高一数学 课堂训练3-1

第3章 第1节时间：45分钟 满分：100分一、选择题(每小题7分，共42分) 1. 已知cos α＝－64，则sin α等于( ) A. 12 B. －104C.104D. ±104答案：D解析：∵sin 2α＋cos 2α＝1，∴sin 2α＝1－(－64)2＝58，当α是第二象限角时，sin α＝104；当α是第三象限角时，sin α＝－104.故选D. 2. 已知sin α＝45，cos α＝35，则角2α所在的象限是( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限答案：B解析：由sin α＝45，cos α＝35知，2kπ＋π4<α<2kπ＋π2，k ∈Z ，∴4kπ＋π2<2α<4kπ＋π，k ∈Z ，∴角2α所在的象限是第二象限．故选B.3. [2012·江西上饶四校联考]已知角α的终边上一点的坐标为(sin 5π6，cos 5π6)，则角α的最小正值为( )A. 5π6 B. 2π3 C. 5π3D. 11π6 答案：C 解析：由于sin 5π6＝12，cos 5π6＝－32，所以点(12， －32)在第四象限，且tan α＝－3，α∈(0,2π)，所以α＝5π3，故选C. 4.已知sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，且α是第三象限角，则sin (－α－3π2)cos (3π2－α)tan 2(π－α)cos (π2－α)sin (π2＋α)＝( )A.916 B. －916C. －34D. 34答案：B解析：∵方程5x 2－7x －6＝0的根为x 1＝2，x 2＝－35，由题知sin α＝－35，∴cos α＝－45，tan α＝34，∴原式＝cos α(－sin α)tan 2αsin αcos α＝－tan 2α＝－916.5. [2012·河北石家庄一模]已知α∈(0，π)，且sin α＋cos α＝22，则sin α－cos α的值为( ) A. － 2 B. －62C. 2D.62答案：D解析：由sin α＋cos α＝22>0，可得sin α－cos α>0. (sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝12，则2sin αcos α＝－12；(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝32，所以sin α－cos α＝62. 6. 已知tan θ>1，且sin θ＋cos θ<0，则cos θ的取值范围是( ) A ．(－22，0) B ．(－1，－22) C ．(0，22) D ．(22，1) 答案：A解析：依题意，结合三角函数线进行分析可知，2kπ＋5π4<θ<2kπ＋3π2，k ∈Z ，因此－22<cos θ<0，选A.二、填空题(每小题7分，共21分)7．已知角α的终边落在直线y ＝－3x (x <0)上，则|sin α|sin α－|cos α|cos α＝________.答案：2解析：因为角α的终边落在直线y ＝－3x (x <0)上，所以角α是第二象限角，因此sin α>0，cos α<0， 故|sin α|sin α－|cos α|cos α＝sin αsin α－－cos αcos α＝1＋1＝2. 8. [2012·山东潍坊模拟]已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则sin 2α－sin αcos α的值是__________．答案：25解析：由sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，得tan α＋33－tan α＝5，即tan α＝2.所以sin 2α－sin αcos α＝sin 2α－sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－tan αtan 2α＋1＝25.9. [2012·重庆一诊]如图，一条螺旋线是用以下方法画成：△ABC 是边长为1的正三角形，曲线CA 1，A 1A 2，A 2A 3分别是以A 、B 、C 为圆心，AC 、BA 1、CA 2为半径画的弧，曲线CA 1A 2A 3称为螺旋线旋转一圈．然后又以A 为圆心，AA 3为半径画弧，这样画到第n 圈，则所得螺旋线的长度l n ＝________(用弧度制表示即可)．答案：(3n 2＋n )π解析：依题意得，自开始起，每段弧的长度依次是2π3×1，2π3×2，2π3×3，…，因此画到第n 圈时，所得螺旋线的长度是l n ＝2π3(1＋2＋3＋…＋3n )＝(3n 2＋n )π.三、解答题(10、11题12分、12题13分) 10. 已知0<α<π2，sin α＝45.(1)求sin 2α＋sin2αcos 2α＋cos2α的值；(2)求tan(α－5π4)的值．