AP，∵C1F⊥平面EFC，∴AP⊥平面EFC，∵AP⊂平面ADP，∴平面ADP⊥平面EFC，此时BPBB1=12．【答案】解：（1）∵f(x)=ln x+2ax，∴f′(x)=1x −2ax2，∵函数f(x)在x=1处取得极值，∴f′(1)=0，∴1−2a=0，∴a=12；（2）∵函数f(x)的图象上的点都在直线y=2的上方，∴ln x+2ax≥2在(0, +∞)上恒成立，∴2a≥2x−x ln x，令y=2x−x ln x，则y′=2−ln x−1=1−ln x，∴函数在(0, e)上单调递增，在(e, +∞)上单调递减，∴x=e时，函数取得最大值2e−e ln e=e，∴2a≥e，∴a≥e2．【考点】利用导数研究函数的极值利用导数研究函数的单调性【解析】（1）求导数，利用函数f(x)在x=1处取得极值，可得f′(1)=0，即可求a的值；（2）函数f(x)的图象上的点都在直线y=2的上方，可得ln x+2ax≥2在(0, +∞)上恒成立，即2a≥2x−x ln x，求出右边的最大值，即可求a的取值范围．【解答】解：（1）∵f(x)=ln x+2ax，∴f′(x)=1x−2ax2，∵函数f(x)在x=1处取得极值，∴f′(1)=0，∴1−2a=0，∴a=12；（2）∵函数f(x)的图象上的点都在直线y=2的上方，∴ln x+2ax≥2在(0, +∞)上恒成立，∴2a≥2x−x ln x，令y=2x−x ln x，则y′=2−ln x−1=1−ln x，∴函数在(0, e)上单调递增，在(e, +∞)上单调递减，∴x=e时，函数取得最大值2e−e ln e=e，∴2a≥e，∴a≥e2．【答案】解：（1）∵椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点分别为F1(−1, 0)，F2(1, 0)，短轴的一个端点为M，△MF1F2为等边三角形，∴c=1，a=2c=2，∴b2=4−1=3，∴椭圆C的标准方程为x24+y23=1．（2）在直线y=−12上不存在点N，使得四边形OANB为矩形．理由如下：∵过点(0, −2)的直线l与椭圆C相交于A，B两点，∴当l的斜率不存在时，l的方程为x=0，A(0, √3)，B(0, −√3)，在直线y=−12上不存在点N，使得四边形OANB为矩形．当直线l的斜率为0时，l的方程为y=−2，不成立，∴设直线l的方程为y=kx−2，k≠0，联立{y=kx−2x24+y23=1，得(3+4k2)x2−16kx+4=0，△=(−16k)2−16(3+4k2)>0，解得k2>14，设A(x1, y1)，B(x2, y2)，x1+x2=16k3+4k2，x1x2=43+4k2，y1y2=(kx1−2)(kx2−2)=k2x1x2−2k(x1+x2)+4，∴OA→⋅OB→=x1x2+y1y2=(k2+1)⋅43+4k2−2k⋅16k3+4k2+4=4−24k23+4k2，∵k2>14，∴OA→⋅OB→≠0，∴直线y=−12上是不存在点N，使得四边形OANB为矩形．【考点】直线与椭圆结合的最值问题【解析】（1）由已知条件推导出c=1，a=2c=2，由此能求出椭圆C的标准方程．（2）在直线y=−12上不存在点N，使得四边形OANB为矩形．设直线l的方程为y=kx−2，k≠0，联立{y=kx−2x24+y23=1，得(3+4k2)x2−16kx+4=0，由△>0，得k2>14，由韦达定理得OA→⋅OB→≠0，由此得直线y=−12上是不存在点N，使得四边形OANB为矩形【解答】解：（1）∵椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点分别为F1(−1, 0)，F2(1, 0)，短轴的一个端点为M，△MF1F2为等边三角形，∴c=1，a=2c=2，∴b2=4−1=3，∴椭圆C的标准方程为x24+y23=1．（2）在直线y=−12上不存在点N，使得四边形OANB为矩形．理由如下：∵过点(0, −2)的直线l与椭圆C相交于A，B两点，∴当l的斜率不存在时，l的方程为x=0，A(0, √3)，B(0, −√3)，在直线y=−12上不存在点N，使得四边形OANB为矩形．当直线l的斜率为0时，l的方程为y=−2，不成立，∴设直线l的方程为y=kx−2，k≠0，联立{y=kx−2x24+y23=1，得(3+4k2)x2−16kx+4=0，△=(−16k)2−16(3+4k2)>0，解得k2>14，设A(x1, y1)，B(x2, y2)，x1+x2=16k3+4k2，x1x2=43+4k2，y1y2=(kx1−2)(kx2−2)=k2x1x2−2k(x1+x2)+4，∴OA→⋅OB→=x1x2+y1y2=(k2+1)⋅43+4k2−2k⋅16k3+4k2+4=4−24k23+4k2，∵k2>14，∴OA→⋅OB→≠0，∴直线y=−12上是不存在点N，使得四边形OANB为矩形．