2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测六十二离散型随机变量的分布列均值与方差含解析

第六节离散型随机变量的均值与方差、正态分布[考纲传真] 1.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念.2.会求简单离散型随机变量的均值、方差，并能利用离散型随机变量的均值、方差概念解决一些简单实际问题.3.借助直观直方图认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．1．离散型随机变量的分布列、均值与方差一般地，若离散型随机变量X的分布列为(1)均值：称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋x i p i＋…＋x n p n为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．(2)方差：称D(X)＝[x i－E(X)]2p i为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，其算术平方根D(X)为随机变量X的标准差．2．均值与方差的性质(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.(2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数)．3．两点分布与二项分布的均值、方差4.正态分布(1)正态曲线的特点：①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；③曲线在x＝μ④曲线与x轴之间的面积为1；⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．(2)正态分布的三个常用数据 ①P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)＝0.682_6； ②P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)＝0.954_4； ③P (μ－3σ＜X ≤μ＋3σ)＝0.997_4. [常用结论]1．均值与方差的关系：D (X )＝E (X 2)－E 2(X )．2．超几何分布的均值：若X 服从参数为N ，M ，n 的超几何分布，则E (X )＝nMN .[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．( )(2)若X ～N (μ，σ2)，则μ，σ2分别表示正态分布的均值和方差． ( ) (3)随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量． ( )(4)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离均值的平均程度越小.( )[答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√ 2．(教材改编)已知X 的分布列为设Y ＝2X ＋3A.73 B ．4C ．－1D ．1 A [由概率分布列的性质可知：12＋13＋a ＝1， ∴a ＝16.∴E (X )＝(－1)×12＋0×13＋1×16＝－13. ∴E (Y )＝3＋2E (X )＝3－23＝73.]3．已知随机变量X ＋η＝8，若X ～B (10,0.6)，则随机变量η的均值E (η)及方差D (η)分别是( ) A ．6和2.4 B ．2和2.4 C ．2和5.6D ．6和5.6B[设随机变量X的均值及方差分别为E(X)，D(X)，因为X～B(10,0.6)，所以E(X)＝10×0.6＝6，D(X)＝10×0.6×(1－0.6)＝2.4，故E(η)＝E(8－X)＝8－E(X)＝2，D(η)＝D(8－X)＝D(X)＝2.4，故选B.]4．已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ＜4)＝0.8，则P(0＜ξ＜4)＝________.0．6[由P(ξ＜4)＝0.8，得P(ξ≥4)＝0.2.又正态曲线关于x＝2对称．则P(ξ≤0)＝P(ξ≥4)＝0.2，∴P(0＜ξ＜4)＝1－P(ξ≤0)－P(ξ≥4)＝0.6.]5．随机变量X的分布列为P(X＝k)＝Ck(k＋1)，k＝1,2,3，C为常数，则P(0.5＜X＜2.5)＝________.89[由P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝1，得C1×2＋C2×3＋C3×4＝1，解得C＝43.所以P(0.5＜X＜2.5)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝23＋29＝89.]【例1】有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则D(X)＝( )A．1.96 B．1.98 C．2 D．2.02(2)甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球．约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都投球3次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为13，乙每次投篮投中的概率为12，且各次投篮互不影响．①求甲获胜的概率；②求投篮结束时甲的投球次数ξ的分布列与期望．(1)A[依题意，X～B(100,0.02)，所以D(X)＝100×0.02×(1－0.02)＝1.96.](2)[解]设A k，B k分别表示“甲、乙在第k次投篮投中”，则P(A k)＝13，P(B k)＝12，其中k＝1,2,3.①记“甲获胜”为事件C，由互斥事件与相互独立事件的概率计算公式知P(C)＝P(A1)＋P(–A1–B1A2)＋P(–A1–B1–A2–B2A3)＝P(A1)＋P(–A1)P(–B1)P(A2)＋P(–A1)P(–B1)P(–A2)P(–B2)P(A3)＝13＋23×12×13＋⎝⎛⎭⎪⎫232×⎝⎛⎭⎪⎫122×13＝13＋19＋127＝1327.②ξ的所有可能取值为1,2,3，且P(ξ＝1)＝P(A1)＋P(–A1B1)＝13＋23×12＝23，P(ξ＝2)＝P(–A1–B1A2)＋P(–A1–B1–A2B2)＝23×12×13＋⎝⎛⎭⎪⎫232×⎝⎛⎭⎪⎫122＝29，P(ξ＝3)＝P(–A1–B1–A2–B2)＝⎝⎛⎭⎪⎫232×⎝⎛⎭⎪⎫122＝19.综上知，ξ的分布列为所以E(ξ)＝1×23＋2×29＋3×19＝139.一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分．(1)当a＝3，b＝2，c＝1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，求ξ的分布列；(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若E(η)＝53，D(η)＝59，求a∶b∶c.[解](1)由题意得ξ＝2,3,4,5,6，故P(ξ＝2)＝3×36×6＝14，P(ξ＝3)＝2×3×26×6＝13，P(ξ＝4)＝2×3×1＋2×26×6＝518，P(ξ＝5)＝2×2×16×6＝19，P(ξ＝6)＝1×16×6＝136.