5高中数学的函数导数专题

专题5. 2导数在研究函数中的应用（1）（A 卷基础篇）（新教材人教A 版,浙江专用）参考答案与试题解析第Ⅰ卷（选择题）一．选择题（共10小题，满分50分，每小题5分）1．（2020·全国高二课时练习）设函数()f x 的图象如图所示，则导函数()'f x 的图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】∵()f x 在(,1)-∞，(4,)+∞上为减函数，在(1,4)上为增函数， ∴当1x <或4x >时，()0f x '<；当14x <<时，()0f x '>． 故选：C ．2．（2020·河北张家口市·高三月考）下列函数中，在其定义域上为增函数的是（ ） A ．4y x = B ．2x y -=C ．cos y x x =+D ．12y x =-【答案】C 【解析】对于A 选项，函数4y x =为偶函数，在()0,∞+上递增，在(),0-∞上递减； 对于B 选项，函数2xy -=在R 上递减；对于C 选项，1sin 0y x '=-≥在R 上恒成立，则函数cos y x x =+在其定义域R 上递增； 对于D 选项，函数12y x =-在()0,∞+上递减. 故选：C ．3．（2020·赣州市赣县第三中学高三期中（文））已知函数21()ln 2f x x x =-，则其单调增区间是（ ） A ．()1,+∞ B ．()0,∞+C ．(]0,1D ．[]0,1【答案】A 【解析】 由21()ln 2f x x x =-，函数定义域为()0,∞+， 求导211()x f x x x x='-=-，令()0f x '>，得1x >或1x <-（舍去）所以()f x 单调增区间是()1,+∞ 故选：A.4．（2020·张家界市民族中学高二月考）函数22y x x=+的单调递增区间为（ ）A ．(),1-∞B ．)+∞C ．()1,+∞D ．(),0-∞【答案】C 【解析】3222222x y x x x-'=-=，由0y '>得3220x ->，即1x >， 所以函数22y x x=+的单调递增区间为(1,)+∞. 故选：C5．（2020·全国高三专题练习）如图所示为()y f x '=的图象，则函数()y f x =的单调递减区间是（ ）A ．(),1-∞-B ．()2,0-C ．()()2,0,2,-+∞D ．()(),1,1,-∞-+∞【答案】C 【解析】由导函数图象，知20x -<<或2x >时，()0f x '<，∴()f x 的减区间是(2,0)-，(2,)+∞． 故选：C ．6．（2019·江西九江市·高二期末（理））函数()22ln f x x x =-的递增区间是（ ）A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,02⎛⎫-⎪⎝⎭和1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭D ．1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭和10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】因为()22ln f x x x =-的定义域为(0,)+∞，1()4f x x x'=-， 由()0f x '>，得140x x ->，解得12x >，所以()f x 的递增区间为1(,)2+∞. 故选：C.7．（2020·四川内江市·高三三模（文））函数xy x e =⋅的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】'(1)x y x e =+⋅，当1x >-时，'0y >，当1x <-时，'0y <，所以函数x y x e =⋅在(1,)-+∞上单调递增，在(,1)-∞-上单调递减. 故选：C8．（2020·广东深圳市·高三开学考试）已知函数()f x 与f x 的图象如图所示，则不等式组()()03f x f x x '<⎧⎨<<⎩解集为（ ）A ．0,1B ．()1,3C ．1,2D ．()1,4【答案】B 【解析】由导函数与原函数单调性关系知图中实线是()'f x 的图象，虚线是()f x 的图象，不等式组()()03f x f x x <⎧⎨<<'⎩解集是{|13}x x <<． 故选：B ．9．（2020·全国高三专题练习）已知()'f x 是定义在R 上的函数()f x 的导函数，且满足()()0xf x f x '+>对任意的x ∈R 都成立，则下列选项中一定正确的是（ ） A ．(2)(1)2f f > B ．(1)(2)2f f > C ．(2)(1)2f f <D ．