【答案】解：（1）∵对任意x∈R+，a∈R都有f(x a)=af(x)，令x=2，则f(2a)=af(2)，∵f(2)=1，∴f(2a)=a，∴f(√2)=f(212)=12；（2）证明：∵对任意x∈R+，a∈R都有f(x a)=af(x)，∴令x=1则f(1)=af(1)，若a=1，则恒成立，若a≠1，则f(1)=0，∴f(x)=0有一个根为1，如果还有一个根设为m，m>0且m≠1，那么f(m)=0，f(m a)=af(m)，即有f(m a)=0，由于a为任意实数，m>0且m≠1，则由指数函数的值域得，m a>0，这与①f(x)不恒为零矛盾，所以f(m)=0不成立，故方程f(x)=0有且只有一个实数根；（3）证明：由|f(m)|=|f(n)|推出f(m)=f(n)或f(m)=−f(n)，∵f(x)在(0, +∞)上单调递增，∴f(m)=f(n)推出m=n，这与m>n>0矛盾，∴f(m)=−f(n)，∵f(x a)=af(x)，∴f(m)=f(n−1)，∴m=n−1，即n=1m，由于m>n>0，所以m>1，f(m)>f(1)=0，∵m+n2>√mn=1，∴f(m+n2)>0，又|f(m)|=2|f(m+n2)|，∴f(m)=2f(m+n2)=f(m2+n2+2mn4)，即有m=m 2+n2+2mn4，即m2+m−2−2=4(m−1)，∴(m−1m )2=4(m−1)，即(m−1)(m+1)2m2=4即m3−3m2−m−1=0，令f(m)=m3−3m2−m−1，由于f(3)=27−27−3−1<0，f(2+√2)=(6+4√2)(√2−1)−3−√2=√2−1>0，由零点存在定理得，3<m<2+√2．【考点】抽象函数及其应用函数单调性的性质【解析】（1）运用赋值法，令x=2，由f(2)=1，得f(2a)=a，再令a=12，即可求出f(√2)；（2）运用赋值令x=1，得到f(1)=0，如果还有一个根设为m，m>0且m≠1，推出f(m a)=0，由a为任意实数，得到与①f(x)不恒为零矛盾，故结论得证；（3）由|f(m)|=|f(n)|推出mn=1，由f(x)在(0, +∞)上单调递增，f(m)>0，f(m+n2)>0，由|f(m)|=2|f(m+n2)|推出m3−3m2−m−1=0，令f(m)=m3−3m2−m−1，运用零点存在定理，求出f(3)<0，f(2+√2)>0，故结论成立．【解答】解：（1）∵对任意x∈R+，a∈R都有f(x a)=af(x)，令x=2，则f(2a)=af(2)，∵f(2)=1，∴f(2a)=a，∴f(√2)=f(212)=12；（2）证明：∵对任意x∈R+，a∈R都有f(x a)=af(x)，∴令x=1则f(1)=af(1)，若a=1，则恒成立，若a≠1，则f(1)=0，∴f(x)=0有一个根为1，如果还有一个根设为m，m>0且m≠1，那么f(m)=0，f(m a)=af(m)，即有f(m a)=0，由于a为任意实数，m>0且m≠1，则由指数函数的值域得，m a>0，这与①f(x)不恒为零矛盾，所以f(m)=0不成立，故方程f(x)=0有且只有一个实数根；（3）证明：由|f(m)|=|f(n)|推出f(m)=f(n)或f(m)=−f(n)，∵f(x)在(0, +∞)上单调递增，∴f(m)=f(n)推出m=n，这与m>n>0矛盾，∴f(m)=−f(n)，∵f(x a)=af(x)，∴f(m)=f(n−1)，∴m=n−1，即n=1m，由于m>n>0，所以m>1，f(m)>f(1)=0，∵m+n2>√mn=1，∴f(m+n2)>0，又|f(m)|=2|f(m+n2)|，∴f(m)=2f(m+n2)=f(m2+n2+2mn4)，即有m=m2+n2+2mn4，即m2+m−2−2=4(m−1)，∴(m−1m)2=4(m−1)，即(m−1)(m+1)2m2=4即m3−3m2−m−1=0，令f(m)=m3−3m2−m−1，由于f(3)=27−27−3−1<0，f(2+√2)=(6+4√2)(√2−1)−3−√2=√2−1>0，由零点存在定理得，3<m<2+√2．。

市区高三年级第二次综合练习 数学学科测试（文史类）2014．5（考试时间120分钟满分150分)本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（1）若全集{},,,U a b c d =，，，则集合{}d 等于（）． （A ）（B ）A B （C ）（D ）解析：根据集合的运算性质，验证选项，答案为A.（2）下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的函数为（）．（A ）sin y x =（B ）ln y x =（C ）3y x =（D ）2xy =解析：A,C 是奇函数，A 不是一致单调函数；B,D 非奇非偶。

所以答案C 。

