极限的几种计算方法论文

论文二重极限计算方法二重极限是函数在二元自变量趋于特定点$(a,b)$的过程中的极限。

在求解二重极限时，可以使用两种常用方法：路径法和极限法。

下面将详述这两种方法。

1.路径法路径法是通过沿着不同路径逼近极限点，观察函数极限的行为。

常见的路径有$x=a$和$y=b$，以及通过以$(a,b)$为中心的射线等。

路径法的基本思想是，如果函数在不同路径下极限都存在，并且极限值相等，那么二重极限存在，并且等于这个共同的极限值。

举例说明，假设要求函数$f(x, y)=\frac{x^2y}{x^2+y^2}$在点$(0, 0)$处的二重极限。

可以沿着不同路径逼近这个点。

对于路径$x=0$，有$f(0, y)=0$；对于路径$y=0$，有$f(x, 0)=0$。

所以根据路径法，得到$\lim_{(x, y) \to (0, 0)} f(x, y) = 0$。

2.极限法极限法通过使用不等式，将二重极限的计算转化为一重极限的计算。

具体步骤如下：(1)假设要求函数$f(x,y)$在点$(a,b)$处的二重极限。

(2)令$x=a+h$，$y=b+k$，其中$h$和$k$表示趋于0的变量。

(3)将$f(x,y)$转化为一个关于$h$和$k$的函数$F(h,k)$。

(4) 计算一重极限$\lim_{(h, k) \to (0, 0)} F(h, k)$。

举例说明，求$f(x, y)=\frac{x^2y}{x^2+y^2}$在点$(0, 0)$处的二重极限。

可以将$x$和$y$表示为$x = h$和$y = k$。

代入函数$f(x,y)$得到$F(h, k) = \frac{h^2k}{h^2+k^2}$。

接下来计算一重极限$\lim_{(h, k) \to (0, 0)} F(h, k)$。

由于这是一重极限，可以使用一元极限的计算方法，比如夹逼定理或洛必达法则。

以上就是求解二重极限的路径法和极限法的详细介绍。

学术界对于二重极限的计算方法还有很多探索，包括利用极坐标、球坐标等多种数学工具。

1.极限计算1.左极限：Lim{x→0-}e^(1/x)=Lim{x→0-}e^(4/x)=0. Lim{x→0-}sinx/|x|=-1==> Lim{x→0-}{[2+e^(1/x)]/[1+e^(4/x)]+sinx/|x|}=1 2.右极限：Lim{x→0+}e^(-1/x)=Lim{x→0-}e^(-4/x)=0 Lim{x→0+}sinx/|x|=1==> Lim{x→0+}{[2+e^(1/x)]/[1+e^(4/x)]+sinx/|x|}= =Lim{x→0+}{e^(-3/x)][1+2e^(-1/x)]/[1+e^(-4/x)]+sinx/|x|}= =1。

==》Lim{x→0}{[2+e^(1/x)]/[1+e^(4/x)]+sinx/|x|}=1。

2.举例总结求极限的方法,我要写论文,格式要好点,好的追加分我大一摘要：数学分析很多概念都离不开极限，而求数列或函数的极限，是数学学习中遇到的比较困难的问题。

本文通过归纳和总结，从不同的方面罗列了它的几种求法。

？关键词：数列极限，函数极限，柯西准则，洛必达法则，泰勒展式，迫敛法则？？1？数列极限？？1。

1数列极限的（？-N）定义？设{na}为数列，a为定数。

若对任给的正数？，总存在正整数？N，使得当n>N时有？∣na—a∣N时，所有的点na，即无限多个点？123,,,NNNaaa？？？…都落在开区间（a-?,a ？）内，而只有有限个点（至多只有N个）在这区间以外。

？丽水学院2012届学生毕业论文？？2？注1？？上面定义中正数？可以任意给定是很重要的，因为只有这样，不等式∣na—a∣N时，不等式1!n=1(1)(2)1nnn？？≤1n。

