三年高考(2018-2019)(理)真题分类：专题09-三角恒等变换与求值

三角恒等变换一．选择题（共10小题，满分50分，每小题5分）1．（2019·四川高三月考（文））已知sin cos 3αα+=，则sin 2α=（ ） A ．79-B ．29-C ．29D ．792．（2019·云南高三月考（理））已知51sin 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则5cos 23πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是（ ） A ．79-B ．13-C ．13D ．793．（2019·云南高三月考（文））在平面直角坐标系中，角α的终边在直线12y x =-上，则2cos sin 2αα-的值为（ ）A ．2425 B ．85C ．65 D ．45 4．（2019·全国高考真题（理））已知a ∈（0，π2），2sin2α=cos2α+1，则sinα=（ ）A ．15 B5．若532παπ<<等于（ ） A ．cos4αB ．cos4α-C ．sin4αD ．sin4α-6．（2019·山东高三期中）已知1sin 23α=，则2πcos 4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭( ) A ．16B ．13C ．12 D ．237．（2019·黑龙江高三期中（理））22cos 51sin 40cos 40︒-︒︒的值为（ ）A ．-1B ．-2C ．1D ．28．（2018·上海市七宝中学高三月考）“2sin cos 1x x =+”是“1tan 22x =”的（ ） A ．必要非充分条件 B ．充分非必要条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件9．（2019·江西高三期中（理））已知sin 3cos 36ππαα⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则tan2α=（ ） A ．43- B ．32-C ．43D ．3210．（2019·重庆高三（理））被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用，0.618就是黄金分割比512m -=的近似值，黄金分割比还可以表示成2sin18︒，则2242cos 271m m -=︒-（ ） A ．4 B ．51+C ．2D ．51-二．填空题（共7小题，单空每小题4分，两空每小题6分，共36分） 11．（2019·全国高考真题（文））函数3π()sin(2)3cos 2f x x x =+-的最小值为___________． 12．（2017·北京高一期中）函数2sin 223sin y x x =+的最小正周期T 为__________最大值为__________． 13．（2018·浙江高二月考）已知，则______；______．14．（2019·浙江高二期末）若2sin 3cos 6παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则tan α=________；cos2=α________. 15．（2019·江西高三期中（文））若223cos 4θπθ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则3sin 4πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭______．16．（2019·上海市向明中学高一期中）已知1cos 1sin 2θθ+=，则tan 2θ=______.17．（2019·浙江高一期末）已知02πα<<，且3sin 5α=，则5tan()4απ+=______，22sin sin 2cos cos 2αααα+=+______.三．解答题（共5小题，满分64分，18--20每小题12分，21,22每小题14分） 18．（2019·上海高三）已知函数()(1tan )sin 2f x x x =+⋅.（1）求()f x 的定义域；（2）求函数()()2F x f x =-在区间(0,)π内的零点.19．（2019·上海市复兴高级中学高一月考）已知()()1cos cos sin sin 3αββαββ+++=322παπ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，求值：（1）cos2α； （2）cot 42πα⎛⎫- ⎪⎝⎭.20．如图，以Ox 为始边作角α与(0)ββαπ<<<，它们的终边分别与单位圆相交于P ，Q 两点，已知点P 的坐标为34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭．（1）求sin 2cos 211tan ααα+++的值；（2）若cos cos sin sin 0αβαβ+=，求()sin αβ+的值．21．（2019·广东高三月考（文））已知向量(cos ,sin ),(cos ,3cos )m x x n x x ==，函数1()2f x m n =⋅-.（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）若3,()625f ππαα∈=（，），求cos2α的值；22．（2019·安徽高三月考（理））已知函数()()2sin cos 02f x x x x ωωωω=+>图象两条相邻的对称轴间的距离为π4. （1）求ω的值；（2）将函数()f x 的图象沿x 轴向左平移π8个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，求()2019πg 的值.简单的三角恒等变换一．选择题（共10小题，满分50分，每小题5分）1．（2019·四川高三月考（文））已知sin cos 3αα+=，则sin 2α=（ A ） A ．79-B ．29-C ．29D ．79【解析】因为sin cos 3αα+=，所以2227(sin cos )()12sin cos 399sin 2ααααα+=⇒+=-=⇒. 2．（2019·云南高三月考（理））已知51sin 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则5cos 23πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是（ D ） A ．79-B ．13-C ．13D ．79【解析】∵51sin sin 663ππαα⎛⎫⎛⎫+=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴252cos 2cos 22cos 1333πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭272sin 169πα⎛⎫=--+= ⎪⎝⎭，3．（2019·云南高三月考（文））在平面直角坐标系中，角α的终边在直线12y x =-上，则2cos sin 2αα-的值为（ B ）A ．2425B ．85C ．65D ．45【解析】∵在平面直角坐标系中，角α的终边在直线12y x =-上，∴1tan 2α=-，则2cos sin 2αα-=2222cos 2sin cos 12tan 8sin cos tan 15ααααααα--==++， 4．（2019·全国高考真题（理））已知a ∈（0，π2），2sin2α=cos2α+1，则sinα=（ B ）A ．15 B 【解析】2sin2cos21α=α+，24sin cos 2cos .0,,cos 02π⎛⎫∴α⋅α=αα∈∴α> ⎪⎝⎭．sin 0,2sin cos α>∴α=α，又22sin cos 1αα+=，2215sin 1,sin 5∴α=α=，又sin 0α>，sin 5α∴=，5．若532παπ<<等于（ C ） A ．cos4αB ．cos4α-C ．sin4αD ．sin4α-==又532παπ<<，所以53242παπ<<所以cos 02α<，所以上式===53844παπ<<，sin 04α>，所以上式sin 4α=.6．（2019·山东高三期中）已知1sin 23α=，则2πcos 4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭( D )A ．16B ．13C ．12D ．23【解析】2π1π1π1cos cos 21cos 2424222ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1π1111112cos 2sin 2==.222222323αα⎛⎫=-+=+⨯+ ⎪⎝⎭7．（2019·黑龙江高三期中（理））22cos 51sin 40cos 40︒-︒︒的值为（ D ）A ．-1B ．-2C ．1D ．2【解析】2251102104040404024040cos cos cos sin cos sin cos sin cos ︒-︒︒==︒︒︒︒︒︒21021028010cos cos sin cos ︒︒===︒︒．8．（2018·上海市七宝中学高三月考）“2sin cos 1x x =+”是“1tan 22x =”的（ A ） A ．必要非充分条件 B ．