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极限的计算两个重要极限

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模块基本信息
一级模块名称 函数与极限 二级模块名称 计算模块
三级模块名称 极限的计算---两个重要极限 模块编号 1-9
先行知识 极限的计算---常用计算方法 模块编号 1-8
知识内容 教案要求 掌握程度
1、两个重要极限的证明 1、理解两个重要极限

一般掌握 2、xxxsinlim0型极限的计算（第一个重要极限公式）
2、熟练掌握简单的利用两个
重要极限公式求函数的极限

3、xxx)11(lim型极限的计算（第二重要极限公
式）
3、一般掌握较复杂的利用两

个重要极限求函数的极限

能力目标
1、培养学生的计算能力
2、培养学生对知识的归纳能力
时间分配 45分钟 编撰 陈亮 校对 王清玲 审核 危子青
修订 熊文婷 二审 危子青
一、正文编写思路及特点：
思路：通过对两个重要极限的特点分析，及例题层层递进的训练。让
学生能够灵活运用两个重要极限求解相关函数的极限。

特点：以两个重要极限的基本模型为基础，对类似的两个重要极限进
行转换计算，让学生在对同类型的极限进行计算过程中，掌握利用两
个重要极限进行相关计算。

二、授课部分
（一）预备知识

0
0
型极限的计算

（二）新课讲授
1、无穷小的定义
定义：如果当0xx（或x）时,函数fx的极限为零，那么函
数fx就称为0xx（或x）时的无穷小量（简称fx为无穷
小）。
引例 ?sinlim0xxx

(说明：当0x时，xx,sin均为无穷小量.)
2、（第一个重要极限）1sinlim0xxx
(选讲) 证明思路：函数的夹逼准则
由于xxxsinlim0为00型极限，之前我们有因式分解法，而对于

x
x
x
sin

lim

0
显然无法利用因式分解法进行求解，所以我们利用如下解

法。
首先注意到, 函数xxsin对于一切x0都有定义.
如右图，图中的圆为单位圆, BCOA, DAOA. 圆心角AOB
x (0

显然 sin xCB, xAB, tan xAD. 因为
SAOB所以

21sin x<21x<2
1
tan x,

即 sin x不等号各边都除以sin x, 就有xxxcos1sin1, 或 1sincosxxx.
注意：此不等式当2 

根据夹逼准则得 1sinlim0xxx.
使用说明 在极限)()(sinlimxx中, 只要(x)是无穷小, 就有
1)()(sinlim
x

x


.

例1. 求xxx3sinlim0. （一级）
解xxx3sinlim03333sinlim0xxx

例2. 求xxxtanlim0. （一级）
解xxxtanlim0xxxxcos1sinlim01cos1limsinlim00xxxxx.
例3. 求20cos1limxxx. （二级）

解20cos1limxxx=220220)2(2sinlim212sin2limxxxxxx
（选讲）例4. 求xxx3sin2sinlim. （三级）
解：令xt，则

323sin2sinlim)(3sin)(2sinlim3sin2sinlim00ttttx
x
ttx

3、（第二个重要极限）exxx)11(lim
考虑特殊情况ennn)11(lim.对n取不同正整数，可得数列
})11{(nn
的取值的表格如下：

n 1 2 3  10 20 30 100

})11{(nn
2 49 2764 

（注：表格中算出的值均为无理数）
根据上述的表格，可得以下结论：

⑴
数列})11{(nn单调、有界；

⑵
数列})11{(nn的极限存在；
⑶
数列})11{(nn的极限为无理数.
使用说明：在极限)(1)](1lim[xx中, 只要)(x是无穷小（1型
极限），就有exx)(1)](1lim[.

例5. 求nnn)11(lim. （一级）
解 令t=n, 则n®¥时,t®¥. 于是
n
nn)11(lim
ttt


)11(lim

e

t
t
t1)11(1lim

.

或 )1()11(lim)11(limnnnnnn11])11(lim[ennn
例6. 求xxx10)1(lim. （一级）
解 令xt1 则x®0时,t®¥. 于是
x
xx10)1(lim

ettt)11(lim
.

注：exxx10)1(lim为exxx)11(lim的等价形式.
例7. 求222)111(limxxx. (二级)
解 令12xt 则x®¥时,t®¥. 于是
2)1(2)1(2)1(222lim])11[(lim)11(lim)111(lim2eettxtttttttttxx


（选讲）例8. 求xxx20)sin1(lim. （三级)

解：2sin2sin10sin2sin1020]))sin(1[(lim))sin(1(lim)sin1(limexxxxxxxxxxxxx
注：例6、例7和例8中的函数均为幂指函数，幂指函数形如
)()]([xgxf.若BxgAxf)(lim,0)(lim，则BxgAxf)(
)](lim[
.

