指数函数知识点及其习题附答案

(名师选题)（精选试题附答案）高中数学第四章指数函数与对数函数知识点汇

总

单选题

1、已知函数𝑓(𝑥)={𝑎𝑥

,𝑥<0

(𝑎−2)𝑥+3𝑎,𝑥≥0，满足对任意x

1≠x

2，都有𝑓(𝑥

1)−𝑓(𝑥

2)

𝑥

1−𝑥

2<0成立，则a

的取值范围是（ ）

A．a

∈(0,1)B．a

∈[3

4,1)C．a

∈(0,1

3]D．a

∈[3

4,2)

答案：C

分析：根据条件知𝑓(𝑥)在R

上单调递减，从而得出{0<𝑎<1

𝑎−2<0

3𝑎≤1，求a

的范围即可．

∵𝑓(𝑥)满足对任意x

1≠x

2，都有𝑓(𝑥

1)−𝑓(𝑥

2)

𝑥

1−𝑥

2<0成立，

∴𝑓(𝑥)在R

上是减函数，

∴{0<𝑎<1

𝑎−2<0

(𝑎−2)×0+3𝑎≤𝑎0，解得0<𝑎≤1

3，

∴a

的取值范围是(0,1

3]．

故选：C．

2、已知函数𝑓(𝑥)={log

1

2𝑥,𝑥>0,

𝑎⋅(1

3)𝑥

,𝑥≤0,

若关于x

的方程𝑓[𝑓(𝑥)]=0有且只有一个实数根，则实数a

的取值范围是

（ ）

A．(−∞,0)∪(0,1)B．(−∞,0)∪(1,+∞)C．(−∞,0)D．(0,1)∪(1,+∞)

答案：B

分析：利用换元法设𝑡=𝑓(

𝑥)

，则等价为𝑓(

𝑡)

=0有且只有一个实数根，分𝑎<0,𝑎=0,𝑎>0 三种情况进行讨论，

结合函数的图象，求出𝑎的取值范围

. 令𝑓(𝑥)=𝑡，则方程𝑓[𝑓(𝑥)]=0等价于𝑓(𝑡)=0，

当𝑎=0时，此时当𝑥≤0时，𝑓(

𝑥)

=𝑎⋅(1

3)𝑥

=0，此时函数有无数个零点，不符合题意；

当𝑎≠0，则𝑓(𝑥)=𝑎⋅(1

3)𝑥

≠0，所以由𝑓(𝑡)=log

1

2𝑡=0，得𝑡=1，

则关于x

的方程𝑓[𝑓(𝑥)]=0有且只有一个实数根等价于关于x

的方程𝑓(𝑥)=1有且只有一个实数根，作出𝑓(𝑥)

的图象如图：

当𝑎<0时，由图象可知直线𝑦=1与𝑦=𝑓(𝑥)的图象只有一个交点，恒满足条件；

指数函数及其性质

1.指数函数概念

一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为.

2.指数函数函数性质：

函数名称 指数函数

定义 函数且叫做指数函数

图象

定义域

值域

过定点 图象过定点，即当时，.

奇偶性 非奇非偶

单调性 在上是增函数 在上是减函数

函数值的

变化情况

变化对在第一象限内，从逆时针方向看图象，逐渐增大；在第二象限

图象的影响 内，从逆时针方向看图象，逐渐减小.

对数函数及其性质

1.对数函数定义

一般地，函数叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域.

2.对数函数性质：

函数名称 对数函数

定义 函数且叫做对数函数

图象

定义域

值域

过定点 图象过定点，即当时，.

奇偶性 非奇非偶

单调性 在上是增函数 在上是减函数

函数值的

变化情况

变化对图象的影响 在第一象限内，从顺时针方向看图象，逐渐增大；在第四象限内，从顺时针方向看图象，逐渐减小.

指数函数习题

一、选择题

1．定义运算a⊗b＝ a a≤bba>b，则函数f(x)＝1⊗2x的图象大致为( )

2．函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(1＋x)＝f(1－x)且f(0)＝3，则f(bx)与f(cx)的大小关系是( )

A．f(bx)≤f(cx)

B．f(bx)≥f(cx)

C．f(bx)>f(cx)

D．大小关系随x的不同而不同

3．函数y＝|2x－1|在区间(k－1，k＋1)内不单调，则k的取值范围是( )

A．(－1，＋∞) B．(－∞，1)

C．(－1,1) D．(0,2)

4．设函数f(x)＝ln[(x－1)(2－x)]的定义域是A，函数g(x)＝lg(ax－2x－1)的定义域是B，若A⊆B，则正数a的取值范围( )