充分非必要条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件【解析】由1tan 22x =，得2sin2sin cos1sin 222tan 221cos cos 222x x xx xx x x cos ====+即2sin 1cos x x =+成立，即必要性成立，当x π=时，满足2sin cos 1x x =+但tan 2x无意义，即充分性不成立， 则“2sin cos 1x x =+”是“1tan22x =”的必要不充分条件， 9．（2019·江西高三期中（理））已知sin 3cos 36ππαα⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则tan2α=（ A ） A．- B． C．D【解析】由有sin coscos sin3(cos cossin sin )3366ππππαααα-=-+,故13sin sin 22αααα=-,合并同类型有2sin αα=, 显然cos 0α≠,所以tan 2α=-,故22tan tan 21tan 14ααα===---10．（2019·重庆高三（理））被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用，0.618就是黄金分割比12m =的近似值，黄金分割比还可以表示成2sin18︒=（ C ） A ．4B1C ．2D1【解析】由题意得m ＝2sin18°，∴4﹣m 2＝4﹣4sin 218°＝4（1﹣sin 218°）＝4cos 218°，4sin18cos182sin 36︒︒︒==．二．填空题（共7小题，单空每小题4分，两空每小题6分，共36分）11．（2019·全国高考真题（文））函数3π()sin(2)3cos 2f x x x =+-的最小值为___4-________． 【解析】23()sin(2)3cos cos23cos 2cos 3cos 12f x x x x x x x π=+-=--=--+23172(cos )48x =-++，1cos 1x -≤≤，∴当cos 1x =时，min ()4f x =-，12．（2017·北京高一期中）函数2sin 223sin y x x =+的最小正周期T 为___π___，最大值为______23+____．【解析】∵21cos 2sin 223sin sin 223sin 23cos 232xy x x x x x -=+=+⨯=-+ π2sin 233x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，∴函数2sin 223sin y x x =+的最小正周期T 为π，最大值为23+，13．（2018·浙江高二月考）已知，则______；______．【解析】已知，则．，14．（2019·浙江高二期末）若2sin 3cos 6παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则tan α=233；cos2=α___17-_____.【解析】2sin 3cos 2sin cos cos sin )3cos 666πππααααα⎛⎫+=∴+= ⎪⎝⎭，（，又2224sin cos 1,sin ,7ααα+=∴= 241cos 212sin 1277αα∴=-=-⨯=-15．（2019·江西高三期中（文））若223cos 4θπθ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则3sin 4πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭6． ()()222cos sin 2sin cos 32cos sin 2θθθθθθ-=+=-3sin cos 2θθ+=. 所以3sin 4πθ⎛⎫-=⎪⎝⎭)2236sin cos θθ+==.16．（2019·上海市向明中学高一期中）已知1cos 1sin 2θθ+=，则tan 2θ=__2____.【解析】21cos 2cos 11sin 22sin cos tan 222θθθθθθ+===，所以tan 22θ=. 17．（2019·浙江高一期末）已知02πα<<，且3sin 5α=，则5tan()4απ+=___7___，22sin sin 2cos cos 2αααα+=+___3323___. 【解析】∵α为锐角，且sin 35α=∴cos 45α=，tan 34α=， ∴tan（54πα+）＝tan （4πα+）=311473114tan tan αα++==--， ∴222293422233255516231233125sin sin sin sin cos cos cos cos αααααααα+⨯⨯++===+-⨯-.. 三．解答题（共5小题，满分64分，18--20每小题12分，21,22每小题14分） 18．（2019·上海高三）已知函数()(1tan )sin 2f x x x =+⋅.（1）求()f x 的定义域；（2）求函数()()2F x f x =-在区间(0,)π内的零点. 【解析】（1）由正切函数的性质可求f （x ）的定义域为：{|}2x x R x k k Z ππ∈≠+∈，，；（2）∵f （x ）＝（1sinx cosx +）•2sin x cos x ＝sin2x +2sin 2x ＝sin2x ﹣cos2x+1=（2x 4π-）+1， ∴F （x ）＝f （x ）﹣2=（2x 4π-）﹣1＝0， 解得：2x 4π-=2k π4π+，或2x 4π-=2k π34π+，k ∈Z，即：x ＝k π4π+，或x ＝k π2π+，k ∈Z，又x ∈（0，π），∴k ＝0时，x 4π=或x 2π=，又f （x ）的定义域为：{|}2x x R x k k Z ππ∈≠+∈，，故F （x ）在（0，π）内的零点为4x π=．19．（2019·上海市复兴高级中学高一月考）已知()()1cos cos sin sin 3αββαββ+++=322παπ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，求值：（1）cos2α；（2）cot 42πα⎛⎫- ⎪⎝⎭.【解析】（1）因为()()1cos cos sin sin 3αββαββ+++=， 所以()1cos 3αβα+-=，即1cos 3α=，所以27cos 22cos 19αα=-=-，（2）因为322παπ<<，1cos 3α=所以可得222sin 1cos 3αα=--=-， 所以cos 2cot sin 4ααα==-，所以2tan cot 24παα⎛⎫-==- ⎪⎝⎭得：22tan 242tan 241tan 42παπαπα⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭-==- ⎪⎛⎫⎝⎭-- ⎪⎝⎭， 22tan 8tan 204242παπα⎛⎫⎛⎫----= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以可得tan 22342πα⎛⎫-=-⎪⎝⎭，或tan 22342πα⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭因为322παπ<<，所以34422ππαπ-<-<- 故tan 042πα⎛⎫-> ⎪⎝⎭，所以tan 22342πα⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭， 所以1cot 32242tan 42παπα⎛⎫-==- ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭. 20．如图，以Ox 为始边作角α与(0)ββαπ<<<，它们的终边分别与单位圆相交于P ，Q 两点，已知点P 的坐标为34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭．（1）求sin 2cos 211tan ααα+++的值； （2）若cos cos sin sin 0αβαβ+=，求()sin αβ+的值．【解析】（1）由三角函数定义得3cos 5α=-，4sin 5α，∴原式2222sin cos 2cos 2cos (sin cos )3182cos 2sin sin cos 5251cos cos αααααααααααα++⎛⎫====⨯-= ⎪+⎝⎭+． （2）∵cos cos sin sin cos()0αβαβαβ+=-=，且0βαπ<<<，∴2παβ-=，2πβα=-，∴3sin sin cos 25πβαα⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，4cos cos sin 25πβαα⎛⎫=-== ⎪⎝⎭．∴44337sin()sin cos cos sin 555525αβαβαβ⎛⎫+=+=⨯+-⨯= ⎪⎝⎭．21．