2013届高三数学一轮复习单元训练 空间几何体
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用心 爱心 专心 1 黑龙江省2013届高三数学一轮复习单元训练：空间几何体 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟． 第Ⅰ卷(选择题 共60分) 一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．如右图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图都是边长为2的正三角形,其俯视图轮廓为正方形，则其体积是（ ）
A．36 B． 423 C． 433 D． 83 【答案】C 2．一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2 cm，则球的表面积是( ) A．8π cm2 B．12π cm2 C．16π cm2 D．20π cm2 【答案】B 3．利用斜二测画法可以得到①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形．以上结论正确的是( ) A．①② B．① C．③④ D．①②③④ 【答案】A 4．已知三个平面α、β、γ，若β⊥γ，且α与γ相交但不垂直，a，b分别为α，β内的直线，则( ) A．∃a⊂α，a⊥γ B．∃a⊂α，a∥γ C．∀b⊂β，b⊥γ D．∀b⊂β，b∥γ 【答案】B 5．如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2，且侧棱AA1⊥面A1B1C1，正视图是边长为2的正方形，俯视图为一个等边三角形，该三棱柱的左视图面积为（ ） 用心 爱心 专心 2
A．23 B．3 C．22 D．4 【答案】A
6．一个空间几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为12π＋853，则正视图中x的值为( )
A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 7． 在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，A0，B0，分别为侧棱AA1，BB1上的点，且知BB0=A0A1，过A0，B0，C1的截面将三棱柱分成上下两个部分体积之比为（ ）
A．2:1 B．4:3 C．3:2 D．1:1 【答案】A 8．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是( ) 用心 爱心 专心 3
A．8－2π3 B．8－π3 C．8－2π D．2π3 【答案】A 9．如图所示，△ADP为正三角形，四边形ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD．点M为平面ABCD内的一个动点，且满足MP=MC．则点M在正方形ABCD内的轨迹为 ( ）
【答案】D 10．一个空间几何体的正视图、侧视图均是长为2、高为3的矩形，俯视图是直径为2的圆(如下图），则这个几何体的表面积为（ ）
A．12 B．7 C． 8 D．20 【答案】C 11．若一个底面是正三角形的三棱柱的主视图如右图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积是（ ）
A．4 B．1912 C．193 D．43 【答案】C 用心 爱心 专心 4
12．一个几何体的各个面均是三角形，则该几何体可能是（ ） A．棱台 B．棱柱 C．棱锥 D．圆锥 【答案】C 用心 爱心 专心 5 第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3.
【答案】4 14．已知正六棱台的上、下底面边长分别是2和4，高是2，则这个棱台的侧面积是_____ 。
【答案】187 15．下图是一个物体的三视图，根据图中尺寸（单位：cm），计算它的体积为 cm3.
【答案】64(4) 16．已知长方体从同一顶点出发的三条棱的长分别为1、2、3，则这个长方体的外接球的表面积为 . 【答案】14 用心 爱心 专心 6
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．已知四边形ABCD满足AD∥BC，12BAADDCBCa，E是BC的中点，
将BAE沿着AE翻折成1BAE，使面1BAE面AECD，F为1BD的中点.
