2020-2021年高一数学充要条件的判定 人教版

第2讲充分条件与必要条件充分条件、必要条件与充要条件若p⇒q，则p是q的01充分条件，q是p的02必要条件p是q的03充分不必要条件p⇒q且q pp是q的04必要不充分条件p q且q⇒pp是q的05充要条件p⇔q p是q的06既不充分也不必要条件p q且q p1．(1)若p是q的充分不必要条件，q是r的充分不必要条件，则p是r的充分不必要条件．(2)若p是q的充分不必要条件，则q是p的必要不充分条件．2．若A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则(1)若A⊆B，则p是q的充分条件；(2)若A⊇B，则p是q的必要条件；(3)若A＝B，则p是q的充要条件；(4)若A B，则p是q的充分不必要条件；(5)若A B，则p是q的必要不充分条件；(6)若A⃘B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件．1．(2020·海南省新高考诊断性测试)“游客甲在海南省”是“游客甲在三亚市”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 因为三亚市是海南省的一个地级市，所以如果甲在三亚市，那么甲必在海南省，反之不成立，故选B ．2．(2020·济宁三模)设a ，b 是非零向量，则“a ·b ＝0”是“a ⊥b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 设非零向量a ，b 的夹角为θ，若a ·b ＝0，则cos θ＝0，又0≤θ≤π，所以θ＝π2，所以a ⊥b .若a ⊥b ，则θ＝π2，所以cos θ＝0，所以a ·b ＝0.因此“a ·b ＝0”是“a ⊥b ”的充要条件．故选C ．3．若集合A ＝{2,4}，B ＝{1，m 2}，则“A ∩B ＝{4}”是“m ＝2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 B解析 当m ＝2时，有A ∩B ＝{4}；若A ∩B ＝{4}，则m 2＝4，解得m ＝±2，不能推出m ＝2.故选B ．4．(2020·天津高考)设a ∈R ，则“a ＞1”是“a 2＞a ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 求解二次不等式a 2＞a 可得a ＞1或a ＜0，据此可知，a ＞1是a 2＞a 的充分不必要条件．故选A ．5．已知p 是r 的充分不必要条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件，那么p 是q 的________条件．答案 充分不必要解析 由已知可得p ⇒r ⇒s ⇒q ，且r p ，所以p ⇒q ，而q p ，故p 是q 的充分不必要条件．6．已知p：x>a是q：2<x<3的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________.答案(－∞，2]解析由已知，得{x|2<x<3}{x|x>a}，所以实数a的取值范围是(－∞，2]．多角度探究突破考向一充分、必要条件的判断角度1定义法判断充分、必要条件例1(2020·海南省普通高中高考调研测试)“ln m<ln n”是“m2<n2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析若ln m<ln n，根据对数函数的定义域及单调性可知0<m<n，可得m2<n2，因而具有充分性；若m2<n2，则|m|<|n|，当m<0，n<0时对数函数无意义，因而不具有必要性，综上可知，“ln m<ln n”是“m2<n2”的充分不必要条件．故选A．角度2集合法判断充分、必要条件例2(2020·济南市高三上学期期末)设x∈R，则“2x＞4”是“lg (|x|－1)＞0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析设p：2x＞4，即p：2x＞22，整理得p：x＞2；设q：lg (|x|－1)＞0，即q：lg (|x|－1)＞lg 1，整理得q：x＜－2或x＞2，因为{x|x>2}{x|x<－2或x>2}，所以p⇒q，q p．故“2x＞4”是“lg (|x|－1)＞0”的充分不必要条件．故选A．充要条件的两种判断方法(1)定义法：根据p ⇒q ，q ⇒p 进行判断．(2)集合法：根据p ，q 成立时对应的集合之间的包含关系进行判断．1.(2020·海南高三一模)设集合A ，B 是全集U 的两个子集，则“A⊆B ”是“A ∩∁U B ＝∅”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 如图所示，A ⊆B ⇒A ∩∁U B ＝∅，同时A ∩∁U B ＝∅⇒A ⊆B ．故选C ．2．(2020·潍坊一模)“a <1”是“∀x >0，x 2＋1x ≥a ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 ∵∀x ＞0，x 2＋1x ＝x ＋1x ≥2，∴a ≤2，∵a ＜1⇒a ≤2，a ≤2a ＜1，∴“a ＜1”是“∀x ＞0，x 2＋1x ≥a ”的充分不必要条件．故选A ．考向二 充分、必要条件的探求与应用例3 (1)(2020·山东省第一次仿真联考)已知p ：|x －a |<1，q ：3x ＋1>1，若p是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围为( )A ．[0,1]B ．(0,1]C ．[－1,2)D ．(－1,2)答案 A解析 因为|x －a |<1，所以a －1<x <a ＋1，即p ：a －1<x <a ＋1.因为3x ＋1>1，所以－1<x <2，即q ：－1<x <2.因为p 是q 的充分不必要条件，所以⎩⎨⎧a －1≥－1，a ＋1≤2(等号不同时成立)，解得0≤a≤1.(2)(2020·青岛二中检测)直线x－y－k＝0与圆(x－1)2＋y2＝2有两个不同交点的充要条件是________.