(1)(2)2f f < 【答案】D 【解析】令()()F x xf x =，则()()()0xf x x F x f '='+>，故()F x 为R 上的增函数， 所以()()21F F >即()()221f f >， 故选：D.10．（2020·黄梅国际育才高级中学高二期中）已知函数()2ln 1f x x a x =-+在()1,3内不是单调函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()2,18 B ．[]2,18C ．(][),218,-∞+∞D ．[)2,18【答案】A 【解析】 ∵()'2a f x x x=-，()2ln 1f x x a x =-+在()1,3内不是单调函数， 故20ax x-=在()1,3存在变号零点，即22a x =在()1,3存在零点， ∴218a <<. 故选：A.第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（共7小题，单空每小题4分，两空每小题6分，共36分）11．（2020·长顺县文博高级中学有限公司高三月考）函数322611y x x =-+的单调减区间是__________.【答案】()0,2 【解析】()261262y x x x x '=-=-，令0y '<，解得02x <<，所以函数的单调减区间为()0,2. 故答案为：()0,212．（2020·全国高三专题练习）函数()52ln f x x x =-的单调递减区间是______．【答案】20,5⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】()f x 的定义域是()0,∞+，()252'5x f x x x-=-=， 令()'0f x <，解得：205x <<，所以()f x 在20,5⎛⎫ ⎪⎝⎭递减，故答案为20,.5⎛⎫ ⎪⎝⎭13．（2019·全国高三月考（文））已知0a >，函数3()2f x x ax =-在[1,)+∞上是单调增函数，则a 的最大值是_______． 【答案】6 【解析】2()6f x x a '=-，令()0f x '>，得6a x >6a x <-16a≤，解得6a ． 故答案为：614．（2018·全国高二专题练习） 函数()32267f x x x =-+在区间______上是增函数，在区间______上是减函数．【答案】(),0-∞和()2,+∞ ()0,2 【解析】2'()612f x x x =-=6(2)x x -，令'()0f x <，解得：02x <<，令'()0f x >，解得：0x <或2x >.函数()32267f x x x =-+在区间(,0)-∞,(2,)+∞上是增函数，在区间(0,2)上是减函数．15．（2020·浙江高一期末）已知2()(3)f x x b x =+-是定义在R 上的偶函数，则实数b =_____，写出函数2()2g x x x=+-在(0,)+∞的单调递增区间是______ 【答案】3 )2,+∞【解析】()f x 是定义在R 上的偶函数，()()f x f x ∴-=，()22(3)(3)x b x x b x ∴---=+-，解得3b =，()(2221x x g x x x+'=-+=， 令()0g x '>，解得x >()g x ∴的单调递增区间是)+∞.故答案为：3；)+∞.16．（2020·全国高三专题练习）已知()lg f x x x =，那么()f x 单调递增区间__________；()f x 单调递减区间__________.【答案】1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ 10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】因为()lg f x x x =,故11()lg lg lg lg lg ln10ln10f x x x x x e ex x '=+⋅=+=+=.令()0f x '=可得1ex =,即1x e=. 又()f x '为增函数,故当10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0f x '<,()f x 单调递减；当1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时, ()0f x '>,()f x 单调递增.故答案为：(1) 1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；(2)10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭17．（2019·山西运城市·高三期中（文））设函数()-=-x xf x e ae （a 为常数）.