解：∵0<α<π2，sin α＝45，∴cos α＝35，tan α＝43，(1)sin 2α＋sin2αcos 2α＋cos2α＝sin 2α＋2sin αcos α2cos 2α－sin 2α＝tan 2α＋2tan α2－tan 2α＝(43)2＋2×432－(43)2＝20.(2)tan(α－5π4)＝tan α－11＋tan α＝43－11＋43＝17.11. [2012·江苏泰兴]已知sin(π－α)－cos(π＋α)＝ 23(π2<α<π)．求下列各式的值： (1)sin α－cos α；(2)sin 3(π2－α)＋cos 3(π2＋α)．解：由sin(π－α)－cos(π＋α)＝23， 得sin α＋cos α＝23，① 将①两边平方，得1＋2sin α·cos α＝29，故2sin α·cos α＝－79.又π2<α<π，∴sin α>0，cos α<0. (1)(sin α－cos α)2＝1－2sin α·cos α＝1－(－79)＝169，∴sin α－cos α＝43.(2)sin 3(π2－α)＋cos 3(π2＋α)＝cos 3α－sin 3α＝(cos α－sin α)(cos 2α＋cos α·sin α＋sin 2α)＝－43×(1－718)＝－2227.12. [2012·广东湛江测试一]已知函数f (x )＝cos x ·1＋sin x1－sin x＋sin x ·1＋cos x1－cos x.(1)当x ∈(－π2，0)时，化简f (x )的解析式，并求f (－π4)的值；(2)当x ∈(π2，π)时，求函数f (x )的值域．解：f (x )＝cos x ·1＋sin x1－sin x＋sin x ·1＋cos x1－cos x＝cos x ·(1＋sin x )2cos 2x ＋sin x ·(1＋cos x )2sin 2x＝cos x ·1＋sin x |cos x |＋sin x ·1＋cos x|sin x |.(1)当x ∈(－π2，0)时，f (x )＝sin x －cos x ，故f (－π4)＝－ 2.(2)当x ∈(π2，π)时，|cos x |＝－cos x ，|sin x |＝sin x ，故f (x )＝cos x ·1＋sin x －cos x ＋sin x ·1＋cos xsin x＝cos x －sin x ＝2cos(x ＋π4)，当x ∈(π2，π)时，x ＋π4∈(3π4，5π4)，所以－1≤cos(x ＋π4)<－22，函数f (x )的值域是[－2，－1)．。

高一数学综合训练三一、选择题：1．用描述法表示一元二次方程的全体，应是 （ ）A ．｛x ｜ax 2+bx +c =0，a ，b ，c ∈R ｝B ．｛x ｜ax 2+bx +c =0，a ，b ，c ∈R ，且a ≠0｝C ．｛ax 2+bx +c =0｜a ，b ，c ∈R ｝D ．｛ax 2+bx +c =0｜a ，b ，c ∈R ，且a ≠0｝2．图中阴影部分所表示的集合是（ ）A. B ∩［C u (A ∪C)］B. (A ∪B) ∪(B ∪C) C. (A ∪C)∩(C u B) D. ［C u (A ∩C)］∪B 3．设集合P=｛立方后等于自身的数｝，那么集合P 的真子集个数是 （ ）A ．3B ．4C ．7D ．84．设函数xy 111+=的定义域为M,那么 （ ）A ．M=｛x ｜x ≠0且x ≠－1｝B ．M=｛x ｜x ＜0且x ≠－1，或x ＞0}C ．M=｛x ｜x ≠0｝D ．M=｛x ｜x ＜－1，或－1＜x ＜0，或x ＞0｝5．已知g (x )=1-2x , f [g (x )]=)0(122≠-x x x ,则f (21)等于（ ）A ．1B ．3C ．15D ．306．函数y=x x ++-1912是（ ）A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶数7．下列四个命题（1）f(x)=x x -+-12有意义;（2）函数是其定义域到值域的映射;（3）函数y=2x(x N ∈)的图象是一直线；（4）函数y=⎪⎩⎪⎨⎧<-≥0,0,22x xx x 的图象是抛物线，其中正确的命题个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．48．设函数f (x )是（－∞，+∞）上的减函数，又若a ∈R ，则（ ）A ．f (a )>f (2a )B ．f (a 2)<f (a)C ．f (a 2+a )<f (a )D ．f (a 2+1)<f (a )二、填空题： 9．设集合A={23≤≤-x x },B={x 1212+≤≤-k x k },且A ⊇B ，则实数k 的取值范围是 .10.已知()53=++-8f x x ax bx ，且()2=10f -，那么()2f = ——.11．