3.极限概念数学论文材料二：极限在高等数学中，极限是一个重要的概念。

极限可分为数列极限和函数极限，分别定义如下。

首先介绍刘徽的"割圆术"，设有一半径为1的圆，在只知道直边形的面积计算方法的情况下，要计算其面积。

浅谈极限的求解方法毕业论文1000字一、引言极限是微积分中最基本的概念之一，也是微积分理论的重要组成部分。

求极限可以帮助我们对函数的性质有更全面的了解，进而掌握一些更深入的微积分及数学分析知识。

本文将从定义、性质和求解方法三个方面进行讨论，希望能够帮助读者深入理解极限的概念和应用。

二、极限的定义在微积分中，极限是用来描述一个函数在某一点处的趋势性质的。

一般来说，我们将自变量不断逼近某一个值时，对应的函数值是否会逐渐趋近于一个确定的数，就称这个数为函数在该点的极限。

严格来说，极限的定义应该满足以下要求：（1）函数在无穷远点时也应有极限；（2）左极限等于右极限；（3）如果函数有极限，那么极限值应该是唯一确定的。

三、极限的性质（1）极限的唯一性：如果一个函数在某一点处有极限，那么它的极限值应该是唯一的。

这个性质可以通过反证法来证明。

假设一个函数f在某一点x0处有两个不同的极限L1和L2，那么我们就可以得到一个矛盾。

如果L1≠L2，那么我们就可以找到一个足够小的邻域，使得f(x)与L1的距离和f(x)与L2的距离之和小于某一个正数e。

但这与L1和L2不相等的前提矛盾，即假设不成立。

（2）局部有界性：如果一个函数在某一点x0处有极限，那么它在该点的某个邻域内是有界的。

因为如果函数在x=x0处有极限，那么意味着随着x越来越靠近x0，f(x)与L的差距会越来越小，也就是说函数值的范围将会越来越集中在一个很小的区域内。

（3）保号性：如果一个函数在某一点x0处有极限且不等于0，那么在该点的某个邻域内，函数与极限值之间的关系将会有一个明确的规律。

具体来说，如果极限值L>0，那么在一个充分小的邻域内，函数值将始终大于0；如果极限值L<0，那么在一个充分小的邻域内，函数值将始终小于0。

四、极限的求解方法(1)初值法：初值法又称数列逼近法，是一种基本的极限求解方法。

这个方法的具体过程是，我们先找到一个充分靠近极限的初始点，然后不停地不断逼近目标值，直到误差达到所需精度。

绪论极限研究的是函数的变化趋势, 在自变量的某个变化过程中, 对应的函数值能无限接近某个确定的数，那这个数就是函数的极限.函数的极限概念在高等数学中是一个很重要的概念.极限概念是微分概念的基础,因此加深理解函数极限的概念是十分必要的.在近代数学许多分支中,一些重要的概念与理论都是极限和连续函数概念的推广、延拓和深化.只有深刻地理解极限概念并熟练掌握求极限的方法,才能真正地学好微积分.极限是初等数学和高等数学接壤部分,极限概念是高等数学最基本的概念.导数,微分,积分都是建立在极限概念的基础上的,高等数学就是以极限方法为主要工具来研究变量与变量之间关系的科学.在有了极限的定义之后，为了判断具体某一函数是否有极限，人们必须不断地对极限存在的充分条件和必要条件进行探讨.在经过了许多数学家的不断努力之后，法国数学家柯西获得了完善的结果，即柯西收敛原理.到了近代，在数学家们的努力下给了极限一个专业的定义.有了极限的定义自然就有了许多求极限的方法.求函数极限的方法有很多，其中有利用定义求函数极限、利用夹逼定理求函数极限、利用函数的连续性求极限、利用极限的四则运算、利用变量替换、利用等价无穷小替换、利用定积分、利用导数定义、利用泰勒公式、利用罗必达法则求极限等一些方法，对不是同一类型的函数求极限的方法不一样，有的可以用同一种方法求解，有的不可以，因此研究函数求极限的方法显得尤为重要.第一章 函数极限的概念1.1 函数极限的概念1.1.1 x →∞时函数的极限设函数f 定义在[),a +∞上，类似于数列情形，我们研究当自变量x 趋于+∞图象上可见，当x 无限增大时，函数值无限地接近于0；而对于函数x 趋于+∞时有极限.一般地，当x 趋于+∞时函数极限的精确定义如下： 定义1 设f 为定义在[),a +∞上的函数，A 为定数.若对任何给的()0,M a ε>≥存在正数，使得当x M >时有则称函数f 当x 趋于+∞时以A 为极限，记作lim ()x f x A →+∞= 或 ()f x A → ()x →+∞定义 2 设f 为定义在](,a -∞上的函数，A 为定数.若对任何给的()0,M a ε>≥存在正数，使得当x M <-时有则称函数f 当x 趋于-∞时以A 为极限，记作()lim x f x A →-∞= 或 ()f x A → ()x →-∞则称常数A 为函数()x f 当∞→x 时的极限，记作()()()lim x f x A f x A x →∞=→→∞或当若f 为定义在()U x 上的函数，则+lim ()lim ()lim ()x x x f x A f x f x A →∞→-∞→∞=⇔==.定理1 +lim ()lim ()lim ()x x x f x A f x f x A →∞→-∞→∞=⇔==.1.1.2 x →0x 时函数的极限设f 为定义在0x 的某个空心邻域()00U x 内的函数.现在讨论当x 趋于00()x x x ≠时，对应的函数值能否趋于某个定数A .这类函数极限的精确定义如下：定义4（函数极限的εδ-定义） 设函数f 在点0x 的某个空心邻域()'00;δx U时有则称函数f 当x 趋于0x 时以A 为极限，记作lim ()x xf x A →= 或 0()()f x A x x →→.注：1.0ε>是可以任意给的，在确定δ的过程中又看成是个定数； 2.δ与ε有关，但与x 无关，并且不唯一；3.极限()0lim x x f x →是否存在，与()f x 在点0x 是否有定义以及()0f x 的值为多少无关；4.0lim ()x x f x A →=的前提：()f x 在某()'00;δx U 内有定义.定义5 设函数f 在()()()'0'00;;U x U x δδ+-或内有定义，A 为定数.若对任给的0ε>，存在正数()'δδ<，使得当()0000x x x x x x δδ<<+-<<或时有则称A 为函数f 当()00x x x +-趋于时的右（左）极限，记作()()00lim lim x x x x f x A f x A +-→→⎛⎫== ⎪⎝⎭或()()0f x A x x +→→ ()()()0f x A x x -→→. 右极限与左极限统称为单侧极限.f 在点0x 的右极限与左极限又分别记为：()()()()0000lim 0lim x x x x f x f x f x f x +-→→+=-=与 极限存在的充要条件：()()()0lim lim lim x x x x x x f x A f x f x A +-→→→=⇔== 关于函数极限()0lim x x f x →与相应的左、右极限之间的关系，有下述定理：定理2 ()()()0lim lim lim x x x x x x f x A f x f x A +-→→→=⇔==.第二章 函数极限的求解方法2.1 利用函数极限的定义求极限分析:利用函数极限的定义来证明,首先要任取0ε>；其次是写出不等式lim ()x x f x A →=.