（3）已知抛物线,则它的焦点坐标是（）．（A ）（B ）（C ）（D ）1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭{},A a b ={}B c =()UAB A B ()UAB 0,+∞（）22x y =1,04⎛⎫⎪⎝⎭10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭10,4⎛⎫⎪⎝⎭解析：根据抛物线的性质，抛物线是开口向上的，交点，答案B 。

（4）执行如图所示的程序框图．若输入,则输出的值是（）．（A ）2 （B)3 （C)4 （D)5解析：第一次循环a=9，i=1；第二次循环a=21，i=2；第三次循环a=45，i=3；第四次循环A=93，i=4，输出结果，答案为C.（5）由直线10x y -+=，50x y +-=和10x -=所围成的三角形区域（包括边界）用不等式组可表示为（）．10,2⎛⎫⎪⎝⎭3a =i（A ）10,50,1.x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩（B ）10,50,1.x y x y x -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩（C ）10,50,1.x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩（D ）10,50,1.x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≤⎩解析：做出平面区域，带入特殊点验证，答案为A.（6）在区间上随机取一个实数，则事件：“”的概率为（）．（A ）（B)（C ）（D ） 解析：该题考察解概率模型，画出余弦函数，结合函数图像答案为D.（7）设等差数列的公差为，前项和为．若11a d ==，则的最小值为（）．（A ）（B ）（C ）（D ）解析：11(1)(1)888(1)81922(1)222n nn n n n a n d S n a a n d n n +++++++===+≥=+-，答案为B 。

北京市昌平区2014届高三4月第二次统练数 学 试 卷（文 科）2014．4第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．） （1）在复平面内，复数对应的点位于（ ）．（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限（D ）第四象限（2）已知等差数列中，，则的前10项和为（ ）．（A ） （B ） （C ）（D ）（3）在中，若，则的大小为（ ）． （A ） （B ） （C ） （D ）（4）已知命题使得；命题．则下列命题为真命题的是（ ）． （A ） （B ） （C ） （D ）（5）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）．（A ）（B ） （C ）（D ）（6）下列函数中，对于任意的，满足条件的函数是（ ）．（A ） （B ） （C ） （D ）（7）假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下： 方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天的回报比前一天多回报10元； 方案三：第一天回报0．4元，以后每天的回报是前一天的两倍．i(1i)-{}n a 264,12==a a {}n a 90100110120ABC ∆2221c a b ab-=+C ∠6π3π23π56π:,+∃∈R p x 12+<x x2:0q x x ∀∈≥R,∧p q ∨p q ∨⌝p q ∧⌝p q 1236247212,x x ∈R 211221()()0()f x f x x x x x ->≠-2log y x =1y x=-2=x y tan =y x 左视图4俯视图主视图36主视图左视图 俯视图若投资的时间为天，为使投资的回报最多，你会选择哪种方案投资？（ ）． （A ）方案一（B ）方案二 （C ）方案三（D ）都可以（8）已知，若恒成立，则的取值范围是（ ）． （A ） （B ） （C ）（D ）第二卷（非选择题 共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）（9）若直线与直线平行，则______ ．（10）已知实数满足则的最小值为_____ ．（11）已知双曲线的焦距为，一条渐近线的斜率为，则此双曲线的标准方程为______，焦点到渐近线的距离为_____ ．（12）执行右边的程序框图，若输入的N 是4，则输出p 的值是______ ．（13）已知矩形中，，在矩形内随机取一点,则的概率为__________ ．（14）在边长为2的菱形中，，若为的中点，则的值为____;若点为边上的动点，点是边上的动点，且，， ，则的最大值为________ ．