初二下数学四边形复习资料
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四边形（平行四边形、矩形、菱形、正方形）期中复习（2课时）
理工大学附中 于哲君 09、3、20
知识与技能：掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的有关性质和常用判定方法，灵活运用这些知识进行有关的证明和计算；培养学生阅读的技能，进一步培养和发展学生的逻辑思维能力与推理论证能力。
过程与方法：1、在综合问题解决过程中，学会阅读综合问题的方法，获取有价值的数据的方法；
2、经历综合问题的探索过程，学会分析问题的方法。
3、经历一题多解，多题一解，培养学生的发散思维，关注知识间的联系。
情感态度与价值观：1、在问题解决过程中培养学生的数学素养和严谨的科学态度；
2、在问题解决过程中，让学生获得成功体验。
教学重点：阅读，对基本图形的认识。
教学难点：审题，寻找解决问题的突破口。
教学过程：
一、知识要点回顾：（在复习前提前将表格印好，让学生回家完成）见附件1
二、例题讲解：
例1：如图，在ABCD的纸片中，AC⊥AB，AC与BD交于O，将△ABC沿对角线AC翻折得到'ABC.
（1）求证：以A、C、D、'B为顶点的四边形是矩形；
（2）若212ABCDScm， 求翻折后纸片重叠部分的面积，即ACES.
意图：1、平行四边形的性质、矩形的判定定理的综合应用；
2、实现一题多解，有选择的运用矩形的判定定理，评析证明方法的优劣。
3、等积变换，以及对三角形底的选择直接影响到求面积的难易程度。
例2：我们给出如下定义：若一个四边形的两条对角线相等，则称这个四边形为等对角线四边形.请解答下列问题：
（1）写出你所学过的特殊四边形中是等对角线四边形的两种图形的名称；
（2）探究：当等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60°时，这对60°角所对的两边之和与其中一条对角线的大小关系，并证明你的结论.
意图：如何实现构造两条线段之和及将夹角进行有效转移
例3：如图，已知ABCD中，AE平分BAD，交DC于E，DFBC于F，交AE于G，且DFAD。
（1）试说明DEBC；
（2）试问AB与DGFC之间有何数量关系？写出你的结论，并说明理由。
EGCFADB
解法1：（见图1）
延长GD到H，使得DHFC，连结AH，实现将DGFC转化为线段HG；
解法2：（见图2）
延长CB到H，使得FHDG，连结DH，实现将DGFC转化为线段CH；
解法3：（见图3）
延长CF到H，使得BHCF，将ADG绕点A顺时针旋转90，得到AHG，实现将DGFC转化为线段BG；
HGECFDABEHGCFDABEG'HGCFDAB
图1 图2 图3
解法4：（见图4）如图建立平面直角坐标系，设,ABaCFb，
则(0,)Aa，(,0)Bb，(,0)Fa，(,0)Cba，(,)Daa， 22ABab，DFa
可证得BHAB，则22(,0)Habb，
可求得:DFlxa，22:AHalyxaabb即22babyxaa
22xababyxaa 则22(,)Gbabaa
22DGDFGFabbABFC
解法5：见图5：如图建立直角坐标系，解法同解法4
EOHGCFDAByxEHOGCF(A)DxBy
图4 图5
将此题还原对比：
在AHFD中，AG平分DAB交DF于点G，证明：ABDGHB
GHFDAB EGCFADB
还原图 例题图
意图：1、解法1、2、3均强调如何构造两条线段的和，运用了平移、旋转变换构造；
2、解法4、5均强调将几何问题代数化，初步渗透高中解析几何的思想。
体会（1）建立平面直角坐标系的可能。即存在直角。或有特殊的基本图形存在，如等腰直角三角形、正方形；
（2）坐标原点和x轴的选择直接影响到写出点的坐标的难易程度。
提示：针对（2）可留Ex1作为练习作业：
3、关注题目中的重要条件，抓注基本特征，将图形有效还原。
例4：如图①，小明在研究正方形ABCD的有关问题时，得出：正方形ABCD中，如果点E是CD的中点，点F是BC边上的一点，且∠FAE＝∠EAD，那么EF⊥AE.又将正方形改为矩形、菱形和任意平行四边形(如图②、图③、图④)，其它条件不变，发现仍然有“EF⊥AE”的结论.你同意小明的观点吗？若同意，请结合图④加以证明；若不同意，请说明理由.