（2019·广东高三月考（文））已知向量(cos ,sin ),(cos ,3cos )m x x n x x ==，函数1()2f x m n =⋅-. （1）求函数()f x 的最小正周期；（2）若3,()625f ππαα∈=（，），求cos2α的值；【解析】（1）21()cos cos 2f x x x x =+-，1cos 212222x x +=+-12cos 22x x =+sin(2)6x π=+∴函数()f x 的最小正周期22T ππ==. （2）3()sin(2)65f παα=+=，,62ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，72,626ππαπ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭ 4cos(2)65πα+=-∴，cos2cos 266ππαα⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=cos(2)cos sin(2)sin 6666ππππαα+++431=552-⨯22．（2019·安徽高三月考（理））已知函数())2sin cos 0f x x x x ωωωω=-+>图象两条相邻的对称轴间的距离为π4. （1）求ω的值；（2）将函数()f x 的图象沿x 轴向左平移π8个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，求()2019πg 的值.【解析】（1）()2sin cos f x x x x ωωω=-+1sin 22x ω=-+1sin 222x x ωω=+πsin 23x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 又函数()f x 图象两条相邻的对称轴间的距离为π4，0>ω，所以π2π242ω⨯=，即2ω=. （2）由(1)可知，()πsin 43f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.将函数()f x 的图象沿x 轴向左平移π8个单位长度后，得到函数πsin[4()]sin(4)cos 483323y x x x ππππ⎛⎫=++=++=+ ⎪⎝⎭的图象， 再将所得图象上所有点的横坐标变为到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()πcos 23g x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，所以()π2019πcos 22019π3g ⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭πcos 3=12=.。

专题09 三角函数1．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】函数2sin ()cos x xf x x x +=+在[,]-ππ的图像大致为A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】由22sin()()sin ()()cos()()cos x x x xf x f x x x x x -+----===--+-+，得()f x 是奇函数，其图象关于原点对称，排除A ．又22π1π42π2()1,π2π()2f ++==>2π(π)01πf =>-+，排除B ，C ，故选D ． 【名师点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养，采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题．解答本题时，先判断函数的奇偶性，得()f x 是奇函数，排除A ，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案． 2．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】tan255°=A ．−2B ．−C ．2D ．【答案】D【解析】tan 255tan(18075)tan 75tan(4530)︒=︒+︒=︒=︒+︒=tan 45tan 301tan 45tan 30︒+︒-︒︒12+==+故选D. 【名师点睛】本题主要考查三角函数的诱导公式、两角和与差的三角函数、特殊角的三角函数值、运算求解能力．首先应用诱导公式，将问题转化成锐角三角函数的计算，进一步应用两角和的正切公式计算求解．题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．3．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】若x 1=4π，x 2=43π是函数f (x )=sin x ω(ω>0)两个相邻的极值点，则ω= A ．2 B ．32C ．1D ．12【答案】A【解析】由题意知，()sin f x x ω=的周期232()44T ωπππ==-=π，解得2ω=．故选A ． 【名师点睛】本题考查三角函数的极值和周期，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．利用周期公式，通过方程思想解题．4．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】已知a ∈（0，π2），2sin2α=cos2α+1，则sin α=A ．15BCD 【答案】B【解析】2sin 2cos21αα=+Q ，24sin cos 2cos .0,,cos 02αααααπ⎛⎫∴⋅=∈∴> ⎪⎝⎭Q ，sin 0,α>2sin cos αα∴=，又22sin cos 1αα+=，2215sin 1,sin 5αα∴==，又sin 0α>，sin 5α∴=，故选B ．【名师点睛】本题是对三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦的正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负很关键，切记不能凭感觉．解答本题时，先利用二倍角公式得到正余弦关系，再利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案．5．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】函数()2sin sin2f x x x =-在[0，2π]的零点个数为 A ．2 B ．3 C ．4D ．5【答案】B【解析】由()2sin sin 22sin 2sin cos 2sin (1cos )0f x x x x x x x x =-=-=-=， 得sin 0x =或cos 1x =，[]0,2πx ∈Q ，0π2πx ∴=、或．()f x ∴在[]0,2π的零点个数是3，故选B ．【名师点睛】本题考查在一定范围内的函数的零点个数，渗透了直观想象和数学运算素养．令()0f x =，得sin 0x =或cos 1x =，再根据x 的取值范围可求得零点.6．【2019年高考北京卷文数】设函数f （x ）=cos x +b sin x （b 为常数），则“b =0”是“f （x ）为偶函数”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】0b =时，()cos sin cos f x x b x x =+=，()f x 为偶函数；()f x 为偶函数时，()=()f x f x -对任意的x 恒成立，即()cos()sin()cos sin f x x b x x b x -=-+-=-，cos sin cos sin x b x x b x +=-，得sin 0b x =对任意的x 恒成立，从而0b =.从而“0b =”是“()f x 为偶函数”的充分必要条件，故选C.【名师点睛】本题较易，注重基础知识、逻辑推理能力的考查.根据定义域为R 的函数()f x 为偶函数等价于()=()f x f x -恒成立进行判断.7．【2019年高考天津卷文数】已知函数()sin()(0,0,||π)f x A x A ωϕωϕ=+>><是奇函数，且()f x 的最小正周期为π，将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()g x .若π4g ⎛⎫= ⎪⎝⎭3π8f ⎛⎫= ⎪⎝⎭A ．−2B ．C D ．2【答案】C【解析】∵()f x 为奇函数，∴(0)sin 0,=π,,0,f A k k k ϕϕ==∴∈∴=Z 0ϕ=； ∵()f x 的最小正周期为π，2ππ,T ∴==ω∴2ω=，∴1()sin sin ,2g x A x A x ==ω又π()4g =2A =，∴()2sin 2f x x =，3π()8f = 故选C.【名师点睛】本题主要考查函数的性质和函数的求值问题，解题关键是求出函数()g x ，结合函数性质逐步得出,,A ωϕ的值即可.8．【2018年高考全国Ⅲ卷文数】函数2tan ()1tan xf x x=+的最小正周期为A ．4πB ．2πC ．πD ．2π【答案】C【解析】22sin tan 1cos ()sin cos sin 2sin 1tan 21()cos xx x f x x x x x x x ====++， 故所求的最小正周期为2ππ2T ==，故选C. 【名师点睛】函数sin()(0,0)y A x B A ωϕω=++>>的性质：(1)max min =+y B A y B A =-，. (2)最小正周期2π.T ω=(3)由ππ()2x k k ωϕ+=+∈Z 求对称轴. (4)由ππ2π2π()22k x k k ωϕ-+≤+≤+∈Z 求增区间;由π3π2π2π()22k x k k ωϕ+≤+≤+∈Z 求减区间.9．