由函数极限的εδ-定义得：分析：根据前面所学的函数极限的定义证明，要证明这道题就要找出M 的值.分析：要验证这道题不仅要找到M 的值，还要利用函数的左、右极限的定义.证 ： 任给ε>0,由于而此不等式的左半部分对任何x 都成立，所以只要考察其右半部分x 的变化范围.这就证明了1）.类似地可证2）.注： +lim ()lim ()lim ()x x x f x A f x f x A →∞→-∞→∞=⇔==（f 为定义在()U ∞上的函数）所以当x →∞时arctan x 不存在极限.一般来说应尽可能将()f x 的表达式简化.值得注意的是，有时()f x 不能简化，反倒是可以把A 变复杂，写成与()f x 相类似的形式.以要用单侧极限的定义进行求解.()221xε-<时，就是小结:利用极限定义求函数极限是熟悉和掌握求极限方法的基础.2.2 利用函数极限的性质求极限定理3 （1）若()f x 在0x x =处连续，则()()00lim x x f x f x →=（2）若()f x ϕ⎡⎤⎣⎦是复合函数，又()0lim x x x a ϕ→=且()f u 在u a =处连续，则()()()()00lim lim x x x x f x f x f a ϕϕ→→⎡⎤==⎢⎥⎣⎦.分析：利用函数极限的性质及定理3，并且要看清该函数是否连续，最后在进行计算.在u e =处连续，所以由定理3（2）知 ：2.3 利用函数极限的四则运算求极限定理4（四则运算法则） 若极限()()0lim lim x x x xf xg x →→与都存在，则函数,f g f g ±⋅当0x x →时极限也存在，且1）()()()()0lim lim lim x x x x x x f x g x f x g x →→→±=±⎡⎤⎣⎦；2）()()()()0lim lim lim x x x x x x f x g x f x g x →→→=⋅⎡⎤⎣⎦；又若()0lim 0x x g x →≠，则0/f g x x →当时极限存在，且有4）()()0lim lim x x x xc f x c f x →→⋅=⋅ (C 为常数） 上述的性质对于0,,,x x x x x ±→∞→+∞→-∞→时也同样成立.计算.解： 当10x +≠时有故所求的极限等于分析：利用函数极限的四则运算法则，把所求函数的极限化为一些已知的简单函数的极限来计算.像（2）中的类型就是1→x 时，分子、分母的极限都是零注：使用极限的四则运算法则的前提是各部分极限都存在.2.4 利用迫敛性定理求极限定理5 设()()0lim lim ,x x x x f x g x A →→==且在某()0'0;U x δ内有()()()f x h x g x ≤≤ 则有()0lim x x h x A →=.分析：应用迫敛性的定理进行计算.解：因为1cos 1≤≤-x ，所以当0x <时分析：要求出这道题，必须应用到前面所学的知识点，即关于函数[]y x =有所以应用这个可以进行计算.故由迫敛性得小结：利用函数极限的迫敛性与四则运算，我们可以从一些简单的函数极限出发，计算较复杂的函数极限.2.5 利用两个重要极限求极限（1我们经常使用的是它们的变形：（1）的特点：（01）分子、分母的极限值为0；（02）分子是分母的正弦函数. （2）的特点：（01）幂指函数的底趋于1，指数趋于无穷时，其极限值是e ； （02）底是常数1与一个无穷小量之和，指数是底中无穷小量的倒数.例12 求下列函数极限1)0sin 2lim x x x →; 2)0tan lim x x→; 3)1lim sin x x →+∞; 4)()10lim 1(x x x αα→+为给定实数）. 解：1）0sin 2lim x x x →=02lim2122x x →=⨯= 2）0tan lim x x x →=0sin 1lim1cos x x x x→⋅= 3）令1y x =，于是当x →∞时，0y →,从而1lim sin x x x →+∞=0sin lim1y y y→=. 4） ()()11lim 1lim 1xx x x x x e ααααα→→⎡⎤+=+=⎢⎥⎣⎦. 例13 求下列函数极限x a x x 1lim )1(0-→、 bxaxx cos ln cos ln lim )2(0→、. 分析：首先要看题目的类型，看看是否符合两个重要的极限及特点.)1ln(ln 1 ln )1ln( ,11 u au x a a u x u a x x+=-+==-于是则）令解：（a u au u a u a u xa u x uu u u x x ln )1ln(ln lim )1ln(ln lim )1ln(ln lim 1lim 010000=+=+=+=-→→→→→→故有：时，又当)]1(cos 1ln[)]1(cos 1ln[(lim)2(0-+-+=→bx ax x 、原式1cos 1cos 1cos )]1(cos 1ln[1cos )]1(cos 1ln[(lim0--⋅--+--+=→ax bx bx bx ax ax x1cos 1cos lim 0--=→ax bx x=2022sin 2lim2sin 2x a xb x→-- 2222022sin 222lim sin 222x a x a b x x ba x xb x →⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⋅⎛⎫⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭22b a=.2.6 利用无穷小量的性质求极限2.6.1利用无穷小量与有界变量之乘积仍为无穷小量求极限与无穷小数列的概念相类似，我们给出关于函数为无穷小量的定义.定义6 设f 在某()00U x 内有定义，若 ()0lim 0x x f x →=，则称f 为当0x x →时的无穷小量.若函数g 在某()00U x 内有界，则称g 为当0x x →时的有界量. 由无穷小量的定义可立刻推得如下性质：1.两个(相同类型的）无穷小量之和、差、积仍为无穷小量.2.无穷小量与有界量的乘积为无穷小量. 定理6 设函数()f x 、()g x 满足：()()0lim 0x x g x f x →=.2.6.2 利用无穷小量与无穷大量的关系求极限定义7 设函数f 在某()00U x 内有定义.若对任给的0G >，存在0δ>，使得当()()()0000;x U x U x δ∈⊂时有则称函数f 当0x x →时有非正常极限∞，记作 ()0lim x x f x →=∞.若（1.2）式换成“()f x G >”或“()f x G <-”，则分别称f 当0x x →时有非正常极限+∞或-∞，记作()0lim x x f x →=+∞ 或 ()0lim x x f x →=-∞.定义8 对于自变量x 的某种趋向（或n →∞时），所有以∞，+∞或-∞为非正常极限的函数（包括数列），都称为无穷大量.定理7 （I ）若：∞=)(lim x f ，则 0)(1lim=x f . (II) 若: 0)(lim =x f 且 ()0f x ≠ 则 ∞=)(1lim x f . 