(Ⅰ）求四棱1BAECD的体积； (Ⅱ）证明：1BE∥面ACF； (Ⅲ）求面1ADB与面1ECB所成二面角的余弦值. 【答案】（Ⅰ）取AE的中点,M连接1BM，因为12BAADDCBCa，ABE为
等边三角形，则132BMa，又因为面1BAE面AECD，所以1BM面AECD， 所以 313sin3234a
Vaaa
(Ⅱ）连接ED交AC于O，连接OF，因为AECD为菱形，OEOD，又F为1BD的中点，
所以FO∥1BE，所以1BE∥面ACF
A B C
D E A
E C
F 1B D 用心 爱心 专心 7 (Ⅲ）连接MD，分别以1,,MEMDMB为,,xyz轴 则1333(,0,0),(,,0),(,0,0),(0,,0),(0,0,)22222aaECaaADaBa
113333(,,0),(,0,),(,,0),(,0,)22222222aaaaaaaaECEBADAB
设面1ECB的法向量(,,)vxyz，30223022axayaxaz，令1x，则33(1,,)33u 设面1ADB的法向量为(,,)uxyz，30223022axayaxaz， 令1x，则33(1,,)33v 则111333cos,51111113333uv，所以二面角的余弦值为35 18． 如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为32，点E在侧棱AA1上，点F在侧棱BB1上，且AE＝22，BF＝2．
(1)求证：CF⊥C1E； (2)求二面角E－CF－C1的大小．
【答案】法一：(1)证明：由已知可得CC1＝32，CE＝C1F＝22＋(22)2＝23，EF2＝AB2＋(AE－BF)2， EF＝C1E＝22＋(2)2＝6，
于是有EF2＋C1E2＝C1F2，CE2＋C1E2＝CC21， 所以C1E⊥EF，C1E⊥CE. 又EF∩CE＝E，所以C1E⊥平面CEF. 由CF⊂平面CEF，故CF⊥C1E. (2)在△CEF中，由(1)可得EF＝CF＝6，CE＝23， 于是有EF2＋CF2＝CE2，所以CF⊥EF. 用心 爱心 专心 8
又由(1)知CF⊥C1E，且EF∩C1E＝E， 所以CF⊥平面C1EF. 又C1F⊂平面C1EF，故CF⊥C1F. 于是∠EFC1即为二面角E－CF－C1的平面角． 由(1)知△C1EF是等腰直角三角形， 所以∠EFC1＝45°， 即所求二面角E－CF－C1的大小为45°. [理]法二：建立如图所示的空间直角坐标系，则由已知可得，
A(0,0,0)，B(3，1,0)，C(0,2,0)，
C1(0,2,32)，E(0,0,22)，
F(3，1，2)．
(1)证明：1CE＝(0，－2，－2)， CF
＝(3，－1，2)，
1CE
²CF＝0＋2－2＝0.
所以CF⊥C1E. (2) CF＝(0，－2,22)， 设平面CEF的一个法向量为m＝(x，y，z)，
由m⊥CE，m⊥CF，得 m²CE＝0，m²CF＝0，
即 －2y＋22z＝0，3x－y＋2z＝0，解得 y＝2z，x＝0. 可取m＝(0，2，1)． 设侧面BC1的一个法向量为n，
由n⊥CB，n⊥1CC，及CB＝(3，－1,0)，
1CC
＝(0,0,32)，可取n＝(1，3，0)．
设二面角E－CF－C1的大小为θ，于是由θ为锐角可得
cosθ＝|m²n||m||n|＝63³2＝22，所以θ＝45°. 即所求二面角E－CF－C1 大小为45°. 19．如图所示，正方形ABCD所在平面与三角形CDE所在平面相交于CD，AE⊥平面CDE，且AE＝3，AB＝6.(1)求证：AB⊥平面ADE；
(2)求凸多面体ABCDE的体积． 用心 爱心 专心 9
【答案】(1)∵AE⊥平面CDE，CD⊂平面CDE， ∴AE⊥CD. 在正方形ABCD中，CD⊥AD， ∵AD∩AE＝A，∴CD⊥平面ADE. ∵AB∥CD， ∴AB⊥平面ADE. (2)在Rt△ADE中，AE＝3，AD＝6， ∴DE＝AD2－AE2＝33． 连接BD，则凸多面体ABCDE被分割为三棱锥B—CDE和三棱锥B—ADE. 由(1)知，CD⊥DE.
∴S△CDE＝12³CD³DE＝12³6³33＝93． 又AB∥CD，AB⊄平面CDE，CD⊂平面CDE， ∴AB∥平面CDE. ∴点B到平面CDE的距离为AE的长度．
∴VB—CDE＝13S△CDE²AE＝13³93³3＝93． ∵AB⊥平面ADE， ∴VB—ADE＝13S△ADE²AB＝13³932³6＝93． ∴VABCDE＝VB—CDE＋VB—ADE＝93＋93＝183． 故所求凸多面体ABCDE的体积为183． 20．在直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=BC=AA1=1，D、E分别为棱AB、BC的中点，M为棱AA1上的点。
(1）证明：A1B1⊥C1D (2）当ADEMAM求二面角时,23的大小。 【答案】（1）以C为坐标原点建立空间直角坐标系C—xyz，则 ),1,21,21(),0,1,1(),0,21,21(),1,0,0(),1,1,0(),1,0,1(111111DCBADCBA则
则DCBAABBADCBA11111111,,0则所以 (2）),23,21,1(),0,0,21(),0,21,0(),23,0,1(MEEDEM