答案－1<k<3解析直线x－y－k＝0与圆(x－1)2＋y2＝2有两个不同交点等价于|1－0－k|2<2，解得－1<k<3.1．条件、结论的相对性充分条件、必要条件是相对的概念，在进行判断时一定要注意哪个是“条件”，哪个是“结论”．要注意条件与结论间的推出方向．如“A是B的充分不必要条件”是指A⇒B但B A；“A的充分不必要条件是B”是指B⇒A但A⇒/ B．以上两种说法在充要条件的推理判断中经常出现且容易混淆．2．根据充分、必要条件求解参数范围的方法(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解．(2)求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．3.若a，b都是正整数，则a＋b>ab成立的充要条件是()A．a＝b＝1B．a，b至少有一个为1C．a＝b＝2D．a>1且b>1答案 B解析因为a＋b>ab，所以(a－1)(b－1)<1.因为a，b∈N*，所以(a－1)(b－1)∈N，所以(a－1)(b－1)＝0，所以a＝1或b＝1.故选B．4．已知“p：(x－m)2>3(x－m)”是“q：x2＋3x－4<0”成立的必要不充分条件，则实数m的取值范围为()A．(－∞，－7)∪(1，＋∞)B．(－∞，－7]∪[1，＋∞)C．(－7,1)D．[－7,1]答案 B解析由(x－m)2>3(x－m)得x<m或x>3＋m，所以p：x<m或x>3＋m；解x2＋3x－4<0得－4<x<1，所以q：－4<x<1.因为p是q的必要不充分条件，所以m≥1或m＋3≤－4，得m≥1或m≤－7.故选B．一、单项选择题1．设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁U C”是“A∩B ＝∅”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 C解析由Venn图易知充分性成立．反之，A∩B＝∅时，不妨取C＝∁U B，此时A⊆C，故必要性成立．故选C．2．若f(x)是定义在R上的函数，则“f(0)＝0”是“函数f(x)为奇函数”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 B解析f(x)是定义在R上的奇函数可以推出f(0)＝0，但f(0)＝0不能推出函数f(x)为奇函数，例如f(x)＝x2.故选B．3．设a，b，c，d是非零实数，则“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案 B解析a，b，c，d是非零实数，若a<0，d<0，b>0，c>0，且ad＝bc，则a，b，c，d不成等比数列(可以假设a＝－2，d＝－3，b＝2，c＝3)．若a，b，c，d 成等比数列，则由等比数列的性质可知ad＝bc.所以“ad＝bc”是“a，b，c，d 成等比数列”的必要而不充分条件．4．(2020·烟台一模)设x∈R，则“|x－2|＜1”是“x2＋2x－3＞0”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析|x－2|＜1，解得1＜x＜3；x2＋2x－3＞0，解得x＜－3或x＞1.因为“1＜x＜3”是“x＜－3或x＞1”的充分不必要条件，所以“|x－2|＜1”是“x2＋2x －3＞0”的充分不必要条件．5．“不等式x2－x＋m>0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是()A．m>14B．0<m<1C．m>0 D．m>1答案 C解析不等式x2－x＋m>0在R上恒成立⇔1－4m<0，得m>14，在选项中只有“m>0”是“不等式x2－x＋m>0在R上恒成立”的必要不充分条件，故选C．6．(2020·德州二模)已知实数x，y满足x>1，y>0，则“x<y”是“log x y>1”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 C解析根据题意，可知实数x，y满足x>1，y>0，若x<y，即1<x<y，则log x y>log x x ＝1，则“x<y”是“log x y>1”的充分条件，反之，若log x y>1，即log x y>log x x＝1，由x >1，则必有x <y ，则“x <y ”是“log x y >1”的必要条件，故“x <y ”是“log x y >1”的充要条件．故选C ．7．(2020·青岛市高三上学期期末)设α∈R ，则“sin α＝cos α”是“sin2α＝1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 若sin α＝cos α，则tan α＝1，α＝k π＋π4(k ∈Z )，得sin2α＝sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π4＝sin π2＝1成立；反之，若sin2α＝1，则2α＝2k π＋π2(k ∈Z )，∴α＝k π＋π4(k ∈Z )，得sin α＝cos α.故“sin α＝cos α”是“sin2α＝1”的充分必要条件．故选C ．8．已知平面α，直线m ，n 满足m ⊄α，n ⊂α，则“m ∥n ”是“m ∥α”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 若m ⊄α，n ⊂α，m ∥n ，由线面平行的判定定理知m ∥α.若m ∥α，m ⊄α，n ⊂α，不一定推出m ∥n ，直线m 与n 可能异面，故“m ∥n ”是“m ∥α”的充分不必要条件．故选A ．9．(2020·山东济南一中期中)在△ABC 中，“A <B ”是“sin A <sin B ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 C解析 在△ABC 中，A <B ，因为三角形中大边对大角，则a <b ，由正弦定理可得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，所以有2R sin A <2R sin B ，所以sin A <sin B ，充分性成立；因为sin A <sin B ，由正弦定理可得sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，所以a 2R <b2R ，则a <b ，因为三角形中大边对大角，所以A <B ，必要性也成立．