所以ξ的分布列为(2)由题意知η所以E (η)＝a a ＋b ＋c ＋2b a ＋b ＋c ＋3c a ＋b ＋c＝53，D (η)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－532·a a ＋b ＋c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－532·b a ＋b ＋c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3－532·c a ＋b ＋c ＝59，化简得⎩⎨⎧2a －b －4c ＝0，a ＋4b －11c ＝0.解得a ＝3c ，b ＝2c ，故a ∶b ∶c ＝3∶2∶1.【例2】 X (单位：米)的频率分布直方图如图：将河流最高水位落入各组的频率视为概率，并假设每年河流最高水位相互独立． (1)求在未来三年里，至多有一年河流最高水位X ∈[27,31)的概率(结果用分数表示)；(2)该河流对沿河A 企业影响如下：当X ∈[23,27)时，不会造成影响；当X ∈[27,31)时，损失10 000元；当X ∈[31,35]时，损失60 000元．为减少损失，现有三种应对方案：方案一：防御35米的最高水位，每年需要工程费用3 800元； 方案二：防御31米的最高水位，每年需要工程费用2 000元； 方案三：不采取措施．试比较上述三种方案，哪种方案好，并请说明理由． [解] (1)由题意得P (27≤X ＜31)＝0.25＝14.设在未来3年里，河流最高水位x ∈[27,31)发生的年数为Y ，则Y ～N ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，14.设事件“在未来三年里，至多有一年河流最高水位X ∈[27,31)”为事件A ， 则P (A )＝P (Y ＝0)＋P (Y ＝1)＝C 03⎝ ⎛⎭⎪⎫343＋C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫3422×14＝2732.所以在未来三年里，至多有一年河流最高水位X∈[27,31)的概率为27 32.(2)方案二好，理由如下：由题意得P(23≤X＜27)＝0.74，P(31≤X≤35)＝0.01，用X1，X2，X3分别表示方案一、方案二、方案三的损失，由题意得X1＝3 800，X2的分布列为所以E(X2)＝62 000×0.01＋2 000X3的分布列为所以E(X3)＝0×0.74＋60 000×因为三种方案中方案二的平均损失最小，所以采取方案二好．甲、乙两地该商品需求量(单位：件)的频率分布表如下：甲地需求量频率分布表乙地需求量频率分布表(1)若此供货商计划将10件该商品全部配送至甲、乙两地，为保证两地不缺货(配送量≥需求量)的概率均大于0.7，问该商品的配送方案有哪几种？(2)已知甲、乙两地该商品的销售相互独立，该商品售出，供货商获利2万元/件；未售出的，供货商亏损1万元/件．在(1)的前提下，若仅考虑此供货商所获净利润，试确定最佳配送方案．[解](1)由表格可知，甲地不缺货的概率大于0.7时，至少需配货5件；乙地不缺货的概率大于0.7时，至少需配货4件．故共有两种方案：方案一是甲地配5件，乙地配5件；方案二是甲地配6件，乙地配4件．(2)方案一：甲地配5件，乙地配5件时，记甲地的利润为X1万元，乙地的利润为Y1万元，则X1，Y1的分布列分别为E(Y1)＝(7×0.5＋10×0.5)＋(4×0.6＋17×0.3＋10×0.1)＝8.5＋5.5＝14(万元)．方案二：甲地配6件，乙地配4件时，记甲地的利润为X2万元，乙地的利润为Y2万元，则X2，Y2的分布列分别为)＋E(Y2)＝(6×0.5＋9×0.3＋12×0.2)＋2(5×0.6＋8×0.4)＝8.1＋6.2＝14.3(万元)．综上，仅考虑此供货商所获净利润，选择方案二更佳．【例3】(2017·全国卷Ⅰ)线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm)．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ，σ2)．(1)假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件数，求P(X≥1)及X的数学期望；(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．①试说明上述监控生产过程方法的合理性；②下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：经计算得x ＝＝9.97，s ＝＝)≈0.212，其中x i 为抽取的第i 个零件的尺寸，i ＝1,2， (16)用样本平均数–x 作为μ的估计值μ^，用样本标准差s 作为σ的估计值σ^，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01)．附：若随机变量Z 服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－3σ<Z ＜μ＋3σ)＝0.997 4,0.997 416≈0.959 2，0.008≈0.09.[解] (1)抽取的一个零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之内的概率为0.997 4，从而零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率为0.002 6，故X ～B (16,0.002 6)．因此P (X ≥1)＝1－P (X ＝0)＝1－0.997 416≈0.040 8. X 的数学期望E (X )＝16×0.002 6＝0.041 6.(2)①如果生产状态正常，一个零件尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率只有0.002 6，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件的概率只有0.040 8，发生的概率很小，因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的．②由–x ＝9.97，s ≈0.212，得μ的估计值为μ^＝9.97，σ的估计值为σ^＝0.212，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外，因此需对当天的生产过程进行检查．剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外的数据9.22，剩下数据的平均数为115×(16×9.97－9.22)＝10.02. 因此μ的估计值为10.02.＝16×0.2122＋16×9.972≈1 591.134，剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外的数据9.22，剩下数据的样本方差为115×(1 591.134－9.222－15×10.022)≈0.008，因此σ的估计值为0.008≈0.09.N(－1,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为( )附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝0.954 4.A．1 193 B．1 359C．2 718 D．3 413(2)甲、乙两厂生产的一批零件尺寸服从N(5,0.12)，如果零件尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)以外，我们就有理由认为生产中可能出现了异常情况．