2014年全国高考理科数学试题及答案-全国卷

2014年普通高等学校统一考试（大纲）理科第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设103iz i=+，则z 的共轭复数为（ ） A ．13i -+ B ．13i -- C ．13i + D ．13i - 2. 设集合2{|340}M x x x =--<，{|05}N x x =≤≤，则MN =（ ）A ．(0,4]B ．[0,4)C ．[1,0)-D ．(1,0]- 3. 设0sin 33a =，0cos55b =，0tan 35c =，则（ ）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．c b a >>D ．c a b >> 4. 若向量,a b 满足：||1a =，()a b a +⊥，(2)a b b +⊥，则||b =（ ）A ．2BC ．1D ．25. 有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（ ）A ．60种B ．70种C ．75种D ．150种6. 已知椭圆C ：22221x y a b +=(0)a b >>的左、右焦点为1F 、2F ，过2F 的直线l 交C 于A 、B 两点，若1AF B ∆的周长为C 的方程为（ ）A ．22132x y += B ．2213x y += C ．221128x y += D ．221124x y += 7. 曲线1x y xe-=在点（1,1）处切线的斜率等于（ ）A ．2eB ．eC ．2D ．18．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（ ）A ．814π B ．16π C ．9π D ．274π9. 已知双曲线C 的离心率为2，焦点为1F 、2F ，点A 在C 上，若12||2||F A F A =，则21cos AF F ∠=（ ）A ．14 B ．13 C．4 D．310. 等比数列{}n a 中，452,5a a ==，则数列{lg }n a 的前8项和等于（ ）A ．6B ．5C ．4D ．311. 已知二面角l αβ--为060，AB α⊂，AB l ⊥，A 为垂足，CD β⊂，C l ∈，0135ACD ∠=，则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为（ ） A ．14 B．4 C．4D ．12 12. 函数()y f x =的图象与函数()y g x =的图象关于直线0x y +=对称，则()y f x =的反函数是（ ）A ．()y g x =B ．()y g x =-C ．()y g x =-D ．()y g x =--第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.8的展开式中22x y 的系数为 . 14. 设x 、y 满足约束条件02321x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，则4z x y =+的最大值为 .15．直线1l 和2l 是圆222x y +=的两条切线，若1l 与2l 的交点为（1,3），则1l 与2l 的夹角的正切值等于 .16. 若函数()cos 2sin f x x a x =+在区间(,)62ππ是减函数，则a 的取值范围是 . 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分10分）ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知3cos 2cos a C c A =，1tan 3A =，求B. 18.（本小题满分12分）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知110a =，2a 为整数，且4n S S ≤. （1）求{}n a 的通项公式； （2）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .19. （本小题满分12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，点1A 在平面ABC 内的射影D 在AC 上，090ACB ∠=，11,2BC AC CC ===.（1）证明：11AC A B ⊥；（2）设直线1AA 与平面11BCC B 1A AB C --的大小.20. （本小题满分12分）设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.60.50.50.4、、、，各人是否需使用设备相互独立.（1）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；（2）X 表示同一工作日需使用设备的人数，求X 的数学期望. 21. （本小题满分12分）已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，直线4y =与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且5||||4QF PQ =. （1）求C 的方程；（2）过F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点，若AB 的垂直平分线'l 与C 相较于M 、N 两点，且A 、M 、B 、N 四点在同一圆上，求l 的方程. 22. （本小题满分12分）函数()ln(1)(1)axf x x a x a=+->+. （1）讨论()f x 的单调性；（2）设111,ln(1)n n a a a +==+，证明：23+22n a n n <≤+.