故选C ．10．设m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n <0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 存在负数λ，使得m ＝λn ，则m ·n ＝λn ·n ＝λ|n |2<0；反之，m ·n ＝|m ||n |cos 〈m ，n 〉<0⇒cos 〈m ，n 〉<0⇔〈m ，n 〉∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π，当〈m ，n 〉∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，m ，n 不共线．故“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n <0”的充分不必要条件．二、多项选择题11．(2021·湖北宜昌高三模拟)设计如图所示的四个电路图，p ：“开关S 闭合”；q ：“灯泡L 亮”，则p 是q 的充要条件的电路图是( )答案 BD解析 由题意知，电路图A 中，开关S 闭合，灯泡L 亮，而灯泡L 亮开关S 不一定闭合，故A 中p 是q 的充分不必要条件；电路图B 中，开关S 闭合，灯泡L 亮，且灯泡L 亮，则开关S 闭合，故B 中p 是q 的充要条件；电路图C 中，开关S 闭合，灯泡L 不一定亮，灯泡L 亮则开关S 一定闭合，故C 中p 是q 的必要不充分条件；电路图D 中，开关S 闭合则灯泡L 亮，灯泡L 亮则开关S 闭合，故D 中p 是q 的充要条件．故选BD ．12．(2020·山东德州模拟)下列叙述中正确的是( ) A ．“a >1”是“1a <1”的充分不必要条件B ．若a ，b ，c ∈R ，则“ab 2>cb 2”的充要条件是“a >c ”C ．“a <1”是“方程x 2＋x ＋a ＝0有一个正根和一个负根”的必要不充分条件D ．若a ，b ，c ∈R 且a ＞0，则“ax 2＋bx ＋c ≥0”的充要条件是“b 2－4ac ≤0” 答案 ACD解析 a >1⇒1a <1，1a <1a >1，∴“a >1”是“1a <1”的充分不必要条件，A 正确；当b ＝0时，若“a >c ”成立，而ab 2＝0＝cb 2，充分性不成立，B 错误；令f (x )＝x 2＋x ＋a ，方程x 2＋x ＋a ＝0有一个正根和一个负根，则f (0)<0，则有a <0，∴“a <1”是“方程x 2＋x ＋a ＝0有一个正根和一个负根”的必要不充分条件，C 正确；当a >0时，ax 2＋bx ＋c ≥0可以推出b 2－4ac ≤0，而b 2－4ac ≤0也可以推出ax 2＋bx ＋c ≥0，D 正确．故选ACD ．三、填空题 13．下列不等式：①x <1；②0<x <1；③－1<x <0；④－1<x <1.其中可以作为“x 2<1”的一个充分条件的所有序号为________. 答案 ②③④解析 由于x 2<1即－1<x <1，①显然不能使－1<x <1一定成立，②③④满足题意．14．(2020·江苏省无锡市天一中学高三6月模拟)已知a ＝(1，2m )，b ＝(2，－m )，则“m ＝1”是“a ⊥b ”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充分必要”或“既不充分也不必要”)答案 充分不必要解析 当m ＝1时，a ·b ＝1×2＋2m ×(－m )＝2－2＝0，即a ⊥b .当a ⊥b 时，a ·b ＝1×2＋2m ×(－m )＝2－2m 2＝0，解得m ＝±1，即“m ＝1”是“a ⊥b ”的充分不必要条件．15．已知f (x )是R 上的奇函数，则“x 1＋x 2＝0”是“f (x 1)＋f (x 2)＝0”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)答案 充分不必要解析 ∵函数f (x )是奇函数，∴若x 1＋x 2＝0，则x 1＝－x 2，则f (x 1)＝f (－x 2)＝－f (x 2)，即f (x 1)＋f (x 2)＝0成立，即充分性成立；若f (x )＝0，满足f (x )是奇函数，当x 1＝x 2＝2时，f (x 1)＝f (x 2)＝0，此时满足f (x 1)＋f (x 2)＝0，但x 1＋x 2＝4≠0，即必要性不成立．故“x 1＋x 2＝0”是“f (x 1)＋f (x 2)＝0”的充分不必要条件．16．(2019·华南师大附中月考)设p ：ln (2x －1)≤0，q ：(x －a )[x －(a ＋1)]≤0，若q 是p 的必要而不充分条件，则实数a 的取值范围是________.答案 0，12解析 p 对应的集合A ＝{x |ln (2x －1)≤0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12<x ≤1，q 对应的集合B ＝{x |(x －a )[x －(a ＋1)]≤0}＝{x |a ≤x ≤a ＋1}．由q 是p 的必要而不充分条件，知A B ．所以a ≤12且a ＋1≥1，因此0≤a ≤12.四、解答题17．已知函数f (x )＝lg (x 2－2x －3)的定义域为集合A ，函数g (x )＝2x －a (x ≤2)的值域为集合B ．(1)求集合A ，B ；(2)已知p ：m ∈A ，q ：m ∈B ，若q 是p 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．解 (1)A ＝{x |x 2－2x －3>0}＝{x |(x －3)(x ＋1)>0}＝{x |x <－1或x >3}，B ＝{y |y ＝2x －a ，x ≤2}＝{y |－a <y ≤4－a }．(2)因为q 是p 的充分不必要条件，所以B A ，所以4－a <－1或－a ≥3，所以a ≤－3或a >5，即实数a 的取值范围是(－∞，－3]∪(5，＋∞)．。