三、能力反馈部分
（一）第一个重要极限
（1）xxx5sinlim0 （一级）
（2）)1sinsin1(lim0xxxxx（一级）
（3）2014coslimxxx（二级)
（4）2tan)1(lim0xxx（三级)
（选做）
（二）第二个重要极限
（1）xxx10)21(lim（一级）
（2）xxx)1ln(lim0 (二级)
（3）2)11(lim22xxxx（二级)
（4）xxx2sin120)(coslim（三级)
（选做）

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极限存在准则 两个重要极限

极限存在准则 两个重要极限


y 2.594 2.705 2.7169 2.71815 2.71827 …
x -10 -100 -1000 -10000
y 2.88 2.732 2.720
2.7183
y


1

1 x
x
的值无限接近于一个常数
-100000 … 2.71828 …
e 2.718281828459045
xn

a xn

a
xn1 xn
1(1 2
a xn2
)

1 2
(1
a) a
1
∴数列单调递减有下界，
故极限存在，
设
lim
n
xn

A
则由递推公式有 A 1 ( A a ) 2A
A a
x1 0,
xn 0, 故
lim
n
xn

a
三、 两个重要极限
证: 当
x(0,
则
a 2a
lim
n
xn

lim
n
2 xn1
a2 2 a
a2 a 2 0
a2
备用题
1.设
xn1

1 2 ( xn

a xn
)(
n

1
,
2
,
) , 且 x1 0 ,
a0, 求
lim
n
xn
.
利用极限存在准则
解：
1
a
xn1 2 ( xn xn )
令z=1/x, 则x→∞时， z→0，
由此可得:
1
1
lim(1 z)z lim(1 x)x = e
第五节 两个重要极限

第五节 两个重要极限

x u 5
类型5： 幂指式的极限，先利用幂的有关运 算把式子变换成含有标准式，再用公式
求.
练习
3 x 2x 求 lim( ) . x 2 x
极限的常用计算方法
1.代入法
x 4 3x 8 lim 2 x 2 x x 3
0 2.多项式的 型，分子分母同时分解， 0 约掉同为无穷小的公因
第5节 两个重要极限
sin x 1. lim 1. x 0 x
sin x 观察函数 当 x 0时的变化趋势 . x
y sin x x
sin x 重要极限lim 1的使用要求: x 0 x
1、式中含有三角函数的分式； 2、分母与正玄函数的角变量相同； 3、角变量趋近于0. sin x 重要极限lim 1的推广(类型四) : x 0 x 公式 要求
x
1 2
例5
计算li m 1 x .
x 0 2 x
解 方法1 令 u = -x,因为 x 0 时 u 0，
( 所以 l i m 1 x l i m 1 u)
x 0 2 x u0

2 u
lim
u0
1
(1 u)
1 . 2 2 1 e u
x 0
2 5 x
答案： e
6
有时，所给函数在自变量的某个趋向 下，底的极限为1，指数的极限为无穷，
人们称这类极限为1 ”型未定式. “

1 重要极限lim 1 e的使用要求: x x
(1)幂指式的底是由1与一个接近于0的变量和 (2)底中的变量与指数间互为倒数.
sin x x 0 lim lim 1 ( 型) x 0 x 0 sin x x 0 sin 推广： lim lim 1(上下一致) 0 0 sin
两个重要极限、无穷小的比较

两个重要极限、无穷小的比较

例如，在解决物理问题时，我们需要用到无穷小的概念和性质来建立数学模型；在解决经济问题时， 我们也需要用到无穷小的概念和性质来建立数学模型。
04
两个重要极限和无穷小的关
系
两个重要极限与无穷小的关系
两个重要极限是：lim x->0+ (1/x) = +∞ 和 lim x->∞ (1/x) = 0。这两个 极限描述了函数在x趋向于0和无穷大 时的情况，与无穷小密切相关。
两个重要极限、无穷 小的比较
• 两个重要极限的介绍 • 无穷小的比较 • 无穷小在极限中的应用 • 两个重要极限和无穷小的关系 • 总结与展望
目录
01
两个重要极限的介绍
第一个重要极限
总结词
该极限描述了函数(1+1/x)^x在x趋向于无穷大时的行为，其结果为自然常数e。
详细描述
当x趋向于正无穷大时，函数(1+1/x)^x趋向于e，约等于2.71828。这个极限在 数学、物理和工程等领域有广泛应用，是微积分学中的一个基本概念。
05
总结与展望
总结两个重要极限和无穷小的性质和应用
两个重要极限
1
无穷小的比较
2
应用场景
3
对未来研究和学习的展望
结合计算机科学进行数值 计算和模拟
探索无穷小在数学和物理 中的应用
深入研究极限理论
01
03 02
感谢观看
THANKS
无穷小量比较
通过两个重要极限，我们 可以比较不同无穷小量的 阶，从而更好地理解极限 的概念。
微分学
在微分学中，两个重要极 限用于定义导数和积分， 是研究函数行为的关键工 具。
02
无穷小的比较
等价无穷小
极限存在准则 两个重要极限

极限存在准则 两个重要极限


∴ {xn } 是单调递增的 ;
1 1 1 1 xn < 1 + 1 + + L + < 1 + 1 + + L + n −1 2! n! 2 2 1 = 3 − n − 1 < 3, ∴ {xn } 是有界的 ; 2 1n ) ∴ lim x n 存在. 记为lim(1 + ) = e (e = 2.71828L n→∞ n→∞ n
x → +∞
)
= lim (9
x → +∞
x
1 x x
)
1 x + 1 3
0
1 x
3 1 = 9 ⋅ lim 1 + x x → +∞ 3

1 3x ⋅x
= 9⋅e = 9
∴ lim cos x = 1,
x→0
∴ lim(1 − cos x ) = 0,
x→0
又 Q lim 1 = 1,
x→0
sin x ∴lim = 1. x→0 x
例3
1 − cosx . 求 lim 2 x→0 x
x 2sin2 2 lim 2 x→0
解: 原式 =
x
1 sin = lim x 2 x→0 2
1 令t= , x
x→0
1t lim(1 + x) = lim(1 + ) = e. x→0 t →∞ t
1 x
1 x
lim(1 + x) = e
例.
解: 令 t = −x, 则
t →∞
lim(1+ 1)−t t
1
= lim