苏教版数学必修五同步讲义：1.1正弦定理(2)

1.1正弦定理 教学过程（二）推进新课[合作探究]师那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（由学生讨论、分析） 生可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：如右图，当△ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD =A sin B =B sin A ,则B b A a sin sin =，同理，可得BbC c sin sin =.从而C cB b A a s i ns i n s i n ==.（当△ABC 是钝角三角形时，解法类似锐角三角形的情况，由学生自己完成） 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即CcB b A a sin sin sin ==师是否可以用其他方法证明这一等式？ 生可以作△ABC 的外接圆，在△ABC 中,令BC =A ,AC =B ,AB =C ,根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等，来证明CcB b A a sin sin sin ==这一关系． 师很好！这位同学能充分利用我们以前学过的知识来解决此问题，我们一起来看下面的证法. 在△ABC 中,已知BC =A ,AC =B ,AB =C ,作△ABC 的外接圆,O 为圆心,连结BO 并延长交圆于B′,设BB′=2R.则根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等可以得到 ∠BAB′=90°，∠C =∠B′，∴sin C =sin B′=RcB C 2sin sin ='=∴R Cc2sin =同理,可得R B bR A a 2sin ,2sin ==∴R CcB b A a 2sin sin sin ===这就是说,对于任意的三角形,上述关系式均成立,因此,我们得到等式CcB b A a sin sin sin ==点评:上述证法采用了初中所学的平面几何知识,将任意三角形通过外接圆性质转化为直角三角形进而求证,此证法在巩固平面几何知识的同时,易于被学生理解和接受,并且消除了学生所持的“向量方法证明正弦定理是唯一途径”这一误解.既拓宽了学生的解题思路,又为下一步用向量方法证明正弦定理作了铺垫 [知识拓展师接下来,我们可以考虑用前面所学的向量知识来证明正弦定理.从定理内容可以看出,定理反映的是三角形的边角关系,而在向量知识中,哪一知识点体现边角关系呢 生向量的数量积的定义式A ·B =|A ||B |C osθ,其中θ为两向量的夹角师回答得很好,但是向量数量积涉及的是余弦关系而非正弦关系,这两者之间能否转化呢 生 可以通过三角函数的诱导公式sinθ=Co s(90°-θ)进行转化 师这一转化产生了新角90°-θ,这就为辅助向量j 的添加提供了线索,为方便进一步的运算,辅助向量选取了单位向量j,而j 垂直于三角形一边,且与一边夹角出现了90°-θ这一形式,这是作辅助向量j 垂直于三角形一边的原因师在向量方法证明过程中,构造向量是基础,并由向量的加法原则可得=+而添加垂直于的单位向量j 是关键,为了产生j 与AB、、的数量积,而在上面向量等式的两边同取与向量j 的数量积运算,也就在情理之中了师下面,大家再结合课本进一步体会向量法证明正弦定理的过程,并注意总结在证明过程中所用到的向量知识点点评: (1)在给予学生适当自学时间后,应强调学生注意两向量的夹角是以同起点为前提,以及两向量垂直的充要条件的运用(2)要求学生在巩固向量知识的同时,进一步体会向量知识的工具性作用 向量法证明过程(1)△ABC 为锐角三角形,过点A 作单位向量j 垂直于,则j 与的夹角为-A ,j与的夹角为90°-C由向量的加法原则可得=+为了与图中有关角的三角函数建立联系,我们在上面向量等式的两边同取与向量j 的数量积运算,得到AB j CB AC j ∙=+∙)(由分配律可得j j ∙=∙+∴|j|Co s90°Co s(90°-C )=|j|Co s(90°-A∴A sin C =C sin A ∴CcA a sin sin =另外,过点C 作与垂直的单位向量j,则j 与的夹角为90°+C ,j 与的夹角为90°+B ,可得BbC c sin sin =(此处应强调学生注意两向量夹角是以同起点为前提,防止误解为j 与的夹角为90°-C ,j与的夹角为90°-B∴CcB b A a sin sin sin ==(2)△ABC 为钝角三角形,不妨设A ＞90°,过点A 作与垂直的单位向量j,则j 与的夹角为A -90°,j 与的夹角为90°-C由=+,得j·=j·即A ·Co s(90°-C )=C ·Co s(A -∴A sin C =C sin A∴CcA a sin sin =另外,过点C 作与垂直的单位向量j,则j 与的夹角为90°+C ,j 与夹角为B .同理,可得C cB b sin sin = ∴CcB b simA a sin sin ==（形式1）综上所述,正弦定理对于锐角三角形、直角三角形、钝角三角形均成立 师在证明了正弦定理之后,我们来进一步学习正弦定理的应用[教师精讲]（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k 使A =ksin A ，B =ksin B ，C =ksin C ；（2）C cB b A a sin sin sin == 等价于CcA aB bC c B b A a sin sin ,sin sin ,sin sin === (形式我们通过观察正弦定理的形式2不难得到,利用正弦定理,可以解决以下两类有关三角形问题.①已知三角形的任意两角及其中一边可以求其他边，如BAb a sin sin =.这类问题由于两角已知,故第三角确定,三角形唯一,解唯一,相对容易,课本P 4的例1就属于此类问题②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如B baA sin sin =．此类问题变化较多,我们在解题时要分清题目所给的条件．一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形． 师接下来,我们通过例题评析来进一步体会与总结 ［例题剖析］【例1】在△ABC 中，已知A =32.0°,B =81.8°,A =42.9 c m,解三角形分析:此题属于已知两角和其中一角所对边的问题,直接应用正弦定理可求出边B ,若求边C ,再利用正弦定理即可解：根据三角形内角和定理， C =180°-(A +B )=180°- 根据正弦定理，b =ooA B a 0.32sin 8.81sin 9.42sin sin =≈80.1(cc =osin32.02.66sin 9.42sin sin oA C a =≈74.1(c[方法引导(1)此类问题结果为唯一解,学生较易掌握,如果已知两角和两角所夹的边,也是先利用内角和180°求出第三角,再利用正弦定理(2)对于解三角形中的复杂运算可使用计算器【例2】在△ABC 中，已知A =20c m ，B =28c m ，A =40°，解三角形（角度精确到1°，边长精确到1 c m ）．分析:此例题属于B sin A ＜a ＜b 的情形,故有两解,这样在求解之后呢,无需作进一步的检验,使学生在运用正弦定理求边、角时,感到目的很明确,同时体会分析问题的重要性 解：根据正弦定理，sin B =2040sin 28sin oa Ab =因为0°＜B ＜180°，所以B ≈64°或B（1）当B ≈64°时，C =180°-（A +B ）=180°-（40°+64°）=76°，C =ooA C a 40sin 76sin 20sin sin =≈30(c（2）当B ≈116°时，C =180°-（A +B ）=180°-（40°+116°）=24°，C =ooA C a 40sin 24sin 20sin sin =≈13(c[方法引导]通过此例题可使学生明确,利用正弦定理求角有两种可能,但是都不符合题意,可以通过分析获得,这就要求学生熟悉已知两边和其中一边的对角时解三角形的各种情形.当然对于不符合题意的解的取舍,也可通过三角形的有关性质来判断,对于这一点,我们通过下面的例题来体会变式一：在△ABC 中,已知A ＝60,B ＝50,A ＝38°,求B (精确到1°)和C (保留两个有效数字). 分析:此题属于A ≥B 这一类情形,有一解,也可根据三角形内大角对大边,小角对小边这一性质来排除B 为钝角的情形解：已知B <A ,所以B <A ,因此B 也是锐角∵sin B =6038sin 50sin oa Ab =∴B∴C =180°-(A +B )=180°-∴C =ooA C a 38sin 111sin 60sin sin =[方法引导同样是已知两边和一边对角,但可能出现不同结果,应强调学生注意解题的灵活性,对于本题,如果没有考虑角B 所受限制而求出角B 的两个解,进而求出边C 的两个解,也可利用三角形内两边之和大于第三边,两边之差小于第三边这一性质进而验证而达到排除不符合题意的解变式二：在△ABC 中,已知A ＝28,B ＝20,A ＝120°,求B (精确到1°)和C (保留两个有效数字). 分析:此题属于A 为钝角且A >B 的情形,有一解,可应用正弦定理求解角B 后,利用三角形内角和为180°排除角B 为钝角的情形解：∵sin B =28120sin 20sin oa Ab =∴B ≈38°或B ≈142°(舍去∴C =180°-（A +B ）∴ C =︒︒=120sin 22sin 28sin sin A C a ≈12. [方法引导]此题要求学生注意考虑问题的全面性,对于角B 为钝角的排除也可以结合三角形小角对小边性质而得到(2)综合上述例题要求学生自我总结正弦定理的适用范围,已知两角一边或两边与其中一边的对角解三角形(3)对于已知两边夹角解三角形这一类型,将通过下一节所学习的余弦定理来解 师为巩固本节我们所学内容,接下来进行课堂练习：1.在△ABC 中(结果保留两个有效数字)， (1)已知C =3,A =45°,B =60°，求B(2)已知B ＝12,A ＝30°,B ＝120°,求A解：(1)∵C =180°-(A +B )=180°-(45°+60°)=75°，CcB b sin sin =，∴B =︒︒=75sin 60sin 3sin sin C B c ≈1.6.(2)∵BbA a sin sin =， ∴A =︒︒=120sin 30sin 12sin sin B A b点评:此题为正弦定理的直接应用,意在使学生熟悉正弦定理的内容,可以让数学成绩较弱的学生进行在黑板上解答,以增强其自信心 2.根据下列条件解三角形(角度精确到1°,边长精确到(1)B =11,A =20,B =30°;(2)A =28,B =20,A(3)C =54,B =39,C =115°;(4)A =20,B =28,A解： (1) ∵B bA a sin sin = ∴sin A =1130sin 20sin ︒=b B a∴A 1≈65°，A 2当A 1≈65°时，C 1=180°-(B +A 1)=180°-(30°+65°)=85°，∴C 1=︒︒=30sin 85sin 11sin sin sin 1B C b当A 2≈115°时，C 2=180°-(B +A 2)=180°-∴C 2=︒︒=30sin 35sin 11sin sin 2B C b ≈1(2)∵sin B =2845sin 20sin ︒=a A b∴B 1≈30°，B 2由于A +B 2=45°+150°＞180°,故B 2≈150°应舍去(或者由B ＜A 知B ＜A ,故B 应为锐角∴C =180°-∴C =︒︒=45sin 105sin 28sin sin A C a(3)∵CcB b sin sin = ∴sin B =54115sin 39sin ︒=c C b∴B 1≈41°,B 2由于B ＜C ,故B ＜C ,∴B 2≈139°应舍去 ∴当B =41°时，A =180°-A =︒︒=115sin 24sin 54sin sin C A c(4) sin B =20120sin 28sin ︒=a A b =1.212＞∴本题无解点评:此练习目的是使学生进一步熟悉正弦定理,同时加强解三角形的能力,既要考虑到已知角的正弦值求角的两种可能,又要结合题目的具体情况进行正确取舍 课堂小结通过本节学习,我们一起研究了正弦定理的证明方法,同时了解了向量的工具性作用,并且明确了利用正弦定理所能解决的两类有关三角形问题:已知两角、一边解三角形;已知两边和其中一边的对角解三角形 布置作业（一）课本第10页习题1.1 第1、2题（二）预习内容：课本P 5～P 8余弦定理 [预习提纲(1)复习余弦定理证明中所涉及的有关向量知识 (2)余弦定理如何与向量产生联系(3)利用余弦定理能解决哪些有关三角形问题板书设计 正弦定理1.正弦定理证明方法: 3.利用正弦定理,能够解决两类问题:CcB b A a sin sin sin == (1)平面几何法已知两角和一边(2)向量法 (2)已知两边和其中一边的对角。