《2020-2021学年高一数学同步讲练测（新教材人教A 版必修第一册）》专题04充分条件与必要条件（练）1．a ,b 中至少有一个不为零的充要条件是（ ）A ．ab ＝0B ．ab>0C ．a 2＋b 2＝0D ．a 2＋b 2>0【参考答案】D 【解析】,ab ＝0是a ,b 中至少有一个不为零的非充分非必要条件；A ab>0是a ,b 中至少有一个不为零的充分非必要条件；,B ,a 2＋b 2＝0是a ,b 中至少有一个不为零的非充分非必要条件；C ,a 2＋b 2>0,则a ,b 不同时为零；a ,b 中至少有一个不为零,则a 2＋b 2>0.所以a 2＋b 2>0是a ,b 中至少有一个不D 为零的充要条件.故选：D2．a >b 的一个充分不必要条件是（ ）A ．a 2>b 2B ．|a |>|b |C ．D ．a －b >111a b <【参考答案】D 【解析】,,,则ABC 错误；22a b a b >⇒>/11b a a b <⇒/>||||a b a b>⇒>/a －b >1⇒a －b >0而a －b >0⇏a －b >1,则D正确；故选：D3．一元二次函数的图像的顶点在原点的必要不充分条件是（ ）2y ax bx c =++A ．B ．C ．D ．0,0b c ==0a b c ++=0b c +=0bc =【参考答案】D 【解析】若一元二次函数的图像的顶点在原点,则,且,所以顶点在2y ax bx c =++02b a -=0c =原点的充要条件是故A 是充要条件,B 、C 既不充分也不必要,D 是必要条件,非充分条件.0,0,b c ==故选：D.4．【黑龙江省海林市朝鲜族中学人教版高中数学同步练习】设集合,,则“”是“{}1,2M ={}2N a =1a =-”的（ ）N M ⊆A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件.C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件【参考答案】A 【解析】解：当时,,满足,故充分性成立；1a =-{}1N =N M ⊆当时,或,所以不一定满足,故必要性不成立.N M ⊆{}1N ={}2N =a 1a =-故选：A.5．【浙江省湖州市2019-2020学年高二上学期期中】已知,那么“”是“”的（）a R ∈1a >21a >A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【参考答案】A 【解析】当时,成立,1a >21a >取,此时成立,但是不成立,2a =-21a >1a >“”是“”的充分不必要条件,1a >21a >故选：A.6．【必修第一册 逆袭之路】若,则“且”是“且”的（ ）,a b ∈R 1a >1b >1ab >2a b +≥A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【参考答案】A 【解析】因为且,所以根据同向正数不等式相乘得,根据同向不等式相加得,即成1a >1b >1ab >2a b +>2a b +≥立,因此充分性成立；当时满足且,但不满足且,即必要性不成立；1,2a b ==1ab >2a b +≥1a >1b >从而“且”是“且”的充分不必要条件,1a >1b >1ab >2a b +≥故选：A7．【必修第一册 逆袭之路】设,则“”是“”的( )x ∈R 250x x -<|1|1x -<A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【参考答案】B 【解析】化简不等式,可知 推不出；05x <<11x -<由能推出,11x -<05x <<故“”是“”的必要不充分条件,250x x -<|1|1x -<故选B ．8．若“”是“”的必要不充分条件,则实数的最大值为_______．21x >x m <m 【参考答案】1-【解析】由得,21x >-11x x <>或“”是“”的必要不充分条件,21x >x m <,(,)(,1)(1,)m ∴-∞⊆-∞-⋃+∞．1m ∴≤-故参考答案为．1-9．“方程没有实数根”的充要条件是________.220x x a --=【参考答案】1a <-【解析】解析因为方程没有实数根,所以有,解得,因此“方程没220x x a --=440a ∆=+<1a <-220x x a --=有实数根”的必要条件是.反之,若,则,方程无实根,从而充分性成立.故“方1a <-1a <-∆<0220x x a --=程没有实数根”的充要条件是“”.220x x a --=1a <-故参考答案为：1a <-10．已知a 、b 是实数,则“a ＞1,且b ＞1”是“a +b ＞2,且ab ＞1”的____条件．【参考答案】充分不必要【解析】解：a 、b 是实数,则“a ＞1,且b ＞1”⇒“a +b ＞2,且ab ＞1”正确,当a ＝10,b ＝0.2时,a +b ＞2,且ab ＞1,所以a ＞1,且b ＞1不成立,即前者是推出后者,后者推不出前者,所以a 、b 是实数,则“a ＞1,且b ＞1”是“a +b ＞2,且ab ＞1”的充分而不必要条件．故参考答案为：充分而不必要．11．设集合A ＝{x |x （x ﹣1）＜0},B ＝{x |0＜x ＜3},那么“m ∈A ”是“m ∈B ”的____条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分又不必要”）．【参考答案】充分不必要【解析】解：由于A ＝{x |0＜x ＜1},则A ⊊B ,由m ∈B 不能推出m ∈A ,如x ＝2时,故必要性不成立．反之,根据A ⊊B ,“m ∈A ”⇒“m ∈B ”．所以“m ∈A ”是“m ∈B ”的充分不必要条件．故参考答案为：充分不必要12．“a ＞1且b ＞1”是“ab ＞1”成立的____条件．（填充分不必要,必要不充分,充要条件或既不充分也不必要．【参考答案】充分不必要【解析】解：若a ＞1且b ＞1时,ab ＞1成立．若a ＝﹣2,b ＝﹣2,满足ab ＞1,但a ＞1且b ＞1不成立,∴“a ＞1且b ＞1”是“ab ＞1”成立的充分不必要条件．故参考答案为：充分不必要．13．