初中-数学-人教版-4.1 无理数 课堂巩固(一)

知能提升作业(十九)第四章实数1无理数(30分钟50分)一、选择题(每小题4分，共12分)1•在RtAABC 中，ZC二90。

, AC三，BC二2,则AB%( )(A)整数(B)分数(C)无理数(D)不能确定2•如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1,则网格上的三角形ABC中，边长是无理数的边数为( )(A) 0 (B) 1(C)2 (D)3B 3•下列各数是无理数的是()(A)3 Ji + 呼■(B)1.. 123583145-(第3个数为前两个数的和，若和为两位数，则仅取个位数)(C)两直角边长分别是5和12的真角三角形的斜边长(D)面积是9的正方形的边长二、填空题(每小题4分，共12分)4.______________________________ -1到0之间的无理数有个，请写出一个符合条件的无理数个.5•如图是面积分别为1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9的正方形•边长是有边长是无理数的正方形有6•—个高为2米，宽为1米的大门，对角线大约是________ 米（精确到0. 1）.三、解答题（共26分）7. （8分）设面积为8 n的圆的半径为y,请回答下列问题：（1）y是有理数吗？请说明你的理由；（2）估计y的值（结果精确到十分位）.& （8分）在物理学中自由落体公式为S^gVCg是重力加速度，约为10 米/秒2）・若物体降落的高度为S=45米，那么物体降落的时间约是多少？（结果精确到0・1秒）【拓展延伸】9. （10分）如图，在棱长为4cm的正方体箱子中，想放入一根细长的玻璃棒，则这根玻璃棒的最大长度可能是多少？你能估算岀来吗？（结果保留2位有效数字）答案解析1 •【解析】选B・由勾股定理得，AB2=®2+22二¥二（吳所以AB=?是分数.2•【解析】选D.观察图形，应用勾股定理，得AB2=42+12=17, BC2=32+22=13, AC2=22+42=20.因AB, AC, BC所对应的数值不是有理数，故三个边长都是无理数.3•【解析】选B.A化简后是;，C中的边长是13, D中正方形的边长为3.都是有理数.4.【解析】・1到0之间的无理数有无数个，符合条件的不惟一. 答案：无数3・口（答案不惟一，符合条件即可）5.【解析】根据S o-^a2,因为Al, 2M, 32=9,则边长是有理数的正方形有3个，边长是无理数的正方形有6个.答案：3 66.【解析】大门的高、宽、对角线构成直角三角形，在该直角三角形中1米、2米分别为直角边，设斜边为a,则a2=l2+22=5,因为22<a2<32,所以2<a<3,又因2.22<a2<2.32,所以2.2<a<2.3； 2.232<a2<2.242,所以2.23<a<2.24,所以a〜2.2 米.答案:2.27.【解析】（l）y不是有理数.理由如下：由题意，得nyJ8n,所以y2=8,因为y不是整数，也不可能是分数，所以y不是有理数.(2)因为2.82=7.84 , 2.9M.41,所以2.8<y<2.9.又因为2.82M.9524 , 2.832=8.0089,所以2.82<y<2.83所以估计y~2・8.8•【解析】把S=45米，g=10米/秒2,代入S=jgt2, t2=9, (±3)2=9.由于物体降落的时间不能为负数，即物体下落时间为3.0秒.9.【解析】最大长度为正方体的体对角线长，因为BC2=BD2+CD2=42+42=32,所以AC2=AB2+BC2=42+32=48.而6.932^48.025 , 6.922^47.886,所以6.92VACV6.93•所以AC~6・9・答：所能放进的玻璃棒的最大长度约为6.9cm.。

它是一个确定的实数
5
2
定义了无理数指数幂之后,幂的指数就由本来的有理数范围扩充到了实数
范围.
实数指数幂的运算性质：
对于任意的正数, ，都有：
① ∙ = + ，
②

= ，
③

= ∙ ，
, ∈ .
题型一
无理数指数幂的运算
例1 计算下列各式：
题型三 实际问题
例4 从盛满2升纯酒精的容器里倒出1升，然后加满水，再倒出1升混合溶液后又用水
4
填满，以此继续下去，则至少应倒_____次后才能使纯酒精体积与总溶液的体积
之比低于10%.
解析 由题意，得第 n

1
1n
1

次操作后溶液的浓度为1－2 ， 令2n<10，验证可得

(4)最后结果只能保留根式或分数指数幂的一种，分式和负指数幂的一种。
公式：
完全平方公式：(a +b) a 2ab b ;
2
2
2ห้องสมุดไป่ตู้
(a-b) a 2ab b ;
2
2
2
平方差公式：a -b （a+b）(a-b)
2
2
立方和公式 : a b (a b)(a ab b )
(2)原式=
n
( + - )( 2 - - + -2 )
=a2x-1+a-2x
1 7
=3-1+ = .
3 3
+ -
m
2 2
3
.
题型二
课前预学
利用已知条件求值
课堂练习2：