三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） （15）（本小题满分13分）810:11, 1,()ln , 01⎧-≥⎪=⎨⎪<<⎩x f x xx x ()(1)f x k x ≤-k (1,)+∞(,0]-∞(0,1)[0,1]210ax y +-=2310x y --=a =,x y 50,3,0,-+≥⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩x y x x y 2=+z x y 22221,(0,0)x y a b a b-=>>1034ABCD 2,1AB BC ==ABCD M 90AMB ︒∠≤ABCD 60BAD ︒∠=P CD AP BD ⋅uu u r uu u r E AB F AD AE AB λ=uu u r uu u r (1)AF AD λ=-u u ur u u u r 01λ≤≤DE BF ⋅uuu r uu u r是已知函数,． （Ⅰ）求的最小正周期及值域； （Ⅱ）求单调递增区间．()f x cos (3sin cos )=+x x x x ∈R ()f x ()f x（16）（本小题满分13分）某学校为调查高一新生上学路程所需要的时间（单位：分钟），从高一年级新生中随机抽取100名新生按上学所需时间分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）根据图中数据求的值（Ⅱ）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名新生参与交通安全问卷调查，应从第3，4，5组 各抽取多少名新生？（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，该校决定从这6名新生中随机抽取2名新生参加交通安全宣传活动，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率．(0,10](10,20](20,30](30,40](40,50]a 0频率/组距时间 （分钟）0.0350.03a 0.010.0055040302010 频率/组距时间（分钟）（17）（本小题满分14分）已知正四棱柱中，是的中点． （I ）求证：平面； （II ）求证：；（III ）在线段上是否存在点，当时，平面平面？若存在，求出的值并证明；若不存在，请说明理由．1111-ABCD A BC D M 1DD 1//BD AMC 1⊥AC BD 1BB P 1BPBB λ=11//A PC AMCλ（18）（本小题满分13分）已知等差数列的前项和为，公差，且． （Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设数列是首项为1，公比为的等比数列，求数列的前n 项和．{}n a n n S 2=d 5346=+S a {}n a {}n nb ac {}n b n T（19）（本小题满分13分） 已知函数，． （Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）如果对于任意的，都有，求的取值范围．32()213a f x x x ax =+--'(1)0-=f ()f x [2,0)x ∈-()3f x bx ≤+b（20）（本小题满分14分）已知椭圆的焦点为，点是椭圆上的一点，与轴的交点恰为的中点， ． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若点为椭圆的右顶点，过焦点的直线与椭圆交于不同的两点,求面积的取值范围．2222:1(0)x y C a b a b+=>>12(1,0),(1,0)F F -P C 1PF y Q 1PF 34OQ =C A 1F C ,M N AMN ∆北京市昌平区2014届高三4月第二次统练（二模) 数学试卷（文科）参考答案及评分标准 2014．4一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．题 号 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） 答 案ACCBACBD二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．） （9） （10）（11）； （12）（13）； （14） ；（注：第一空2分，第二空3分）三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） （15）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为………1分………3分 ， ………4分 所以 ． ………6分 因为， 所以． ………7分所以． 