【2018年高考全国Ⅲ卷文数】已知函数()222cos sin 2f x x x =-+，则A ．()f x 的最小正周期为π，最大值为3B ．()f x 的最小正周期为π，最大值为4C ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为3D ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为4 【答案】B【解析】根据题意有()135cos 21(1cos 2)2cos 2222f x x x x =+--+=+，所以函数()f x 的最小正周期为2ππ2T ==，且最大值为()max 35422f x =+=，故选B.【名师点睛】该题考查的是有关化简三角函数解析式，并且通过余弦型函数的相关性质得到函数的性质，在解题的过程中，要注意应用余弦倍角公式将式子降次升角，得到最简结果. 10．【2018年高考天津卷文数】将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数A ．在区间[,]44ππ-上单调递增 B ．在区间[,0]4π-上单调递减 C ．在区间[,]42ππ上单调递增D ．在区间[,]2ππ上单调递减【答案】A【解析】由函数图象平移变换的性质可知：将函数πsin 25y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移π10个单位长度之后的解析式为ππsin 2sin2105y x x ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 则函数的单调递增区间满足()ππ2π22π22k x k k -≤≤+∈Z ，即()ππππ44k x k k -≤≤+∈Z ，令0k =可得函数的一个单调递增区间为[,]44ππ-，选项A 正确，B 错误；函数的单调递减区间满足：()π3π2π22π22k x k k +≤≤+∈Z ，即()π3πππ44k x k k +≤≤+∈Z ，令0k =可得函数的一个单调递减区间为π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦，选项C ，D 错误. 故选A.【名师点睛】本题主要考查三角函数图象的平移变换，三角函数的单调区间等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11．【2018年高考全国Ⅲ卷文数】若1sin 3α=，则cos2α= A ．89 B ．79C ．79-D ．89-【答案】B【解析】2217cos 212sin 12()39αα=-=-⨯=. 故选B.【名师点睛】本题主要考查三角函数的求值，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算. 12．【2018年高考全国Ⅲ卷文数】已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点()1A a ，，()2B b ，，且2cos 23α=，则a b -=A ．15 B．5C．5D ．1【答案】B【解析】根据条件，可知,,O A B 三点共线，从而得到2b a =，因为222cos22cos 1213⎛⎫=-=⋅-=αα，解得215a =，即a =，所以2a b a a -=-=，故选B. 【名师点睛】本题主要考查任意角的三角函数和三角恒等变換，考查考生分析问题、解决问题的能力和运算求解能力，考查的数学核心素养是数学运算.13．【2018年高考全国Ⅲ卷文数】若()cos sin f x x x =-在[0,]a 是减函数，则a 的最大值是A ．π4 B ．π2C ．3π4D ．π【答案】C【解析】π()cos sin )4f x x x x =-=+.当x ∈[0,]a 时，π4x +∈ππ[,]44a +，所以结合题意可知，ππ4a +≤，即3π4a ≤，故所求a 的最大值是3π4· 故选C.【名师点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，考查考生的数形结合能力以及运算求解能力，考查的数学核心素养是直观想象、数学运算.灵活运用“局部整体化”思想是处理好形如y =A sin(ωx +φ)(ω>0)，y =A cos(ωx +φ)(ω>0)，y =A tan(ωx +φ)(ω>0)的三角函数间是的关键.具体间题中，首先将“ωx +φ”看作一个整体，然后活用相关三角函的图象与性质求解. 14．【2018年高考浙江卷】函数y =2x sin2x 的图象可能是A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】令()2sin2xf x x =，因为()()(),2sin22sin2xxx f x x x f x -∈-=-=-=-R ，所以()2sin2xf x x =为奇函数，排除选项A ，B ；因为π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x <，所以排除选项C ，故选D.【名师点睛】解答本题时，先研究函数的奇偶性，再研究函数在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上的符号，即可作出判断.有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置； （2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势； （3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性； （4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．15．【2018年高考北京卷文数】在平面直角坐标系中，»»»¼,,,AB CDEF GH 是圆221x y +=上的四段弧（如图），点P 在其中一段上，角α以O x 为始边，OP 为终边，若tan cos sin ααα<<，则P 所在的圆弧是A ．»AB B ．»CDC ．»EFD ．¼GH【答案】C【解析】由下图可得：有向线段OM 为余弦线，有向线段MP 为正弦线，有向线段AT 为正切线.对于A 选项：当点P 在»AB 上时，cos ,sin x y αα==，cos sin αα∴>，故A 选项错误；对于B 选项：当点P 在»CD上时，cos ,sin x y αα==，tan yxα=，tan sin cos ααα∴>>，故B 选项错误；对于C 选项：当点P 在»EF上时，cos ,sin x y αα==，tan yxα=，sin cos tan ααα∴>>，故C 选项正确；对于D 选项：当点P 在¼GH上且¼GH 在第三象限时，tan 0,sin 0,cos 0ααα><<，故D 选项错误. 综上，故选C.【名师点睛】此题主要考查三角函数的定义，解题的关键是能够利用数形结合思想，作出图形，找到sin ,cos ,tan ααα所对应的三角函数线进行比较.逐个分析A 、B 、C 、D 四个选项，利用三角函数的三角函数线可得正确结论.16．【2017年高考全国Ⅰ卷文数】函数sin21cos xy x=-的部分图像大致为A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由题意知，函数sin 21cos xy x=-为奇函数，故排除B ；当πx =时，0y =，故排除D ； 当1x =时，sin 201cos 2y =>-，故排除A ．故选C ．【名师点睛】函数图像问题首先关注定义域，从图像的对称性，分析函数的奇偶性，根据函数的奇偶性排除部分选择项，从图像的最高点、最低点，分析函数的最值、极值，利用特值检验，较难的需要研究单调性、极值等，从图像的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等． 17．【2017年高考全国Ⅲ卷文数】函数π()sin(2)3f x x =+的最小正周期为 A ．4π B ．2π C ．π D ．π2【答案】C 【解析】由题意2ππ2T ==，故选C. 【名师点睛】函数sin()(0,0)y A x B A =++>>ωϕω的性质： (1)max min =+y B A y B A =-，. (2)最小正周期2π.T =ω(3)由ππ()2x k k ωϕ+=+∈Z 求对称轴. (4)由ππ2π2π()22k x k k ωϕ-+≤+≤+∈Z 求增区间;由π3π2π2π()22k x k k ωϕ+≤+≤+∈Z 求减区间;18．【2017年高考全国Ⅲ卷文数】已知4sin cos 3αα-=，则sin 2α= A ．79-B ．29-C ．29D ．79【答案】A【解析】()2sin cos 17sin 22sin cos 19ααααα--===--.所以选A.【名师点睛】应用三角公式解决问题的三个变换角度：（1）变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.