若()f x 为奇函数，则a =________；若()f x 是[2,2]-上的减函数，则a 的取值范围是________.【答案】1 41≥-a e 【解析】 （1）若()-=-xx f x eae 为奇函数则()()xxx x f x e ae x e ae f --=-=-+-=-，则1a =（2）若()f x 是[2,2]-上的减函数，则()x xf x e ae -'=--在[2,2]-上小于或者等于零，即0x x e ae ---≤在[2,2]-上恒成立，2x e a --≤，可知2xy e-=-在[2,2]-上单调递增，所以41≥-a e .三．解答题（共5小题，满分64分，18--20每小题12分，21,22每小题14分） 18．（2020·甘肃省岷县第二中学高二期中（理））求函数()33f x x x =-的递减区间.【答案】()1,1- 【解析】 ∵233fxx ，∴令2330x ，解得11x -<<.∴函数()33f x x x =-的递减区间为()1,1-.19．（2019·甘肃省武威第一中学高二月考（理））求函数ln ()(0)xf x x x=>的单调区间． 【答案】增区间为(0e)，，减区间为(e )+∞，. 【解析】 由()f x 得()()2221·ln ln ''ln 1ln 'x xx x x x x x f x x x x ---===， 令()'0f x =，即21ln 0xx -=，得1ln 0x -=，从而e x =，令()'0f x >，即21ln 0xx ->，得e x <，此时()f x 为增函数，又0x >，得增区间为()0e ，，令()'0fx <，即21ln 0xx-<，得e x >，此时()f x 为减函数，减区间为()e +∞，.20．（2020·横峰中学月考（文））已知()1xf x e ax =--. （1）当2a =时，讨论()f x 的单调区间；（2）若()f x 在定义域R 内单调递增，求a 的取值范围.【答案】（1）()f x 的单调递增区间为()ln 2,+∞，单调递减区间为(),ln 2-∞；（2）0a ≤ 【解析】（1）当2a =时，()21xf x e x =--则()'2x f x e =-，令()'20x f x e =->，得ln 2x > 令()'20x fx e =-<，得ln 2x <所以()f x 的单调递增区间为()ln 2,+∞ 单调递减区间为(),ln 2-∞（2）由题可知：()f x 在定义域R 内单调递增 等价于()'0x f x e a =-≥由()'x fx e a =-在R 上单调递增，又0x e >则000a a -≥⇒≤21．（2020·西宁市海湖中学高二月考（文））已知函数()31f x x ax =--. （1）若()f x 在区间(1,)+∞上为增函数，求a 的取值范围. （2）若()f x 的单调递减区间为(1,1)-，求a 的值. 【答案】（1）(],3-∞；（2）3. 【解析】（1）因为()23f x x a '=-，且()f x 在区间(1,)+∞上为增函数，所以()0f x '≥在(1,)+∞上恒成立，即230x a -≥在(1，+∞)上恒成立， 所以23a x ≤在(1,)+∞上恒成立，所以3a ≤，即a 的取值范围是(],3-∞ （2）由题意知0a >.因为()31f x x ax =--，所以()23f x x a '=-.由()0f x '<，得33aa x -<<， 所以()f x 的单调递减区间为(,)33a a -， 又已知()f x 的单调递减区间为(1,1)-，所以(,)33a a -=(1,1)-， 所以13a=，即3a =. 22.已知函数，其中.（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）求的单调区间.【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）①当时，的单调递减区间为；单调递增区间为，．②当时，的单调递减区间为，；单调递增区间为，．③当时，为常值函数，不存在单调区间．④当时，的单调递减区间为，；单调递增区间为，．【解析】（Ⅰ）解：当时，，．……2分由于，，所以曲线在点处的切线方程是． ……4分（Ⅱ）解：，． …………6分①当时，令，解得．的单调递减区间为；单调递增区间为，．…8分当时，令，解得，或．②当时，的单调递减区间为，；单调递增区间为，． ……10分③当时，为常值函数，不存在单调区间．……………11分④当时，的单调递减区间为，；单调递增区间为，． …………14分。

2
=-3 .
-3
(3)y'=14x13.
1
(4)∵y=4 =x-4,
∴y'=-4x
4
=-5 .
-5
1
5
;(4)y= 4 ;(5)y=
1 x
3
x ;(6)y=(3) ;(7)y=log3x.