参考答案一、选择题：1. D2.B3.C4.B5.C6.A7.C8.A9.A10.C11.B12.D二、填空题：13. 70 14. 5 15.4316.(,2]-∞三、解答题：17.（本小题满分10分）解：由题设和正弦定理得3sin cos 2sin cos A C C A =故3tan cos 2sin A C C =因为1tan 3A =，所以cos 2sin C C = 即1tan 2C =……………………………6分 所以tan tan[180()]B A C =-+tan()A C =-+ tan tan tan tan 1A CA C +=-……………8分1=-即135B =………………………………10分18.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由110a =，2a 为整数知，等差数列{}n a 的公差d 为整数又4n S S ≤，故450,0a a ≥≤ 即 1030,1040d d +≥+≤ 解得 10532d -≤≤- 因此3d =-数列{}n a 的通项公式为133n a n =-…………………………………6分（Ⅱ）1111()(133)(103)3103133n b n n n n==⋅-----………………………8分于是12...n n T b b b =+++1111111[()()...()]371047103133n n =-+-++--- 111()310310n =-- 10(103)nn =-……………….12分19.（本小题满分12分）解法一：（Ⅰ）因为1A D ⊥平面1,ABC A D ⊂平面11AAC C ，故平面11AAC C ⊥平面ABC ， 又BC AC ⊥，所以BC ⊥平面11AAC C ，……………3分连结1AC ，因为侧面11AAC C 为菱形，故11AC AC ⊥由三垂线定理得11AC A B ⊥………5分（Ⅱ）BC ⊥平面11,AAC C BC ⊂平面11BCC B ，故平面11AAC C ⊥平面11BCC B作11,A E CC E ⊥为垂足，则1AE ⊥平面11BCC B 又直线1//AA 平面11BCC B ，因而1A E 为直线1AA 与平面11BCC B的距离，1A E =因为1AC 为1ACC ∠的平分线，故11A D A E =8分 作,DF AB F ⊥为垂足，连结1A F ，由三垂线定理得1A F AB ⊥， 故1A FD ∠为二面角1A AB C --的平面角由1AD ==得D 为AC 中点，12AC BC DF AB ⨯=⨯=，11tan A D A FD DF ∠==所以二面角1A AB C --的大小为12分解法二：以C 为坐标原点，射线CA 为x 轴的正半轴，以CB 的长为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -，由题设知1A D 与z 轴平行，x 轴在平面11AAC C 内（Ⅰ）设1(,0,)A a c ，由题设有2a ≤，(2,0,0)A ，(0,1,0)B ，则(2,1,0)AB =-， (2,0,0)AC =-，1(2,0,)AA a c =-，11(4,0,)AC AC AA a c =+=-， 1(,1,)BA a c =-………………2分由1||2AA =2=，即 2240a a c -+= ①于是221140AC BA a a c ⋅=-+=，所以11AC AB ⊥………………………5分 （Ⅱ）设平面11BCC B 的法向量(,,)m x y z =，则1,m CB m BB ⊥⊥，即0m CB ⋅=，10m BB ⋅=因为(0,1,0)CB =，11(2,0,)BB AA a c ==-，故0y =，且(2)0a x cz -+= 令x c =，则2z a =-，(,0,2)m c a =-，点A 到平面11BCC B 的距离为|||||cos ,|||CA m CA m CA c m ⋅⋅<>===又依题设，A 到平面11BCC B c =代入①解得3a =（舍去）或1a = ………………………………………8分于是1(1AA =- 设平面1ABA 的法向量(,,)n p q r =，则1,n AA n AB ⊥⊥，即10n AA ⋅=，0n AB ⋅=，0p -=且20p q -+=，令p ，则q =，1r =，n =，又(0,0,1)p =为平面ABC 的法向量，故1cos ,||||4n p n p n p ⋅<>==⋅所以二面角1A AB C --的大小为1arccos4……………………12分 20.