（2）变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等. （3）变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用或变用公式”、“通分或约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等. 19．【2017年高考全国Ⅲ卷文数】函数1ππ()sin()cos()536f x x x =++-的最大值为 A ．65 B ．1 C ．35D ．15【答案】A【解析】由诱导公式可得ππππcos cos sin 6233x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 则()1ππ6πsin sin sin 53353f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，函数()f x 的最大值为65. 所以选A.【名师点睛】三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为sin()y A x B ωϕ=++的形式，再借助三角函数的图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．20．【2017年高考全国Ⅲ文数】函数2sin 1xy x x=++的部分图像大致为【答案】D【解析】当1x =时，()111sin12sin12f =++=+>，故排除A ，C ； 当x →+∞时，1y x →+，故排除B ，满足条件的只有D ， 故选D.【名师点睛】（1）运用函数性质研究函数图像时，先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义及其应用方向.（2）在运用函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时，要注意用好其与条件的相互关系，结合特征进行等价转化进行研究.如奇偶性可实现自变量正负转化，周期可实现自变量大小转化，单调性可实现去f “”，即将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系.21．【2017年高考天津卷文数】设函数()2sin(),f x x x ωϕ=+∈R ，其中0,||πωϕ><．若5π11π()2,()0,88f f ==且()f x 的最小正周期大于2π，则A ．2π,312ωϕ== B ．211π,312ωϕ==-C ．111π,324ωϕ==-D ．17π,324ωϕ==【答案】A【解析】由题意得125282118k k ωϕωϕππ⎧+=π+⎪⎪⎨π⎪+=π⎪⎩，其中12,k k ∈Z ，所以2142(2)33k k ω=--，又22T ωπ=>π，所以01ω<<，所以23ω=，11212k ϕ=π+π， 由||πϕ<得12ϕπ=，故选A ． 【名师点睛】关于sin()y A x ωϕ=+的问题有以下两种题型：①提供函数图象求解析式或参数的取值范围，一般先根据图象的最高点或最低点确定A ，再根据最小正周期求ω，最后利用最高点或最低点的坐标满足解析式，求出满足条件的ϕ的值；②题目用文字叙述函数图象的特点，如对称轴方程、曲线经过的点的坐标、最值等，根据题意自己画出大致图象，然后寻求待定的参变量，题型很活，一般是求ω或ϕ的值、函数最值、取值范围等． 22．【2017年高考山东卷文数】已知3cos 4x =，则cos2x = A ．14- B ．14C ．18-D ．18【答案】D【解析】由3cos 4x =得2231cos22cos 12148x x ⎛⎫=-=⨯-= ⎪⎝⎭，故选D. 【名师点睛】（1）三角函数式的化简与求值要遵循“三看”原则，一看角，二看名，三看式子结构与特征． （2）三角函数式化简与求值要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点． 23．【2017年高考山东卷文数】函数2cos 2y x x =+的最小正周期为A ．π2B ．2π3C ．πD ．2π【答案】C【解析】因为π2cos 22sin 23y x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，所以其最小正周期2ππ2T ==，故选C. 【名师点睛】求三角函数周期的方法： ①利用周期函数的定义．②利用公式：y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|. ③对于形如sin cos y a x b x ωω=+的函数，一般先把其化为()y x ωϕ=+的形式再利用公式求周期.24．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】函数3π()sin(2)3cos 2f x x x =+-的最小值为___________． 【答案】4-【解析】23π()sin(2)3cos cos 23cos 2cos 3cos 12f x x x x x x x =+-=--=--+ 23172(cos )48x =-++，1cos 1x -≤≤Q ，∴当cos 1x =时，min ()4f x =-，故函数()f x 的最小值为4-．【名师点睛】本题首先应用诱导公式，转化得到二倍角的余弦，进一步应用二倍角的余弦公式，得到关于cos x 的二次函数，从而得解.注意解答本题的过程中，部分考生易忽视1cos 1x -≤≤的限制，而简单应用二次函数的性质，出现运算错误．25．【2019年高考江苏卷】已知tan 2π3tan 4αα=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则πsin 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是 ▲ .【答案】10【解析】由()tan 1tan tan tan 2tan 1πtan 13tan 1tan 4αααααααα-===-++⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，得23tan 5tan 20αα--=， 解得tan 2α=，或1tan 3α=-. πππsin 2sin 2cos cos 2sin 444ααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭()22222sin cos cos sin sin 2cos 2=22sin cos αααααααα⎛⎫+-=+ ⎪+⎝⎭222tan 1tan =2tan 1ααα⎫+-⎪+⎝⎭， 当tan 2α=时，上式22221221⎛⎫⨯+- ⎪+⎝⎭ 当1tan 3α=-时，上式=22112()1()33[]=1210()13⨯-+--⨯-+综上，πsin 2410α⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 【名师点睛】本题考查三角函数的化简求值，渗透了逻辑推理和数学运算素养.采取转化法，利用分类讨论和转化与化归思想解题.由题意首先求得tan α的值，然后利用两角和的正弦公式和二倍角公式将原问题转化为齐次式求值的问题，最后切化弦求得三角函数式的值即可. 26．【2018年高考全国Ⅲ卷文数】已知5π1tan()45-=α，则tan =α__________． 【答案】32【解析】5πtan tan5πtan 114tan 5π41tan 51tan tan 4ααααα--⎛⎫-=== ⎪+⎝⎭+⋅，解方程得3tan 2=α. 故答案为32.【名师点睛】本题主要考查三角恒等变换，考查考生的运算求解能力，考查的数学核心素养是数学运算.解答本题时，可直接利用正切函数的差角公式求解；也可灵活利用加减变形技巧加以求解. (1)有意识地考虑“角”与“角”之间的“加减”联系，常见的有2()()=++-ααβαβ，2+=αβ()++αβα，()=--βααβ等;(2)处理有关三角函数问题时，有时需将表示“角”的代数式看作一个整体，然后通过换元，进一步分析、解决问题.27．【2018年高考江苏卷】已知函数()ππsin 2()22y x =+-<<ϕϕ的图象关于直线π3x =对称，则ϕ的值是________．【答案】π6-【解析】由题意可得2sin π13⎛⎫+=± ⎪⎝⎭ϕ，所以2πππππ()326k k k +=+=-+∈Z ，ϕϕ，因为ππ22-<<ϕ，所以π0,.6k ==-ϕ 【名师点睛】由对称轴得2πππππ()326k k k +=+=-+∈Z ，ϕϕ，再根据限制范围求结果.函数()sin y A x B =++ωϕ（A >0，ω>0）的性质：(1)max min ,y A B y A B =+=-+； (2)最小正周期2πT =ω；(3)由()ππ2x k k +=+∈Z ωϕ求对称轴； (4)由()ππ2π2π22k x k k -+≤+≤+∈Z ωϕ求增区间;由()π3π2π2π22k x k k +≤+≤+∈Z ωϕ求减区间.28．【2017年高考全国Ⅲ卷文数】函数()2cos sin f x x x =+的最大值为 .【解析】()f x ≤=【名师点睛】通过配角公式把三角函数化为sin()y A x B ωϕ=++的形式再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．一般可利用|sin cos |a x b x +≤求最值. 29．【2017年高考全国Ⅲ卷文数】已知π(0)2∈，α，tan α=2，则πcos ()4α-= .