试判断“”是“”的充分条件还是必要条件？并给出证明.:1p x =32:10q x x x --+=【参考答案】充分条件,证明见解析【解析】是充分条件,但不是必要条件,证明如下由()()()()2322111110x x x x x x x x --+=---=-+=得或1x =1x =-或,或不能.:1:1p x q x =⇒=1x =-:1q x =1x =-:1p x ⇒=所以是充分条件,但不是必要条件.14．已知是实数,求证：成立的充分条件是,该条件是否为必要条件？试证,a b 44221a b b --=221a b -=明你的结论．【参考答案】必要条件,证明见解析.【解析】由,即44221a b b --=442210a b b ---=由()()()()244242222221111a b b a b a b a b -++=-+=++--则由()()222222442111021a b a b a b a b b -=⇒++--=⇒--=所以成立的充分条件是44221a b b --=221a b -=另一方面如果()()442222221110a b b a b a b --=⇒++--=因为,2210a b ++≠故,()()2222221101a b a b a b ++--=⇒-=所以成立的必要条件是.44221a b b --=221a b -=15．不等式x 2﹣3x +2＞0的解集记为p ,关于x 的不等式x 2+（a ﹣1）x ﹣a ＞0的解集记为q ,若p 是q 的充分不必要条件,求实数a 的取值范围．【参考答案】﹣2＜a ≤﹣1【解析】解：由不等式x 2﹣3x +2＞0得,x ＞2或x ＜1；不等式x 2+（a ﹣1）x ﹣a ＞0等价为（x ﹣1）（x +a ）＞0,①当﹣a ≤1,即a ≥﹣1时,不等式的解是x ＞1或x ＜﹣a ,∵p 是q 的充分不必要条件,∴﹣a ≥1,即a ＝﹣1,②若﹣a ＞1,即a ＜﹣1时,不等式的解是x ＞﹣a 或x ＜1,∵p 是q 的充分不必要条件,∴﹣a ＜2,即﹣2＜a ＜﹣1,综上﹣2＜a ≤﹣1．1．【必修第一册（上） 重难点知识清单】已知a ,b ∈R,则“0≤a ≤1且0≤b ≤1”是“0≤ab ≤1”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【参考答案】A 【解析】若“0≤a ≤1且0≤b ≤1”,则“0≤ab ≤1”．当a ＝－1,b ＝－1时,满足0≤ab ≤1,但不满足0≤a ≤1且0≤b ≤1,∴“0≤a ≤1且0≤b ≤1”是“0≤ab ≤1”成立的充分不必要条件．故选A.2．【必修第一册（上） 重难点知识清单】“不等式在上恒成立”的充要条件是（ ）A ．B ．C ．D ．【参考答案】A 【解析】∵“不等式x 2﹣x +m ＞0在R 上恒成立”,∴△＝（﹣1）2﹣4m ＜0,解得m ,又∵m ⇒△＝1﹣4m ＜0,所以m是“不等式x 2﹣x +m ＞0在R 上恒成立”的充要条件,故选：A ．3．【浙江省杭州二中检测】“”的一个充分但不必要的条件是( )260x x --<A ．B ．23x -<<03x <<C ．D ．32x -<<33x -<<【参考答案】B 【解析】由解得,260x x --<23x -<<要找“”的一个充分但不必要的条件,260x x --<即是找的一个子集即可,{}23x x -<<易得,B 选项满足题意.故选B4．【必修第一册 逆袭之路】设且,则是的（ ）,a b ∈R 0ab ≠1ab >1a b >A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要【参考答案】D 【解析】若“ab ＞1”当a ＝﹣2,b ＝﹣1时,不能得到“”,1a b ＞若“”,例如当a ＝1,b ＝﹣1时,不能得到“ab ＞1“,1a b ＞故“ab ＞1”是“”的既不充分也不必要条件,1a b ＞故选：D ．5．【河南省6月联考】关于的不等式成立的一个充分不必要条件是,则的取x ()()30x a x -->11x -<<a 值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．1a ≤-0a <2a ≥1a ≥【参考答案】D 【解析】由题可知是不等式的解集的一个真子集.()1,1-()()30x a x -->当时,不等式的解集为,此时 ；3a =()()30x a x -->{}3x x ≠()1,1-{}3x x ≠当时,不等式的解集为,3a >()()30x a x -->()(),3,a -∞⋃+∞,合乎题意；()1,1- (),3-∞当时,不等式的解集为,3a <()()30x a x -->()(),3,a -∞⋃+∞由题意可得,此时.()1,1-(),a -∞13a ≤<综上所述,.1a ≥故选：D.6．【河南省开封市2020届高三第三次模拟】设a ,b ∈R ,则“a ＞b ”是“a |a |＞b |b |”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【参考答案】C 【解析】由a ＞b ,①当a ＞b ≥0时,不等式a |a |＞b |b |等价为a •a ＞b •b ,此时成立．②当0＞a ＞b 时,不等式a |a |＞b |b |等价为﹣a •a ＞﹣b •b ,即a 2＜b 2,此时成立．③当a ≥0＞b 时,不等式a |a |＞b |b |等价为a •a ＞﹣b •b ,即a 2＞﹣b 2,此时成立,即充分性成立；由a |a |＞b |b |,①当a ＞0,b ＞0时,a |a |＞b |b |去掉绝对值得,（a ﹣b ）（a +b ）＞0,因为a +b ＞0,所以a ﹣b ＞0,即a ＞b ．②当a ＞0,b ＜0时,a ＞b ．③当a ＜0,b ＜0时,a |a |＞b |b |去掉绝对值得,（a ﹣b ）（a +b ）＜0,因为a +b ＜0,所以a ﹣b ＞0,即a ＞b ．即必要性成立,综上可得“a ＞b ”是“a |a |＞b |b |”的充要条件,故选：C ．7．