现从甲、乙两厂各抽取10件零件检测，尺寸如茎叶图所示：则以下判断正确的是( )A．甲、乙两厂生产都出现异常B．甲、乙两厂生产都正常C．甲厂生产正常，乙厂出现异常D．甲厂生产出现异常，乙厂正常(1)B(2)D[(1)对于正态分布N(－1,1)，μ＝－1，σ＝1，正态曲线关于x＝－1对称，故题图中阴影部分的面积为12×[P(－3＜X＜1)－P(－2＜X＜0)]＝12×[P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)－P(μ－σ＜X＜μ＋σ)]＝12×(0.954 4－0.682 6)＝0.135 9，所以点落入题图中阴影部分的概率P＝0.135 91＝0.135 9，投入10 000个点，落入阴影部分的个数约为10 000×0.135 9＝1 359.(2)由甲、乙两厂生产的一批零件尺寸服从N(5,0.12)，得μ＝5，σ＝0.1，区间(μ－3σ，μ＋3σ)，即区间(4.7,5.3)，根据茎叶图可知，甲厂生产的零件有1件尺寸超出上述区间，乙厂生产的零件尺寸均在上述区间，所以甲厂生产出现异常、乙厂生产正常．故选D.](2018·全国卷Ⅰ)某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为p(0＜p＜1)，且各件产品是否为不合格品相互独立．(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)，求f(p)的最大值点p0.(2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的p0作为p的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．①若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求E(X)；②以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？[解](1)20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)＝C220p2(1－p)18.因此f′(p)＝C220[2p(1－p)18－18p2(1－p)17]＝2C220p(1－p)17(1－10p)．令f′(p)＝0，得p＝0.1.当p∈(0,0.1)时，f′(p)＞0；当p∈(0.1,1)时，f′(p)＜0.所以f(p)的最大值点为p0＝0.1.(2)由(1)知，p＝0.1.①令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知Y～B(180,0.1)，X＝20×2＋25Y，即X＝40＋25Y.所以E(X)＝E(40＋25Y)＝40＋25E(Y)＝490.②如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元．由于E(X)＞400，故应该对余下的产品作检验．。

§12.3　离散型随机变量的分布列及均值、方差最新考纲　1.在对具体问题的分析中，理解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念，认识分布列对于刻画随机现象的重要性.2.通过实例(如彩票抽奖)，理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用.3.通过实例，理解取有限值的离散型随机变量的均值、方差的概念．能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题．1．离散型随机变量的分布列(1)随着试验结果变化而变化的变量叫做随机变量．所有取值可以一一列出的随机变量叫做离散型随机变量．(2)一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，X 取每一个值x i (i ＝1,2，…，n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，则称表X x 1x 2…x i …x n Pp 1p 2…p i…p n为离散型随机变量X 的概率分布列，简称为X 的分布列，具有如下性质：①p i ≥0，i ＝1,2，…，n ；②i＝1.n∑i ＝1p 离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．2．两点分布如果随机变量X 的分布列为X 01P1－pp其中0<p <1，则称离散型随机变量X 服从两点分布．其中p ＝P (X ＝1)称为成功概率．3．离散型随机变量的均值与方差一般地，若离散型随机变量X 的分布列为X x 1x 2…x i …x n Pp 1p 2…p i…p n(1)均值称E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n 为随机变量X 的均值或数学期望．它反映了离散型随机变量取值的平均水平．(2)方差称D (X )＝ (x i －E (X ))2p i 为随机变量X 的方差，它刻画了随机变量X 与其均值E (X )的平均∑ni ＝1偏离程度，并称其算术平方根为随机变量X 的标准差．D (X )4．均值与方差的性质(1)E (aX ＋b )＝aE (X )＋b .(2)D (aX ＋b )＝a 2D (X )．(a ，b 为常数)5．超几何分布一般地，设有N 件产品，其中有M (M ≤N )件次品．从中任取n (n ≤N )件产品，用X 表示取出的n 件产品中次品的件数，那么P (X ＝k )＝ (k ＝0,1,2，…，m )，即C k M C n －kN －M C nNX01…mP C0M C n0N－MC n NC1M C n1N－MC n N…C m M C n－mN MC n N其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.如果一个随机变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布．概念方法微思考1．离散型随机变量X的每一个可能取值为实数，其实质代表的是什么？提示　代表的是“事件”，即事件是用一个反映结果的实数表示的．2．如何判断所求离散型随机变量的分布列是否正确？提示　可用p i≥0，i＝1,2，…，n及p1＋p2＋…＋p n＝1检验．3．随机变量的均值、方差与样本均值、方差的关系是怎样的？提示　随机变量的均值、方差是一个常数，样本均值、方差是一个随机变量，随观测次数的增加或样本容量的增加，样本的均值、方差趋于随机变量的均值与方差．题组一　思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量．(　√　)(2)离散型随机变量的概率分布列描述了由这个随机变量所刻画的随机现象．(　√　)(3)从4名男演员和3名女演员中选出4名，其中女演员的人数X服从超几何分布．(　√　)(4)离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.(　×　)(5)随机变量的均值是常数，样本的平均数是随机变量，它不确定．(　√　)(6)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量的平均程度越小．(　√　)题组二　教材改编2．设随机变量X 的分布列如下：X 12345P112161316p则p 为( )A. B. C. D.161314112答案　C解析　由分布列的性质知，＋＋＋＋p ＝1，112161316∴p ＝1－＝.34143．已知X 的分布列为X －101P121316设Y ＝2X ＋3，则E (Y )的值为( )A. B ．