所以的值域为． ………8分4-3-221169x y -=32414π-132-()cos (3sin cos )f x x x x =+23sin cos cos x x x =+311sin 2cos 2222x x =++1sin(2)62x π=++22T ππ==x ∈R 1sin(2)16x π-≤+≤113sin(2)2622x π-≤++≤()f x 13[,]22-（Ⅱ）因为 ， ………10分所以 ． ………11分 所以． ………12分所以函数的单调递增区间为． ………13分（16）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为, ………1分 所以． ………2分 （Ⅱ）依题意可知，第3组的人数为， 第4组的人数为， 第5组的人数为．所以3、4、5组人数共有60． ………3分所以利用分层抽样的方法在60名学生中抽取6名新生,分层抽样的抽样比为． ………4分 所以在第3组抽取的人数为人 ， 在第4组抽取的人数为人， 在第5组抽取的人数为人， ………7分 （Ⅲ）记第3组的3名新生为,第4组的2名新生为,第5组的1名新生为．则从6名新生中抽取2名新生，共有:,共有15种． …………9分其中第4组的2名新生至少有一名新生被抽中的有:222262k x k πππππ-+≤+≤+222233k x k ππππ-+≤≤+36k x k ππππ-+≤≤+()f x [,],()36k k k ππππ-++∈Z (0.0050.010.030.035)101a ++++⨯=0.02a =0.310030⨯=0.210020⨯=0.110010⨯=616010=130310⨯=120210⨯=110110⨯=123,,A A A 12,B B 1C 121311121123212221(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),A A A A A B A B A C A A A B A B A C 313231121121(,),(,),(,),(,),(,),(,)A B A B A C B B B C B C 12,B BC 1D 1A 1B 1MCD AB NPQ共有9种, …………11分则第4组至少有一名新生被抽中的概率为 …………13分（17）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）在正四棱柱中,连结交于，连结． 因为为正方形，所以为中点． ………1分 在中， 因为为中点，所以∥． ………2分 因为平面，平面， ………4分 所以∥平面． ………5分 （Ⅱ）因为为正方形，所以． ………6分 因为平面，所以． ………7分 因为, ………8分 所以平面． ………9分 因为，所以． ………10分 （Ⅲ）当，即点为线段的中点时，平面平面．…11分 因为且，所以四边形是平行四边形．所以． ………12分 取的中点，连结． 因为为中点， 所以且，11122122(,),(,),(,),(,),A B A B A B A B 3132121121(,),(,),(,),(,),(,)A B A B B B B C B C 93155P ==1111ABCD A BC D -BD AC N MN ABCD N BD 1DBD ∆M 1DD 1BD MN MN ⊂AMC 1BD ⊄AMC 1BD AMC ABCD AC BD ⊥1DD ⊥ABCD 1DD AC ⊥1DD BD D =I ⊥AC 1BDD 11BD BDD ⊂平面1AC BD ⊥12λ=P 1BB 11//A PC AMC 11//AA CC 11AA CC =11AAC C 11//AC AC 1CC Q ,MQ QB M 1DD //MQ AB MQ AB =所以四边形是平行四边形．所以． ………13分 同理． 所以．因为，，所以平面平面． ………14分（18）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为公差，且，所以． ………2分 所以． ………4分 所以等差数列的通项公式为． ………5分 （Ⅱ）因为数列是首项为1，公比为的等比数列， 所以． ………6分 所以． ………7分（1）当时，． ………8分 所以． ………9分 （2）当时，因为 ① ………9分②………10分①-②得ABQM //BQ AM 1//BQ C P 1//AM C P 1111AC C P C ⋂=AC AM A ⋂=11//A PC AMC 2=d 5346=+S a 1154524((31)2)62a a ⨯+⨯=+-⨯+12a ={}n a 2n a n ={}nnb ac 1n nnb c a -=112n n n n b a cn c --=⋅=⋅1c =2n b n =2(22)(1)2n n n T n n n n +==+=+1c ≠1231n n n T b b b b b -=+++++L 012212462(1)2n n n T c c c n cn c --=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅L 12312462(1)2n n n cT c c c n c n c -=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅L………11分………12分………13分（19）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为， ………1分因为，所以． ………2分所以．