-2
0
14
(1)y=e ;(2)y=x ;(3)y=x
5
解 (5)∵y= x 3 =
3 -2
∴y'= x 5
(2)如果已知点不是切点,则应先设出切点,再借助两点连线的斜率公式进
行求解.两种情况的区别就在于切点已知和未知的问题,都需要借助导数的
几何意义求解.
变式训练3[2024广东惠州高二统考]已知函数f(x)=x3.求:
(1)曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
★★(2)曲线y=f(x)过点B(0,16)的切线方程.
解 (1)因为f'(x)=3x2,所以f'(1)=3,
又f(1)=1,所以曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为y-1=3(x-1),
即3x-y-2=0.
(2)设切点为(x0,03 ),则 f'(x0)=302 ,所以切线方程为 y-03 =302 (x-x0).
因为切线过点 B(0,16),
m
n
x ,从而 f'(x)=(x
m
n
m
)'= n
·x
m
-1
n
.
思考辨析
对于幂函数f(x)=xα,当α分别取1,2,3,-1,
1
时,f'(x)分别为多少?
2

5.2 导数的运算5.2.1 基本初等函数的导数课标要求素养要求1.能根据导数定义求函数y ＝c ，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1x ，y ＝x 的导数.2.会使用导数公式表.在利用导数的定义求基本初等函数的导数的过程中，发展学生的数学运算素养.新知探究已知函数：(1)y ＝f (x )＝c ；(2)y ＝f (x )＝x ；(3)y ＝f (x )＝x 2； (4)y ＝f (x )＝1x ；(5)y ＝f (x )＝x .问题1 函数y ＝f (x )＝c 的导数是什么？ 提示 ∵Δy Δx ＝f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx ＝c －cΔx ＝0，∴y ′＝0lim x ∆→ΔyΔx ＝0.问题2 函数(2)(3)(4)(5)的导数分别是什么？提示 由导数的定义得(2)(x )′＝1，(3)(x 2)′＝2x ，(4)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝－1x 2，(5)(x )′＝12x .问题3 函数(2)(3)(5)均可表示为y ＝x α(α∈Q *)的形式，其导数有何规律？ 提示 ∵(2)(x )′＝1·x 1－1，(3)(x 2)′＝2·x2－1，(5)(x )′＝(x 12)′＝12x 12－1＝12x，∴(x α)′＝αx α－1.1.几个常用函数的导数2.[微判断]1.若y＝2，则y′＝12×2＝1.(×)提示若y＝2，则y′＝0.2.若f(x)＝1x3，则f′(x)＝－3x4.(√)3.若f(x)＝4x，则f′(x)＝4x log5e.(×)提示若f(x)＝4x，则f′(x)＝4x ln 4.[微训练]1.已知f(x)＝x2，则f′(3)等于()A.0B.2xC.6D.9 解析∵f(x)＝x2，∴f′(x)＝2x，∴f′(3)＝6.答案 C2.求下列函数的导数：(1)f(x)＝4x5；(2)g(x)＝cosπ4；(3)h(x)＝3x.解(1)f(x)＝x 54，∴f′(x)＝54x14；(2)g(x)＝cos π4＝22，∴g′(x)＝0；(3)h′(x)＝3x ln 3. [微思考]1.如何求函数f(x)＝1x4的导数？提示把f(x)＝1x4化为f(x)＝x－4，则f′(x)＝－4x－5.2.如何求f(x)＝2sin x2cosx2的导数？提示把f(x)＝2sin x2cosx2化为f(x)＝sin x，则f′(x)＝cos x.题型一利用导数公式求函数的导数【例1】求下列函数的导数：(1)y＝sin π3；(2)y＝⎝⎛⎭⎪⎫12x；(3)y＝1x；(4)y＝4x3；(5)y＝log3x.解(1)y′＝0；(2)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12xln 12＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12xln 2；(3)y ′＝(x －12)′＝－12x －32＝－12x x；(4)y ′＝(4x 3)′＝(x 34)′＝34x －14＝344x； (5)y ′＝(log 3x )′＝1x ln 3.规律方法 求简单函数的导函数的基本方法： (1)用导数的定义求导，但运算比较繁琐；(2)用导数公式求导，可以简化运算过程，降低运算难度.