【解析】由tan 2α=得sin 2cos αα=， 又22sin cos 1αα+=，所以21cos 5α=，因为π(0,)2α∈，所以cos αα==，因为πππcos()cos cossin sin 444ααα-=+，所以πcos()4α-==【名师点睛】三角函数求值的三种类型：（1）给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数． （2）给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异． ①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用； ②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的．（3）给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角． 30．【2017年高考北京卷文数】在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若sin α=13，则sin β=_________． 【答案】13【解析】因为角α与角β的终边关于y 轴对称，所以π2π,k k αβ+=+∈Z ，所以()1sin sin π2πsin 3k βαα=+-==.【名师点睛】本题考查了角的对称关系，以及诱导公式，常用的一些对称关系包含： 若α与β的终边关于y 轴对称，则π2π,k k αβ+=+∈Z ； 若α与β的终边关于x 轴对称，则2π,k k αβ+=∈Z ； 若α与β的终边关于原点对称，则π2π,k k αβ-=+∈Z . 31．【2017年高考江苏卷】若π1tan(),46-=α则tan =α ▲ ． 【答案】75【解析】11tan()tan7644tan tan[()]14451tan()tan 1446ααααππ+-+ππ=-+===ππ---． 故答案为75．【名师点睛】三角函数求值的三种类型：（1）给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数． （2）给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异．一般有如下两种思路：①适当变换已知式，进而求得待求式的值；②变换待求式，便于将已知式的值代入，从而达到解题的目的． （3）给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，进而确定角．32．【2019年高考浙江卷】设函数()sin ,f x x x =∈R .（1）已知[0,2),θ∈π函数()f x θ+是偶函数，求θ的值； （2）求函数22[()][()]124y f x f x ππ=+++的值域． 【答案】（1）π2θ=或3π2；（2）[1-+． 【解析】（1）因为()sin()f x x θθ+=+是偶函数，所以，对任意实数x 都有sin()sin()x x θθ+=-+， 即sin cos cos sin sin cos cos sin x x x x θθθθ+=-+， 故2sin cos 0x θ=， 所以cos 0θ=． 又[0,2π)θ∈，因此π2θ=或3π2． （2）2222ππππsin sin 124124y fx f x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ππ1cos 21cos 2136212sin 22222x x x x ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎫⎝⎭⎝⎭=+=--⎪⎪⎝⎭π123x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．因此，函数的值域是[1+． 【名师点睛】本题主要考查三角函数及其恒等变换等基础知识，同时考查运算求解能力. 33．【2018年高考北京卷文数】已知函数2()sin cos f x x x x =+.（1）求()f x 的最小正周期；（2）若()f x 在区间[,]3m π-上的最大值为32，求m 的最小值. 【答案】（1）π；（2）π3.【解析】（1）1cos 211π1()22cos 2sin(2)2222262x f x x x x x -=+=-+=-+，所以()f x 的最小正周期为2ππ2T ==. （2）由（1）知π1()sin(2)62f x x =-+.因为π[,]3x m ∈-，所以π5ππ2[,2]666x m -∈--. 要使得()f x 在π[,]3m -上的最大值为32，即πsin(2)6x -在π[,]3m -上的最大值为1.所以ππ262m -≥，即π3m ≥.所以m 的最小值为π3.【名师点睛】本题主要考查二倍角公式、辅助角公式、正弦函数的性质，考查考生的化归与转化能力、运算求解能力，考查的数学核心素养是逻辑推理、数学运算.（1）利用二倍角公式、辅助角公式化简函数，即可求出函数()f x 的最小正周期； （2）利用正弦函数的性质，求出m 的范围，即可求出m 的最小值.34．【2018年高考浙江卷】已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P（3455-，-）． （1）求sin （α+π）的值； （2）若角β满足sin （α+β）=513，求cos β的值． 【答案】（1）45；（2）56cos 65β=-或16cos 65β=-. 【解析】（1）由角α的终边过点34(,)55P --得4sin 5α=-，所以4sin(π)sin 5αα+=-=.（2）由角α的终边过点34(,)55P --得3cos 5α=-，由5sin()13αβ+=得12cos()13αβ+=±. 由()βαβα=+-得cos cos()cos sin()sin βαβααβα=+++， 所以56cos 65β=-或16cos 65β=-. 【名师点睛】本题主要考查三角函数的定义、诱导公式、两角差的余弦公式，考查考生分析问题、解决问题的能力，运算求解能力，考查的数学核心素养是数学运算.求解三角函数的求值问题时，需综合应用三角函数的定义、诱导公式及三角恒等变换. （1）首先利用三角函数的定义求得sin α，然后利用诱导公式，计算sin （α+π）的值;（2）根据sin （α+β）的值，结合同角三角函数的基本关系，计算cos()+αβ的值，要注意该值的正负，然后根据()βαβα=+-，利用两角差的余弦公式，通过分类讨论，求得cos β的值.35．【2018年高考江苏卷】已知,αβ为锐角，4tan 3=α，cos()5+=-αβ． （1）求cos2α的值； （2）求tan()-αβ的值． 【答案】（1）725-；（2）211-. 【解析】本小题主要考查同角三角函数关系、两角和（差）及二倍角的三角函数，考查运算求解能力．满分14分．（1）因为4tan 3=α，sin tan cos =ααα，所以4sin cos 3=αα． 因为22sin cos 1+=αα，所以29cos 25=α，因此，27cos 22cos 125=-=-αα．（2）因为,αβ为锐角，所以(0,)+∈παβ．又因为cos()5+=-αβ，所以sin()5+==αβ，因此tan()2+=-αβ． 因为4tan 3=α，所以22tan 24tan 21tan 7==--ααα，因此，tan 2tan()2tan()tan[2()]1tan 2tan()11-+-=-+==-++ααβαβααβααβ．【名师点睛】解答本题时，（1）利用同角三角函数的基本关系和二倍角的余弦公式求解；（2）利用二倍角的正切公式、同角三角函数的基本关系以及两角差的正切公式求解. 三角函数求值的三种类型：（1）给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数． （2）给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异．一般有如下两种思路：①适当变换已知式，进而求得待求式的值；②变换待求式，便于将已知式的值代入，从而达到解题的目的． （3）给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，进而确定角．36．【2017年高考北京卷文数】已知函数π())2sin cos 3f x x x x =--.（1）求f (x )的最小正周期； （2）求证：当ππ[,]44x ∈-时，()12f x ≥-． 【答案】（1）π；（2）见解析.【解析】（1）31π()2sin 2sin 2sin 2cos 2sin(2)22223f x x x x x x x =+-=+=+. 所以()f x 的最小正周期2ππ2T ==. （2）因为ππ44x -≤≤， 所以ππ5π2636x -≤+≤. 所以ππ1sin(2)sin()362x +≥-=-.所以当ππ[,]44x ∈-时，1()2f x ≥-.【名师点睛】本题考查三角函数式的恒等变形及三角函数的图象与性质，属于基础题，要求准确应用两角差的余弦公式和辅助角公式进行变形，化为标准的()sin y A x ωϕ=+的形式，借助正弦函数的性质去求函数的周期、最值等，但要注意函数的定义域，求最值时要注意自变量的取值. （1）首先根据两角差的余弦公式化简，再根据辅助角公式化简为()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，最后根据公式2πT ω=求周期；（2）先求π23x +的范围再求函数的最小值即可.37．