第二章 实 数1 认识无理数(第1课时)学习目标1.通过拼图活动，感受客观世界中无理数的存在.(难点)2.能判断三角形的某边长是否为有理数.3.会判断一个数是否为有理数.(重点)自主学习学习任务一 认识无理数的存在1.如图1所示，边长为1的两个正方形M ，N 可以分割成四个全等的等腰直角三角形，它们又可以拼凑成一个更大的正方形ABCD .(还有其他方法，鼓励学生探究)图1(1)大正方形的面积是 .(2)设大正方形的边长是x ，则x 2＝ ，x 在 和 之间(填整数). 结论：a 既 整数，也 分数，即a 有理数. 学习任务二 判断一个数是否为有理数 思考：如图2，(1)以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是 . (2)设该正方形的边长为b ，b 满足 . (3)b 是有理数吗？图2合作探究例1 在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是底边上的高，如图3，若AC ＝10，BC ＝8. (1)求以AD 的长为边长的正方形的面积； (2)判断AD 是否为有理数，并说明理由.例2你会在如图4所示的正方形网格中画出面积为10的正方形吗？试一试.图4当堂达标1.在直角三角形中两条直角边长分别为2和3，则斜边的长()A.是有理数B.不是有理数C.不确定D.为42.下列面积的正方形，边长不是有理数的是()A.16B.25C.8D.43.如图5，在5×5的正方形网格中，以AB为边画直角三角形ABC，使点C在格点上，且另外两条边长均不是有理数，满足这样条件的点C4.在如图6(1)长度是有理数的线段l1；(2)长度不是有理数的线段l2.课后提升Array在如图7所示的正方形网格中画出四个三角形.(1)三边长都是有理数.(2)只有两边长是有理数.(3)只有一边长是有理数.(4)三边长都不是有理数.反思感悟我的收获：我的易错点：参考答案当堂达标1.B2.C3.解：如图8，共4个.4.解：如图9(答案不唯一).课后提升解：如图10(答案不唯一).。

4.1.2无理数指数幂及其运算性质教学内容无理数指数幂及其运算性质教学要求能举倒说明实数指数幂),10(R x a a a x ∈≠>且的含义,能说出指数幂的拓展过程，能说出实数 指数幂的运算性质。

教学重点与难点（1）重点：指数幂的推广；无理数指数幂的意义。

（2）难点：建立指数幂推广的整体架构；无理数指数幂的意义。

教学过程一、复习回顾,引入任务引导语 上一节课,我们从初中的二次方根、三次方根开始，先定义了n 次方根，又将之推广到根式，依据定义，用分类讨论的方法得出根式的性质；针对根式，转换表达形式，得到了分数指数幂，于是将指数的范围从正整数拓展到了有理数，依据数系扩充原则知道，原来正整数指数幂的运算法则依然适用于有理数指数幂。

为了研究指数函数、对数函数，我们要将指数的范围拓展到实数。

本节课我们将继续完成这一任务，接上一节课的研究，先熟练一下有理数指数幂及其运算性质。

二、类比研究,抽象概念1、无理数指数幂问题2我们将)0(>a a x 中指数x 的取值范围拓展到了有理数，那么,当指数x 是无理数时，)0(>a a x 的意义是什么？它是一个确定的数吗？追问1 回忆一下,你是如何认识2的，类比之，你将如何认识25？ 师生活动 学生回忆，老师帮助整理.取√2的不足近似值x 和过剩近似值y ，借助于表4.1-1（第108页）可以从数的角度看到相应的近似值都趋向于一个数，这个数就是2.猜想：是一个确定的实数，那么25也应该是一个确定的实数。

即无理数既然存在，无理数指数幂也应该存。

结论：25是一个确定的实数.追问2 你能类比上述过程说明23也是一个确定的实数吗?师生活动 学生用计算器进行计算，并在数轴上绘制相应的点.老师可以用追问1中使用的GeoGebra 软件演示动态变化过程.教师讲解 由以上实验探究过程可以想象,当指数工是无理数时，23是一个确定的实数.（设计意图 类比无理数的存在性,猜想无理数指数幂的存在性，并设计方案，开展实验探究，验证想的正确性,并通过变式,即追问2再一次经历相同的过程,强化对无理数指数幂意义的理解.达到对生数指数幂意义和存在性的理解，此外,通过类比无理数的夹逼方法，解释5的意义,让学生体会其中蕴含于为极限思想。