例15 求下列极限(1) 51lim+∞→x x (1)11lim 1-→x x .解:(1)由∞=+∞→)5(lim x x ,故 051lim=+∞→x x . (2)由0)1(lim 1=-→x x ,故 11lim 1-→x x =∞.注：无穷大量不是很大的数，而是具有非正常极限的函数；若f 为0x x →时的无穷大量，则易见f 为()00U x 上的无界函数.但无界函数却不一定是无穷大量.2.6.3 利用等价无穷小替换求极限定理8 设函数()00,,f g h U x 在内有定义，且有()f x ()g x ()0x x →.(1）若()()()()0lim ,lim x x x x f x h x A g x h x A →→==则；注：设'',,,ββαα 都是同一极限过程中的无穷小量，且有：''~,~ββαα， ''lim βα 存在，则 βαlim 也存在，且有βαlim= ''lim βα.解：由于()arctan 0xx x →，()sin 440x x x →.故有定理8得例17 求极限2220sin cos 1limx x x x -→ .分析：本题切忌将2cos x和2sin x 用2x 等价替换.解: ,~sin 22x x 2)(~cos 1222x x -∴ 2220sin cos 1lim x x x x -→=0lim x →212)(2222=x x x 注：1、在利用等价无穷小量替换求极限时，应注意：只有对所求极限式中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量来替换，而对极限式中的相加或相减部分则不能随意替换.2、常用的等价无穷小量. 当0x →时，有xsin x ，tan x x ，211cos 2xx -，()ln 1x x +，arcsin x x ，1ln x a x a -，arctan xx ，e xx ，()11ax ax +-()0a ≠.2.7 用左右极限与极限关系求极限适用于分段函数求分段点处的极限,以及用定义求极限等情形.定理9 函数极限)(lim 0x f x x →存在且等于A 的充分必要条件是左极限)(lim 0x f x x -→及右极限)(lim 0x f x x +→都存在且都等于A .即有⇔=→A x f x x )(lim 0)(lim 0x f x x -→=)(lim 0x f x x +→=A.例18 设)(x f =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<-≤--1,10,0,212x x x x xx x e x 求)(lim 0x f x →及)(lim 1x f x →.分析：此题一看就知道是分段函数，要分多步来计算，最后再综合起来. 解：()()0lim lim 12x x x f x e ---→→=-1=()00lim lim x x f x ++→→⎛⎫=)0lim 1x +→=1=由1)(lim )(lim 0-==+-→→x f x f x x1)(lim 0-=∴→x f x不存在由（又)(lim )01()01(1lim )(lim 0)1lim lim )(lim 1211111x f f f x x f x xx x x f x x xx x x →→→→→→∴+≠-===-=-=++---注：此方法一般适用于分段函数.2.8 利用函数的数学公式、定理求极限2.8.1利用罗比塔法则求极限（适用于不定式极限） 定理10 若A x g x f x g x f A A x g x f iii x g x u x g f ii x g x f i x x x x x x x x x x ==∞∞±=≠==→→→→→)()(lim )()(lim ()()(lim )(0)()()(0)(lim ,0)(lim )('''''0000000），则或可为实数，也可为内可导，且的某空心邻域在与 此定理是对0x x →时而言，对于函数极限的其它类型，均有类似的法则，该定理对00型或∞∞型均成立.注：运用罗比塔法则求极限应注意以下几点：1、要注意条件，也就是说，在没有化为∞∞,00时不可求导.2、应用罗比塔法则，要分别的求分子、分母的导数，而不是求整个分式的导数.3、要及时化简极限符号后面的分式，在化简以后检查是否仍是未定式，若遇到不是未定式，应立即停止使用罗比塔法则，否则会引起错误.4、当)()(lim ''x g x f a x → 不存在时，本方法则失效，但并不是说极限不存在，此时求极限须用另外方法.例19 求下列函数的极限①)1ln()21(lim 2210x x e x x ++-→ ②)0,0(ln lim>>+∞→x a x xax解：①令()f x = 21)21(x e x +-, ()g x = l )1n(2x + 21')21()(-+-=x e x f x , 2'12)(xxx g +=222"23")1()1(2)(,)21()(x x x g x e x f x+-=++=- 由于0)0()0(,0)0()0(''====g g f f 但2)0(,2)0(""==g f从而运用罗比塔法则两次后得到122)1()1(2)21(lim 12)21(lim )1ln()21(lim22223022102210==+-++=++-=++--→-→→x x x e x xx e x x e xx xx xx . ② 由∞=∞=+∞→+∞→a x x x x lim ,ln lim ，故此例属于∞∞型，由罗比塔法则有： )0,0(01lim 1lim ln lim 1>>===+∞→-+∞→+∞→x a ax ax x x x ax a x a x .2.8.2 利用泰勒公式求极限对于求某些不定式的极限来说，应用泰勒公式比使用罗比塔法则更为方便，下列为常用的泰勒展开式：1、)(!!212n nxx o n x x x e +++++= 2、)()!12()1(!5!3sin 212153n n n x o n x x x x x +--+++-=--3、)()!2()1(!4!21cos 12242++-+++-=n nn x o n x x x x 4、)()1(2)1ln(12n nn x o nx x x x +-++-=+- 5、)(!)1()1(!2)1(1)1(2n n x o x n n x x x ++--++-++=+ααααααα6、)(x x 1 112n n x o x x+++++=- 上述展开式中的符号)(n x o 都有:0)(lim 0=→n n x xx o 例20 求)0(2lim>+-+→a xxa x a x解:利用泰勒公式，当0→x 有)(211x o xx ++=+ 于是 xxa x a x +-+→2lim=xax a x a x )121(lim 0+-+→=x x o a x x o a x a x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅--++→)(211)()2(211lim=ax x o x a x x o a x a x x 21)(21lim )(2lim00=+=+⋅→→2.8.3 利用拉格朗日中值定理求极限 定理11 若函数f 满足如下条件：(I) f 在闭区间[],a b 上连续 (II)f 在(),a b 内可导 则在(),a b 内至少存在一点ξ,使得ab a f b f f --=)()()('ξ此式变形可为:)10( ))(()()('<<-+=--θθa b a f ab a f b f .