单元复习课
第二章
类型一:等差、等比数列的基本运算 【典例1】(2016·全国卷Ⅲ)已知各项都为正数的数列 {an}满足a1=1, an2-(2an+1-1)an-2an+1=0. (1)求a2,a3. (2)求{an}的通项公式.
【解析】(1)由a1=1,an2-(2an+1-1)an-2an+1=0, 令n=1,得a12-(2a2-1)a1-2a2=0,
即4an+2+an=4an+1(n≥2),
5 因为4a3+a1=4× +1=6=4a2, 4
所以4an+2+an=4an+1,
1 a n 2- a n 1 4a n 2-2a n 1 4a n 1-a n-2a n 1 2a n 1-a n 1 2 , 因为 1 4a n 1-2a n 4a n 1-2a n 2(2a n 1-a n ) 2 a n 1- a n 2 所以数列 {a n 1 1 a n } 是以a2- 1 a1=1为首项,公比为 1 的 2 2 2
等比数列.
(3)由(2)知:数列 {a n 1 1 a n } 是以a22
1 a1=1为首项,公 2
比为 1 的等比数列,
1 1 n-1 a - a ( ) , 所以 n 1 n 2 2 即 a n1 - a n 4, 1 1 ( ) n 1 ( ) n 2 2 所以数列 { a n } 是以 a1 =2为首项,公差为4的等差数列, 1 n 1 ( ) 2 2 2
b1 3d 8, d,则有 解得 b1 15d 32, b1 2, d 2.
所以bn=b1+(n-1)d=2+(n-1)×2=2n.