课题：§1.1 正弦定理（二） 总第____课时班级_______________ 姓名_______________【学习目标】掌握正弦定理的内容及其等价形式；会运用正弦定理、内角和定理与三角形的面积公式解决一些与测量和几何计算与证明有关的实际问题.【重点难点】学习重点：正弦定理的等价形式及其基本应用.学习难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数.【学习过程】一、自主学习与交流反馈：问题1：对于任意的三角形若已知两边及夹角怎样求三角形的面积?问题2：正弦定理还有哪些等价的变形形式?二、知识建构与应用：例1 在ΔABC 中,已知C c B b A a cos cos cos ==，试判断ΔABC 的形状.例2 在ΔABC 中,AD 是∠BAC 的平分线，如图，用正弦定理证明：DC BD AC AB =.例 3 某登山队在山脚处测得山顶的仰角为，沿倾斜角为的斜坡前进A B 35︒20︒1000180︒-βαβαD CB A米后到达处，又测得山顶的仰角为，求山的高度.例4 判断下列三角形解的情况：（1）已知;（2）已知;（3）已知.四、巩固练习 D 65︒060,12,11===B c b 0110,3,7===A b a 045,9,6===B c b1．在ΔABC 中，已知,150,3,2o ===C b a 则=∆ABC S .2．在中，_________,sin 23==B A b a 则.3．在中，若,60,3︒==A a 那么的外接圆的周长为____ ____.4．在中，若，则.5. 在中,______,cos cos 的形状为则ABC BC b c ∆=.ABC ∆ABC ∆ABC ∆ABC ∆3,600==a A _______sin sin sin =++++C B A c b a ABC ∆6. 中，，则的形状为___ ____.五、回顾反思:六、作业批改情况记录及分析ABC ∆A B B A 22sin tan sin tan ⋅=⋅ABC ∆。