例21 求 xx e e xx x sin lim sin 0--→.分析：对于这个题目，好多同学看到题目之后，发现所求极限的函数是“0”型不定式，马上想到用罗比塔法则法，但是此题用拉格朗日中值定理更容易，更简单.解:令x e x f =)( 对它应用拉格朗日中值定理得)1(0 ))sin ((sin )sin ()(sin )('sin <<-+-=-=-θθx x x f x x x f x f e e x x 即1)(0 ))sin ((sin sin 'sin <<-+=--θθx x x f xx e e xx x e x f =)(' 连续1)0())sin ((sin lim ''==-+∴→f x x x f x θ，从而有 1sin limsin 0=--→x x e e xx x .2.9利用分子或分母有理化求极限若分子或分母的极限为0，不能运用四则运算中商的极限运算法则时，采用通过分子或分母有理化，消去分母中的趋于0的因子，再运用极限的运算法则.2.9.1.约去零因式（此法适用于型时0,0x x →）例22 求121672016lim 23232+++----→x x x x x x x解:原式=()())12102(65)2062(103lim2232232+++++--+---→x x x x x x x x x xx =)65)(2()103)(2(lim 222+++--+-→x x x x x x x=)65()103(lim 222++---→x x x x x =)3)(2()2)(5(lim 2+++--→x x x x x =2lim -→x 735-=+-x x .2.9.2通分法（适用于∞-∞型） 例23 求 )2144(lim 22x xx ---→. 解:原式=)2()2()2(4lim2x x x x -⋅++-→=)2)(2()2(lim2x x x x -+-→=4121lim2=+→x x .例24求极限20x →.解：20x →=21x x→=)221limx x x →=)lim1x →=2.2.10 利用定积分求极限定义9 设函数()f x 在闭区间[],a b 上有定义，在闭区间[],a b 内任意插入1n -个分点将[],a b 分成n 个区间[],x i i x x -，记i x ∆1i i x x -=-()1,2,3,,i n =⋅⋅⋅，[]1,i i x x ξ-∀∈，作乘积()i f ξi x ∆ ，若这些乘积相加得到和式()1ni i f ξ=∑i x ∆ ，设max λ={}:1i x i n ∆≤≤，若0lim λ→()1nii f ξ=∑i x ∆极限存在唯一且该极限与区间[],a b 的分法及分点i ξ的取法无关，则称这个唯一的极限值为函数()f x 在[],a b 上的定积分，记作()baf x dx ⎰，即 ()baf x dx ⎰=0limλ→()1nii f ξ=∑i x ∆否则称()f x 在[],a b 上不可积.注：（1）由牛顿莱布尼兹公式知，计算定积分与原函数有关，故这里借助了不定积分的符号.（2）若()ba f x dx ⎰存在，区间[],ab 进行特殊分割，分点i ξ进行特殊的取法得到的和式极限存在且与定积分的值相等，但反之不成立，这种思想在思考题中经常出现，我们要好好理解.（3）定积分是否存在或者值是多少只与被积函数式和积分区间有关，与积分变量用什么字母表示无关，即()()()bbbaaaf x dx f t dt f u du ==⎰⎰⎰.定积分的极限有两个特性：第一，定积分是无穷项和式的极限，容易知道一般项在项数趋近于无穷大时极限值必然趋近于零，否则和式极限不存在.第二，定积分与某一连续函数有紧密的关系，它的一般项受到这一连续函数的约束，它是连续函数在某个区间上进行了无穷的分割，各小区间上任意的函数值与区间长度的乘积的累积.例25 利用定积分求极限：1111lim 1232n J n n n n →∞⎛⎫+++⋅⋅⋅+=⎪+++⎝⎭ 分析：此极限的求解，不容易直接用极限的定义解决，因为该法往往是用来一边计算一边证明某个极限结果已经比较明显的问题，因此这里不合适，重要极限的结论显然也在这里没有用处，因为形式上根本不同；在考虑洛必达法则，它不是无穷比无穷型的极限也非零比零型的极限，也不可能用到此法；那么泰勒公式呢？泰勒公式往往是用来解决连续函数的极限问题，通过泰勒展式往往能把非多项式形式的表达式转化成多项式形式，以简化形式从而求解，看来这里也不适用.再看用迫敛性：1111221221n nn n n n n =≤++⋅⋅⋅+≤+++，又lim11n nn →∞=+所以迫敛性失效.那是不是就没有什么合适的办法了呢？答案当然是否定的，事实上，它从形式上与定积分的定义还是有一些相像的，那么就让我们尝试用定积分的办法来解决这道题.解：把此极限式化为某个积分和的极限式，并转化为计算定积分.为此作如下变形：111lim 11nn i J n i→∞==⋅+∑. 不难看出，其中的和式是函数()11f x x=+在区间[]0,1上的一个积分和（这里所取的是等分分割，11,,,1,2,i i i i i x i n n n n ξ-⎡⎤∆==∈=⎢⎥⎣⎦···，n ），所以()1100ln 1ln 21dxJ x x==+=+⎰ . 当然，也可把J 看作()11f x x=+在[]1,2上的定积分，同样有2312ln 21dx dx J x x ===⋅⋅⋅=-⎰⎰ .2.11 利用单调有界原理求极限定理12 若数列{}n a 收敛，则{}n a 为有界数列，即存在正数M ，使得对一切正整数n ，有 M a n ≤.定理13（单调有界定理） 在实数系中，有界的单调数列必有极限. 例26 设21=a ，n n a a 21=+，n =1,2,⋅⋅⋅,求lim n n a →∞.分析：用单调有界原理求极限首先要证明是有界的单调数列. 解：（1）先证{}n a 是有界数列.事实上，n +∀∈N 由12n a <<现用数学归纳法证明如下：当1k =时，1a =12<<成立. 设n k =时结论成立，即12k a <<，则当1n k =+时，11222k a +<=<= 故12,n a <<∀n +∈N（2）再证{}n a 严格单调递增.由于12n a <<，故11n n n a a +==>，因此{}n a 严格单调递增.由单调有界定理知lim n x a →∞存在.（3）设lim n n a →∞=a ，则对nn a a 21=+两边取极限得1lim nn n a +→∞= a =解之得2a = 或 0a =（不合题意，舍去），故lim n n a →∞=2.注：（唯一性定理）数列收敛，极限唯一.2.12 多种方法的综合运用上述介绍了求函数极限的基本方法，然而，每一道题目并非只有一种方法。