令，解得． ………3分 随着的变化，和的变化情况如下：↘↗↘即在和上单调递减，在上单调递增． ………6分 （Ⅱ）因为对于任意的，都有，即， 所以． ………8分 设． 因为， ………9分 0121(1)22222n n n c T c c c cn c --=⋅+⋅+⋅++⋅-⋅L 01212()2n n c c c c n c -=++++-⋅L 2(1)21n n c n c c-=-⋅-22(1)2(1)1n nn c n c T c c-⋅=---2'()22f x ax x a =+-'(1)0-=f 2a =-2'()224f x x x =-++22(2)x x =---2(1)(2)x x =-+-'()0f x =121,2x x =-=x '()f x ()f x x (,1)-∞-1-(1,2)-2(2,)+∞'()f x -+-()f x ()f x (,1)-∞-(2,)+∞(1,2)-[2,0)x ∈-()3f x bx ≤+3223413bx x x x +≥-++-22443b x x x ≤-++-224()43h x x x x=-++-244'()13h x x x=-++又因为，所以． ………10分 所以．所以在上单调递增． ………11分所以． ………12分 即． ………13分（20）（本小题满分14分）解：（I ）因为为的中点，为的中点，， 所以，且． ………1分 所以．因为， 所以． ………2分 因为, ………3分 所以．所以椭圆的方程为． ………4分（Ⅱ）设过点的直线的斜率为,显然．（1）当不存在时，直线的方程为，所以． 因为，所以． …………5分 （2）当存在时，设直线的方程为．[2,0)x ∈-2440,03x x->>'()0h x >()h x [2,0)-min 4()(2)3h x h =-=43b ≤Q 1PF O 12F F 34OQ =2//PF OQ 2322PF OQ ==212PF F F ⊥12(1,0),(1,0)F F -22112252PF F F PF =+=12532422a PF PF =+=+=2222,3a b a c ==-=C 22143x y +=1(1,0)F -l k 0k ≠k l 1x =-3MN =(2,0)A 11922AMN S MN AF ∆==k l (1)y k x =+由,消并整理得: ． …………6分设,则，． …………7分 因为， …………8分 又因为点到直线的距离， …………9分所以…………10分设，则22(1),143y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩y 2222(34)84120k x k x k +++-=1122(,),(,)M x y N x y 2122834k x x k -+=+212241234k x x k-⋅=+222121()()MN x x y y =-+-221212(1)[()4]k x x x x =++-422222644(412)(1)[](34)34k k k k k -=+-++2212(1)34k k+=+(2,0)A (1)y k x =+231kd k =+12AMN S d MN ∆=⋅⋅2223112(1)2341k k k k +=⋅⋅++2211834k k k+=⋅+2222(1)18(34)k k k +=+42241892416k k k k+=++242111892416k k k +=++21m k=211892416AMN mS m m ∆+=++2118924161m m m =+++． …………11分 因为,所以． 因为函数在上单调递增， …………12分 所以． 所以． 所以． 所以．所以所以． …………13分 综合（1）（2）可知 ． …………14分21189(1)6(1)11m m m =+++++11819(1)61m m =++++0m >11m +>1()9f x x x =+1(,)3+∞19(1)101m m ++>+19(1)6161m m +++>+111169(1)61m m <++++11149(1)61m m <++++1918129(1)61m m <++++902AMN S ∆<<902AMN S ∆<≤。