§1.1 正弦定理(二)课时目标1.熟记正弦定理的有关变形公式；2.能够运用正弦定理进行简单的推理与证明．1．正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R 的常见变形：(1)sin A ∶sin B ∶sin C ＝________；(2)a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C＝______； (3)a ＝__________，b ＝________，c ＝____________；(4)sin A ＝__________，sin B ＝__________，sin C ＝__________. 2．三角形面积公式：S ＝____________＝____________＝____________.一、填空题1．在△ABC 中，已知(b ＋c )∶(c ＋a )∶(a ＋b )＝4∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于________．2．在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ＝ccos C，则△ABC 的形状是________．3．在△ABC 中，sin A ＝34，a ＝10，则边长c 的取值范围是________．4．在△ABC 中，a ＝2b cos C ，则这个三角形一定是________三角形．5．如图，点A ，B ，C 是圆O 上的点，且AB ＝4，∠ACB ＝45°，则圆O 的面积等于________．6．已知三角形面积为14，外接圆面积为π，则这个三角形的三边之积为________．7．在△ABC 中，已知a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________.8．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知A ＝60°，a ＝3，b ＝1，则c ＝________.9．在单位圆上有三点A ，B ，C ，设△ABC 三边长分别为a ，b ，c ，则a sin A ＋b 2sin B ＋2csin C＝________.10．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝63，b ＝12，S △ABC ＝183，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C＝________，c ＝________. 二、解答题11．在△ABC 中，求证：a －c cos B b －c cos A ＝sin Bsin A .12．在△ABC 中，已知a 2tan B ＝b 2tan A ，试判断△ABC 的形状．能力提升13．在△ABC 中，B ＝60°，最大边与最小边之比为(3＋1)∶2，则最大角为________．14．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是三个内角A ，B ，C 的对边，若a ＝2，C ＝π4，cos B2＝255，求△ABC的面积S.答案知识梳理1. (1)a∶b∶c (2)2R (3)2R sin A 2R sin B 2R sin C (4)a2Rb2Rc2R2.12ab sin C12bc sin A12ca sin B作业设计1. 7∶5∶3解析∵(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，∴b＋c4＝c＋a5＝a＋b6.令b＋c4＝c＋a5＝a＋b6＝k (k>0)，则⎩⎪⎨⎪⎧b ＋c ＝4kc ＋a ＝5k a ＋b ＝6k，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝72k b ＝52kc ＝32k.∴sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝7∶5∶3. 2．等边三角形解析 由正弦定理知：sin A cos A ＝sin B cos B ＝sin Ccos C，∴tan A ＝tan B ＝tan C ，∴A ＝B ＝C.3.⎝⎛⎦⎥⎤0，403解析 ∵c sin C ＝a sin A ＝403，∴c ＝403sin C ．∴0<c ≤403.4．等腰解析 由a ＝2b cos C 得，sin A ＝2sin B cos C ， ∴sin (B ＋C)＝2sin B cos C ，∴sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B cos C ， ∴sin (B －C)＝0，∴B ＝C. 5．8π解析 ∵2R ＝4sin 45°＝42，∴R ＝2 2.∴S ＝πR 2＝8π.6．1解析 设三角形外接圆半径为R ，则由πR 2＝π，得R ＝1，由S △＝12ab sin C ＝abc 4R ＝abc 4＝14，∴abc ＝1. 7．2 3解析 ∵cos C ＝13，∴sin C ＝223，∴12ab sin C ＝43，∴b ＝2 3.8．2解析 由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得3sin 60°＝1sin B ，∴sin B ＝12，故B ＝30°或150°.由a>b ，得A>B ，∴B ＝30°，故C ＝90°，由勾股定理得c ＝2. 9．7解析 ∵△ABC 的外接圆直径为2R ＝2，∴a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ＝2， ∴a sin A ＋b 2sin B ＋2c sin C ＝2＋1＋4＝7. 10．12 6解析 a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝a sin A ＝6332＝12.∵S △ABC ＝12ab sin C ＝12×63×12sin C ＝183，∴sin C ＝12，∴c sin C ＝asin A＝12，∴c ＝6.11．证明 因为在△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R ，所以左边＝2R sin A －2R sin C cos B 2R sin B －2R sin C cos A ＝sin (B ＋C )－sin C cos B sin (A ＋C )－sin C cos A ＝sin B cos C sin A cos C ＝sin Bsin A＝右边．所以等式成立，即a －c cos B b －c cos A ＝sin Bsin A.12．解 设三角形外接圆半径为R ，则a 2tan B ＝b 2tan A ⇔a 2sin B cos B ＝b 2sin A cos A ⇔4R 2sin 2 A sin B cos B ＝4R 2sin 2B sin A cos A ⇔sin A cos A ＝sin B cos B ⇔sin 2A ＝sin 2B ⇔2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π⇔A ＝B 或A ＋B ＝π2.∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形． 13．75°解析 设C 为最大角，则A 为最小角，则A ＋C ＝120°， ∴sin C sin A ＝sin ()120°－A sin A＝sin 120° cos A －cos 120°sin A sin A＝32tan A ＋12＝3＋12＝32＋12， ∴tan A ＝1，A ＝45°，C ＝75°.14．解 cos B ＝2cos 2 B2－1＝35，故B 为锐角，sin B ＝45.所以sin A ＝sin (π－B －C)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π4－B ＝7210.由正弦定理得c ＝a sin C sin A ＝107，所以S △ABC ＝12ac sin B ＝12×2×107×45＝87.。

