复变函数论第三版钟玉泉PPT第6章

n 1
z z 0 nM n1 , 故对 0 ,
n
只需取

nM
n 1
,于是当 z z 0 时,就有 z n z 0 .
(2)由连续函数运算法则,两连续函数相除,在分母不为零时,仍连续.因此 f ( z ) 在
z 平面上除使分母为零点外都连续.
arg z, z 0 13.证明:令 f ( z ) arg z 0, z 0
2
2
z 3 z1 为实数. z 2 z1
10.解:(1)令 z x yi t (1 i) ,得 x y ,即曲线为一,三象限的角平分线. (2)令 z x yi a cos t ib sin t , 得 x a cos t , y b sin t ,则有


2
.
因而对任何自然数 p ,也有 z n p z 0

2
.
利用三角不等式及上面两不等式, 当 n N 时,有
z n p z n z n p z 0 z n z 0
充分性 :设对 0, N ( ) 0 ,当 n, n p N 时,有 z n p z 0 ,由定义 得
12.证明:(1)首先考虑函数 f ( z ) z n 在 z 平面上的连续性. 对复平面上任意一点 z 0 ,来证明 lim z n z 0
z z0 n
不妨在圆 z M z 0 1 内考虑. 因为 z n z 0 z z 0 ( z
n n 1
z
n2
z0 z0

3
2k
(k 0,1,2,)
1 i 2

若a为f (z)的孤立奇点,则在K {a}内可展成Laurent级数
f (z) cn (z a)n cn (z a)n
cn (z a)n
n
n1
n0
f (z)在a的主要部分 f (z)在a的正则部分
f (z)在点a的奇点性质体现在K内收敛于一解析函数
定义5.3 设a为f (z)孤立奇点
(1) fn (z)(n 1, 2,...)在区域D内解析;
(2) fn (z)在D内内闭一致收敛于函数f (z)
n1
f (z) fn(z).
n1
则 (1) 函数f (z)在区域D内解析;
(2) f ( p) (z)
f
( n
p)
(
z),
(
z
D,
p
1,
2,
).
n1
第二节 幂级数
1. 幂级数的敛散性 阿贝尔(Abel)定理
i z
1,
z 1. 2
f
(z)
(z
1 i)(z
2)
1 2
i
z
1
i
2
1
z
1 2i
1 z1
i z
1 21
2z
1 2
i
(i)n zn1
n0
n0
zn 2n1
1 2
i
n0
( i )n z n1
1 2
i
n0
zn 2n1 .
(2) 在 2 z 内,
i 1, 2 1
1ezຫໍສະໝຸດ n01 n!zn ,
所以
1
z2e z
z21
1 z
1 2! z 2
1 n! z n

出版社 理工分社
定义6.5两曲线在无穷远点处的夹角，就是指它们在反演变换下的像曲线在
页 退出
复变函数与积分变换
出版社 理工分社
定理6.5（保域性）设w=f(z)在区域D内解析，且不恒为常数，则D的像 G=f(D)也是一个区域. 定义6.2具有伸缩率不变性与保角性的共形映射称为第一类共形映射；如果 映射w=f(z)具有伸缩率不变性，但只保持夹角的大小不变而方向相反，则称 映射为第二类共形映射. 例6.2函数f(z)=z2+2z在z平面处处解析，f′(z)=2z+2，显然当z≠－1时， f′(z)≠0，因此，映射f(z)=z2+2z在z平面上除z=－1外处处是共形的.
图6.2
页 退出
复变函数与积分变换
出版社 理工分社
其次，我们讨论导数的模|f′(z0)|的几何意义.由于|Δz|和|Δw|分别是向
量Δz和Δw的长度，故
这说明像点间的无穷小距离与原
像点间的无穷小距离之比的极限是|f′(z0)|，这可以看成是曲线C经w=f(z)
映射后在z0点的伸缩系数或伸缩率.它仅与z0有关，而与曲线C的形状和方向
页 退出
复变函数与积分变换
出版社 理工分社
定理6.6（黎曼存在与唯一性定理）如果扩充复平面上的单连通区域D，其边 界点不止一点，则存在一个在D内的单叶解析函数w=f(z)，它将D共形映射成 单位圆|w|<1，且当合条件f(a)=0,f′(a)>0，(a∈D)时，f(z)是唯一的. 定理6.7（边界对应定理）设w=f(z)在单连通区域D内解析，在D上连续，且 把区域D的边界C保持相同绕行方向、一一对应地映射为单连通区域G的边界 Γ，则w=f(z)将D共形映射为G.
即在区域

第三章 复变函数的积分
第一节 复积分的概念及其简单性质
29.09.2019
1
1.有向曲线:
简单曲线（Jordan曲线）： 无重点的连续曲线
光滑曲线：处处有切线,且切线随切点的移动而 连续转动的曲线
逐段光滑曲线：有限条光滑曲线衔接而成的连 续曲线
重点
重点
29.09.2019
重点
2
在讨论复变函数积分时，将要用到有向曲线的概 念，如果一条光滑或逐段光滑曲线规定了其起点 和终点，则称该曲线为有向曲线，曲线的方向是 这样规定的：
(1) 曲线C是开口弧段，
若规定它的端点P为起点，Q为终点，则
沿曲线 C 从 P 到Q 的方向为曲线C的正方向
把正向曲线记为C或C+.
y
BQ
而由Q到P的方向称为C的负方向, AP
负向曲线记为 C.
o
x
29.09.2019
3
(2) 如果 是简单闭曲线，规定人沿着曲线边 界行走时C ，区域内部总保持在人的左侧为正方 向，因此，逆时针方向为正方向，顺时针方向 为负方向．
o
1
19
（1）连接由点O到点1i的直线段的参数方程是
z (1i)t (0 t 1)
故CRezdz 01Re(1i)t(1i)dt
(1i)
1
tdt

1
i
0
2
29.09.2019
20
（2）先沿着正实轴从 O到1，再沿着平行于
虚轴的方向从 1到1 i
先沿着正实轴从 O到1，连接 0与1的直线段的参数方程为

5, 93
25
故
从而 1 dz C z i
1 dz 25.