4 C ．－1 D ．173答案　A解析　E (X )＝－＋＝－，121613E (Y )＝E (2X ＋3)＝2E (X )＋3＝－＋3＝.23734．有一批产品共12件，其中次品3件，每次从中任取一件，在取到合格品之前取出的次品数X 的所有可能取值是____________．答案　0,1,2,3解析　因为次品共有3件，所以在取到合格品之前取出的次品数X 的可能取值为0,1,2,3.题组三　易错自纠5．袋中有3个白球、5个黑球，从中任取2个，可以作为随机变量的是( )A ．至少取到1个白球 B ．至多取到1个白球C ．取到白球的个数 D ．取到的球的个数答案　C解析　选项A ，B 表述的都是随机事件；选项D 是确定的值2，并不随机；选项C 是随机变量，可能取值为0,1,2.6．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的、3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量，则P (X ＝4)的值为______．答案　27220解析　由题意知取出的3个球必为2个旧球、1个新球，故P (X ＝4)＝＝.C 23C 19C 31227220题型一　分布列的求法例1 设某人有5发子弹，当他向某一目标射击时，每发子弹命中目标的概率为.若他连续两23发命中或连续两发不中则停止射击，否则将子弹打完．(1)求他前两发子弹只命中一发的概率；(2)求他所耗用的子弹数X 的分布列．解　记“第k 发子弹命中目标”为事件A k ，则A 1，A 2，A 3，A 4，A 5相互独立，且P (A k )＝，P (23k )＝，k ＝1,2,3,4,5.A 13(1)方法一　他前两发子弹只命中一发的概率为P (A 12)＋P (1A 2)＝P (A 1)P (2)＋P (1)P (A 2)A A A A ＝×＋×＝.2313132349方法二　由独立重复试验的概率计算公式知，他前两发子弹只命中一发的概率为P ＝C ××＝.12231349(2)X 的所有可能值为2,3,4,5.P (X ＝2)＝P (A 1A 2)＋P (1 2)A A ＝×＋×＝，2323131359P (X ＝3)＝P (A 12 3)＋P (1A 2A 3)A A A ＝×2＋×2＝，23(13)13(23)29P (X ＝4)＝P (A 12A 3A 4)＋P (1A 23 4)A A A A ＝3×＋3×＝，(23)13(13)231081P (X ＝5)＝P (A 12A 34)＋P (1A 23A 4)A A A A ＝2×2＋2×2＝.(23)(13)(13)(23)881故X 的分布列为X 2345P59291081881思维升华 求离散型随机变量X 的分布列的步骤(1)理解X 的意义，写出X 可能取的全部值；(2)求X 取每个值的概率；(3)写出X 的分布列．求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识．跟踪训练1 已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束．(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X 表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X 的分布列．解　(1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A ，则P (A )＝＝.A 12A 13A 25310(2)X 的可能取值为200,300,400.P (X ＝200)＝＝，A 2A 25110P (X ＝300)＝＝，A 3＋C 12C 13A 2A 35310P (X ＝400)＝1－P (X ＝200)－P (X ＝300)＝1－－＝.11031035故X 的分布列为X 200300400P11031035题型二　均值与方差例2 某投资公司在2019年年初准备将1 000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为和；7929项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，和.3513115针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由．解　若按“项目一”投资，设获利为X 1万元，则X 1的分布列为X 1300－150P7929∴E (X 1)＝300×＋(－150)×＝200.7929若按“项目二”投资，设获利为X 2万元，则X 2的分布列为X 2500－3000P3513115∴E (X 2)＝500×＋(－300)×＋0×＝200.3513115D (X 1)＝(300－200)2×＋(－150－200)2×7929＝35 000，D (X 2)＝(500－200)2×＋(－300－200)2×＋(0－200)2×＝140 000.3513115∴E (X 1)＝E (X 2)，D (X 1)<D (X 2)，这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥．综上所述，建议该投资公司选择项目一投资．思维升华 离散型随机变量的均值与方差的常见类型及解题策略(1)求离散型随机变量的均值与方差．可依题设条件求出离散型随机变量的分布列，然后利用均值、方差公式直接求解．(2)由已知均值或方差求参数值．可依据条件利用均值、方差公式得出含有参数的方程(组)，解方程(组)即可求出参数值．(3)由已知条件，作出对两种方案的判断．可依据均值、方差的意义，对实际问题作出判断．跟踪训练2 为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动．该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为，；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为，；两人14161223滑雪时间都不会超过3小时．(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与均值E (ξ)，方差D (ξ)．解　(1)两人所付费用相同，相同的费用可能为0,40,80元，甲、乙两人2小时以上且不超过3小时离开的概率分别为＝，＝.(1－14－12)14(1－16－23)16两人都付0元的概率为P 1＝×＝，1416124两人都付40元的概率为P 2＝×＝，122313两人都付80元的概率为P 3＝×＝，1416124则两人所付费用相同的概率为P ＝P 1＋P 2＋P 3＝＋＋＝.12413124512(2)设甲、乙所付费用之和为ξ，ξ的可能取值为0,40,80,120,160，则P (ξ＝0)＝×＝，1416124P (ξ＝40)＝×＋×＝，1423121614P (ξ＝80)＝×＋×＋×＝，141612231416512P (ξ＝120)＝×＋×＝，1216142314P (ξ＝160)＝×＝.1416124所以ξ的分布列为ξ04080120160P1241451214124E (ξ)＝0×＋40×＋80×＋120×＋160×＝80.1241451214124D (ξ)＝(0－80)2×＋(40－80)2×＋(80－80)2×＋(120－80)2×＋(160－80)2×＝.1241451214124 4 0003题型三　超几何分布例3　(2017·山东)在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用．