第2课时正弦定理(2)1．利用正弦定理判断三角形的形状，计算三角形的面积．(重点) 2．正弦定理与三角恒等变换的综合应用．(难点)3．利用正弦定理解题时，忽略隐含条件而致误．(易错点)[基础·初探]教材整理正弦定理的应用阅读教材P9～P12，完成下列问题．1．正弦定理的深化与变形(1)asin A＝bsin B＝csin C＝________＝________.(2)a＝________，b＝________，c＝________.(3)ab＝________，ac＝________，bc＝________.(4)a∶b∶c＝________：________：________.【答案】(1)2Ra＋b＋csin A＋sin B＋sin C(2)2R sin A2R sin B2R sin C(3)sin Asin Bsin Asin Csin Bsin C(4)sin A sin B sinC2．三角形面积公式S△ABC＝________＝________＝________.【答案】12ab sin C12bc sin A12ac sin B判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在有些三角形中，a ＝sin A ，b ＝sin B ，c ＝sin C ．( ) (2)在△ABC 中，asin A ＝b ＋c sin B ＋sin C.( )(3)在△ABC 中，a ＝2，b ＝1，C ＝30°，则S △ABC ＝1.( )【解析】 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C 可知(1)，(2)正确；又S △ABC ＝12×2×1×sin 30°＝12，故(3)错误．【答案】 (1)√ (2)√ (3)×[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：_________________________________________________ 解惑：_________________________________________________ 疑问2：_________________________________________________ 解惑：_________________________________________________ 疑问3：_________________________________________________ 解惑：_________________________________________________ 疑问4：_________________________________________________ 解惑：_________________________________________________[小组合作型]在△c ，且B ＝30°，c ＝23，b ＝2，求△ABC 的面积S .【精彩点拨】 先求C ，再求A ，最后利用S △ABC ＝12bc sin A 求解． 【自主解答】 由正弦定理得sin C ＝c sin B b ＝23sin 30°2＝32.又∵c >b ，∴C＝60°或C＝120°.当C＝60°时，A＝90°，∴S＝12bc sin A＝23；当C＝120°时，A＝30°，∴S＝12bc sin A＝3，∴△ABC的面积S为23或3.求三角形的面积，要充分挖掘题目中的条件，转化为求两边或两边之积及其夹角正弦的问题，要注意方程思想在解题中的应用．另外也要注意三个内角的取值范围，以避免由三角函数值求角时出现增根错误．[再练一题]1．在△ABC中，cos A＝－513，cos B＝35.(1)求sin C的值；(2)设BC＝5，求△ABC的面积.【导学号：91730004】【解】(1)在△ABC中，0<A<π，0<B<π，A＋B＋C＝π，由cos A＝－513，得sin A＝1213，由cos B＝35，得sin B＝45，∴sin C＝sin(A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B＝1213×35＋⎝⎛⎭⎪⎫－513×45＝1665.(2)在△ABC中，由正弦定理得，AC＝BC×sin Bsin A＝5×451213＝133，∴S△ABC＝12×BC×AC×sin C＝12×5×133×1665＝83.在△ABC 中，已知a 2tan B ＝b 2tan A ，试判断△ABC 的形状． 【精彩点拨】 根据正弦定理可以把问题转化为角的问题，借助三角恒等变换知识化简得到角与角的等量关系，再进一步判断．【自主解答】 由已知得a 2sin B cos B ＝b 2sin Acos A . 由正弦定理得sin 2 A sin B cos B ＝sin 2 B sin Acos A ， 即sin A cos A ＝sin B cos B ，亦即sin 2A ＝sin 2B . ∴2A ＝2B 或2A ＝π－2B ， ∴A ＝B 或A ＝π2－B ，∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形．根据边角关系判断三角形形状的途径根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径： (1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦定理实施边、角转换．[再练一题]2．在△ABC 中，若sin A ＝2sin B cos C ，且sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，试判断△ABC 的形状．【解】 法一：在△ABC 中，根据正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R . ∵sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2R 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2R 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2R 2，即a 2＝b 2＋c 2. ∴A ＝90°，∴B ＋C ＝90°.由sin A ＝2sin B cos C ，得sin 90°＝2sin B cos(90°－B )，∴sin 2B ＝12，∵B 是锐角，∴sin B ＝22，∴B ＝45°，C ＝45°. ∴△ABC 是等腰直角三角形． 法二：在△ABC 中，根据正弦定理： sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R . ∵sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，∴a 2＝b 2＋c 2，∴△ABC 是直角三角形且A ＝90°. ∵A ＝180°－(B ＋C )，sin A ＝2sin B cos C ， ∴sin(B ＋C )＝2sin B cos C ， ∴sin B cos C －cos B sin C ＝0，即sin(B －C )＝0，∴B －C ＝0，即B ＝C ， ∴△ABC 是等腰直角三角形．[探究共研型]图1-1-1【提示】 如图，在B 侧选一条基线BC ，测得BC ＝a ，∠ABC ＝α，∠ACB ＝β，则由正弦定理可知 AB sin β＝BCsin (α＋β)，即AB＝BC sin βsin(α＋β).探究2你能画出下列各角吗？(1)南偏西30°；(2)仰角30°，俯角45°.【提示】如图1-1-2，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C和D.现测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB.图1-1-2【精彩点拨】先求出∠CBD，利用正弦定理求BC，再在△ABC中，求AB.【自主解答】在△BCD中，∠BCD＝α，∠BDC＝β，∴∠CBD＝180°－(α＋β)，∴BCsin β＝ssin[180°－(α＋β)]，即BCsin β＝ssin(α＋β)，∴BC＝sin βsin(α＋β)·s.在△ABC中，由于∠ABC＝90°，∴ABBC＝tan θ，∴AB＝BC·tan θ＝sin β·tan θsin(α＋β)·s.解决实际测量问题的过程一般要充分理解题意，正确作出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解．[再练一题]3．一货轮在海上由西向东航行，在A处望见灯塔C在货轮的东北方向，0.5 h后在B处望见灯塔C在货轮的北偏东30°方向．若货轮的速度为30 n mile/h，当货轮航行到D处望见灯塔C在货轮的西北方向时，求A，D两处的距离．【解】如图所示，在△ABC中，∠A＝45°，∠ABC＝90°＋30°＝120°，∴∠ACB＝180°－45°－120°＝15°，AB＝30×0.5＝15(n mile)．由正弦定理，得AC sin∠ABC ＝ABsin∠ACB，∴AC＝AB sin∠ABCsin∠ACB＝15×sin 120°sin 15°＝32＋62×15(n mile)．在△ACD中，∵∠A＝∠D＝45°，∴△ACD是等腰直角三角形，∴AD＝2AC＝15(3＋3)(n mile)．∴A，D两处之间的距离是15(3＋3)n mile. 答：A，D两处的距离为15(3＋3)n mile.[构建·体系]1．在△ABC中，AB＝3，BC＝1，B＝30°，则△ABC的面积S△ABC＝________.【解析】S△ABC ＝12×AB×BC×sin B＝12×3×1×12＝34.【答案】3 42．在△ABC中，若acos A＝bcos B＝ccos C，则△ABC是________三角形．【解析】由正弦定理asin A＝bsin B＝csin C＝2R可知a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C.由acos A＝bcos B＝ccos C可知tan A＝tan B＝tan C，即A＝B＝C，∴△ABC为等边三角形．【答案】等边3．如图1-1-3所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在A 所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则A，B两点的距离为________ m.【导学号：91730005】图1-1-3【解析】 由题意可知∠ABC ＝180°－105°－45°＝30°，由正弦定理，得AB ＝AC ·sin ∠ACB sin ∠ABC＝50×2212＝502(m)．【答案】 50 24．在△ABC 中，2a sin A －b sin B －csin C ＝________. 【解析】 由正弦定理可知a sin A ＝b sin B ＝csin C ， 故2a sin A －b sin B －csin C ＝0. 【答案】 05．如图1-1-4，A ，B 是海平面上的两个点，相距800 m ．在A 点测得山顶C 的仰角为30°，∠BAD ＝105°，又在B 点测得∠ABD ＝45°，其中D 是点C到水平面的垂足．求山高CD .图1-1-4【解】 在△ABD 中，由正弦定理，得 AD ＝AB sin ∠ABD sin ∠ADB ＝800sin 45°sin (180°－105°－45°)＝8002，在Rt △ACD 中，CD ＝AD ·tan 30°＝8002×33＝80063(m)． 答：山高CD 为80063 m.我还有这些不足：(1)_________________________________________________(2)_________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)_________________________________________________(2)_________________________________________________学业分层测评(二)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．已知△ABC的面积为3且b＝2，c＝2，则A＝______.【解析】∵S△ABC ＝12bc sin A，b＝2，c＝2，∴12×2×2sin A＝3，∴sin A＝3 2.又A∈(0，π)，∴A＝π3或2π3.【答案】π3或2π32．海上有A，B两个小岛相距10 n mile，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B，C间的距离是________ n mile.【解析】如图所示，易知C ＝45°，由正弦定理得AB sin C ＝BC sin A ， ∴BC ＝AB sin Asin C ＝5 6. 【答案】 5 63．(2016·苏州高二检测)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝2，B ＝π6，C ＝π4，则△ABC 的面积为________.【导学号：91730006】【解析】 由正弦定理知，b sin B ＝c sin C ，结合条件得c ＝b sin Csin B ＝2 2. 又sin A ＝sin(π－B －C )＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝6＋24， 所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝3＋1. 【答案】3＋14．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若B ＝2A ，a ＝1，b ＝3，则c ＝________.【解析】 由正弦定理得a sin A ＝bsin B ，∵B ＝2A ，a ＝1，b ＝3， ∴1sin A ＝32sin A cos A .∵A 为三角形的内角，∴sin A ≠0，∴cos A ＝32. 又0＜A ＜π，∴A ＝π6，∴B ＝2A ＝π3.∴C ＝π－A －B ＝π2，即△ABC 为直角三角形， 由勾股定理得c ＝12＋(3)2＝2. 【答案】 25．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若3a ＝2b ，则2sin 2 B －sin 2 Asin 2A的值为________．【解析】 由正弦定理得，原式＝2b 2－a 2a 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫322－1＝72.【答案】 726．(2016·泰州高二检测)在△ABC 中，a ＝2b cos C ，则这个三角形一定是________三角形．【解析】 由a ＝2b cos C 可知 sin A ＝2sin B cos C ， ∴sin(B ＋C )＝2sin B cos C ，∴sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B cos C ， ∴sin(B －C )＝0， ∴B ＝C ，∴b ＝c ， ∴△ABC 为等腰三角形． 【答案】 等腰7．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a sin B ·cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，且a >b ，则B ＝________.【解析】 根据正弦定理将边化角后约去sin B ，得sin(A ＋C )＝12，所以sin B ＝12，又a >b ，所以A >B ，所以B ＝π6.【答案】 π68．在△ABC 中，B ＝60°，最大边与最小边之比为(3＋1)∶2，则最大角为________．【解析】 设最小角为α，则最大角为120°－α， ∴sin (120°－α)sin α＝3＋12，∴2sin(120°－α)＝(3＋1)sin α， ∴sin α＝cos α，∴α＝45°，∴最大角为120°－45°＝75°. 【答案】 75° 二、解答题9．一船以每小时15 km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔B 在北偏东60°，行驶4 h 后，船到达C 处，看到这个灯塔在北偏东15°，求这时船与灯塔的距离．【解】 如图所示，在△ABC 中，∠BAC ＝30°，∠ACB ＝105°，∴∠ABC ＝45°，AC ＝60.根据正弦定理， 得BC ＝AC sin ∠BAC sin ∠ABC＝60sin 30°sin 45°＝302(km)．10．在△ABC 中，∠A 的平分线交BC 于D ，用正弦定理证明：AB AC ＝BDDC . 【证明】 如图，由题意可知，∠1＝∠2，∠3＋∠4＝180°，在△ABD 中，由正弦定理得 AB sin ∠3＝BDsin ∠1，① 在△ADC 中，由正弦定理得 AC sin ∠4＝DCsin ∠2，②又sin ∠1＝sin ∠2，sin ∠3＝sin ∠4， 故①②得AB AC ＝BD DC. [能力提升]1．在△ABC 中，a cos B ＝bcos A ，则△ABC 的形状一定是________． 【解析】 在△ABC 中，∵a cos B ＝bcos A ，∴a cos A ＝b cos B ，由正弦定理， 得2R sin A cos A ＝2R sin B cos B ， ∴sin 2A ＝sin 2B ，∴2A ＝2B 或2A ＋2B ＝180°， ∴A ＝B 或A ＋B ＝90°.故△ABC 为等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形． 【答案】 等腰或直角三角形或等腰直角三角形2．(2016·南京高二检测)在锐角三角形ABC 中，A ＝2B ，a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，则ab 的取值范围为________．【解析】 在锐角三角形ABC 中，A ，B ，C 均小于90°， 即⎩⎨⎧B <90°，2B <90°，180°－3B <90°，∴30°<B <45°.由正弦定理知：a b ＝sin A sin B ＝sin 2Bsin B ＝2cos B ∈(2，3)， 故ab 的取值范围是(2，3)． 【答案】 (2，3)3．△ABC 中，A ＝π3，BC ＝3，则△ABC 的周长为________(用B 表示).【导学号：91730007】【解析】 在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π可知C ＝2π3－B . 由正弦定理得3sin π3＝AB sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B ＝ACsin B ，∴AB ＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B ，AC ＝23sin B ，∴△ABC 的周长为AB ＋AC ＋BC ＝23·⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin B ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B ＋3＝3＋6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6.【答案】 3＋6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π64．(2016·如东高二检测)在△ABC 中，a ＝3，b ＝26，B ＝2A . (1)求cos A 的值； (2)求c 的值．【解】 (1)因为a ＝3，b ＝26，B ＝2A ， 所以在△ABC 中，由正弦定理得3sin A ＝26sin 2A， 所以2sin A cos A sin A ＝263，故cos A ＝63.(2)由(1)知cos A ＝63，所以sin A ＝1－cos 2 A ＝33. 又B ＝2A ，所以cos B ＝2cos 2 A －1＝13， 所以sin B ＝1－cos 2 B ＝223. 在△ABC 中，sin C ＝sin(A ＋B ) ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝539， 所以c ＝a sin Csin A ＝5.。