若函数 f (x )=(K-2)x 2+(K-1)x +3是偶函数，则f (x )的递减区间是 .12. 已知f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧+++-333322xx x x ),1()1,(+∞∈-∞∈x x ,则f [f (0)]的值为＿＿＿三、解答题：13．已知，全集U={x |-5≤x ≤3}，A={x |-5≤x <-1}，B={x |-1≤x <1},求C U A ，C U B ，(C U A)∩(C U B)，(C U A)∪(C U B)，C U (A ∩B)，C U (A ∪B)，并指出其中相关的集合.14．集合A={（x,y ）022=+-+y mx x },集合B={（x,y ）01=+-y x }，又A φ≠⋂B ，求实数m 的取值范围.15.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()2=+3-1f x x x ，求()f x 的解析式.16．如图，用长为1的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架，若半圆半径为x ，求此框架围成的面积y 与x 的函数式y =f (x )，并写出它的定义域.17． 判断函数2||)(2-+=x x x f 的奇偶性并证明。

主动成长夯基达标1. 已知连续函数y=f(x),有f(a)·f(b)<0(a<b),则y=f(x)( )A. 在区间［a, b］上可能没有零点B. 在区间［a, b］上至少有一个零点C. 在区间［a, b］上零点个数为奇数个D. 在区间［a, b］上零点个数为偶数个思路解析：根据“如果函数y=f(x)在区间［a, b］上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间［a, b］内有零点”可知函数f(x)在区间［a, b］上至少有一个零点.答案：B2. 二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)的部分对应值如下表：X -3 -2 -1 0 1 2 3 4Y 6 0 -4 -6 -6 -4 0 6则不等式ax2+bx+c>0的解集是_________________.思路解析：由表中对应值描点作图可知y=ax2+bx+c(x∈R)的开口方向、与x轴的交点，求不等式ax2+bx+c>0的解集就是求使y>0的自变量x的取值范围.抛物线y=ax2+bx+c(x∈R)开口向上，与x轴的交点为(-2,0)、(3,0)，使y>0的x的取值范围是x<-2或x>3.答案：{x|x<2或x>3}3. 求方程f（x）=x 3－x－1=0在区间（1，1.5）内的实根，要求准确到小数点后第2位.思路解析：本题考查二分法求方程的近似解，可按课本中二分法的步骤求解.答案：用二分法.考查函数f（x）=x 3－x－1，从一个两端函数值反号的区间（1，1.5）开始，逐步缩小方程实数解所在区间.经计算，f（1）=－1＜0，f（1.5）=0.875＞0，所以函数f（x）=x3－x－1在(1，1.5)内存在零点.取(1，1.5)的中点1.25，经计算，f（1.25）=－0.297＜0，又f（1.5）＞0，所以函数f（x）在(1.25，1.5)内存在零点，亦即方程x 3－x－1=0在(1.25，1.5)内有解.k a k b k x k f(x k)的符号0 1 1.5 1.25 -1 1.25 1.5 1.375 +2 1.25 1.375 1.3125 -3 1.3125 1.375 1.3438 +4 1.3125 1.3438 1.3282 +5 1.3125 1.3282 1.3204 -6 1.3204 1.3282 1.3243 -至此，可以看出，取x6=1.32，则能达到所要的精度，|x*－x6|≤|x 3204 .13282.1|=0.003 9<0.005，即|x *－x 6|＜0.005.（x *为方程的准确解）所以，方程符合条件的实根是1.32.4. 若方程x 2＋（k－2）x＋2k－1=0的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求k的取值范围.思路解析：本题考查二次方程根的分布问题.把方程根的分布问题转化为函数零点的位置问题，画出函数图象，通过数形结合的思想来解.答案：如下图所示，函数f（x）=x 2＋（k－2）x＋2k－1的图象开口向上，零点x 1∈（0，1），x 2∈（1，2）.由⎪⎩⎪⎨⎧><>0,)2(f0,)1(f0,)0(f即⎪⎩⎪⎨⎧>-+-+<-+-+>-12k)2k(2412k)2k(112k解得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧><<⇒<>41k32k2132k21k走近高考5. 函数y=(21)x与函数y=lgx的图象的交点的横坐标（精确到0.1）约是( )A．