A．a>3 B．a≥3

C．a>5 D．a≥5

5．已知函数f(x)＝ 3－ax－3，x≤7，ax－6，x>7.若数列{an}满足an＝f(n)(n∈N*)，且{an}是递增数列，则实数a的取值范围是( )

高中数学必修一第四章指数函数与对数函数知识点总结全面整理

单选题

1、若函数𝑓(

𝑥)

=ln(𝑎𝑥+√𝑥2

+

1)是奇函数，则a

的值为（ ）

A．1B．－1

C．±1D．0

答案：C

分析：根据函数奇函数的概念可得ln(−𝑎𝑥+√𝑥2

+

1)+ln(𝑎𝑥+√𝑥2

+

1)=0，进而结合对数的运算即可求出

结果.

因为𝑓(

𝑥)

=ln(𝑎𝑥+√𝑥2

+

1)是奇函数，所以f

(－x

)＋f

(x

)＝0．即ln(−𝑎𝑥+√𝑥2

+

1)+ln(𝑎𝑥+√𝑥2

+

1)=0

恒成立，所以ln[(

1−𝑎2

)

𝑥2

+1]

=0，即(

1−𝑎2

)

𝑥2

=0 恒成立，所以1−𝑎2

=0，即𝑎=±1．

当𝑎=1时，𝑓(

𝑥)

=ln(𝑥+√𝑥2

+

1)，定义域为𝑅，且𝑓(

−𝑥)

+𝑓(

𝑥)

=0，故符合题意；

当𝑎=−1时，𝑓(

𝑥)

=ln(−𝑥+√𝑥2

+

1)，定义域为𝑅，且𝑓(

−𝑥)

+𝑓(

𝑥)

=0，故符合题意；

故选：C.

2、声强级𝐿

1（单位：dB）与声强𝐼的函数关系式为：𝐿

1=10lg(𝐼

10

−12).若普通列车的声强级是95dB，高速列车

的声强级为45dB，则普通列车的声强是高速列车声强的（ ）

A．106

倍B．105

倍C．104

倍D．103

倍

答案：B

分析：设普通列车的声强为𝐼

1，高速列车的声强为𝐼

2，由声强级得95=10lg(𝐼

1

10

−12)，45=10lg(𝐼

2

10

−12)，求出

𝐼

1、

𝐼

2相除可得答案.

设普通列车的声强为𝐼

1，高速列车的声强为𝐼

2，

因为普通列车的声强级是95dB，高速列车的声强级为45dB，

所以95=10lg(𝐼

1

10

−12)，45=10lg(𝐼

2

10

−12)，

95=10lg(𝐼

1

10

−12)=10(

lg𝐼

1+12)

，解得−2.5=lg𝐼

1，所以𝐼

1=10−2.5

，

45=10lg(𝐼

2

10

−12)=10(

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有志者自有千计万计，无志者只感千难万难。 基本初等函数

一、知识和数学思想梳理：

1．指数式和对数式：①根式概念；②分数指数幂；③指数幂的运算性质；④对数概念；⑤对数运算性质；⑥指数和对数的互化关系；

2．指数函数：①指数函数的概念；②指数函数的图象与性质；③指数函数图象变换；④指数函数性质的应用（单调性、指数不等式和方程）；

3．对数函数：①对数函数的概念；②对数函数的图象与性质；③对数函数图象变换；④对数函数性质的应用（单调性、指数不等式和方程）；

4.解指数不等式、指数方程、对数不等式、对数方程，先要化同底．．，即．．

121212(1)(0,1)(01)xxxxaaaaaxxa且，1212(0,1)xxaaaaxx且

1212120(1)loglog(0,1)0(01)xxxxaaaaaxxa且，

1212loglog(01)0xxaaaaxx且；

5.要明确区分指数函数、对数函数与指数型函数、对数型函数；

6.反函数：①反函数概念；②互为反函数定义域和值域的关系；③求反函数的步骤；④互为反函数图象的关系；

7.函数应用：①解应用题的基本步骤；②几种常见函数模型（一次型、二次型、指数型（利息计算）、几何模型、物理和生活实际应用型）；

8.学会灵活应用数形结合思想、方程思想、分类讨论思想解决问题。

二、典型示例

（一） 函数定义域和值域

例1．求下列函数的定义域

（1）（2010湖北文）函数0.51log(43)yx的定义域为（ ）

（A）.( 34,1) （B）(34,∞) （C）（1，+∞） （D）. ( 34,1)∪（1，+∞）

(2) 已知(1)fx的定义域为2，4,求(21)fx的定义域

例2．求下列各函数的值域

（1）、（2010重庆文数）已知0t，则函数241ttyt的最小值为____________ .