刚体绕定轴转动-力矩

R
O
2 2 J mR 3
以球壳为质量元，可以很快得到均匀球体（ m， R）的转动惯量为 2 2
J
Hale Waihona Puke 5mR应用刚体转动定律的基本方法和步骤： 隔离物体法 分析力，确 定外力矩
列出转动定律和 牛顿定律方程
列出线量和角量 之间的关系式
求解联 立方程
例6
质量为 mA 的物体 A 静止在光滑水平面上，和一 质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为 R、质 量为 m 的圆柱形滑轮 C，并系在另一质量为 mB C 的物体 B 上. 滑轮与绳索间没有滑动， 且滑轮与轴 承间的摩擦力可略去不计. 问：（1） 两物体的线 加速度为多少？ 水平和竖直两段绳索的张力各为 多少？（2） 物体 B 从静止落下距离 y 时，其速 率是多少?
取决于刚体的质量、质量对轴的分布、转 轴的位置； 质量连续分布刚体的转动惯量：
M J
J r dm
2
dm：质量元
单位：kg· m2
例3
一质量为 m 、长为 l 的均匀细长棒，求通过 棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量 .
O
l 2
r
dr
l 2
O
r
l
1 2 J ml 3
O´
d r O´
1 2 J ml 12
planar translation（roll）
一.刚体的运动（ Motion of Rigid Body ）
3. 刚体的定轴转动
（1）状态参量
angular coordinateθ angular velocity
角位移 d
z
(t )
ω=d /dt
x
参考平面
angular acceleration

刚体定轴转动定律公式刚体定轴转动定律是描述刚体绕定轴做转动运动的数学公式。

本文将详细介绍刚体定轴转动定律的公式及相关参考内容。

1.刚体定轴转动定律公式1.1角位移公式刚体绕定轴做转动运动时，它的每一个质点都有一个角位移，角位移是一个标量，用Δθ表示。

角位移与刚体绕定轴转动的弧长有关，它们之间的关系可以用以下公式表示：Δθ = Δl / r其中，Δl表示弧长的长度，r表示刚体绕定轴的半径。

1.2角速度公式角速度是描述刚体绕定轴的旋转速度的物理量，用ω表示，角速度是一个矢量，它的方向垂直于刚体绕定轴的平面，符号和方向由右手定则确定。

角速度与角位移之间的关系可以用以下公式表示：ω = Δθ / Δt其中，Δt表示时间间隔。

1.3角加速度公式角加速度是描述刚体绕定轴转动加速度的物理量，用α表示，角加速度是一个矢量，它的方向也垂直于刚体绕定轴的平面，符号和方向由右手定则确定。

角加速度与角速度之间的关系可以用以下公式表示：α = Δω / Δt其中，Δt表示时间间隔。

1.4力矩公式力矩是描述外力对刚体绕定轴转动影响的物理量，用M表示，力矩是一个矢量，它的方向垂直于刚体绕定轴的平面，符号和方向由右手定则确定。

力矩与角加速度之间的关系可以用以下公式表示：M = I α其中，I表示刚体绕定轴的转动惯量，α表示角加速度。

2.参考内容2.1转动惯量的定义转动惯量是描述刚体绕定轴转动惯性的物理量，用I表示，它反映了刚体对于绕定轴转动的惯性大小。

转动惯量的计算方法取决于刚体的形状和密度分布。

常见的刚体的转动惯量计算公式：(1)矩形薄板绕转轴的转动惯量Izz = 1/12m(a²+b²)其中，m表示薄板的质量，a和b表示薄板的长和宽。

(2)圆环绕轴的转动惯量Izz = mr²其中，m表示圆环的质量，r表示圆环的半径。

2.2角动量的定义角动量是描述刚体绕定轴转动动量的物理量，用L表示，它反映了刚体绕定轴转动的惯性大小和角速度大小。

B
A A B B
特点：各点运动 状态一样，如： 、a v 等都相同． 刚体平动 质点运动
第四章 刚体的转动
物理学
第五版
4-1
刚体的定轴转动
(2) 转动：分定轴转动和非定轴转动
刚体的平面运动
第四章 刚体的转动
物理学
第五版
4-1
刚体的定轴转动
刚体的一般运动可看作： 随质心的平动
dF PdA [ p0 g (h y)]Ldy
F [ p0 g (h y)]Ldy 0 y 1 2 p0 Lh gLh 2
代入数据，得
h y
10
h
dA
dy
F 5.91 10 N
第四章
x O
刚体的转动
L
物理学
第五版
4-2
力矩
转动定律
转动惯量
二
转动定律
dm dl
其中、、分别 为质量的线密度、
dm ds dm dV
面密度和体密度。
线分布
面分布
体分布
注 意
只有对于几何形状规则、质量连续的刚体，才
能用积分计算出刚体的转动惯量。
练习
1. 由长l 的轻杆连接的质点如图所示，求 质点系对过A垂直于纸面的轴的转动惯量
J 2ml 3m(2l ) (4m 5m)( 2l )
第四章 刚体的转动
角位移 (t t ) (t )
x
方向: 右手螺旋方向
物理学
第五版
4-1
刚体的定轴转动
刚体定轴转动 (一维转动)的转动 方向可以用角速度 的正、负来表示.


d 角加速度 dt

例题2 一根质量为m、长为 l 的均匀细棒OA （如图），可绕通过其一
端的光滑轴O在竖直平面内转动，今使棒从水平位置开始自由下摆，求细棒
摆到竖直位置时其中点C和端点A的速度。
C
解 先对细棒OA 所受的力作一分析；重力G O
作用在棒的中心点C，方向竖直下；轴和棒之间没
A
有摩擦力，轴对棒作用的支承力 N 垂直于棒和 轴
的接触 面且通过O点，在棒的下摆过程中，此力
的方向和大小是随时改变的。
A
在棒的下摆过程中，对转轴O而言，支撑力N通
G
过O点，所以支撑力N的力矩等于零，重力G的力矩则
是变力矩，大小等于mg(l /2) cos ，棒转过一极小的角位移d 时，重力
矩所作的元功是
dW mg l cosd
2
在使棒从水平位置下摆到竖直位置过程中，重力矩所作的功是
度ω0=0,转动动能为0，重力势能为 mg（2l 选下摆到竖直位置hc=0），下摆到竖
直位置时角速度ω=ω,转动动能为
1 2
J重2 力势能为0。
mg l 1 J 2
22
由此得
3g l
mgl
J
所以细棒在竖直位置时，端点A和中心点C的速度分别为
vA l 3gl
vC
l
2
1 2
3gl
J2
2
1 2
J12
刚体定轴转动的动能定理：总外力矩对刚体所做的功等于刚体转动动能
的增量。
注：
1. 刚体的转动动能
刚体的转动动能应该是组成刚体的各个质点的动能之和。
设刚体中第i个质点的质量为 mi ，速度为 vi
刚体做定轴转动时，各质点的角速度相同。
,则该质点的动能为