1.3B. 1.4C. 1.5D. 1.6思路解析：设f(x)=lgx-(21)x,经计算f(1)=-21<0,f(2)=lg2-41>0,所以函数f(x)=lgx-(21)x在［1,2］内有解.应用二分法逐步缩小方程实数解所在的区间，可知D符合要求.答案：D6. 如果一个立方体的体积在数值上等于V,表面积在数值上等于S，且V=S+1，那么这个立方体的一个面的边长（精确到0.01）约为___________.思路解析：设立方体的边长为x，则V=x3,S=6x2.∵V=S+1,∴x3=6x2+1.不妨设f(x)=x3-6x2-1，应用二分法得方程的根均为6.05.答案：6.057. 已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式f(x)<-2x的解集为(1,3).(1)若方程f(x)+6a=0有两个相等的根，求f(x)的解析式；(2)若f(x)的最小值为负数，求a的取值范围.思路解析：本题综合考查一元二次方程、一元二次不等式和二次函数的关系及其性质，重点是互相之间的转化.在(1)中，通过不等式f(x)<-2x 的解集为(1,3),用二次函数的标根式把不等式转化成函数，再根据韦达定理将问题转化成关于a 的方程.在（2）中，既可以根据二次函数的最值公式将题意转化成不等式，也可以用配方法求最值.答案：(1)∵f(x)+2x<0的解集为(1,3),∴设f(x)+2x=a(x-1)(x-3)，则a>0.因而f(x)=a(x-1)(x-3)-2x=ax 2-(2+4a)x+3a ①由方程f(x)+6a=0,得ax 2-(2+4a)x+9a=0② ∵方程②有两个相等的根，∴Δ=［-(2+4a)］2-4a ·9a=0, 即5a 2-4a-1=0.解得a=1或a=-51. 由于a>0，舍去a=-51.将a=1代入①得f(x)的解析式f(x)=x 2-6x+3. (2)由f(x)=ax 2-2(1+2a)x+3a=a(x-a2a 1+)2-a 14a a 2++及a>0，可得f(x)的最小值为-a 14a a 2++.由题意可得⎪⎩⎪⎨⎧><++-0,a ,0a14a a 2解得a>0. 故当f(x)的最小值为负数时，实数a 的取值范围是a>0.8. 作出函数y=x 3与y=3x-1的图象，并写出方程x 3=3x-1的近似解(精确到0.1).解：作函数f(x)=x 3-3x+1，结合y=x 3与y=3x-1的图象，可计算f(-2)<0,f(0)>0，f(2)>0,于是可判断f(x)=0的三个解x 1、x 2、x 3满足 x 1∈(-2,0)、x 2∈(0,1)、x 3∈(1,2).下面用二分法分别求其近似解，先求x 1，列表如下：取区间中点值 中点函数值及其符号 （-2，0） -1 3（+） （-2，-1） -1.5 2.125（+） （-2，-1.5） -1.75 0.890 625（+） （-2，-1.75） -1.875 -0.033 203 125（-） （-1.875，-1.75） -1.812 5 0.483 154 296（+） （-1.875，-1.812 5） -1.843 75 0.263 580 322（+） （-1.875，-1.843 75） -1.859 375 0.149 753 57（+） （-1.875，-1.859 375）x 1≈-1.9.应该说明，f(-1.9)=(-1.9)3-3×(-1.9)+1=-6.859+5.7+1=-0.159,而f(-1.8)=(-1.8)3-3×(-1.8)+1=-5.832+5.4+1=0.568,这也表明，x 1=-1.9比x 1=-1.8更准确，因此取x 1=-1.9是正确的. 2取区间中点值 中点函数值及其符号 （0，1） 0.5 -0.375（-） （0，0.5） 0.25 0.265 625（+） （0.25，0.5）0.375-0.072 265 625（-）（0.25，0.375）0.312 5 017 578（+）（0.312 5，0.375）0.093 0.009 368 896（+）（0.343 75，0.375）0.343 75 -0.031 711 578（-）（0.343 75，0.359 375）0.359 375 -0.011 235 713（-）（0.343 75，0.351 562 5）0.351 562 5 -0.000 949 323（-）（0.343 75，0.347 656 25）0.347 656 25∴x2≈0.3.注：f(0.3)=0.127,f(0.4)=0.316,取x2≈0.3比取x2≈0.4更加准确.3取区间中点值中点函数值及其符号（1，2） 1.5 -0.125（-）（1.5，2） 1.75 1.109 375（+）（1.5，1.75） 1.625 0.416 015 625（+）（1.5，1.625） 1.562 5 0.127 197 265（+）（1.5，1.562 5） 1.531 25 -0.003 387 451（-）（1.531 25，1.562 5） 1.546 875 0.060 771 942（+）（1.531 25，1.546 875）∴x3≈1.5.综上所述，方程x3=3x-1的近似解为x1≈-1.9,x2≈0.3,x3≈1.5.。