0 引言单调性是函数和数列的一个重要性质,在求函数和数列的极限问题中有着重要的应用.因此,对单调性方法的研究和归纳就显得非常重要.本文主要从微分法、归纳法、使用重要不等式法、差比法、比商法五个角度研究数列和函数的单调性证法，进而利用单调有界函数（或数列）必存在极限原理来求极限，并且就几个具有特殊形式的极限问题在形式上进行了推广，得到新的命题及推论，并利用单调性证法对其进行加以证明。

1利用微分法证明单调性求极限例1 证明：()'lim n fx →∞存在，并求极限值。

证明：（1）证明()'lim n f x →∞存在。

事实上，因为()f x 在()0,+∞上可导且单增，所以()'0f x ≥，即()'f x 有下界。

设()f x 在()0,+∞上单调递增且为有界的连续函数，又()f x 在()0,+∞内有二阶导数，且()"0f x <又因为()()"'0f x f x <⇒递减，综上知()'lim n f x →∞存在，设为L（2）求L 。

由()'0f x ≥()'lim 0n f x L →∞⇒=≥，现证L=0，若不然，()'0f x L →>，由极限的保号性，存在N ，若x N >时，有()'12f x >，在[],N x 上应用微分中值定理，有 ()()()()''f x f N f x N ξ-=- ()N x ξ<<()()()12f x f N x N >+-→∞ （N 固定，当x →∞） 当()f x 在()0,+∞单增有上界极限存在矛盾。

所以只有()'lim n f x →∞=0例2 设()f x 在()1,+∞上连续可微，且()()'211f x f x =+ 求证()lim x f x →∞存在。

证明：单调性：由当1x ≥时，11ln 1x x⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭所以()()'0f x f x ≥⇒在()1,+∞单增有界性：由已知()'f x ≤()111111111ln 111ln 1ln 11xxe x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+<<+⇒⋅+≤≤++⇒≤+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1x ≤）()'3212f x x ⇒<==≤由()'f x 的表达式可见()'f x 可积，且由积分单调性知()()()()()3'21111111112xxf x dx x dx f x f f x f -≤=≤⇒-≤⇒≤+⎰⎰()()1,x ∈+∞ 所以()lim x f x →∞存在。