“正弦定理”教学设计顺昌一中张晨曦一、教学内容解析《正弦定理》是高中课程数学必修5第一章第一节内容，教学安排二个课时，本节为第一课时内容。

学生在初中已经学习了直角三角形的边角关系。

教师带领学生从已有知识出发，通过对实际问题的探索，构建数学模型，利用观察-猜想-验证-发现正弦定理，并从理论上加以证实，最后进行简单的应用。

课本按照从简原则和最近发展区原则，采用“作高法”证明了正弦定理。

教学过程中，为了发展学生思维，再引导学生从向量，作外接圆，三角形面积计算等角度找到证明的途径，让学生感受数学知识相互紧密联系的特点。

正弦定理是研究任意三角形边角之间关系的重要开端；用正弦定理解三角形，是典型的用代数的方法来解决的几何问题的类型；正弦定理作为三角形中的一个定理，在日常生活和工业生产中的应用又十分广泛。

因此，正弦定理的地位体现在它的基础性，作用体现在它的工具性。

二、学生学情分析正弦定理是学生在已经系统学习了平面几何，解直角三角形，三角函数，平面向量等知识基础上进行的。

虽然对于学生来说，有一定观察、分析、解决问题的能力，但正弦定理的发现，探索、证明还是有一定的难度，教师恰当引导调动学生学习主动性，注重前后知识间的联系，激起学生学习新知的兴趣和欲望，发现并探索正弦定理。

三、教学目标定位1、掌握正弦定理的内容及其证明方法；能用正弦定理解决一些简单的三角度量问题；2、让学生从已有的几何知识出发,探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察、猜想、推导，由特殊到一般归纳出正弦定理，培养学生合情推理探索数学规律的数学思想能力。

3、通过参与、思考、交流，体验正弦定理的发现及探索过程，逐步学生培养探索精神和创新意识。

教学重点：正弦定理的探索与发现。

教学难点：正弦定理证明及简单应用。

四、教学策略“数学教学是数学活动的教学”，“数学活动是思维的活动”，新课标也在倡导独立自主，合作交流，积极主动，勇于探索的学习方式。

基于这种理念的指导，在教法上采用探究发现式课堂教学模式，在学法上以学生独立自主和合作交流为前提，在教师的启发引导下，以“正弦定理的发现”为基本探究内容，结合现代多媒体教学手段，通过观猜想—验证--发现--证明--应用等环节逐步得到深化，体验数学知识的内在联系，增强学生由特殊到一般的数学思维能力，逐步培养学生探索精神和创新意识。

《正弦定理与解三角形》教学设计一、教学目标：（1）知识与技能目标：通过自主学习正弦定理，学生能够解斜三角形（2）过程与方法目标：培养学生学会分析问题，合理运用定理解决三角形问题。

培养学生合情推理探索数学规律的数学思维能力。

（3）情感、态度、价值观：激发学生学习兴趣，在教学过程中激发学生的探索精神。

二、教学的重点和难点：本课的教学重点：正弦定理的运用、解三角形中边角互化问题；本课的教学难点：解三角形中恒等变换及综合问题。

三、教学方法：主要采取的教学方法：引导启发法。

在本节课的教学中主要渗透自主探究法、小组讨论法等。

四、教学过程：（一）导入新课本课主要采用：直接导入，情境导入等等本节课由初中的解直角三角形引入如何解斜三角形，让学生复习回顾正弦定理的内容，进而引入正弦定理的证明。

这种方法，不仅能引起学生的兴趣，而且能够引导学生思考，并且引出新课题。

（二）讲授新课在讲授新课时，为了突出本节课的第一维知识与技能目标，首先引导学生自主学习，学生对基本的概念和知识初步感知，学习完成后，会解斜三角形，注意多解的情况，具体过程如下：（讲授第一维目标）通过这种方法，既体现了新课改中以学生为主体的思想，又调动了学生学习的积极性。

这部分讲授完成后，开始讲解本节课的难点，也就是第二维过程与方法目标，引导学生进行探究学习，学生先进行探究学习，具体过程如下：（讲授第二维目标）通过这种方法，既让学生能够深入理解这种方法，也可以增进学生之间相互帮助的情感。

（三）巩固练习完成变式１（四）小结（五）作业布置布置课后作业，包括必做题和选做题，必做题主要以基础算式为主，选做题会选用一些开放性较高，需要学生进行发散思考的问题，以满足那些学有余力的同学。