现有6名男志愿者A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6和4名女志愿者B 1，B 2，B 3，B 4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1但不包含B 1的概率；(2)用X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X 的分布列与均值E (X )．解　(1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1但不包含B 1的事件为M ，则P (M )＝＝.C 48C 510518(2)由题意知X 可取的值为0,1,2,3,4，则P (X ＝0)＝＝，C 56C 510142P (X ＝1)＝＝，C 46C 14C 510521P (X ＝2)＝＝，C 36C 24C 5101021P (X ＝3)＝＝，C 26C 34C 510521P (X ＝4)＝＝.C 16C4C 510142因此X 的分布列为X 01234P1425211021521142所以X 的均值E (X )＝0×P (X ＝0)＋1×P (X ＝1)＋2×P (X ＝2)＋3×P (X ＝3)＋4×P (X ＝4)＝0＋1×＋2×5211021＋3×＋4×＝2.521142思维升华 (1)超几何分布的两个特点①超几何分布是不放回抽样问题；②随机变量为抽到的某类个体的个数．(2)超几何分布的应用条件①两类不同的物品(或人、事)；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体．跟踪训练3 PM2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的可入肺颗粒物．根据现行国家标准GB3095－2012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．从某自然保护区2018年全年每天的PM2.5监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本，监测值频数如下表所示：PM2.5日均值(微克/立方米)[25,35)[35,45)[45,55)[55,65)[65,75)[75,85]频数311113(1)从这10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，求恰有一天空气质量达到一级的概率；(2)从这10天的数据中任取3天数据，记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求ξ的分布列．解　(1)记“从这10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，恰有一天空气质量达到一级”为事件A ，则P (A )＝＝.C 13C 27C 3102140(2)由条件知，ξ服从超几何分布，其中N ＝10，M ＝3，n ＝3，且随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3.P (ξ＝k )＝(k ＝0,1,2,3)．C k3·C 3－k 7C 310∴P (ξ＝0)＝＝，C 03C 37C 310724P (ξ＝1)＝＝，C 13C 27C 3102140P (ξ＝2)＝＝，C 23C 17C 310740P (ξ＝3)＝＝.C 3C 07C 3101120故ξ的分布列为ξ0123P72421407401120离散型随机变量的均值与方差问题例 (12分)为回馈顾客，某商场拟通过模拟兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额．(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求：①顾客所获的奖励额为60元的概率；②顾客所获的奖励额的分布列及均值；(2)商场对奖励总额的预算是60 000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成．为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由．规范解答解　(1)设顾客所获的奖励额为X .①依题意，得P (X ＝60)＝＝，C 1C 13C 2412即顾客所获的奖励额为60元的概率为.[2分]12②依题意，得X 的所有可能取值为20,60.P (X ＝60)＝，P (X ＝20)＝＝，12C 23C 2412故X 的分布列为X 2060P1212[4分]所以顾客所获的奖励额的均值为E (X )＝20×＋60×＝40.[5分]1212(2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元，所以，先寻找均值为60的可能方案．对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择(10,10,10,50)的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以均值不可能为60元；如果选择(50,50,50,10)的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以均值也不可能为60元；因此可能的方案是(10,10,50,50)，记为方案1.对于面值由20元和40元组成的情况，同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案，所以可能的方案是(20,20,40,40)，记为方案2.以下是对两个方案的分析．对于方案1，即方案(10,10,50,50)，设顾客所获的奖励额为X 1，则X 1的分布列为X 12060100P162316[7分]X 1的均值为E (X 1)＝20×＋60×＋100×＝60，162316X 1的方差为D (X 1)＝(20－60)2×＋(60－60)2×＋(100－60)2×＝.[9分]162316 1 6003对于方案2，即方案(20,20,40,40)，设顾客所获的奖励额为X 2，则X 2的分布列为X 2406080P162316[10分]X 2的均值为E (X 2)＝40×＋60×＋80×＝60，162316X 2的方差为D (X 2)＝(40－60)2×＋(60－60)2×＋(80－60)2×＝.1623164003由于两种方案的奖励额的均值都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1的小，所以应该选择方案2.[12分]求离散型随机变量的均值和方差问题的一般步骤第一步：确定随机变量的所有可能取值；第二步：求每一个可能取值所对应的概率；第三步：列出离散型随机变量的分布列；第四步：求均值和方差；第五步：根据均值、方差进行判断，并得出结论(适用于均值、方差的应用问题)；第六步：反思回顾．查看关键点、易错点和答题规范性．1．若离散型随机变量X 的分布列为X 01Pa 2a 22则X 的均值E (X )等于( )A ．2 B ．2或 C. D ．11212答案　C解析　由题意知，＋＝1，a >0，所以a ＝1，a 2a 22所以E (X )＝0×＋1×＝.故选C.1212122．设随机变量X 的分布列如下，则P (|X －2|＝1)等于( )X 1234P1614m13A.B. C. D.7121251216答案　C解析　由＋＋m ＋＝1，得m ＝，16141314所以P (|X －2|＝1)＝P (X ＝1)＋P (X ＝3)＝＋＝.