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（3）与各条棱都相切的球：球心是正方体中心；半径2—2^（a 为正方体的棱长）. 第二讲 空间几何体的表面积与体积ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE知识梳理双基自测知巴埜』知识点一柱、锥、台和球的侧面积和体积侧面积体积圆柱 S 侧=2 n hV = __ S 底 h _ = n 2h 圆锥 S 侧= __ n ___V = 3S 底 h = £ n 2h = *曲勺12- r 2圆台 S 侧=+「2）1 V = 1（S 上 + S 下 +^"S 上"S 下）h = 3 n[r !+ r 2+ r 1r 2）h直棱柱 S 侧= __ ch _ V = __S 底 h__ 正棱锥 S 侧=*ch ' 1 V =&S 底h3正棱台 1S 侧=并+ c ' ）h' V = -（S 上+ S 下+P 2 S 下）h球S 球面=_4冗R 2v =討3知识点二几何体的表面积（1）棱柱、棱锥、棱台的表面积就是 _各面面积之和 ⑵圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是一矩形__、 一扇形__、__扇环形__ :它们的表面积等于_侧面积—与底面面积之和.亠/土尹E —（a , b , c 为长方体的长、宽、高 ）. 2 .正方体的外接球、内切球及与各条棱相切的球：（1）外接球：球心是正方体中心；半径 r =_~23L （a 为正方体的棱长）; ⑵内切球：球心是正方体中心；半径r = _a_（a 为正方体的棱长）;1 •长方体的外接球：3 .正四面体的外接球与内切球（正四面体可以看作是正方体的一部分 ）：半径 r = _~^6a（a 为正四面体的棱长）;题组一走出误区（1）外接球：球心是正四面体的中心; ⑵内切球：球心是正四面体的中心;半径 r = _（a 为正四面体的棱长）. 1.（多选题）下列结论正确的是（ ABC ) A •多面体的表面积等于各个面的面积之和 B .台体的体积可转化为两个锥体的体积之差 C .已知球O 的半径为R ,其内接正方体的棱长为a ，贝y 只=石%D .圆柱的一个底面积为 S,侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是 2 n s题组二走进教材2 .（必修2P 27T1）已知圆锥的表面积等于 12 n cm 2 3，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的 半径为（1 cm B .2 cmC . 3 cm3D . 2 cm［解析］由条件得:题组三考题再现（2019天津红桥区n l + n 2= 12 n"T = n）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（C ）侧觇序IC. ,2n3 7t1 1［解析］ 由三视图知，几何体是半径为1，母线长为3的半圆锥，几何体的体积V =3 X 2X nX 12X '32- 12=手故选 C .4.（2018课标全国I ）已知圆柱的上、下底面的中心分别为 01, 02,过直线 O i O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为（B ）A . 12 ：2 nB . 12 nC . 8,2 nD . 10 n［解析］设圆柱底面半径为r ，则4r 2= 8, 即r 2= 2..・.S 圆柱表面积=2 n 2+ 4 n 2= 12 n 5.（2017江苏高考）如图，在圆柱 O 1O 2内有一个球 O ,该球与圆柱的上、下底面及母线V 13均相切•记圆柱 O 1O 2的体积为V 1，球o 的体积为V 2,则V 的值是_2—.KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU考点突破互动探究考点一几何体的表面积 -------- 自主练透（1）（2019北京模拟）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是 A . 2 + 5B . 4+ 5［解析］设球0的半径为r ，则圆柱的底面半径为 r 、高为2r ，所以乙=2 32<4-3=2.故填2-（2）（2019湖南永州一模）某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积为j|：撮nB . 6—2 D . 6+n4(3) (多选题)(2020山东潍坊期末)等腰直角三角形直角边长为1，现将该三角形绕其某一边旋转一周，则所形成的几何体的表面积可以为(AB )A . ,'2nB . (1 + .；2) nC. 2 ,-'2 n D . (2 + ,'2) n［解析］(1)由三视图知，该几何体是底面为等腰三角形，其中一条侧棱与底面垂直的三棱锥(SA丄1 i 1 5 平面ABC)，如图所示，由三视图中的数据可计算得S MBC= 2X2 X 2= 2,S ASAC= 2 x-5X 1=三,S ZSAB= 2X ,'5X 1 = ¥, S ZSBC=1X 2 X '■ 5= .''5，所以S 表面积=2+ 2 - 5.