分析方法论文求极限的方法的论文求极限几种特殊的方法与技巧摘要】本文主要归纳了求极限的几种特殊方法。

【关键词】极限单调有界性夹逼准则无穷小导数定义泰勒公式中值定理一、利用单调有界性准则单调有界性准则：单调有界数列必存在极限例 1 ：证明数列{Xn}收敛,其中X1=1,=(Xn+),n=1,2,…,并求极限Xn.证明：∵=(Xn+)≥·2·= ∴|Xn|有界又∵=(Xn+)≤(1+)=1 ∴{Xn}单调递减，从而Xn=b存在在=(Xn+)两边取极限得b=(b+),解得b=,从而Xn=二、利用两边夹定理两边夹定理(夹逼准则)：如果函数f（x）、（x）、g（x）满足下列条件：(1)f（x）≤（x）≤g（x）(2)lim f（x）=lim g （x）=A ，那么lim （x）=A例2：求极限解：∵≤≤=, ==0 ==0，∴原式=0三、利用等价无穷小代换法设都是同一极限过程中的无穷小量，且有：，存在，则也存在，且有=.常见的等价无穷小量(x0)有:(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)例3:求极限.解:∵∴==1注：在利用等价无穷小做代换时，一般只在以乘积形式出现时可以互换，若以和、差出现时，不要轻易代换，因为此时经过代换后，往往改变了它的无穷小量之比的“阶数”四、利用导数定义求极限导数定义：(1）f′(x0）=(2)f′(x0）=例4：求极限解：∵e0=1,根据导数定义有原式====（eu)u=0=1五、利用泰勒公式对于求某些不定式的极限来说，应用泰勒公式比使用罗比塔法则更为方便，下列为常用的展开式：(1)(2)(3)(4)(5)(6)上述展开式中的符号都有:例5：求极限:求解:利用泰勒公式，当有于是=从而原式===-六、利用拉格朗日中值定理定理:若函数f（x）满足如下条件：(I)f（x）在闭区间[a,b]上连续；(II)f （x）在(a,b)内可导则在(a,b)内至少存在一点,使得.此式变形可为:f(b)-f(a)=f′()(b-a),(a,b).例6:求解:令，在应用中值定理得==-(),()故当n时，一0，可知原式=-()==1.参考文献[1] 邓东皋、尹小玲编著，数学分析简明教程.[2] 陈传璋《数学分析》第二版(上册).[3] 同济大学应用数学系编，微积分（上册）.资料仅供参考!!!。

极限求解方法及应用论文极限求解方法是数学分析中的重要概念，用于研究一个函数在某一点或无穷远处的行为。

它在物理学、工程学以及经济学等领域中有广泛的应用。

首先，我们来讨论一下极限定义及其求解方法。

极限可以分为左极限和右极限。

设函数f(x)在a点的定义域中不存在函数值，当x无限接近于a时，如果f(x)的取值无限接近于一个确定的实数L，则称L为函数f(x)在x=a处的左极限，记作lim(x→a-) f(x) = L。

同理，如果当x无限接近于a时f(x)的取值无限接近于一个确定的实数L，则称L为函数f(x)在x=a处的右极限，记作lim(x→a+) f(x) = L。

当且仅当左极限等于右极限并且都存在时，函数f(x)在x=a处的极限存在，即lim(x→a) f(x) = L。

极限求解方法主要包括极限的基本四则运算法则、极限的夹逼定理、函数的连续性等。

极限的四则运算法则指出，对于两个函数f(x)和g(x)以及常数a和b，当lim(x→a) f(x)存在，lim(x→a) g(x)存在，那么：1. lim(x→a) [f(x) + g(x)] = lim(x→a) f(x) + lim(x→a) g(x)2. lim(x→a) [f(x) - g(x)] = lim(x→a) f(x) - lim(x→a) g(x)3. lim(x→a) [af(x)] = a * lim(x→a) f(x)4. lim(x→a) [f(x)g(x)] = lim(x→a) f(x) * lim(x→a) g(x)5. lim(x→a) [f(x)/g(x)] = lim(x→a) f(x) / lim(x→a) g(x)（前提是lim(x→a) g(x) 不为零）极限的夹逼定理是极限求解中常用的方法之一。

它描述了当一个函数夹在两个函数之间时，这个函数的极限等于这两个函数的共同极限，即：如果对于任意的x都有g(x) ≤f(x) ≤h(x)，同时lim(x→a) g(x) = lim(x→a) h(x) = L，则lim(x→a) f(x) = L。

在数学中，极限是一种重要的概念，能够帮助我们研究函数和序列的性质。

求解极限是数学学年论文或毕业论文中的一部分。

下面我将介绍几种常用的求极限的方法。

一、代入法代入法是求解极限最为简单的方法之一，其基本思想是将极限中的变量替换为一些特定的常数值，然后计算函数在该值处的函数值。

如果该函数在该点的函数值存在，则该值即为极限值。

二、夹逼定理夹逼定理是数学分析中常用的一种方法，可以用来求解一些函数在其中一点处的极限。

夹逼定理的原理是，如果一个函数f(x)在其中一点x0附近能够找到两个较为简单的函数g(x)和h(x)，并且满足g(x) ≤ f(x) ≤ h(x)，那么在x0处，这三个函数的极限也有相应的关系，即lim(g(x)) ≤ lim(f(x)) ≤ lim(h(x))。

三、无穷小量法无穷小量法是求解极限的一种重要方法，它的原理是当变量趋向无穷大或者趋向零时，一些函数的变化可以近似看作是一个无穷小量。

通过将待求极限中的变量作适当的变换，将其表示为无穷小量与一些已知极限之间的关系，然后求解已知极限，最后根据变换的关系得到待求极限。

四、洛必达法则洛必达法则是求解极限中常用的方法之一，其基本思想是用导数的求导法则来求解函数的极限。

具体来说，如果在其中一点x=a处，函数f(x)和g(x)都满足条件lim(f(x))=lim(g(x))=0或lim(f(x))=lim(g(x))=∞，且g'(x)≠0，则该极限lim(f(x)/g(x))存在。