【必修第一册 过关斩将】设,则“”是“”的（ ）R x ∈11||22x -<31x <A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【参考答案】A 【解析】绝对值不等式,1122x -<⇔111222x -<-<⇔01x <<由.31x <⇔1x <据此可知是的充分而不必要条件.1122x -<31x <本题选择A 选项.8．【必修第一册 过关斩将】设集合,,那么“或”是“{|2}M x x =>{|3}P x x =<x M ∈x P ∈x P M ∈⋂”的________条件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”）【参考答案】必要不充分【解析】解:条件是或等价于；结论是．:p x M ∈x P ∈x P M ∈⋃:q x P M ∈⋂依题意得是的真子集,所以“”能推出“”,反之不成立,P M ⋂P M ⋃x P M ∈⋂x P M ∈⋃即结论条件p ,必要性成立；条件结论q ,充分性不成立．q ⇒p ⇒综上,“或”是“”的必要不充分条件．x M ∈x P ∈x P M ∈⋂故参考答案为：必要不充分9．【必修第一册 逆袭之路】设,则“”是“”的______条件选填“充分不必要”,“必要不充a R ∈1a >1a >.(分”,“充要”,“既不充分也不必要”之一)【参考答案】充分不必要条件【解析】解：解绝对值不等式“”,得或,1a >1a >1a <-又“”是“或”的充分不必要条件,1a >1a >1a <-即“”是“”的充分不必要条件,1a >1a >故参考答案为充分不必要条件.10．【必修第一册 过关斩将】已知,若是p 的一个必要条件,则使:13p x -<<1(0)a x a a -<-<>恒成立的实数b 的取值范围是________.a b >【参考答案】{|2}b b <【解析】∵,111a x a a x a -<-<⇔-<<+∴,所以解得{|13}{|11}x x x a x a -<<⊆-<<+11,13,a a -≤-⎧⎨+≥⎩2a ≥又使恒成立,因此,故实数b 的取值范围是.a b >2b <{|2}b b <故参考答案为：．{|2}b b <11．【必修第一册 过关斩将】若M 是N 的充分不必要条件,N 是P 的充要条件,Q 是P 的必要不充分条件,则M 是Q 的________条件.【参考答案】充分不必要【解析】命题的充分必要性具有传递性.根据题意得,但,,且,因此M N P Q ⇒⇔⇒Q P ⇒N P ⇔N M ⇒,但,故M 是Q 的充分不必要条件.M Q ⇒Q M ⇒故参考答案为：充分不必要12．【必修第一册 过关斩将】若实数a ,b 满足,,且,则称a 与b 互补记0a ≥0b ≥0ab =,那么“”是“a 与b 互补”的________条件.（填“充分不必要”“必要不充(,)a b a b ϕ=--(,)0a b ϕ=分”“充要”或“既不充分也不必要”）【参考答案】充要【解析】解析若,,平方得,当时,所以；(,)0a b ϕ=a b =+0ab =0a =b =0b ≥当时,所以,故a 与b 互补；0b =a =0a ≥若a 与b 互补,易得.(,)0a b ϕ=故“”是“a 与b 互补”的充要条件(,)0a b ϕ=故参考答案为：充要条件13．【必修第一册（上） 重难点知识清单】已知,.{}2320P x x x =-+≤{}11S x m x m =-≤≤+（1）是否存在实数,使是的充要条件？若存在,求出的取值范围,若不存在,请说明理由；m x P ∈x S ∈m （2）是否存在实数,使是的必要条件？若存在,求出的取值范围,若不存在,请说明理由．m x P ∈x S ∈m 【参考答案】（1）不存在实数,使是的充要条件m x P ∈x S ∈（2）当实数时,是的必要条件0m ≤x P ∈x S ∈【解析】（1）.{}{}232012P x x x x x =-+≤=≤≤要使是的充要条件,则,即 此方程组无解,x P ∈x S ∈P S =11,12,m m -=⎧⎨+=⎩则不存在实数,使是的充要条件；m x P ∈x S ∈（2）要使是的必要条件,则 ,x P ∈x S ∈S ⊆P 当时,,解得；S =∅11m m ->+0m <当时,,解得S ≠∅11m m -≤+0m ≥要使 ,则有,解得,所以,S ⊆P 11,1+2m m -≥⎧⎨≤⎩0m ≤0m =综上可得,当实数时,是的必要条件．0m ≤x P ∈x S ∈14．已知两个关于的一元二次方程和,求两方程的根都是x 2440mx x -+=2244450x mx m m -+--=整数的充要条件．【参考答案】1m =【解析】∵是一元二次方程,∴．2440mx x -+=0m ≠又另一方程为,且两方程都要有实根,2244450x mx m m -+--=∴()()212224160,1644450,m m m m ⎧∆=--≥⎪⎨∆=---≥⎪⎩解得．5,14m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦∵两方程的根都是整数,∴其根的和与积也为整数,即24,4,445,Z m m Z m m Z ⎧∈⎪⎪∈⎨⎪--∈⎪⎩∴为的约数．m 4又∵,5,14m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦∴或．1m =-1当时,第一个方程可化为,其根不是整数；1m =-当时,两方程的根均为整数,∴两方程的根均为整数的充要条件是．1m =1m =15．设集合,,若“”是“”的充分不必要条件,试求满足条{}2|320A x x x =-+={}|1B x ax ==x B ∈x A ∈件的实数组成的集合.a 【参考答案】10,1,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭【解析】∵,{}{}2|3201,2A x x x =-+==由于“”是“”的充分不必要条件.∴ .x B ∈x A ∈B A 当时,得；B =∅0a =当时,由题意得或.B ≠∅{}1B ={}2B =当时,得；当时,得.{}1B =1a ={}2B =12a =综上所述,实数组成的集合是.a 10,1,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭。