五、板书设计板书设计采用图文并茂的形式，清晰展示全文整体结构，突出重点，彰显文章主题。

第一章解三角形1.1正弦定理第一课时正弦定理[新知初探]1．正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦之比相等，即asin A＝bsin B＝csin C＝2R，其中R是三角形外接圆的半径．2．正弦定理的变形：(1)a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C；(2)a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin_C；(3)sin A＝a2R，sin B＝b2R，sin C＝c2R；(4)a sin B＝b sin A，b sin C＝c sin B，a sin_C＝c sin_A.(5)asin A＝bsin B＝csin C＝a＋b＋csin A＋sin B＋sin C.[点睛]正弦定理的变形实现了角化边、边化角的转换，应根据需要进行选择．3．解三角形(1)解三角形是指由六个元素(三条边和三个角)中的三个元素(至少有一个是边)，求其余三个未知元素的过程．(2)利用正弦定理可解决以下两类解三角形问题：①已知三角形的两角及任一边，求其他两边和一角；②已知三角形的两边和其中一边对角，求另一边的对角(从而进一步求出其他的边预习课本P5～8，思考并完成以下问题和角)．[点睛]已知两边和其中一边所对角求另一边的对角时可能会出现无解、一解、两解的情况．如下表所示(已知a，b，A，求B)[小试身手]1．在△ABC中，a＝4，A＝45°，B＝60°，则边b＝________.解析：由正弦定理，有asin A＝bsin B，所以b＝a sin Bsin A＝4×sin 60°sin 45°＝2 6.答案：2 62．在△ABC中，已知BC＝5，sin C＝2sin A，则AB＝________.解析：由正弦定理，得AB＝sin Csin A×BC＝2BC＝2 5.答案：2 53．在△ABC中，若A＝60°，B＝45°，BC＝32，则AC＝________.解析：由正弦定理，得BCsin A＝AC sin B，即32sin 60°＝ACsin 45°，∴AC＝3232×22＝2 3.答案：2 34．△ABC中，a＝5，b＝3，sin B＝22，则符合条件的三角形有________个．解析：因为a sin B＝102，所以a sin B<b＝3<a＝5，所以，符合条件的三角形有2个．答案：2[典例] 在△ABC 中，A ＝30°，C ＝105°，a ＝10，求b ，c ，B . [解] 因为A ＝30°，C ＝105°，所以B ＝45°. 因为a sin A ＝b sin B ＝c sin C， 所以b ＝a sin B sin A ＝10sin 45°sin 30°＝102， c ＝a sin C sin A ＝10sin 105°sin 30°＝52＋5 6.[活学活用]1．在△ABC 中，A ＝30°，B ＝120°，b ＝12，则a ＋c ＝________.解析：因为C ＝180°－(A ＋B )＝180°－(120°＋30°)＝30°，所以A ＝C ，a ＝c .由正弦定理a sin A ＝b sin B， 得a ＝b sin A sin B ＝12×sin 30°sin 120°＝12×1232＝4 3.所以a ＋c ＝2a ＝8 3. 答案：8 32．在△ABC 中，若tan A ＝13，C ＝150°，BC ＝1，则AB ＝________.解析：因为tan A ＝13，所以sin A ＝1010.由正弦定理知AB ＝BC sin A ·sin C ＝10sin 150°＝102. 答案：1023．在△ABC 中，已知A ＝45°，B ＝30°，c ＝10，求a ，b ，C . 解：C ＝180°－(A ＋B )＝180°－(45°＋30°)＝105°. 由正弦定理a sin A ＝csin C，得a ＝c sin A sin C ＝10×sin 45°sin 105°＝10×226＋24＝10(3－1)．由b sin B ＝a sin A ，得b ＝a sin B sin A ＝10(3－1)·sin 30°sin 45°＝5(6－2).[典例] [解] 因为a sin A ＝c sin C，所以sin A ＝a sin C c ＝2×326＝22，因为c >a ，所以C >A ，所以A ＝45°. 所以B ＝180°－60°－45°＝75°. 因为c sin C ＝bsin B， 所以b ＝c sin B sin C ＝6·sin 75°sin 60°＝6×6＋2432＝3＋1.[活学活用]1．在△ABC 中，已知a ＝52，c ＝10，A ＝30°，则B ＝________. 解析：因为，a ＝52，c ＝10，A ＝30°，根据正弦定理可知a sin A ＝csin C所以，sin C ＝c sin A a ＝22，所以C ＝45°或135°，即B ＝105°或15°. 答案：105°或15°2．△ABC 中，B ＝45°，b ＝2，a ＝1，则角A ＝________.解析：由正弦定理得，1sin A＝2sin 45°，解得sin A＝12，所以A＝30°或A＝150°.又因b>a，所以B>A，则A＝30°.答案：30°[典例]在△[解析]由正弦定理知bsin B＝csin C，所以，b＋csin B＋sin C ＝bsin B，b＝b＋csin B＋sin C·sin B＝sin 30°sin 45°＋sin 30°＝2－1.[答案]2－1[活学活用]在△ABC中，若a cos A＝b sin B，则sin A cos A＋cos2B＝________.解析：由正弦定理，可得sin A cos A＝sin2B，即sin A cos A＝1－cos2B，所以sin A cos A ＋cos2B＝1.答案：1层级一学业水平达标1．在△ABC中，已知BC＝12，A＝60°，B＝45°，则AC＝________.解析：由正弦定理得ACsin B＝BCsin A，即ACsin 45°＝12sin 60°，所以AC＝4 6.答案：4 62．在△ABC中，若b＝5，B＝π4，sin A＝13，则a＝______.解析：由正弦定理得asin A＝bsin B，又b＝5，B＝π4，sin A＝13，所以a13＝5sinπ4，a＝523.答案：52 33．在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则sin B＝________.解析：根据正弦定理asin A＝bsin B，可得15sin 60°＝10sin B，解得sin B＝33.答案：3 34．在△ABC中，B＝30°，C＝120°，则a∶b∶c＝________.解析：A＝180°－30°－120°＝30°，由正弦定理得：a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C ＝1∶1∶ 3.答案：1∶1∶ 35．在△ABC中，a＝b sin A，则△ABC一定是________．解析：由题意有asin A＝b＝bsin B，则sin B＝1，即角B为直角，故△ABC是直角三角形．答案：直角三角形6．在△ABC中，已知c＝6，A＝45°，a＝2，则B＝________.解析：∵asin A＝csin C，∴sin C＝c sin Aa＝6×sin 45°2＝32，∴C＝60°或120°，当C＝60°时，B＝180°－45°－60°＝75°，当C＝120°时，B＝180°－45°－120°＝15°.答案：75°或15°7．已知△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝c＝6＋2且A＝75°，则b＝________.解析：sin A＝sin 75°＝sin (30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋sin 45°·cos 30°＝2＋64，由a＝c＝6＋2，可知，C＝75°，所以B＝30°，sin B＝1 2，由正弦定理得b＝asin A·sin B＝2＋62＋64×12＝2.答案：28．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若A＝105°，B＝45°，b＝22，则c＝________.解析：根据三角形内角和定理，C ＝180°－(A ＋B )＝30°.根据正弦定理：c ＝b sin C sin B ＝22sin 30°sin 45°＝2.答案：29．在△ABC 中，已知b ＝63，c ＝6，C ＝30°，求a . 解：由正弦定理得b sin B ＝c sin C， 所以sin B ＝b sin Cc ＝32， 因为b >c ，所以B >C ＝30°. 所以B ＝60°或B ＝120°. 当B ＝60°时，A ＝90°， 则a ＝c sin Asin C＝12.当B ＝120°时，A ＝30°， 则a ＝c ＝6. 所以a ＝6或a ＝12.10．在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，求证：a 2sin 2B ＋b 2sin 2A ＝2ab sin C .