解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式. 【训练1】 求下列函数的导数： (1)y ＝x 13；(2)y ＝4x ； (3)y ＝sin x ； (4)y ＝15x 2.解 (1)y ′＝(x 13)′＝13x 13－1＝13x 12；(2)y ′＝(4x )＝(x 14)′＝14x 14－1＝14x －34；(3)y ′＝(sin x )′＝cos x ；(4)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫15x 2′＝(x －25)′＝－25x －25－1＝－25x －75. 题型二 利用导数公式解决切线问题 角度1 求切线的方程【例2－1】 函数y ＝1x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2处的切线方程是( )A.y ＝4xB.y ＝－4x ＋4C.y ＝4x ＋4D.y ＝2x －4解析 ∵y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝－x －2，∴k ＝y ′|x ＝12＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2＝－4，∴切线方程为y －2＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，即y ＝－4x ＋4. 答案 B角度2 求参数值【例2－2】 已知y ＝kx 是曲线y ＝ln x 的一条切线，则k ＝________.解析 设切点坐标为(x 0，y 0)，由题意得y ′|x ＝x 0＝1x 0＝k ，又y 0＝kx 0，而且y 0＝ln x 0，从而可得x 0＝e ，y 0＝1，则k ＝1e . 答案 1e角度3 曲线上的点到直线的最小距离问题【例2－3】 设P 是曲线y ＝e x 上任意一点，求点P 到直线y ＝x 的最小距离. 解 如图，设l 是与直线y ＝x 平行，且与曲线y ＝e x 相切的直线，则切点到直线y ＝x 的距离最小.设直线l 与曲线y ＝e x 相切于点P (x 0，y 0).因为y ′＝e x ，所以e x 0＝1，所以x 0＝0. 代入y ＝e x ，得y 0＝1，所以P (0，1). 所以点P 到直线y ＝x 的最小距离为|0－1|2＝22. 规律方法 利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况 (1)若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数.(2)如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解. 【训练2】 (1)求曲线y ＝x 在点B (1，1)处的切线方程； (2)求曲线y ＝ln x 的斜率等于4的切线方程. 解 (1)设所求切线的斜率为k . ∵y ′＝(x )′＝12x －12，k ＝y ′|x ＝1＝12，∴曲线y ＝x 在点B (1，1)处的切线方程为y －1＝12(x －1)，即x －2y ＋1＝0. (2)设切点坐标为(x 0，y 0).∵y ′＝1x ，曲线y ＝ln x 在点(x 0，y 0)处的切线的斜率等于4， ∴y ′|x ＝x 0＝1x 0＝4，得x 0＝14，∴y 0＝－ln 4，∴切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－ln 4，∴所求切线方程为y ＋ln 4＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －14，即4x －y －1－ln 4＝0.题型三 导数公式的实际应用【例3】 某城市近10年间房价年均上涨率为10%，房价p (单位：万元)与时间t (单位：年)有如下函数关系：p (t )＝p 0(1＋10%)t ，假定p 0＝1，那么在第5个年头，房价上涨的速度大约是多少(精确0.01万元/年)？(参考数据：1.15＝1.611，ln 1.1＝0.095)解 由题意得p ′(t )＝1.1t ln 1.1所以p ′(5)＝1.15ln 1.1≈1.611×0.095≈0.15(万元/年)所以在第5个年头，该市房价上涨的速度大约是0.15万元/年.规律方法 由导数的定义可知，导数是瞬时变化率，所以求某个量的变化速度，就是求相关函数在某点处的导数.