第1课时方程的根1.设>0，二次函数()＝＋＋的图象可能是( )#2.若一元二次方程+(－6)+5－3=0的两根都比2大，则的取值范围是( )A. B. C. D3.关于的一元二次方程的两个实数根分别是,,且=7，则的值是（）A.1B.12C.13D.254.已知()＝1－(－)(－)，并且，是方程()＝0的两根，则实数，，，的大小关系可能是( )A.<<<B.<<<C.<<<D.<<<5.定义：如果一元二次方程++=0(≠0)满足++=0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程. 已知++=0(≠0) 是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（）A.=B.=C.=D. ==6.已知，是关于的一元二次方程+4-2=0的两实根，那么的最小值是 .7.已知方程－4||＋5＝有四个全不相等的实根，则实数的取值范围是 .8.设,是关于的一元二次方程4++1=0的两个实数根.试问：是否存在实数,使得＞成立，请说明理由.9.画出二次函数＝－2－3的图象，并根据图象回答：(1)方程－2－3＝0的根是什么？(2)取何值时，函数值大于0？函数值小于0?10.已知关于的一元二次方程－2(＋1)＋－1＝0，探究为何值时:(1)方程有一正、一负两根；(2)方程的两根都大于1；(3)方程的一根大于1，一根小于1.参考答案1.D 解析：由A，C，D知，(0)＝<0.∵abc>0，∴ab<0，∴对称轴x＝－>0，知A，C错误，D符合要求.由B，知f(0)＝c>0，∴ab>0，∴x＝－<0，故B错误.2.B 解析：由题意可知：Δ=－4(5－=+16>0,即m为任意值.设一元二次方程两根为，，则=6－m>4,即m<2；－2)·－－)+4=5－3m－2(6－m)+4>0,即m<－3.3.C 解析：∵方程有两个实数根，∴Δ≥0,∴m≥4+2或m≤.根据根与系数的关系得=m,=2m-1.又＝7，即＝7，代入得到-2(2m-1)=7,即-4m-5=0,解得=-1,=5(不合题意，舍去).则关于x的一元二次方程为+x-3=0,根据根与系数的关系得=-1,=,所以＝＝-4×＝13.4.A 解析：由f(x)＝1－(x－a)(x－b)可知，二次函数f(x)的开口向下，且f(a)＝f(b)＝1>0.∵m，n是方程f(x)＝0的两根，∴f(m)＝f(n)＝0.由f(x)的图象可知，实数a，b，m，n的关系可能是m<a<b<n.5.A 解析一：∵原方程有两个相等的实数根，∴－4ac=0.①∵a+b+c=0,∴b=－a－c.②把②代人①，得－4ac=0，整理，得=0，∴a=c，故选A.解析二：∵a+b+c=0，∴“凤凰”方程必有一根为1.若两根相等，则两根均为1，这样的方程的一般形式为=0，含有系数的一般形式为a=0（a≠0），即－2ax+a=0（a≠0）.与“凤凰”方程对照系数，可知a=c,故选A.6.解析：因为m,n是关于x的一元二次方程+4a-2=0的两实根，,解得a≤.根据根与系数的关系，得m+n=-2a,+4a-2,所以，当a=时，有最小值是.7.（1，5）解析：设f(x)＝－4|x|＋5，则f(x)＝即f(x)＝作出f(x)的图象如图，要使方程－4|x|＋5＝m有四个全不相等的实根，需使函数f(x)与y＝m的图象有四个不同的交点，由图象可知，1<m<5.8.解：∵方程有实数根，∴Δ≥0，即-4（k+1）≥0,解得k≤3.由根与系数的关系，可得=4,=k+1.若＞，即k+1＞4,解得k＞3.而当k＞3时，原方程无实数根，因此不存在实数k，使得＞成立.9.解：由-2x-3,得-4.显然开口向上，顶点为(1，－4)，与x轴交点为(3,0)，(－1,0)，与y轴交点为(0，－3)，图象如图.(1)由图象知－2x－3＝0的根为＝－1，＝3.这时－1<x<3.10.解：(1)因为一元二次方程有一正、一负两根，所以由根与系数的关系得解得0＜a＜1，即当0＜a＜1时，方程有一正、一负两根.(2)方法一：当方程两根都大于1时，函数y＝－2(a＋1)x＋a－1的大致图象如图所示，所以必须满足或解得不等式组无解.所以不存在实数a，使方程的两根都大于1.方法二：设方程的两根分别为，，由方程的两根都大于1，得－1＞0，－1＞0，即⟹所以⟹故不等式组无解.即不论a为何值，方程的两根不可能都大于1.(3)因为方程有一根大于1，一根小于1，函数y＝－2(a＋1)x＋a－1的大致图象如图所示，所以必须满足或解得a＞0.即当a＞0时，方程的一个根大于1，一个根小于1.。