如果p真，通过推理，证明q也为真，那么“如
果p，则q”就是真命题。这时，我们就说，由p可
推出q。用符号记作
p q，
读作“p推出q”。
讲授新知
p推出q，通常还表示为p是q的充分条件（sufficient
condition）或q是p的必要条件（necessary condition）。
理解：“如果p，则q”是真命题，
如果p是q的充要条件，那么，q也是p的充要条件。
例题探究
例 已知p是q的充分条件，s是r的必要条件，p是s的充要
条件，则q与r有什么关系？
分析：首先将题目中各命题之间的关系用符号直接、清晰
表示出来，其次将各命题逻辑关系联系起来，最后求解出
q与r的逻辑关系。
例题探究
解：根据已知可得
p q，r s, p s ，
1.2.1充要条件
新课导入
生活实例：分析下列各组给出的p与q之间的关系：
（1）p：我是山东人，q：我是中国人；
（2）P：我是一名教师；q：我是一名数学教师。
新课导入
实例分析：
（1）我是山东人一定能推出我是中国人，我是
中国人不一定能推出我是山东人；
（2）我是一名教师不一定能推出我是一名数学
教师，但是我是一名数学教师，一定能推出我是一
也是真命题，即∠B=∠C不仅是AB=AC必要条件，也
是AB=AC的充分条件。
讲授新知
充要条件：如果p是q的充分条件（p q），p又是q
的必要条件（q p），则称p是q的充分且必要条件，
简称充要条件（sufficient and necessary condition）。
记作
pq
，
此时，也读作“p与q等价”“p当且仅当q”。显然，

2021年人教版高中数学必修第一册随堂练习：第1章《1.4充分条件与必要条件》(含答案详解)1、1.4 充分条件与必要条件 1.4.1 充分条件与必要条件1.4.2 充要条件学习目标核心素养1.结合具体实例，理解充分条件、必要条件、充要条件的意义．(重点、难点)2．会求(推断)某些问题成立的充分条件、必要条件、充要条件．(重点)3．能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明．(难点)1.通过充要条件的推断，提升规律推理素养．2．借助充要条件的应用，培育数学运算素养.1．充分条件与必要条件命题真假“若p，则q”是真命题“若p，则q”是假命题推出关系p⇒qpq条件关系p是q的充分条件q是p的必要条件p不是q的充分条件q不是p的必要条件思索1：(1)p是q的充分条件与q是p的必要条件所表示的推出关系是否相同？(2)以下五种表述形式：①p⇒q；②p是q的充分条2、件；③q的充分条件是p；④q是p的必要条件；⑤p的必要条件是q.这五种表述形式等价吗？提示：(1)相同，都是p⇒q.(2)等价．2．充要条件(1)一般地，假如既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q.此时，我们说，p是q7n的充分必要条件，简称充要条件．概括地说，假如p⇔q，那么p与q互为充要条件．(2)若p⇒q，但qp，则称p是q的充分不必要条件．(3)若q⇒p，但pq，则称p是q的必要不充分条件．(4)若pq，且qp，则称p是q的既不充分也不必要条件．思索2：(1)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个互相等价的命题，这种说法对吗？(2)“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区分在哪里？提示：(1)正确．若p是q的充要条件，则p⇔q，即p等价于q.(2)①p是3、q的充要条件说明p是条件，q是结论．②p的充要条件是q 说明q是条件，p是结论．1．以下语句是命题的是( )A．梯形是四边形B．作直线ABC．x是整数D．今日会下雪吗A [D不是陈述句，B、C不能推断真假．]2．“同位角相等”是“两直线平行”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．既是充分条件，也是必要条件D．既不充分也不必要条件[答案] C3．使x3成立的一个充分条件是( )A．x4B．x0C．x2D．x2A [只有x4⇒x3，其他选项均不行推出x3.]4．设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不4、必要条件A [因为x≥2且y≥2⇒x2＋y2≥4,x2＋y2≥4x≥2且y≥2，如x＝－2，y7n＝1，所以“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的充分不必要条件．]充分条件、必要条件的推断【例1】指出以下各题中p是q的什么条件．(1)p：x－3＝0，q：(x－2)(x－3)＝0.(2)p：两个三角形相像，q：两个三角形全等．(3)p：a＞b，q：ac＞bc.[解] (1)x－3＝0⇒(x－2)(x－3)＝0，但(x－2)(x－3)＝0x－3＝0，故p 是q的充分不必要条件．(2)两个三角形相像两个三角形全等，但两个三角形全等⇒两个三角形相像，故p是q的必要不充分条件．(3)a ＞bac＞bc，且ac＞bca＞b，故p是q的既不充分也不必要条件．定义法推断充分条件、必5、要条件(1)确定谁是条件，谁是结论(2)尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件(3)尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件.1．指出以下各组命题中，p是q的什么条件．(1)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形．(2)p：(x－1)2＋(y －2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0.[解] (1)因为四边形的对角线相等四边形是平行四边形，四边形是平行四边形四边形的对角线相等，所以p是q的既不充分也不必要条件．7n(2)因为(x－1)2＋(y－2)2＝0⇒x＝1且y＝2⇒(x－1)(y－2)＝0，而(x－1)(y－2)＝0(x－1)2＋(y－2)2＝0，所以p是q的充分不必要条件．