证明：因为左边＝4R 2sin 2A ·sin 2B ＋4R 2sin 2B ·sin 2A ＝8R 2sin 2A sin B cos B ＋8R 2sin 2B ·sin A cos A ＝8R 2sin A sin B (sin A cos B ＋cos A sin B ) ＝8R 2sin A sin B sin(A ＋B )＝8R 2sin A sin B sin C ＝2·(2R sin A )·(2R sin B )·sin C ＝2ab sin C ＝右边， 所以等式成立．层级二 应试能力达标1．在△ABC 中，若A ＝60°，a ＝3，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C＝________.解析：利用正弦定理变形，得a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C，所以a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝3sin 60°＝2.答案：22．在△ABC 中，已知b ＝4，c ＝8，B ＝30°，则a ＝________. 解析：由正弦定理，得sin C ＝c sin B b ＝8sin 30°4＝1. 所以C ＝90°，A ＝180°－90°－30°＝60°. 又由正弦定理，得a ＝b sin A sin B ＝4sin 60°sin 30°＝4 3.答案：4 33．在△ABC 中，a ＝23，b ＝22，B ＝45°，则A 等于______．解析：由正弦定理得，a sin A ＝b sin B ，解得sin A ＝32，又a >b ，所以A ＝60°或120°.答案：60°或120°4．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对应边分别为x ，b ，c ，若满足b ＝2，B ＝45°的△ABC 恰有两解，则x 的取值范围是________．解析：要使△ABC 恰有两解，x sin 45°<2<x ，解得2<x <2 2. 答案：(2,22)5．若A ＝60°，a ＝23，则a ＋2b ＋3csin A ＋2sin B ＋3sin C＝______.解析：由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C得 a ＋2b ＋3c sin A ＋2sin B ＋3sin C ＝a sin A ＝2332＝4.答案：46．设△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且a cos B －b cos A ＝35c ，则tan A tan B＝________. 解析：已知a cos B －b cos A ＝35c ，由正弦定理，得sin A ·cos B －sin B cos A ＝35sin C ，sinA cosB －cos A sin B ＝35(sin A cos B ＋cos A sin B )，所以2sin A cos B ＝8cos A ·sin B ，即tan A tan B ＝4.答案：47．在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别是A ，B ，C 的对边．若B ＝A ＋60°，b ＝2a ，求角A 的大小．解：因为B ＝A ＋60°，所以sin B ＝sin(A ＋60°)＝12sin A ＋32cos A ．①又b ＝2a ，所以2R sin B ＝4R sin A ， 所以sin B ＝2sin A ．②由①②得2sin A ＝12sin A ＋32cos A ，即3sin A ＝3cos A ， 所以tan A ＝33.又0°<A <180°，所以A ＝30°.8．已知△ABC 的各边均不相等，设A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a cos A ＝b cos B ，求a ＋bc 的取值范围．解：∵a cos A ＝b cos B ，∴sin A cos A ＝sin B cos B ， ∴sin 2A ＝sin 2B .∵2A,2B ∈(0,2π)，∴2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π， ∴A ＝B 或A ＋B ＝π2.如果A ＝B ，则a ＝b 不符合题意，∴A ＋B ＝π2.∴a ＋bc ＝sin A ＋sin Bsin C＝sin A ＋sin B ＝sin A ＋cos A ＝2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4， ∵a ≠b ，C ＝π2，∴A ∈⎝⎛⎭⎫0，π2且A ≠π4， ∴a ＋bc∈(1，2)． 第二课时 正弦定理的应用[新知初探]三角形的面积公式(1)S ＝12a ·h a (h a 表示a 边上的高)．(2)S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B .[点睛] 三角形的面积公式S ＝12ab sin C 与原来的面积公式S ＝12a ·h (h 为a 边上的高)的预习课本P9～11，思考并完成以下问题关系为：h ＝b sin C ，实质上b sin C 就是△ABC 中a 边上的高．[小试身手]1．在△ABC 中，a ＝2，b ＝3，C ＝120°，则S △ABC ＝________. 解析：S △ABC ＝12ab sin C ＝12×2×3×sin 120°＝332.答案：3322．已知△ABC 中，AB ＝6，A ＝30°，B ＝120°，则△ABC 的面积为________． 解析：由已知得：C ＝180°－30°－120°＝30°，由正弦定理得AB sin C ＝BCsin A，解得BC ＝6，所以S △ABC ＝12AB ·BC ·sin B ＝12×6×6×32＝9 3.答案：9 33．已知A ，B 两岛相距10 n mile ，从A 岛看B ，C 两岛的视角是60°，从B 岛看A ，C 两岛的视角是75°，则B ，C 两岛的距离为________ n mile.解析：如图所示：易知C ＝45°，由正弦定理得AB sin C ＝BCsin A ，∴BC ＝AB sin Asin C ＝5 6.答案：5 64．若△ABC 的面积为3，BC ＝2，C ＝60°，则边AB 的长度等于________． 解析：因为S △ABC ＝3，BC ＝2，C ＝60°，所以3＝12×2×AC ×32，解得AC ＝2，所以△ABC 为正三角形，所以AB ＝2.答案：2[典例] 在△ABC [解] 由正弦定理，得sin C ＝AB ·sin B AC ＝32， 又AB ·sin B <AC <AB ，故该三角形有两解：C ＝60°或120°. ∴当C ＝60°时，A ＝90°，S △ABC ＝12AB ·AC ＝23；当C ＝120°时，A ＝30°，S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A ＝ 3.∴△ABC 的面积为23或 3.[活学活用]1．在△ABC 中，a ＝4，b ＝6，S △ABC ＝62，则C ＝________. 解析：S △ABC ＝12ab sin C＝12×4×6sin C ＝12sin C ＝62，∴sin C ＝22. ∵0<C <180°，∴C ＝45°或135°. 答案：45°或135°2．在钝角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，A ＝30°，c ＝3，则△ABC 的面积为________．解析：在钝角△ABC 中，由a ＝1，A ＝30°，c ＝3，利用正弦定理可知C ＝120°，得到B ＝30°，利用面积公式得S △ABC ＝12×1×3×12＝34.答案：34[典例] (1)在△ABC 中，cos A a ＝cos B b ＝cos Cc，试判断△ABC 的形状；(2)在△ABC 中，sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，且sin A ＝2sin B ·cos C ．试判断△ABC 的形状． [解] (1)(化边为角)根据正弦定理，得到cos A sin A ＝cos B sin B ＝cos C sin C ，整理为1tan A ＝1tan B＝1tan C. ∵A ，B ，C ∈(0，π)，∴A ＝B ＝C ， ∴△ABC 为等边三角形． (2)(化角为边)由正弦定理，得 sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R.∵sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，∴⎝⎛⎭⎫a 2R 2＝⎝⎛⎭⎫b 2R 2＋⎝⎛⎭⎫c 2R 2， 即a 2＝b 2＋c 2，故A ＝90°.∴C ＝90°－B ，cos C ＝sin B . ∴2sin B ·cos C ＝2sin 2B ＝sin A ＝1. ∴sin B ＝22. ∴B ＝45°或B ＝135°(A ＋B ＝225°＞180°，故舍去)． ∴△ABC 是等腰直角三角形．[活学活用]1．在△ABC 中，若cos C b ＝cos Bc，判断△ABC 的形状． 解：根据正弦定理，得到2R sin C cos C ＝2R sin B cos B ，即12sin 2B ＝12sin 2C ，则sin 2B＝sin 2C ，∴B ＝C 或2B ＝π－2C ，∴B ＝C 或B ＋C ＝π2，∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．