故选C .n(2) 由三视图可知几何体是在正方体中挖去一个八分之一球，如图，•••S表面积=3+ 3(1 —4)1 n+ 8X 4n= 6—4.故选C .n+n;若绕斜边旋转一周形名师点拨？I(3) 若绕直角边旋转一周形成的几何体是圆锥，其表面积为成的几何体是两同底圆锥构成的组合体，其表面积为名师点拨？+ 1空间几何体表面积的求法（1） 旋转体的表面积问题注意其轴截面及侧面展开图的应用.（2）多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理.（3） 求不规则几何体的表面积时，通常将所给几何体分割成基本的柱、锥、台体，先求出 这些基本的柱、锥、台体的表面积，再通过求和或作差，求出几何体的表面积.〔变式训练1〕（2019河南洛阳二模）某几何体的三视图如图所示，则其表面积为［解析］由三视图可知该几何体由一个圆柱与四分之一的球组合而成. 1 1 11,高为3，球的半径为1，所以几何体的表面积为nX 12+ 2 nX 1X 3 + 4 nX 12X 4 + 2 nX 12 + ?nX 12= 9 n 故选 B .考点二几何体的体积一一师生共研（1）（2017浙江高考）某几何体的三视图如图所示积（单位：cm 3）是（A ）C . 17 n 219 n 2D . 10 n圆柱的底面半径为（单位：cm ）,则该几何体的体 正视图 廨襯图C.于+ 3(2)(2020河南中原名校质量考评 )一个几何体三视图如右图所示，则该几何体体积为(D )A . 12 C . 6 ［解析］(1)由三视图可知该几何体是由底面半径为 1 cm ,高为3 cm 的半个圆锥和三棱锥 S —ABC组成的，如图，三棱锥的高为 3 cm ,底面△ ABC 中，AB = 2 cm , OC = 1 cm , AB 丄OC .故其 体积V = 3 X 2X 兀乂 12X 3 + 3X 1x 2X1 X 3 =(才+ 1)cm 3.故选 A .1 1⑵由三视图可知几何体为三棱锥，如图，故其体积V = 3X 2 X 2 x 3X 4= 4•故选D .［引申］若将本例 ⑵中侧视图中虚线去掉，则该几何体的体积为3 J.8__，表面积为一21 +［解几何体为如图所示的四棱锥，用公式求解即可. 2空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)直接利用公式进行求解.(2) 用转换法、分割法、补形法等方法进行求解.⑶以三视图的形式给出的应先得到几何体的直观图•再求解. 〔变式训练2〕(1)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为(A )11x 22 nX 4A • (2)(2019浙北四校模拟)某几何体的三视图如图所示 (单位：cm)，则该几何体的体积(单位:cm 3）是（B ）A . 8 C . 16［解析］(1)由三视图可画出三棱锥的直观图如图所示•其底面是等腰直角三角形 ACB ,1 1 1 直角边长为1,三棱锥的咼为1,故体积v =3x 2X 1 x 1 x 1 =6•故选A •1 IT考点三球与几何体的切、接问题多维探究" 例3 （1）（2019全国）已知三棱锥P—ABC的四个顶点在球O的球面上，PA= PC,A ABC是边长为2的正三角形,E 、F分别是PA, PB的中点，/ CEF = 90°则球PB =O的体积为（D ）A . 8 J 6 nC. 2 ,'6 n（2）（2020广东顺德质检）已知三棱锥P—ABC的底面ABC是边长为2的等边三角形, 平面ABC，且PA= 2,则该三棱锥外接球的表面积为PA 丄68 nA. 丁20 nC. 48 n28 n［解析］⑴••PA= PB= PC ,^ABC为边长为2 的等边三角形, •••P—ABC为正三棱锥，••• PB丄AC ,又E, F分别为PA、AB中点，• EF //PB,•••EF 丄AC，又EF 丄CE, CE A AC = C,•••EF丄平面PAC,.PB丄平面PAC,.Z APB = 90 °.•.PA = PB = PC= 2•••P—ABC 为正方体一部分，2R=- .：2+ 2+ 2= .'6,即只二于，：v= 3n R3=4nX晋=.'6角度1几何体的外接球(2)如图设△ ABC外接圆的圆心为01,球心为0,贝U 00i丄平面ABC，又PA丄平面ABC,n 1连接AO i并延长交球于H,由Z PAH = 2，知0€ PH ,「Q0i为Rt△AH的中位线，二00i= qPA=1，又正△ ABC 边长为2,.i 尸20i H ,.°.0i H = ,「.0H = •：：：•.；'0i H2+ 002= ,「・S球sin60 3 * 32 28 n .=4 冗(0H)2=N，故选D .名师点拨？几何体外接球问题的处理(1)解题关键是确定球心和半径，球心必在过球的截面外接圆的圆心且垂直于该平面的直线上，再根据R2= h2+ r2求解(R—球半径，r—截面圆的半径，h—球心到截面圆心的距离).注:若截面为非特殊三角形可用正弦定理求其外接圆半径r.(2)三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球.注意：不共面的四点确定一个球面.角度2几何体的内切球)一个圆锥的母线长为 2,圆锥的母线与底面的夹角为-,则圆锥的内切球的表面积为4(B )A . 8 nB . 4(2 — , 2)2nC . 4(2 + ,2)2nl 32 2— . 2 2 D . 