【2017年高考浙江卷】已知函数22sin cos cos ()()x x x f x x x =--∈R ． （1）求2()3f π的值． （2）求()f x 的最小正周期及单调递增区间．【答案】（1）2；（2）()f x 的最小正周期是π；单调递增区间是2[,],63k k k ππ+π+π∈Z ．【解析】（1）由2sin32π=，21cos 32π=-，22211()(()()32222f π=----． 得2()23f π=． （2）由22cos 2cos sin x x x =-与sin 22sin cos x x x =得()cos 22f x x x=-2sin(2)6x π=-+． 所以()f x 的最小正周期是π． 由正弦函数的性质得3222,262k x k k πππ+π≤+≤+π∈Z ， 解得2,63k x k k ππ+π≤≤+π∈Z ， 所以，()f x 的单调递增区间是2[,],63k k k ππ+π+π∈Z ． 【名师点睛】本题主要考查了三角函数的化简，以及函数的性质，是高考中的常考知识点，属于基础题，强调基础的重要性；三角函数解答题中，涉及到周期，单调性，单调区间以及最值等考点时，都属于考查三角函数的性质，首先应把它化为三角函数的基本形式即，然后利用三角函数的性质求解．38．【2017年高考江苏卷】已知向量(cos ,sin ),(3,[0,π].x x x ==∈a b（1）若a ∥b ，求x 的值；（2）记()f x =⋅a b ，求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值．【答案】（1）5π6x =；（2）0x =时，()f x 取到最大值3；5π6x =时，()f x取到最小值-． 【解析】（1）因为co ()s ,sin x x =a，(3,=b ，a ∥b，所以3sin x x =． 若cos 0x =，则sin 0x =，与22sin cos 1x x +=矛盾，故cos 0x ≠．于是tan x = 又[]0πx ∈，，所以5π6x =． （2）π(cos ,sin )(3,3cos ())6f x x x x x x =⋅=⋅=-=+a b ． ()ϕω+=x A y sin ()ϕω+=x A y sin u A y sin =因为[]0πx ∈，，所以ππ7π[,]666x +∈，从而π1cos()6x -≤+≤ 于是，当ππ66x +=，即0x =时，()f x 取到最大值3； 当π6x +=π，即5π6x =时，()f x取到最小值-． 【名师点睛】解答本题时，（1）先由向量平行的坐标表示得3sin x x =，再根据同角三角函数的基本关系可得5π6x =；（2）先由向量数量积的坐标表示并结合配角公式得π(6))f x x =+，再根据x 的取值范围及余弦函数的性质可求得最值．熟记下列结论：（1）向量平行：1221x y x y ⇒=∥a b ，,,λλ≠⇒∃∈=0R ∥a b b a b ，BA AC =u u u r u u u r λ111OA OB OC ⇔=+++u u u r u u u r u u u r λλλ；（2）向量垂直：121200x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=a b a b ；（3）向量加减乘：±=a b 221212(,),||,||||cos ,x x y y ±±=⋅=⋅<>a a a b a b a b ．。

三角函数恒等变形的基本策略。

2 （1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos θ+sin （2）项的分拆与角的配凑。

如分拆项：sin 2x+2cos 2x=(sin 2x+2cos 2x=(sin2θ=tanx ·cotx=tan45°等。

2x+cos 2x)+cos 2x=1+cos 2x ；配凑角：α=（α+β）－β，β=－等。

22（3）降次与升次。

（4）化弦（切）法。

（4）引入辅助角。

asin θ+bcos θ= 2b2asin(θ+)，这里辅助角所在象限由a 、b 的符号确b定，角的值由tan=确定。

a1．已知tanx=2，求sinx ，cosx 的值． sinx解：因为22x ＋cos 2x=1，tanx ，又sincosx sinx2cosx 联立得，sincos1 2x 2x2525sinxsinx55解这个方程组得,.55cosxcosx552．求t an( tan( 120 690 ) ) c os(210 sin(150 ) sin(480 )cos(330 ) )的值． 解：原式tan(120180)cos(18030)sin(360120)tan(720 o 30 )s in( 150 ) c os(360 30 )tan60 ( tan30( c os30)( sin150 sin120 )cos30) 33.sinxcosx 3．若2, sinxcosx，求sinxcosx 的值．sinxcosx解：法一：因为2,sinxcosx 所以sinx －cosx=2(sinx ＋cosx)，得到sinx=－3cosx ，又sin 2x ＋cos 2x=1，联立方程组，解得sinx 3 10 10 sin ，x3 10 10 ，cosx10 10 cos x 1010所以sinxcosx310sinxcosx法二：因为2,sinxcosx所以sinx－cosx=2(sinx＋cosx)，所以(sinx－cosx)2=4(sinx＋cosx)2，所以1－2sinxcosx=4＋8sinxcosx，所以有sinxcosx3104．求证：tan2x·sin2x=tan2x－sin2x．证明：法一：右边＝tan2x－sin2x=tan2x－(tan2x·cos2x)=tan2x(1－cos2x)=tan2x·sin2x，问题得证．法二：左边=tan2x·sin2x=tan2x(1－cos2x)=tan2x－tan2x·cos2x=tan2x－sin2x，问题得证．xπ5．求函数y2sin()在区间[0，2]上的值域．26xx7πππ解：因为0≤x≤2π，所以,0π,26266 由正弦函数的图象，x1π得到sin()[,1],262所以y∈[－1，2]．6．求下列函数的值域．(1)y＝sin2x－cosx+2；(2)y＝2sinxcosx－(sinx＋cosx)．解：(1)y=sin2x－cosx＋2＝1－cos2x－cosx＋2=－(cos2x＋cosx)＋3，1131132tt2t2令t=cosx，则,t[1,1],y(t)3()()242413利用二次函数的图象得到].y[1,4π(2)y＝2sinxcosx－(sinx＋cosx)=(sinx＋cosx)2－1－(sinx＋cosx)，令t=sinx＋cosx2，)sin(x，则452tt[2,2]则，yt1,利用二次函数的图象得到y[,12].47．若函数y=Asin(ωx+φ)(ω＞0，φ＞0)的图象的一个最高点为(2,2)，它到其相邻的最低点之间的图象与x轴交于(6，0)，求这个函数的一个解析式．解：由最高点为(2,2)，得到A2，最高点和最低点间隔是半个周期，从而与x轴交点的间隔是14T 个周期，这样求得44 ，T=16，所以π8ππππ又由22)，得到可以取.y2sin(x).2sin(8484 8．已知函数f(x)=cos4x－2sinxcosx－sin4x．π(Ⅰ)求f(x)的最小正周期；(Ⅱ)若x[0,],求f(x)的最大值、最小值．2数y13 s incosxx的值域．解：(Ⅰ)因为f(x)=cos4x－2sinxcosx－sin4x＝(cos2x－sin2x)(cos2x＋sin2x)－sin2xπ2xxxxxxx2(cossin)sin2cos2sin22sin(2)2sin(24 π) 4所以最小正周期为π．ππ3πππ(Ⅱ)若x[0,]，则(2x)[,]，所以当x=0时，f(x)取最大值为2sin()1;当244443πx时，8f(x)取最小值为2.1．已知tan2，求（1）c oscos s insin；（2）2sin.cos2cos2sin的值.sin1cossin1tan12cos解：（1）322sincossin1tan121cos；(2)2sinsincos22cos2sinsincos222sincos2cos2sinsin2coscos2sin21cos22 2242132.说明：利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到），进行弦、切互化，就会使解题过程简化。