【训练3】 从时刻t ＝0开始的t (s )内，通过某导体的电量(单位：库仑)可以由公式q ＝cos t 表示.求第5秒和第7秒时的电流强度(单位：安) 解 由q ＝cos t 得q ′＝－sin t ， 所以q ′(5)＝－sin 5，q ′(7)＝－sin 7，即第5秒，第7秒时的电流强度分别是－sin 5安，－sin 7安.一、素养落地1.通过学习导数公式及应用导数公式求基本初等函数的导数，提升数学运算素养.2.利用常见函数的导数公式可以比较简捷的求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式.解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归.3.有些函数可先化简再应用公式求导.如求y ＝1－2sin 2x 2的导数.因为y ＝1－2sin 2x2＝cos x ，所以y ′＝(cos x )′＝－sin x . 二、素养训练1.函数y ＝x e 的导数是( ) A.y ′＝x e B.y ′＝e x e －1 C.y ′＝e x eD.y ′＝ln x解析 由(x α)′＝αx α－1得，y ′＝e x e －1. 答案 B2.若f (x )＝sin x ，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝( )A.－12B.－32 C.12D.32 解析 f ′(x )＝cos x ，f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝cos π6＝32.答案 D3.已知f (x )＝x 2，g (x )＝x .若m 满足f ′(m )＋g ′(m )＝3，则m 的值为________. 解析 f ′(x )＋g ′(x )＝2x ＋1，f ′(m )＋g ′(m )＝2m ＋1＝3，故m ＝1. 答案 14.曲线y ＝1x 在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，13处的切线方程是________.解析 ∵y ′＝－1x 2，∴在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，13处的斜率k ＝－19，∴在点⎝ ⎛⎭⎪⎫3，13的斜率为－19的切线方程为：y －13＝－19(x －3)，即x ＋9y －6＝0. 答案 x ＋9y －6＝05.曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________. 解析 ∵y ′＝(e x )′＝e x ，∴在点(2，e 2)处的切线斜率为k ＝e 2， ∴曲线在点(2，e 2)处的切线方程为y －e 2＝e 2(x －2)， 即y ＝e 2x －e 2.当x ＝0时，y ＝－e 2，当y ＝0时，x ＝1. ∴S △＝12×1×||－e 2＝12e 2. 答案 12e 2基础达标一、选择题1.函数y ＝3x 在x ＝2处的导数为( ) A.9 B.6 C.9ln 3D.6ln 3解析 y ′＝(3x )′＝3x ln 3，故所求导数为9ln 3. 答案 C2.下列结论中，不正确的是( ) A.若y ＝1x 3，则y ′＝－3x 4 B.若y ＝3x ，则y ′＝3x3 C.若y ＝1x 2，则y ′＝－2x －3 D.若f (x )＝3x ，则f ′(1)＝3 解析 由(x n )′＝nx n －1知，选项A ，y ＝1x 3＝x －3，则y ′＝－3x －4＝－3x 4； 选项B ，y ＝3x ＝x 13，则y ′＝13x －23≠3x3；选项C ，y ＝1x 2＝x －2，则y ′＝－2x －3； 选项D ，由f (x )＝3x 知f ′(x )＝3， ∴f ′(1)＝3.∴选项A ，C ，D 正确.故选B. 答案 B3.设正弦曲线y ＝sin x 上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角α的范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π B.[0，π)C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π4 解析 ∵(sin x )′＝cos x ，∴k l ＝cos x ，∴－1≤tan α≤1，又∵α∈[0，π)， ∴α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π. 答案 A4.函数f (x )＝x 3的斜率等于1的切线有( ) A.1条 B.2条 C.3条D.