故选C.16145123．有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，从中任意抽出3张卡片，设3张卡片上的数字和为X ，则X ≥8的概率是( )A.B. C. D.41571581535答案　C解析　由题意知，X 的取值为6,9,12，又P (X ＝9)＝＝，P (X ＝12)＝＝，C 28C 12C 310715C 18C2C 310115所以X ≥8的概率为＋＝，故选C.7151158154．设随机变量ξ的分布列为P ＝ak (k ＝1,2,3,4,5)，则P 等于( )(ξ＝k 5)(110<ξ<710)A. B. C. D.35452515答案　C解析　由题意知，分布列为ξ152535451Pa2a3a4a5a由分布列的性质可得，a ＋2a ＋3a ＋4a ＋5a ＝1，解得a ＝.115所以P＝P ＋P ＋P ＝＋＋＝.故选C.(110<ξ<710)(ξ＝15)(ξ＝25)(ξ＝35)115215315255．一个袋中有4个红球，3个黑球，小明从袋中随机取球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，从袋中任取4个球，则小明得分大于6分的概率是( )A.B. C. D.1335143518352235答案　A解析　记得分为X ，则X 的可能取值为5,6,7,8，P (X ＝7)＝＝；P (X ＝8)＝＝，C 34C 13C 471235C 4C 03C 47135所以P (X >6)＝P (X ＝7)＋P (X ＝8)＝＋＝.123513513356．设X 是一个离散型随机变量，其分布列为X －101P132－3qq 2则q 等于( )A ．1 B.±32336C.－ D.＋3233632336答案　C解析　∵＋2－3q ＋q 2＝1，∴q 2－3q ＋＝0，解得q ＝±.又由题意知0<q 2<，∴q ＝－.13433233623323367．口袋中有5只球，编号为1,2,3,4,5，从中任取3只球，以X 表示取出的球的最大号码，则X 的分布列为______________________．答案　X 345P0.10.30.6解析　X 的取值为3,4,5.又P (X ＝3)＝＝0.1，P (X ＝4)＝＝0.3，1C 35C 23C 35P (X ＝5)＝＝0.6.C 24C 35所以X 的分布列为X 345P0.10.30.68.随机变量X 的分布列如下：X －101Pabc其中a ，b ，c 成等差数列，则P (|X |＝1)＝________，公差d 的取值范围是________．答案 23[－13，13]解析　∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c .又a ＋b ＋c ＝1，∴b ＝，∴P (|X |＝1)＝a ＋c ＝.1323又a ＝－d ，c ＝＋d ，1313根据分布列的性质，得0≤－d ≤，0≤＋d ≤，13231323∴－≤d ≤.13139．在一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取一球，记下它的颜色，然后放回，再取一球，又记下它的颜色，则这两次取出白球数η的分布列为________________________________．答案　η012P141214解析　∵η的所有可能值为0,1,2.P (η＝0)＝＝，P (η＝1)＝＝，C 1C 1C 12C 1214C 1C 1×2C 12C 1212P (η＝2)＝＝.C 1C 1C 12C 1214∴η的分布列为η012P14121410.某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%；如果失败，一年后将丧失全部资金的50%，下表是过去200例类似项目开发的实施结果：投资成功投资失败192例8例则估计该公司一年后可获收益的均值是________元．答案　4 760解析　由题意知，一年后获利6 000元的概率为0.96，获利－25 000元的概率为0.04，故一年后收益的均值是6 000×0.96＋(－25 000)×0.04＝4 760(元)．11．(2018·河南豫南九校联考)为创建国家级文明城市，某城市号召出租车司机在高考期间至少进行一次“爱心送考”，该城市某出租车公司共200名司机，他们进行“爱心送考”的次数统计如图所示．(1)求该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数；(2)从这200名司机中任选两人，设这两人进行送考次数之差的绝对值为随机变量X ，求X 的分布列及均值．解　(1)由统计图得200名司机中送考1次的有20人，送考2次的有100人，送考3次的有80人，∴该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数为＝2.3.20×1＋100×2＋80×3200(2)从该公司任选两名司机，记“这两人中一人送考1次，另一人送考2次”为事件A ，“这两人中一人送考2次，另一人送考3次”为事件B ，“这两人中一人送考1次，另一人送考3次”为事件C ，“这两人送考次数相同”为事件D ，由题意知X 的所有可能取值为0,1,2，P (X ＝1)＝P (A )＋P (B )＝＋＝，C 120C 1100C 2200C 1100C 180C 2200100199P (X ＝2)＝P (C )＝＝，C 120C 180C 220016199P (X ＝0)＝P (D )＝＝，C 220＋C 2100＋C 280C 220083199∴X 的分布列为X 012P8319910019916199E (X )＝0×＋1×＋2×＝.831991001991619913219912．(2018·洛阳模拟)某超市计划按月订购一种冰激凌，每天进货量相同，进货成本为每桶5元，售价为每桶7元，未售出的冰激凌以每桶3元的价格当天全部处理完毕，根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关，如果最高气温不低于25 ℃，需求量为600桶，如果最高气温(单位：℃)位于区间[20,25)，需求量为400桶，如果最高气温低于20 ℃，需求量为200桶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温(℃)[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40]天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．(1)求六月份这种冰激凌一天的需求量X (单位：桶)的分布列；(2)设六月份一天销售这种冰激凌的利润为Y (单位：元)，当六月份这种冰激凌一天的进货量n (单位：桶)为多少时，Y 的均值取得最大值？解　(1)由已知得，X 的所有可能取值为200,400,600，记六月份最高气温低于20 ℃为事件A 1，最高气温(单位：℃)位于区间[20,25)为事件A 2，最高气温不低于25 ℃为事件A 3，根据题意，结合频数分布表，用频率估计概率，可知P (X ＝200)＝P (A 1)＝＝，P (X ＝400)＝P (A 2)＝＝，P (X ＝600)＝P (A 3)＝＝，189015369025369025故六月份这种冰激凌一天的需求量X (单位：桶)的分布列为X 200400600P152525(2)由题意得，当n ≤200时，E (Y )＝2n ≤400；当200<n ≤400时，E (Y )＝×[200×2＋(n －200)×(－2)]＋×n ×2＝n ＋160∈(400,640]；154565当400<n ≤600时，E (Y )＝×[200×2＋(n －200)×(－2)]＋×[400×2＋(n －400)×(－2)]＋×n ×2＝－n ＋800∈15252525[560,640)；当n >600时，E (Y )＝×[200×2＋(n －200)×(－2)]＋×[400×2＋(n －400)×(－2)]＋×[600×2＋(n －600)×(－2)]152525＝1 760－2n <560，所以当n ＝400时，Y 的均值取得最大值640.13．