高考文科数学总复习课件大题考法课立体几何

因为 平面 ，所以 平面 ，所以 为二面角 的平面角．
因为 ，所以 ．由已知得 ，故 ．又 ，所以 ．因为 , , , , ，所以 ．
提分秘籍 体积问题考查的本质就是点面距离，解题关键是抓住以下几种方法：
（1）等体积法（仅限三棱锥）转换顶点;
（2）顶点不变，延展或缩小底面，如四棱锥的高即同顶点的三棱锥的高，点 到平面 的距离可看作点 到平面 的距离;
设 ，则 , , .设平面 的法向量为 ，则 即
令 ，则 ，∴平面 的一个法向量为 ， .∵直线的方向向量与平面的法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦值，∴直线 与平面 所成角的正弦值等于, ，当且仅当 时取等号.
∴直线 与平面 所成角的正弦值的最大值为 .（法二：定义法）如图2， 平面 ， ， 平面 .
大题攻略03 平面与平面所成的角
例3 (2021年全国甲卷)已知直三棱柱 中，侧面 为正方形， ， ， 分别为 和 的中点， 为棱 上的点， .
（1）证明： .（2）当 为何值时，平面 与平面 所成的二面角的正弦值最小?
▶审题微“点”
切入点
（1）常规方法是几何法，不过用几何法较为复杂，根据题目条件建系是最优解法；（2）建系是常规方法，也是最优法
▶审题微“点”
切入点
（1）关键是在平面 内找一条直线与 平行,根据线面平行的判定定理即可证明；（2）将包装盒分割成几个规则的锥体和柱体求解
障碍点
（1）在平面 内找直线与 平行；（2）将不规则的几何体分割或补形成几个规则的几何体
隐蔽点
（1）平面 内与 平行的直线；（2）包装盒的高
[解析] （1）如图1所示，分别取 ， 的中点 ， ，连接 ，因为 ， 为全等的正三角形，所以 ， ， .

分清翻折前后哪些位置关系和数量关系改变， 关
哪些不变，抓住翻折前后不变Байду номын сангаас量，充分利 键
用原平面图形的信息是解决问题 的突破口
把平面图形翻折后，经过 恰当连线 就能得到 方
三棱锥、四棱锥等几何体，从而把问题 转 化 法
到我们熟悉的几何体中解决
立体几何解答题的基本模式是 论 证 推理与计算相结合，以某个 几何体为依托，分步设问 ，逐层 加深，解决这类 题 目的原则是转 化、转换 ．转化——空间平行关系
间 的转化、垂直关系间的转化、 平行与垂直关系间的转化以及平面 几何与立体几何的转化等；转换 — —对 几何体的体积、锥体体积常考
查 顶 点转换 ，多面体体积多分割 转 换 为 几个规则 几何体的体积和 或体积差来求解，求体积时 距离与 体积计 算的转换 等.

• 解析 (1)证明：由已知得AD∥BE，CG∥BE，所以AD∥CG， 故AD，CG确定一个平面，从而A，C，G，D四点共面．由 已知得AB⊥BE，AB⊥BC，故AB⊥平面BCGE.又因为AB⊂ 平面ABC，所以平面ABC⊥平面BCGE.
BE⊂平面ABC，所以CC1⊥BE.因为C1C⊂平面A1ACC1， AC⊂平面A1ACC1，C1C∩AC＝C，所以BE⊥平面A1ACC1.因 为C1E⊂平面A1ACC1，所以BE⊥C1E.
热点题型探究
题型一 空间点、线、面位置关系的判定
• 1．判断与空间位置关系有关命题真假的三种方法 • (1)借助空间线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判
C
到平面
C1DE
的距离为4
17 17 .
• 6．(2019·全国卷Ⅱ)如图，长方体ABCD－ A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱 AA1上，BE⊥EC1.
• (1)证明：BE⊥平面EB1C1； • (2)若AE＝A1E，AB＝3，求四棱锥E－
BB1C1C的体积．
• 解析 (1)证明：由已知得B1C1⊥平面ABB1A1，BE⊂平面 ABB1A1，故B1C1⊥BE.又BE⊥EC1，B1C1∩EC1＝C1，所以 BE⊥平面EB1C1.
设正方形边长为 2，则 EO＝ 3，ON＝1，所以 EN＝
EO2＋ON2
＝
2
，
MF
＝
1 2
EO
＝
3 2
，
BF
＝
CF2＋BC2 ＝
34DC2＋BC2＝52，所以 BM＝ MF2＋BF2＝ 7，所以 BM≠EN.故选 B 项．
命题角度 素养清单
真题示例
典例回顾
空间平行、 直观想象

(2)假设存在，则由已知可得，EF⊥AE，EF⊥DE， AE∩DE＝E，所以 EF⊥平面 ADE，所以平面 ABFE⊥平面 ADE，
取 AE 的中点 H，过 H 作 HG⊥FB 于点 G，以 H 为坐 标原点，分别以 HA，HG，HD 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴，建立如图 5-10 所示的空间直角坐标系，
77，
∴当点 M 与点 F 重合时，平面 MAB 与平面 FCB 所成
的锐二面角最大，此时二面角的余弦值为
7 7.
题型 3 立体几何的综合应用 [例 3]如图 5-8(1)所示，正方形的边长为 4，E，F 分别 为 AD，BC 的中点，以 EF 为棱将正方形 ABCD 折成如图 5-8(2)所示的 60°的二面角，点 M 在线段 AB 上.
解：(1)因为直线 MF⊂平面 ABFE， 故点 O 在平面 ABFE 内也在平面 ADE 内，所以点 O 在平面 ABFE 与平面 ADE 的交线上，如图 5-9 所示，
图 5-9
因为 AO∥BF，M 为 AB 的中点， 所以△OAM≌△FBM， 所以 OM＝MF，AO＝BF，所以点 O 在 EA 的延长线 上，且 AO＝2， 连接 DF 交 EC 于点 N，因为四边形 CDEF 为矩形， 所以 N 是 EC 的中点， 连接 MN，因为 MN 为△DOF 的中位线， 所以 MN∥OD， 又因为 MN⊂平面 EMC，OD 平面 EMC，所以直线 OD∥平面 EMC.
图 5-1
(1)证明：平面 GAC∥平面 PEF； (2)若平面 PEF⊥平面 ABCFE，求直线 AG 与平面 PAC 所成角的正弦值.
(1)证明：连接 CE，由题意知，四边形 ABCE 为正方 形，连接 BE 交 AC 于 O，连接 OG，所以 O 为 BE 中点， 如图 5-2 所示，