高三数学三角函数三角恒等变换解三角形试题答案及解析1.已知函数的图象上关于轴对称的点至少有3对，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】原函数在轴左侧是一段正弦型函数图象，在轴右侧是一条对数函数的图象，要使得图象上关于轴对称的点至少有对，可将左侧的图象对称到轴右侧，即，应该与原来轴右侧的图象至少有个公共点如图，不能满足条件，只有此时，只需在时，的纵坐标大于，即，得．【考点】分段函数，函数图象，正弦型函数，对数函数2.若，则函数的最大值是___________．【答案】【解析】由题意因为，所以，所以函数的最大值是．【考点】求最大值．3.已知，，则下列不等式一定成立的是A．B．C．D．【答案】D【解析】,【考点】三角函数的性质4.若，且为第二象限角，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由得又为第二象限角，所以，选B．【考点】两角差余弦公式5.设函数对任意的，都有，若函数，则的值是（）A．1B．-5或3C．-2D．【答案】C【解析】根据题意有是函数图像的对称轴，从而有，所以有，故选C．【考点】三角函数的性质．6.设的最小值为，则．【答案】【解析】，根据题意，结合二次函数在某个区间上的最值问题，对参数进行讨论，当时，其最小值为，所以不合题意，当时，其最小值为，解得，当时，其最小值为，无解，所以．【考点】倍角公式，二次函数在给定区间上的最值问题．7.设函数对任意的，都有，若函数，则的值是（）A．1B．-5或3C．D．-2【答案】D【解析】根据题意有是函数图像的对称轴，从而有，所以有，故选D．【考点】三角函数的性质．8.下列函数中，以为最小正周期的偶函数是（）A．y=sin2x+cos2xB．y=sin2xcos2xC．y=cos（4x+）D．y=sin22x﹣cos22x【答案】D【解析】因为A项为非奇非偶函数，B项是奇函数，C项是奇函数，只有D项是符合题意的，故选D．【考点】诱导公式，倍角公式，三角函数的奇偶性和周期．9.函数的最大值为．【答案】【解析】解析式表示过的直线的斜率，由几何意义，即过定点（4，3）与单位圆相切时的切线斜率为最值．所以设切线得斜率为k，则直线方程为，即 ,【考点】三角函数最值【方法点睛】本题主要考查三角函数最值问题及转化的思想，解决问题的根据是根据所给函数式子转化为直线与圆的位置关系问题，即将所给式子看做定点与单位圆上点的连线的斜率的范围问题，通过模型转化使问题定点巧妙解决，属于经典试题．10.（本题满分12分）如图，在中，边上的中线长为3，且，．（1）求的值；（2）求边的长．【答案】（1）（2）4【解析】（1）利用角的关系，再结合两角差正弦公式展开就可求解（2）先在三角形ABD中，由正弦定理解出BD长，即CD长：由正弦定理，得，即，解得…故；再在三角形ADC中由余弦定理解出AC：；AC= 4试题解析：（1）（2）在中，由正弦定理，得，即，解得…故，从而在中，由余弦定理，得；AC= 4 ；【考点】正余弦定理11.中，，则的最大值为．【答案】【解析】设，由余弦定理的推论，所以，设，代入上式得，，故，当时，此时，符合题意，因此最大值为，故答案为：．【考点】解三角形．【思路点睛】首先假设，然后再根据余弦定理的推论，可得，找到与的关系，再设，代入上式得，利用根的判别式，进而求出结果．本题的关键是利用余弦定理的推论．12.已知函数的部分图象如图所示．（1）求函数的解析式；（2）若，求函数在区间上的单调减区间．【答案】（1）；（2），．【解析】（1）由图象中的最高点和最低点的纵坐标得到关于的方程组求得，再利用图象得到函数的周期，进而得到值，最后代入最低点坐标或最高点坐标结合的范围求出，即得到函数的解析式；（2）先求出，利用两角和差的正弦公式将其化为的形式，再利用整体思想求其单调递减区间．试题解析：（1）由图知，解得，又，所以，所以，将点代入，得，再由，得，所以；（2）因为由，解得；又，故所求的单调减区间为，．【考点】1.三角函数的图象与性质；2.三角恒等变形．13.已知角的终边经过点（-4，3），则= ，= ；【答案】;【解析】由题意可得.【考点】任意角三角函数的定义.14.在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若，求△ABC的面积．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）在解三角形的背景下，考查正弦定理，余弦定理，知值求值．（Ⅱ）综合余弦定理，求三角形的面积公式，需要把作为整体求之．试题解析：（Ⅰ）由正弦定理得将上式代入已知即，即．∵∵∵B为三角形的内角，∴．（Ⅱ）由余弦定理得，结合，可得，所以△ABC的面积．【考点】正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式．15.在△中，角，，所对的边分别为，，，表示△的面积，若，，则．【答案】【解析】∵，∴，∴，∴，．∵，∴，∴，∴，∴．【考点】解三角形．【思路点睛】先利用余弦定理和三角形的面积公式可得，可得，再用正弦定理把中的边换成角的正弦，利用两角和公式化简整理可求得，最后根据三角形内角和，进而求得．16.中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若的面积，则 .【答案】【解析】由余弦定理，，又，，，即，，．【考点】1、余弦定理；2、同角三角函数的基本关系；3、三角形面积公式.【思路点睛】本题主要考查的是余弦定理、同角三角函数基本关系、三角形的面积公式，属于容易题.因为题目求，且的面积，边的平方的形式一般想到余弦定理，面积展开后利用余弦定理即可求得与的关系，从而利用同角三角函数的基本关系求得.17.（2012•安徽）设△ABC的内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，且有2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若b=2，c=1，D为BC的中点，求AD的长．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）根据2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC，可得2sinBcosA=sin（A+C），从而可得2sinBcosA=sinB，由此可求求角A的大小；（Ⅱ）利用b=2，c=1，A=，可求a的值，进而可求B=，利用D为BC的中点，可求AD的长．解：（Ⅰ）∵2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC∴2sinBcosA=sin（A+C）∵A+C=π﹣B∴sin（A+C）=sinB＞0∴2sinBcosA=sinB∴cosA=∵A∈（0，π）∴A=；（Ⅱ）∵b=2，c=1，A=∴a2=b2+c2﹣2bccosA=3∴b2=a2+c2∴B=∵D为BC的中点，∴AD=．【考点】余弦定理；三角函数的恒等变换及化简求值．18.在中，已知．（Ⅰ）求sinA与角B的值；（Ⅱ）若角A,B,C的对边分别为的值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ），．【解析】（I）给出了关于角的两个三角函数值，利用诱导公式和同角三角函数的基本关系式可求得其正弦、余弦，再根据三角形的性质可求得的值；（II）在第一问的基础上，利用正弦定理可求得边，再由余弦定理求边，注意利用三角形基本性质舍解．试题解析：（Ⅰ）∵，，又∵，．∵，且，．（Ⅱ）由正弦定理得，，另由得，解得或（舍去），，．【考点】三角函数的诱导公式，同角三角函数的基本关系式及利用正、余弦定理在解三角形．19.已知，则的值为．【答案】．【解析】，故填：．【考点】三角恒等变形．20.在中，角A，B，C的对边分别为，，，若，则角的值为（）A．或B．或C．D．【答案】A．【解析】，，∴或，故选A．【考点】余弦定理．【思路点睛】由已知条件，可先将切化弦，再结合正弦定理，将该恒等式的边都化为角，然后进行三角函数式的恒等变形，找出角之间的关系；或将角都化成边，然后进行代数恒等变形，可一题多解，多角度思考问题，从而达到对知识的熟练掌握．21.为了得到函数的图象，只需把函数图象上的所有点（）A．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变B．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变D．纵坐标缩短到原来的2倍，横坐标不变【答案】A【解析】这是一个三角函数的图象变换问题，一般的为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有点的横坐标伸长（）或缩短（）到原来的倍（纵坐标不变）即可，因此为了得到函数的图象，只需把函数图象上的所有点横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，故选A.【考点】三角函数的图象变换．【方法点睛】本题是一个三角函数的图象变换问题，属于容易题.一般的要得到函数（其中）的图像可按以下步骤进行：先把的图象向左（）或向右（）平移个单位，再将所得函数的图象上各点的横坐标扩大（）或缩小（）为原来的（纵坐标不变），再把所得函数图象上各点的纵坐标扩大（）或缩小（）为原来的倍（横坐标不变），最后再将所得图像向上（）或向下（）平移个单位，即可得到函数的图象.22.如图，在中，，，点在边上，且，.（I）求；（II）求的长.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ），.【解析】（Ⅰ）由图可知，所以，又，所以，再由两角差的正弦公式可求得；（Ⅱ）由题意可用正弦定理、余弦定理即可求出、的长，在中，有，又从而可求得；在中，由余弦定理得，，从而可求出.试题解析：（Ⅰ）在中，因为，所以，所以（Ⅱ）在中，由正弦定理得，在中，由余弦定理得，所以【考点】1.解三角形；2.两角差的正弦公式.23.设的内角对边分别为，已知，且.（1）求角的大小；（2）若向量与共线，求的值.【答案】(1);(2)。