通过求解lim(f'(x)/g'(x))，可以得到lim(f(x)/g(x))的值。

五、级数展开法级数展开法是一种将待求极限变换为级数求和的方法，它适用于一些函数无法直接求解极限的情况。

通过将函数f(x)在其中一点进行泰勒级数展开，然后利用级数的性质，可以得到该函数在该点处的极限。

在实际应用中，以上多种方法可以相互结合使用，根据具体问题的性质来选择合适的方法。

求极限的几种方法崔令坤摘要：极限概念与求极限的运算贯穿了高等数学课程的始终，掌握求极限的方法与技巧是高等数学的基础。

关键词：高等数学，极限方法能力。

定义:设函数()x f y =在点o x 的某个去心邻域内有定义，即存在()0lim x x f x A →=1.用极限定义求极限例1：（1） 用N ε-放法证明:1x =(2) 设12...lim nnx x x x x A n →∞+++=（1）证明：0ε∀>1ε< 记1α=此式可改写成：()()()221111 (2)1nnn n n n n n ααααα+++==++++≥+ 用到了二项展开式 得：0α<<≤=当1n >时至此要αε<ε< 即 241n ε>+故令241N ε=+，则n N >1αε=< 2） 证明：当A 为有限数时，1212......n nx A x A x A x x x A n n-+-++-+++-≤因为lim n x x A →∞=，故10,0N ε∀>∃> 使得，当n>N 时有2n x A ε-<从而，上式121 (2)n x A x A x A n N n n ε-+-++--≤+注意：这里112...N x A x A x A -+-++- 已为定数，因而20N >，当2n N >时，112 (2)2N x A x A x Aε-+-++-<于是，令{}12max ,N N N =，则n N >时12 (222)n x x x n N A n n εεεε++--<+<+=2.用Cauchy 准则证明极限： 例：设23sin1sin 2sin 3sin (2222)n n nx =++++试证{}n x 收敛， 证明：因为对0p ∀>有12111 (222)n p n n n n px x ++++-≤+++ 11111111111...12222212n p n n n+-+⎛⎫⎪⎛⎫+++≤=< ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪-⎝⎭0ε∀>，（只要1n ε<（即n ε>）），故令1N ε=，则n N >时，有n p n x x ε+-<，(){}0n p x ∀>收敛从而，结论得证。

阜阳师范学院信息工程学院u F uy n y a ng g S h f i fa a n X u X ue u e y ua a n n X i nx x i G o G on n g h c he n e ng g X u X ue u e y uan an 本科毕业论文题 目目: : 数学分析中求极限的几种常用方法数学分析中求极限的几种常用方法数学分析中求极限的几种常用方法学学 生生: : 方方 常常 学学 号：号：号： 201002010312 201002010312 学学 院：院：院： 阜阳师范学院信息工程学院阜阳师范学院信息工程学院阜阳师范学院信息工程学院专 业：业：业： 数学与应用数学数学与应用数学数学与应用数学 入学时间入学时间: 2010 : 2010 : 2010 年年 09 09 月月 13 13 日日 指导教师：指导教师： 王海坤王海坤王海坤 职称职称职称: : : 教授教授教授完成日期：完成日期：完成日期： 2014 2014 2014 年年 4 4 月月 20 20 日日诚信承诺书我谨在此承诺::本人所写的毕业论文《数学分析中求极限的几种我谨在此承诺常用方法》均系本人独立完成，凡涉及其他作者的观点和材料均作了注释。

如有不实，本人愿承担相应后果，接受学校的处理。

承诺人（签名）年月日目录摘要、关键字摘要、关键字 ...............................................................（...............................................................（11） 1 1 引言引言引言 .....................................................................（.....................................................................（.....................................................................（11） 2 2 极限的求法极限的求法极限的求法 ............................................................（............................................................（ (11)2.1 2.1 利用两个准则求极限..........................................（利用两个准则求极限..........................................（利用两个准则求极限..........................................（11） 2.2 2.2 利用导数的定义求极限.......................................（利用导数的定义求极限.......................................（利用导数的定义求极限.......................................（22） 2.3 2.3 利用两个重要极限公式求极限..............................（利用两个重要极限公式求极限..............................（利用两个重要极限公式求极限..............................（33） 2.4 2.4 利用函数的连续性求极限....................................（利用函数的连续性求极限....................................（利用函数的连续性求极限....................................（33） 2.5 2.5 利用等价无穷小量代换求极限..............................（利用等价无穷小量代换求极限..............................（利用等价无穷小量代换求极限..............................（44） 2.6 2.6 利用泰勒展开式求极限.......................................（利用泰勒展开式求极限.......................................（利用泰勒展开式求极限.......................................（44） 2.7 2.7 利用洛必达法则求极限.......................................（利用洛必达法则求极限.......................................（利用洛必达法则求极限.......................................（55） 2.8 2.8 利用定积分求极限利用定积分求极限利用定积分求极限 ..........................................（..........................................（..........................................（66） 3 3 结束语结束语结束语 ..................................................................（..................................................................（..................................................................（66） 参考文献参考文献 .....................................................................（ (77)数学分析中求极限的几种常用方法姓名：方常方常 学号：201002010312 指导教师：王海坤王海坤摘要：极限思想是许多科学领域的重要思想之一，在数学分析中的应用最为广泛。