不确定 解析 ∵f ′(x )＝3x 2，设切点为(x 0，y 0)，则3x 20＝1，得x 0＝±33，即在点⎝ ⎛⎭⎪⎫33，39和点⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，－39处有斜率为1的切线.所以有2条切线.答案 B5.若曲线y ＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为( ) A.4x －y －3＝0 B.x ＋4y －5＝0 C.4x －y ＋3＝0D.x ＋4y ＋3＝0解析 由题意，知切线l 的斜率k ＝4.设切点坐标为(x 0，y 0).∵y ′＝4x 3，∴k ＝4x 30＝4，解得x 0＝1，∴切点为(1，1)，∴l 的方程为y －1＝4(x －1)，即4x －y －3＝0. 答案 A 二、填空题6.曲线y ＝ln x 在x ＝a 处的切线倾斜角为π4，则a ＝______. 解析 y ′＝1x ，∴y ′|x ＝a ＝1a ＝1.∴a ＝1. 答案 17.若y ＝10x ，则y ′|x ＝1＝________. 解析 y ′＝10x ln 10，∴y ′|x ＝1＝10ln 10. 答案 10ln 108.已知函数y ＝x 2(x >0)的图象在点(a k ，a 2k )处的切线与x 轴交点的横坐标为a k ＋1，其中k ∈N *，若a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5的值是________.解析 ∵y ′＝2x ，∴y ＝x 2(x >0)的图象在点(a k ，a 2k )处的切线方程为y －a 2k ＝2a k (x －a k ).又该切线与x 轴的交点为(a k ＋1，0)，∴a k ＋1＝12a k ，即数列{a k }是首项a 1＝16，公比q ＝12的等比数列，∴a 3＝4，a 5＝1，∴a 1＋a 3＋a 5＝21. 答案 21 三、解答题9.求下列函数的导数：(1)y ＝5x 3；(2)y ＝1x 4；(3)y ＝－2sin x 2⎝⎛⎭⎪⎫1－2cos 2x 4；(4)y ＝log 2x 2－log 2x . 解 (1)y ′＝(5x 3)′＝(x 35)′＝35x 35－1＝35x －25＝355x 2. (2)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 4′＝(x －4)＝－4x －4－1＝－4x －5＝－4x 5.(3)∵y ＝－2sin x 2(1－2cos 2x4)＝2sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2 x 4－1＝2sin x 2cos x 2＝sin x ，∴y ′＝(sin x )′＝cos x .(4)∵y ＝log 2x 2－log 2x ＝log 2x ，∴y ′＝(log 2x )′＝1x ·ln 2.10.已知两条曲线y 1＝sin x ，y 2＝cos x ，是否存在这两条曲线的一个公共点，使得在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由.解 不存在，理由如下：因为y 1＝sin x ，y 2＝cos x ，所以y 1′＝cos x ，y 2′＝－sin x .设两条曲线的一个公共点为点P (x 0，y 0)，则两条曲线在点P (x 0，y 0)处的切线斜率分别为k 1＝cos x 0，k 2＝－sin x 0.若两条切线互相垂直，则cos x 0·(－sin x 0)＝－1，即sin x 0·cos x 0＝1，所以sin 2x 0＝2，显然不成立，所以这两条曲线不存在这样的公共点，使得在这一点处的两条切线互相垂直.能力提升11.如图所示，水波的半径以1 m/s 的速度向外扩张，当半径为5 m 时，这水波面的圆面积的瞬时膨胀率是________m 2/s.解析 因为水波的半径以v ＝1 m/s 的速度向外扩张，水波面的圆面积S ＝πr 2＝π(v t )2＝πt 2.所以利用瞬时变化率，可求水波面的圆面积在时刻t 0时的瞬时膨胀率S ′|t ＝t 0＝2πt 0.当半径为5 m 时，t ＝5 s ，所以S ′|t ＝5＝2π×5＝10π，即半径为5 m 时，这水波面的圆面积的瞬时膨胀率是10π m 2/s.答案 10π12.已知点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1，B (2，1)，函数f (x )＝log 2x . (1)过坐标原点O 作曲线y ＝f (x )的切线，求切线方程.