（本小题满分12分）解：记i A 表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i 人需使用设备，0,1,2i =，B 表示事件：甲需使用设备，C 表示事件：丁需使用设备，D 表示事件：同一工作日至少3人需使用设备 （Ⅰ）122D A B C A B A B C =⋅⋅+⋅+⋅⋅22()0.6,()0.4,()0.5,0,1,2ii P B P C P A C i ===⨯=………3分所以122()()P D P A B C A B A B C =⋅⋅+⋅+⋅⋅122()()()P A B C P A B P A B C =⋅⋅+⋅+⋅⋅122()()()()()()()()P A P B P C P A P B P A P B P C =⋅⋅+⋅+⋅⋅0.31=……………………………………6分（Ⅱ）χ的可能取值为0，1，2，3，4，其分布列为0(0)()P P B A C χ==⋅⋅0()()()P B P A P C =⋅⋅ 2(10.6)0.5(10.4)=-⨯⨯-0.06=001(1)()P P B A C B A C B A C χ==⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅001()()()()()()()()()P B P A P C P B P A P C P B P A P C =⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅ 2220.60.5(10.4)(10.6)0.50.4(10.6)0.5(10.4)=⨯⨯-+-⨯⨯+-⨯⨯-0.25=222(4)()()()()0.50.60.40.06P P A B C P A P B P C χ==⋅⋅=⋅⋅=⨯⨯=(3)()(4)0.25P P D P χχ==-==(2)1(0)(1)(3)(4)P P P P P χχχχχ==-=-=-=-=10.060.250.250.06=----0.38=…………………………………………………………………10分数学期望0(0)1(1)2(2)3(3)4(4)EX P P P P P χχχχχ=⨯=+⨯=+⨯=+⨯=+⨯=0.2520.3830.2540.06=+⨯+⨯+⨯2=……………………………………………………………12分21.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设0(,4)Q x ，代入22y px =得08x p=所以088||,||22p p PQ QF x p p==+=+ 由题设得85824p p p+=⨯，解得2p =-（舍去）或2p = 所以C 的方程为24y x =……………………………………………5分 （Ⅱ）依题意知l 与坐标轴不垂直，故可设l 的方程为1(0)x my m =+≠代入24y x =得 2440y my --= 设1122(,),(,)A x y B x y ，则12124,4y y m y y +==-故AB 的中点为2212(2 1.2),|||4(1)D m m AB y y m +=-=+又l '的斜率为m -，所以l '的方程为2123x y m m=-++ 将上式代入24y x =，并整理得2244(23)0y y m m+-+= 设3344(,),(,)M x y N x y ，则234344,4(23)y y y y m m+=-=-+ 故MN 的中点为2222(23,)E m m m ++-，34|||MN y y =-=10分 由于MN 垂直平分AB ，故,,,A M B N 四点在同一圆上等价于1||||||2AE BE MN ==， 从而22211||||||44AB DE MN += 即222222224224(1)(21)4(1)(2)(2)m m m m m m m +++++++=化简得210m -=，解得1m =或1m =-所求直线l 的方程为10x y --=或10x y +-=……………………………12分22.（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）()f x 的定义域为222[(2)](1,),()(1)()x a a f x x x a --'-+∞=++………………….2分（ⅰ）当12a <<时，若2(1,2)x a a ∈--，则()0f x '>，()f x 在2(1,2)a a --是增函数；若2(2,0)x a a ∈-，则()0f x '<，()f x 在2(2,0)a a -是减函数；若(0,)x ∈+∞，则()0f x '>，()f x 在(0,)+∞是增函数；……………………4分（ⅱ）当2a =时，()0f x '≥，()0f x '=成立当且仅当0x =，()f x 在(1,)-+∞是增函数； （ⅲ）当2a >时，若(1,0)x ∈-，则()0f x '>，()f x 在(1,0)-是增函数；若2(0,2)x a a ∈-，则()0f x '<，()f x 在2(0,2)a a -是减函数；若2(2,)x a a ∈-+∞，则()0f x '>，()f x 在2(2,)a a -+∞是增函数；……6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当2a =时，()f x 在(1,)-+∞是增函数，当(0,)x ∈+∞时，()(0)0f x f >=，即2ln(1)(0)2xx x x +>>+ 又由（Ⅰ）知，当3a =时，()f x 在[0,3)是减函数， 当(0,3)x ∈时，()(0)0f x f <=，即3ln(1)(03)3xx x x +<<<+…………………9分 下面用数学归纳法证明2322n a n n <≤++ （ⅰ）当1n =时，由已知1213a <=，故结论成立； （ⅱ）设当n k =时结论成立，即2322k a k k <≤++ 当1n k =+时，122222ln(1)ln(1)22322k k k a a k k k +⨯+=+>+>=++++ 133332ln(1)ln(1)32332k k k a a k k k +⨯+=+≤+>=++++即当1n k =+时有12333k a k k +<≤++，结论成立。