49n)在侧棱长为a 的正三棱锥 0-ABC 中，侧棱0A , OB , 0C 两 两垂直，现有一小球 P 在该几何体内，则小球P 最大的半径为(B ) 3— ,3 B . 6 a［解(1)(2019河北省石家庄市适应性考试(2)(2019山东实验中学模拟［解析］圆锥底面圆心即为其外接球的球心，所以外接球的半径为(1)作圆锥轴截面 等腰A PAB ，则球心在底边的高 PH 上，又/ nAP= BP = 2，/PBH = 4,.•.AH = HB = HP = ,2设内切球的半径为 r ，则利用圆锥的轴截面，根据面积法，可得1 12 X 2 2 X '2 =尹（2 + 2+ 2 ,'2）r ，解得 r = 2 — .；2,所以该圆锥内切球的表面积为4 nX （2 —返）2= 4（2—迄）2n⑵当小球与三个侧面 OAB , OAC , OBC 及底面ABC 都相切时,小球的体积最大，此时小球的半径最大，该小球为正三棱锥 O — ABC 的内切球,设其半径为r ，球心为P ,••OA = OB = OC = a ,1 12 1 3•••V O — ABC = 3X ^a 2X a = 5a 3,V P — OAB + V P — OBC + V P —OAC + V P — ABC =由题可知 V O —ABC = V P —OAB + V P — OBC + V P —OAC + V O —ABC , 3X ga 2+ *a 2 + *a 2+ 3 +、3 2—^ar ,因此 6a 3 = 3lT^a 2r ，3— .36 a ,故选B .7t名师点拨？几何体内切球问题的处理（1）解题时常用以下结论确定球心和半径：①球心在过切点且与切面垂直的直线上；②球心到各面距离相等.（2）利用体积法求多面体内切球半径.〔变式训练3〕（1）（角度1）（2019广西南宁、玉林、贵港等市联考）某几何体的三视图如图所示，则此几何体的外接球表面积为（B ）A . 2 nB . 3 nC. 4 n D . 6 n（2）（角度1）（2019四川省宜宾市二诊）已知三棱锥P —ABC的四个顶点都在半径为2的球面上，AB= BC= CA = 2 '2, PA丄平面ABC，则三棱锥P —ABC的体积为（D ）A. ,'6 B . 2 ：2C.（3）（角度2）（2019厦门质量检查一）如图，某棱锥的正视图和侧视图都是等边三角形，若该棱锥的体积为4^，则该棱锥的内切球的表面积是（C ）3C.3［解析］(1)几何体的直观图是如图所示的四面体 ABCD ,四面体ABCD 的外接球即正方体的外接球，外接球的直径 2R=(3,.・.此几何体的外接球表面积为3 n 故选B •⑵如图所示，取 BC 中点D ，连接AD ,则 AD = ” 2 .2 2- 2 2= '6,设三角形ABC 的中心为G ,2.6•••三棱锥P -ABC 的体积为 V =2^ 26X= 3•故选 D .故选C .MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG名师讲坛素养提升 最值问题、开放性问题的体积为却，所以该棱锥的高1 1h = .'3,斜高h ' = 2•设该棱锥的内切球的半径为 R,则4X 3X(3)由正视图和侧视图知，该几何体为正四棱锥，底面是边长为2的正方形.因为该棱锥x 2X 2X R + 3X 22X R = ¥，解得，所以该棱锥的内切球的表面积又球0得半径为2,则2、3S = 4 nX 4 n 3 •（2018课标全国川）设A , B , C , D 是同一个半径为 4的球的球面上四点，△ABC 为等边三角形且其面积为 9 .'3，则三棱锥D — ABC 体积的最大值为（B ）B . 18,'3D . 54 .'3［解析］设等边△ ABC 的边长为a , 1则有 S ^ABC = 2a a sin 60 =9 <3，解得 a = 6.设△ABC 外接圆的半径为「，则2r =sn 莎，解得r =2 8 则球心到平面 ABC 的距离为• ：42— 2 3 2= 2, 所以点D 到平面ABC 的最大距离为2+ 4 = 6,1 所以三棱锥D — ABC 体积的最大值为3X9 ,'3X 6 = 18,：3，故选B .1或2,且该四面体不是正四面体，则其体积的值为［解析］ 如图，若 AB = AC = BD = CD = AD = 2, BC = 1，取 AD 得中点，贝 U CH = BH = .3,〔变式训练4〕（2019甘肃诊断）四棱锥P — ABCD 的顶点均在一个半径为 3的球面上，若正方形ABCD 的 边长为4，则四棱锥P — ABCD 的体积最大值为（D ）643［解析］设正方形ABCD 的中心为01，当P 在01与球心O 的连线上时，四棱锥高最大,AH 丄平面BCH ，又S ZBCH =.111 歼「•V ABCD = ~S/BCH X 2 =36如图，若 AB = AC = BD = CD = 2, AD = BC = 1，同理可求得V ABCD =C . 24 3C .若四面体各棱的长是 12 -由于底面ABCD 面积固定，则高最大时，四棱锥体积取得最大值.设高为1=2 2,球的半径为3,故(h — 3)2 + (2 ,2)2= 32,解得h = 4.故四棱锥的体积的最大值为 42^464=亍.故选D .2 .2 n 3(2)由三视图的图形可知，几何体是等边圆柱斜切一半，所求几何体的体积为:\/42+ 42h , |OiA|= 2—。