已知6只小白鼠中有1只感染了病毒，需要对6只小白鼠进行病毒DNA 化验来确定哪一只受到了感染．下面是两种化验方案：方案甲：逐个化验，直到能确定感染病毒的小白鼠为止．方案乙：将6只小白鼠分为两组，每组三只，将其中一组的三只小白鼠的待化验物质混合在一起化验，若化验结果显示含有病毒DNA ，则表明感染病毒的小白鼠在这三只当中，然后逐个化验，直到确定感染病毒的小白鼠为止；若化验结果显示不含病毒DNA ，则在另外一组中逐个进行化验．(1)求执行方案乙化验次数恰好为2次的概率；(2)若首次化验的化验费为10元，第二次化验的化验费为8元，第三次及以后每次化验的化验费都是6元，求方案甲所需化验费的分布列和均值．解　(1)执行方案乙化验次数恰好为2次的情况分两种：第一种，先化验一组，结果显示不含病毒DNA ，再从另一组中任取一只进行化验，其恰好含有病毒DNA ，此种情况的概率为×＝；第二种，先化验一组，结果显示含病毒DNA ，C 35C 361C 1316再从中逐个化验，恰好第一只含有病毒，此种情况的概率为×＝.C 25C 361C 1316所以执行方案乙化验次数恰好为2次的概率为＋＝.161613(2)设用方案甲化验需要的化验费为η(单位：元)，则η的可能取值为10,18,24,30,36.P (η＝10)＝，16P (η＝18)＝×＝，561516P (η＝24)＝××＝，56451416P (η＝30)＝×××＝，5645341316P (η＝36)＝×××＝，5645342313则化验费η的分布列为η1018243036P1616161613所以E (η)＝10×＋18×＋24×＋30×＋36×＝(元)．161616161377314．(2018·菏泽模拟)在一次诗词知识竞赛调查中，发现参赛选手分为两个年龄(单位：岁)段：[20,30)，[30,40]，其中答对诗词名句与否的人数如图所示．(1)完成下面2×2列联表：年龄段正确错误总计[20,30)[30,40]总计(2)是否有90%的把握认为答对诗词名句与年龄有关，请说明你的理由；(3)现按年龄段分层抽样选取6名选手，若从这6名选手中选取3名选手，求3名选手中年龄在[20,30)岁范围人数的分布列和均值．解　(1)2×2列联表：年龄段正确错误总计[20,30)103040[30,40]107080总计20100120(2)K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )＝＝3.120(70×10－30×10)220×100×40×80∵3>2.706，∴有90%的把握认为答对诗词名句与年龄有关．(3)按年龄段分层抽取6人中，在[20,30)岁范围的人数是2，在[30,40]岁范围的人数是4.现从6名选手中选取3名选手，设3名选手中在范围[20,30)岁的人数为ξ，则ξ的可能取值为0,1,2.P (ξ＝0)＝＝，P (ξ＝1)＝＝，C 34C 3615C 24C 12C 3635P (ξ＝2)＝＝，C 14C2C 3615∴ξ的分布列为ξ012P153515故ξ的均值为E (ξ)＝0×＋1×＋2×＝1.15351515．设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝2，则随机变量ξ的均值是________．答案　10＋211解析　ξ的可能取值为0，，1,2，则2P (ξ＝0)＝＝，P (ξ＝)＝＝，8C 23C 21241126C 212111P (ξ＝1)＝＝，P (ξ＝2)＝＝.12C 21221124C 212411∴ξ的分布列为ξ0122P411211111411∴E (ξ)＝0×＋×＋1×＋2×＝.411211121141110＋21116．设0<p <1，随机变量ξ的分布列是ξ012P1－p212p 2则当p 在(0,1)内增大时，( )A ．D (ξ)减小 B ．D (ξ)增大C ．D (ξ)先减小后增大D ．D (ξ)先增大后减小答案　D解析　由题意知E (ξ)＝0×＋1×＋2×＝p ＋，1－p 212p 212D (ξ)＝2×＋2×＋2×[0－(p ＋12)]1－p2[1－(p＋12)]12[2－(p＋12)]p2＝2×＋2×＋2×(p ＋12)1－p 2(p －12)12(32－p )p 2＝2＋2－2＋212(p ＋12)12(p －12)p 2(p ＋12)p 2(32－p )＝－12(2p 2＋12)p2[(p ＋12)2－(p －32)2]＝p 2＋－p (2p －1)14＝－p 2＋p ＋＝－2＋，14(p －12)12∴D (ξ)在上单调递增，在上单调递减，即当p 在(0,1)内增大时，D (ξ)先增大后减小．(0，12)(12，1)故选D.。

X －2 －1 0 1 2
3
P 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1
则当 P(X＜a)＝0.8 时，实数 a 的取值范围是( )
A．(－∞，2]
B．[1,2]
C．(1,2]
D．(1,2)
[解析] 由随机变量 X 的分布列知：P(X＜－1)＝0.1，
P(X＜0)＝0.3，P(X＜1)＝0.5，P(X＜2)＝0.8，
则当 P(X＜a)＝0.8 时，实数 a 的取值范围是(1,2]．
[答案] C
[方法技巧] 离散型随机变量分布列的性质的应用
(1)利用“总概率之和为 1”可以求相关参数的取值范围 或值；
(2)利用“离散型随机变量在一范围内的概率等于它取这 个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率；
(3)可以根据性质判断所得分布列结果是否正确．
Y，ξ，η，…表示． (2)离散型随机变量：所有取值可以 一一列出 的随机变量． 2．离散型随机变量分布列的概念及性质
(1)概念：若离散型随机变量 X 可能取的不同值为 x1，x2，…， xi，…，xn，X 取每一个值 xi(i＝1,2，…，n)的概率 P(X＝xi)＝pi， 以表格的形式表示如下：
课进行剪辑，求剪辑时间 X 的分布列．
[解] (1)根据分层抽样可知，选出的 6 节课中点击量超过
3 000 的节数为1326×6＝2. (2)由分层抽样可知，(1)中选出的 6 节课中点击量在区间
[0,1 000]内的有 1 节，点击量在区间(1 000,3 000]内的有 3 节，
故 X 的可能取值为 0,20,40,60. P(X＝0)＝C126＝115，P(X＝20)＝CC13C26 12＝165＝25， P(X＝40)＝C12C＋26C23＝155＝13，P(X＝60)＝CC1326＝135＝15， 则 X 的分布列为