充分条件、必6、要条件、充要条件的应用[探究问题]1．记集合A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，若p是q的充分不必要条件，则集合A，B的关系是什么？若p是q的必要不充分条件呢？提示：若p是q的充分不必要条件，则AB，若p是q的必要不充分条件，则BA.2．记集合M＝{x|p(x)}，N＝{x|q(x)}，若M⊆N，则p是q的什么条件？若N⊆M，M＝N呢？提示：若M⊆N，则p是q的充分条件，若N⊆M，则p是q的必要条件，若M＝N，则p是q的充要条件．【例2】已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为________．[思路点拨] →→{m|m≥9}[因为p是q的充分不必要条件，所以p⇒q且qp.即{x|－2≤x≤17、0}是{x|1－m≤x≤1＋m，m0}的真子集，所以或解得m≥9.所以实数m的取值范围为{m|m≥9}．]1．本例中“p是q的充分不必要条件”改为“p是q的必要不充分条件”，其他条件不变，试求m的取值范围．[解] 因为p是q的必要不充分条件，所以q⇒p，且pq.则{x|1－m≤x≤1＋m，m0}{x|－2≤x≤10}，所以，解得0m≤3.即m 的取值范围是{m|0＜m≤3}．2．若本例题改为：已知P＝{x|a－4xa ＋4}，Q＝{x|1x3}，“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，求实数a的取值范围．7n[解] 因为“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，所以Q⊆P.所以解得－1≤a≤5，即a的取值范围是{a|－1≤a≤58、}．利用充分、必要、充要条件的关系求参数范围(1)化简p，q两命题；(2)依据p与q的关系(充分、必要、充要条件)转化为集合间的关系；(3)利用集合间的关系建立不等式；(4)求解参数范围.充要条件的探求与证明【例3】试证：一元二次方程ax2＋bx＋c ＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0.[思路点拨] 从“充分性”和“必要性”两个方面来证明．[证明] ①必要性：因为方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，所以Δ＝b2－4ac＞0，x1x2＝＜0(x1，x2为方程的两根)，所以ac＜0.②充分性：由ac＜0可推得Δ＝b2－4ac＞0及x1x2＝＜0(x1，x2为方程的两根)．所以方程ax2＋bx＋c＝0有两个相异实根，且两根异号，即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根9、和一负根．综上所述，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0.充要条件的证明策略(1)要证明一个条件p是否是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明两个命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真.(2)在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明p与q的解集是相同的，证明前必需分清晰充分性和必要性，即搞清晰由哪些条件推证到哪些结论.7n提示：证明时肯定要留意，分清充分性与必要性的证明方向.2．求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0.[证明] 假设p：方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1，q：a＋b＋c＝0.①证明p⇒q，即证明必要性．∵x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的根，∴a·1210、＋b·1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.②证明q⇒p，即证明充分性．由a＋b＋c＝0，得c＝－a－b.∵ax2＋bx＋c＝0，∴ax2＋bx－a －b＝0，即a(x2－1)＋b(x－1)＝0.故(x－1)(ax＋a＋b)＝0.∴x＝1是方程的一个根．故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0.充分条件、必要条件的推断方法(1)定义法：直接利用定义进行推断．(2)等价法：“p⇔q”表示p等价于q，等价命题可以进行转换，当我们要证明p成立时，就可以去证明q成立．(3)利用集合间的包含关系进行推断：假如条件p和结论q相应的集合分别为A和B，那么若A⊆B，则p是q的充分条件；若A⊇B，则p是q的必要条件；若A＝B，则p是q的充分必要条件．1．思索辨析(1)q是 11、p的必要条件时，p是q的充分条件．( )7n(2)q不是p 的必要条件时，“pq”成立．( )(3)若q是p的必要条件，则q 成立，p也成立．( )[答案] (1)√(2)√(3)×2．“x0”是“x≠0”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件A [由“x0”⇒“x≠0”，反之不肯定成立．因此“x0”是“x≠0”的充分不必要条件．]3．函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是________．m＝－2 [函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称，则－＝1，即m＝－2；反之，若m＝－2，则f(x)＝x2－2x＋1的图象关于直线x＝1对称．]4．已知p：实数12、x满足3axa，其中a0；q：实数x满足－2≤x≤3.若p是q 的充分条件，求实数a的取值范围．[解] 由p：3axa，即集合A＝{x|3axa}．q：－2≤x≤3，即集合B＝{x|－2≤x≤3}．因为p⇒q，所以A⊆B，所以即－≤a0，所以a的取值范围是.7。