例5：请阅读下列材料：
问题：如图1，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点ABE，，在同一条直线上，P是线段DF的中点，连结PGPC，．若60ABCBEF，探究PG与PC的位置关系及PGPC的值．小聪同学的思路是：延长GP交DC于点H，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．
请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：
（1）写出上面问题中线段PG与PC的位置关系及PGPC的值；
（2）将图1中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）．你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．
对于例4、例5
意图：1、培养良好的审题习惯；
2、注意中点的作用；
3、注意在动中求静；
4、性质的熟练应用
例6、1、已知：ABC中，D是BC边的中点，AE平分BAC，BEAE于点E。若5AB，7AC。
求ED
BDEACBFDECA
2、点A为函数1yx的图象上的点，点BC、的坐标分别为(2,2)B，
(2,2)C。试用性质：函数1yx的图象上任一点都满足
22ABAC，求解下面问题：做BAC的平分线AE，过B作AE的垂线交AE于F，已知点A在函数1yx的图象上运动时，点F总在一条曲线上运动，则此曲线为（ ）
A、直线B、抛物线C、圆 D、反比例函数曲线 意图：比较两题，2题比1题从字数上就多很多，但若认真审题会发现题干中有相同的条件，蕴涵着相同的基本图形。
BFEA
例7、已知：分别以ABC的各边为边，在BC边的同侧作等边三角形ABE、等边三角形CBD
和等边三角形ACF，连结DEDF、。
（1）试说明四边形DEAF为平行四边形；
（2）当ABC满足什么条件时，四边形DEAF为菱形、矩形、正方形；
（3）四边形DEAF一定存在吗？试说明理由。
EDFABC
意图：1、关注旋转全等形；
2、检验平行四边形、特殊的平行四边形的判定定理的熟练程度；
3、逆向思维的能力。
ABDCNM三、巩固练习：
Ex1：在正方形ABCD中，E为AD中点，点F在CD上，且14DFCD，
连接BEEFBF、、，试问BE与EF的位置关系如何？并说明理由。
（此题至少3种做法，其中倍长和建系做法尤佳）
FECDAB
Ex2: 正方形ABCD边长为8,M在DC上,且DM=2,N是AC上的一动点,
则DM+MN的最小值为 .
(注意正方形的对称性)
Ex3:我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形.
（1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称；
（2）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，设CD、 BE相交于点O，若∠A=60°，∠DCB=∠EBC=12A，请你写出图中一个与∠A相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形；
（3）在△ABC中，如果∠A是不等于60°的锐角，点D、E分别在AB、AC上，且
∠DCB=∠EBC=12A.探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论.
(针对例4、例5)
EX4:如图，ABC中，过点A分别作ABCACB、的外角平分线的垂线ADDE、AE,、
为垂足。
求证：（1）//EDBC；
（2）1()2EDABACBC；
（3）若过A分别作ABCACB、的平分线的垂线ADAE、，垂足分别为DE、。结论有无变化？请加以说明。
（针对例6）
EDABCFG
EX5：ABC中，3,4,5ABACBC，ABDACEBFC、、都是等边三角形。
求四边形ADFE的面积。
（针对例7）
DFEABC
附件1：（摘自张苏老师的复习课教案,为了方面学生填写，稍加修改）
知识归纳：
1、在线段、角、等腰三角形、等边三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、直角梯形、等腰梯形、圆、正五边形、正六边形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是 。
2、平行四边形的性质：与边有关的___________________________。与角有关____
_，
对角线________________________。
平行四边形的判定：(1)_____________________________。(2)__________________________。
(3)_____________________________。(4)______________________________。(5)______________________________。