——教学资料参考参考范本——【高中教育】高考数学一轮复习课时规范练62离散型随机变量的均值与方差理新人教B版______年______月______日____________________部门基础巩固组1.已知X的分布列如下表,设Y=2X+3,则E(Y)的值为( )X-1 0 1PA. B.4 C.-1 D.12.已知随机变量X+η=8,若X~B(10,0.6),则E(η),D(η)分别是( )A.6和2.4B.2和2.4C.2和5.6D.6和5.63.若X~B(n,p),且E(X)=6,D(X)=3,则P(X=1)的值为( )A.3·2-2B.2-4C.3·2-10D.2-84.已知随机变量ξ的分布列为ξ 1 2 3P x y若E(ξ)=,则D(ξ)等于( )A. B. C. D. 〚导学号21500785〛5.袋中有6个红球,4个白球,这些球除颜色外完全相同.从中任取1球,记住颜色后再放回,连续摸取4次,设X为取得红球的次数,则X的方差D(X)的值为( )A. B. C. D.6.将两封信随机投入A,B,C三个空邮箱中,则A邮箱的信件数ξ的均值为.7.袋中有4个红球,3个黑球,这些球除颜色外完全相同.今从袋中随机取出4个球,设取到1个红球记2分,取到1个黑球记1分,则得分ξ的均值为.8.同时抛掷两枚质地均匀的硬币,当至少有一枚硬币正面向上时,就说这次试验成功,则在2次试验中成功次数X的均值是.9.某运动员的投篮命中率为p=0.6,则投篮一次命中次数ξ的均值为;若重复投篮5次,命中次数η的均值为. 10.有甲、乙两个建材厂,都想投标参加某重点建设,为了对重点建设负责,政府到两建材厂抽样检查,他们从中各抽取等量的样品检查它们的抗拉强度指标,其分布列如下:X8 9 10P0.2 0.6 0.2Y8 9 10P0.4 0.2 0.4其中X和Y分别表示甲、乙两厂材料的抗拉强度,在使用时要求选择较高抗拉强度指数的材料,越稳定越好.试从均值与方差的指标分析该用哪个厂的材料.综合提升组11.(20xx北京东城模拟二,理17)已知将一枚质地不均匀的硬币抛掷三次,三次正面均朝上的概率为.(1)求抛掷这样的硬币三次,恰有两次正面朝上的概率;(2)抛掷这样的硬币三次后,抛掷一枚质地均匀的硬币一次,记四次抛掷后正面朝上的总次数为ξ,求随机变量ξ的分布列及数学期望E(ξ).〚导学号21500786〛12.(20xx河北邯郸大名一中月考)《最强大脑》是大型科学竞技类真人秀节目,是专注传播脑科学知识和脑力竞技的节目.某机构为了了解大学生喜欢《最强大脑》是否与性别有关,对某校的100名大学生进行了问卷调查,得到如下列联表:喜欢《最强大脑》不喜欢《最强大脑》合计男生15女生15合计已知在这100人中随机抽取1人,抽到不喜欢《最强大脑》的大学生的概率为0.4.(1)请将上述列联表补充完整,判断是否有99%的把握认为喜欢《最强大脑》与性别有关,并说明理由;(2)已知在被调查的大学生中有5名是大一学生,其中3名喜欢《最强大脑》,现从这5名大一学生中随机抽取2人,抽到喜欢《最强大脑》的人数为X,求X的分布列及数学期望.附:χ2=,P(χ2>k) 0.050 0.010k3.841 6.63513.(20xx河北衡水中学三调,理18)某同学在研究性学习中收集到某制药厂今年前5个月甲胶囊生产产量(单位:万盒)的数据如下表所示:月份x 1 2 3 4 5y/万盒 4 4 5 6 6(1)该同学为了求出y关于x的线性回归方程x+,根据表中数据已经正确计算出=0.6,试求出的值,并估计该厂6月份生产的甲胶囊产量数;(2)若某药店现有该制药厂今年2月份生产的甲胶囊4盒和3月份生产的甲胶囊5盒,小红同学从中随机购买了3盒甲胶囊,后经了解发现该制药厂今年2月份生产的所有甲胶囊均存在质量问题.记小红同学所购买的3盒甲胶囊中存在质量问题的盒数为ξ,求ξ的分布列和数学期望.〚导学号21500787〛创新应用组14.某次假期即将到来,喜爱旅游的小陈准备去厦门游玩,初步打算去鼓浪屿、南普陀寺、白城浴场三个景点,每个景点有可能去的概率都是,且是否游览某个景点互不影响,设ξ表示小陈离开厦门时游览的景点数.(1)求ξ的分布列、数学期望及其方差;(2)记“函数f(x)=x2-3ξx+1在区间[2,+∞)内单调递增”为事件A,求事件A的概率.〚导学号21500788〛参考答案课时规范练62 离散型随机变量的均值与方差1.A E(X)=-=-,E(Y)=E(2X+3)=2E(X)+3=-+3=.2.B 由已知随机变量X+η=8,所以有η=8-X.因此,求得E(η)=8-E(X)=8-10×0.6=2,D(η)=(-1)2D(X)=10×0.6×0.4=2.4.3.C ∵E(X)=np=6,D(X)=np(1-p)=3,∴p=,n=12,∴P(X=1)==3·2-10.4.B 由分布列的性质得x+y=,又E(ξ)=,所以+2x+3y=,解得x=,y=.故D(ξ)=.5.B 因为是有放回地摸球,所以每次摸球(试验)摸得红球(成功)的概率均为,连续摸4次(做4次试验),X为取得红球(成功)的次数,则X~B,故D(X)=4×.6. ξ的所有可能取值为0,1,2,P(ξ=0)=,P(ξ=1)=,P(ξ=2)=,故ξ的分布列为ξ0 1 2PE(ξ)=0×+1×+2×.7. 取出4个球,颜色分布情况是:4红得8分,3红1黑得7分,2红2黑得6分,1红3黑得5分,相应的概率为P(ξ=5)=,P(ξ=6)=,P(ξ=7)=,P(ξ=8)=.则E(ξ)=5×+6×+7×+8×.8. 同时抛掷两枚质地均匀的硬币,可能的结果有(正正),(正反),(反正),(反反),所以试验一次成功的概率为1-.所以在2次试验中成功次数X的取值为0,1,2,其中P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,所以在2次试验中成功次数X的均值是E(X)=0×+1×+2×.9.0.6 3 投篮一次,命中次数ξ的分布列为ξ0 1P0.4 0.6则E(ξ)=0×0.4+1×0.6=0.6.重复投篮5次,命中的次数η服从二项分布B(5,0.6),则E(η)=np=5×0.6=3.10.解E(X)=8×0.2+9×0.6+10×0.2=9,D(X)=(8-9)2×0.2+(9-9)2×0.6+(10-9)2×0.2=0.4;E(Y)=8×0.4+9×0.2+10×0.4=9,D(Y)=(8-9)2×0.4+(9-9)2×0.2+(10-9)2×0.4=0.8.由此可知,E(X)=E(Y)=9,D(X)<D(Y),从而两厂材料的抗拉强度指数平均水平相同,但甲厂材料相对稳定,应选甲厂的材料.11.解 (1)设抛掷硬币一次正面朝上的概率为p,则p3=,得p=.所以抛掷这样的硬币三次,恰有两次正面朝上的概率为P=.(2)随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3,4.P(ξ=0)=;P(ξ=1)=;P(ξ=2)=;P(ξ=3)=;P(ξ=4)=.所以ξ的分布列为ξ0 1 2 3 4pE(ξ)=0×+1×+2×+3×+4×.12.解 (1)由题意知列联表为喜欢《最强大脑》不喜欢《最强大脑》合计男生45 15 60 女生15 25 40 合计60 40 100χ2=≈14.063>6.635,故有99%的把握认为喜欢《最强大脑》与性别有关.(2)X的可能取值为0,1,2,P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,故X的分布列为X0 1 2PE(X)=0×+1×+2×.13.解 (1)(1+2+3+4+5)=3,(4+4+5+6+6)=5.∵回归直线x+过点(),∴=5-0.6×3=3.2,∴6月份生产的甲胶囊的产量数=0.6×6+3.2=6.8(万盒).(2)ξ的所有可能取值为0,1,2,3,P(ξ=0)=,P(ξ=1)=,P(ξ=2)=,P(ξ=3)=,ξ的分布列为:ξ0 1 2 3P所以E(ξ)=×0+×1+×2+×3=.14.解 (1)依题意,得ξ的所有可能取值分别为0,1,2,3.因为ξ~B,所以P(ξ=0)=,P(ξ=1)=,P(ξ=2)=,P(ξ=3)=.所以ξ的分布列为:ξ0 1 2 3P所以ξ的数学期望为E(ξ)=3×=1,ξ的方差为D(ξ)=3×.(2)因为f(x)=+1-ξ2的图象的对称轴方程为x=ξ,又函数f(x)=x2-3ξx+1在[2,+∞)内单调递增,所以ξ≤2,即ξ≤.所以事件A的概率P(A)=P=P(ξ=0)+P(ξ=1)=.。