(2)在曲线y ＝f (x )⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤x ≤2上是否存在点P ，使得过点P 的切线与直线AB 平行？若存在，求出点P 的横坐标；若不存在，请说明理由.解 (1)设切点为(m ，log 2m )(m >0).因为f (x )＝log 2x ，所以f ′(x )＝1x ln 2.由题意可得1m ln 2＝log 2m m ，解得m ＝e ，所以切线方程为y －log 2e ＝1eln 2(x －e)，即y ＝1eln 2x .(2)过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1，B (2，1)的直线的斜率为k AB ＝43. 假设存在点P ，使得过点P 的切线与直线AB 平行，设P (n ，log 2n )，12≤n ≤2，则有1n ln 2＝43，得n ＝34ln 2.又12＝ln e<ln 2<ln e ＝1，所以34<34ln 2<32，所以在曲线y ＝f (x )⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤x ≤2上存在点P ，使得过点P 的切线与直线AB 平行，且点P 的横坐标为34ln 2.创新猜想13.(多选题)以下运算正确的是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝1x 2 B.(cos x )′＝－sin x C.(2x )′＝2x ln 2 D.(lg x )′＝－1x ln 10解析 对于A ，⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝－1x 2，所以A 不正确；对于B ，因为(cos x )′＝－sin x ，故B 正确；对于C ，因为(2x )′＝2x ln 2，所以C 正确；对于D ，因为(lg x )′＝1x ln 10，所以D 不正确.答案 BC14.(多空题)已知P 为曲线y ＝ln x 上的一动点，Q 为直线y ＝x ＋1上的一动点，则当P 的坐标为________时，PQ 最小，此时最小值为________.解析 如图，当直线l 与曲线y ＝ln x 相切且与直线y ＝x ＋1平行时，切点到直线y＝x＋1的距离即为PQ的最小值.易知(ln x)′＝1x，令1x＝1，得x＝1，故此时点P的坐标为(1，0)，所以PQ的最小值为|1－0＋1|2＝ 2.答案(1，0)2高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。

第一部分 函数 （一）近五年的全国卷（Ⅰ）（理）高考题及分析
1、13年11题【考题分析】：本题考查分段函数及导数的几 何意义。体现了数形结合思想和化归与转化思想，函数与 方程思想。
解析： 可画出 y1=|f(x)|的图象如图所示． 当 a＞0 时，y＝ax 与 y＝|f(x)|恒有公共点，所以排除 B，C； 若 x ≤0，则以 y＝ax 与 y＝|－x2＋2x|相切为界限，由
' x
，可以看到，主要研究的是 ex 与一次函
数，应该说不难；
14 年第二问证明不等式，转化为 两个常见函数（xlnx 与 x/ ex ）的最值问题(最小值大于最大值)。
就是研究我们所说的
3.16 年与 17 年的第一问就开始提升难度（是否是刻意为之）；16 年的第一问是求通 过零点个数讨论参数范围，求导后核心函数是：
（一）本单元近五年来全国高考试题卷（Ⅰ）统计分析 （理科）
年份 （理） 题号 2013 11 16 21 3 2014 11 21 分值 5 5 12 5 5 12 题型 选择题 填空题 解答题 选择题 选择题 解答题 知识考点 分段函数 函数的对称性 导数的 几何意义，导 数与函数的最 值， 导数与函数的单调性 函数的奇偶性 函数与方程 导数的几何 意义， 导数与函数 的单调性， 两小一大 利用导数求函数的最值 22 分 12 2015 13 21 7 2016 8 21 5 2017 11 21 5 12 5 5 12 5 5 12 填空题 解答题 选择题 选择题 解答题 选择题 选择题 解答题 5 选择题 函数的 图象与性 质、导数公式 和导数运 算法则 函数的奇偶性 导数的 几何意义，分 段函数的处理 ，函 数的零点 函数的图象 幂函数、指数函数 、对数函数 函数的零点，不等式的 证明 函数的单调性、奇偶性 对数与对数函数 函数的零点，导数与函 数的单调性 22 分 22 分 两小一大 22 分 两小一大 两小一大 22 分 两小一大 说明