2．在△ABC 中，a cos ⎝⎛⎭⎫π2－A ＝b cos π2－B ，判断△ABC 的形状． 解：法一：(化角为边)∵a cos ⎝⎛⎭⎫π2－A ＝b cos ⎝⎛⎭⎫π2－B ， ∴a sin A ＝b sin B ．由正弦定理可得：a ·a 2R ＝b ·b2R .∴a 2＝b 2，∴a ＝b ，∴△ABC 为等腰三角形． 法二：(化边为角)∵a cos ⎝⎛⎭⎫π2－A ＝b cos ⎝⎛⎭⎫π2－B ， ∴a sin A ＝b sin B .由正弦定理可得：2R sin 2A ＝2R sin 2B ，即sin A ＝sin B ， ∴A ＝B (A ＋B ＝π不合题意舍去)， 故△ABC 为等腰三角形.[典例] 如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 和D .现测得∠BCD ＝α，∠BDC ＝β，CD ＝s ，并在点C 测得塔顶A 的仰角为θ，求塔高AB .[解] 在△BCD 中，∠BCD ＝α，∠BDC ＝β， ∴∠CBD ＝180°－(α＋β)， ∴BC sin β＝ssin[180°－(α＋β)]， 即BC sin β＝s sin (α＋β).∴BC ＝sin βsin (α＋β)·s . 在△ABC 中，由于∠ABC ＝90°，∴ABBC＝tan θ. ∴AB ＝BC ·tan θ＝sin β·tan θsin (α＋β)·s .如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从A 点测得M 点的仰角∠MAN ＝60°，C 点的仰角∠CAB ＝45°以及∠MAC ＝75°；从C 点测得∠MCA ＝60°.已知山高BC ＝100 m ，则山高MN ＝________ m.解析：设MN ＝x m ，则MA ＝2x3m ．在△ABC 中，BC ＝100 m ，则AC ＝100 2 m ，在△MAC 中，∠AMC ＝180°－75°－60°＝45°，由正弦定理得ACsin ∠AMC＝MA sin ∠MCA ，则1002sin 45°＝2x 3sin 60°，解得x ＝150(m)．答案：150层级一 学业水平达标1．在△ABC 中，sin A ＝sin C ，则△ABC 的形状是________． 解析：在△ABC 中，由正弦定理得a ＝c . ∴△ABC 为等腰三角形． 答案：等腰三角形2．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝2，B ＝π6，C ＝π4，则△ABC的面积为________．解析：由正弦定理知，b sin B ＝c sin C ，结合条件得c ＝b sin Csin B ＝2 2.又sin A ＝sin(π－B －C )＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝6＋24，所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝3＋1.答案：3＋13．在△ABC 中，若b ＝a cos C ，则△ABC 的形状是________． 解析：∵b ＝a cos C ，a sin A ＝bsin B ，∴sin B ＝sin A cos C .∵B ＝π－(A ＋C )，∴sin(A ＋C )＝sin A cos C . 即sin A cos C ＋cos A sin C ＝sin A cos C ， ∴cos A sin C ＝0，∵A ，C ∈(0，π)，∴cos A ＝0，即A ＝π2，∴△ABC 为直角三角形． 答案：直角三角形4.在埃及，有许多金字塔形的王陵，经过几千年的风化蚀食，有不少已经损坏了，考古人员在研究中测得一座金字塔的纵截面如图(顶部已经坍塌了)，A ＝50°，B ＝55°，AB ＝120 m ，则它的高为________ m ．(结果取整数)解析：延长AM ，BN 交于点C (图略)，C ＝180°－A －B ＝75°. 由正弦定理有，AC ＝ABsin C ·sin B ＝120sin 55°sin 75°. 设高为h ，则h ＝AC ·sin A ＝120sin 55°sin 75°·sin 50°≈78(m)．答案：785．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝4b sin A ，则cos B ＝________.解析：∵a ＝4b sin A ，由正弦定理得 sin A ＝4sin B sin A ，∴sin B ＝14，cos B ＝1－sin 2B ＝ 1－⎝⎛⎭⎫142＝154. 答案：1546．在△ABC 中，已知b 2sin 2C ＋c 2sin 2B ＝2bc cos B cos C ，则△ABC 的形状为________．解析：∵b 2sin 2C ＋c 2sin 2B ＝2bc cos B cos C ，由正弦定理，得2sin 2B sin 2C ＝2sin B sin C cos B cos C ，即sin B sin C ＝cos B cos C ，∴cos(B ＋C )＝0，∴B ＋C ＝90°，∴A ＝90°， ∴△ABC 是直角三角形． 答案：直角三角形7．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，A ＝60°，a ＝3，b ＝1，则c ＝________.解析：由a sin A ＝b sin B ，所以332＝1sin B，所以sin B ＝12，又∵a >b ，∴B ＝30°，∴C ＝90°，∴△ABC 为直角三角形，由勾股定理得c ＝2.答案：28．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，若a ＝2，b ＝6，A ＋C ＝2B ，则A ＝________.解析：因为⎩⎪⎨⎪⎧A ＋C ＝2B ，A ＋B ＋C ＝π，所以B ＝π3，又因为a sin A ＝b sin B ，所以sin A ＝a sin B b ＝2×326＝22，所以A ＝45°. 答案：45°9.如图，一船以每小时15 km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔B 在北偏东60°，行驶4 h 后，船到达C 处，看到这个灯塔在北偏东15°，求此时船与灯塔的距离．解：如题图，由正弦定理得， BCsin (90°－60°)＝15×4sin 45°，所以BC ＝30 2 km.∴此时船与灯塔的距离为30 2 km.10．在△ABC 中，已知a ＝2b cos C ，求证：△ABC 为等腰三角形． 解：因为，a ＝2b cos C ，所以，由正弦定理得2R sin A ＝4R sin B cos C .所以2cos C sin B ＝sin A ＝sin (B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ．所以sin B cos C －cos B sin C ＝0，即sin (B －C )＝0.所以B －C ＝n π(n ∈Z)． 又因为B ，C 是三角形的内角，所以B ＝C ，即△ABC 为等腰三角形．层级二 应试能力达标1．在△ABC 中，lg(sin A ＋sin C )＝2lg sin B －lg(sin C －sin A )，则该三角形的形状是________．解析：由已知条件，lg(sin A ＋sin C )＋lg(sin C －sin A )＝lg sin 2B ， ∴sin 2C －sin 2A ＝sin 2B . 由正弦定理可得c 2＝a 2＋b 2. 故三角形为直角三角形． 答案：直角三角形2.如图，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°，则AB ＝________ m.解析：因为∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°，所以∠ABC ＝30°，根据正弦定理得50sin 30°＝AB sin 45°，解得AB ＝50 2 m. 答案：50 23．在△ABC 中，已知a 2sin B cos B ＝b 2sin Acos A ，则△ABC 的形状为________．解析：因为a 2sin B cos B ＝b 2sin Acos A ，a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，所以4R 2sin 2A sin B cos B ＝4R 2sin 2B sin Acos A .又因为sin A sin B ≠0，所以sin A cos A ＝sin B cos B ，即sin 2A ＝sin 2B . 所以2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B 或A ＋B ＝π2.故△ABC 是等腰三角形或直角三角形． 答案：等腰三角形或直角三角形4．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为________．解析：依据题设条件的特点，由正弦定理，得sin B cos C ＋cos B ·sin C ＝sin 2A ，有sin(B ＋C )＝sin 2A ，从而sin(B ＋C )＝sin A ＝sin 2A ，解得sin A ＝1，∴A ＝π2.答案：直角三角形5．在△ABC 中，b ＝8，c ＝83，S △ABC ＝163，则A ＝________.解析：由S △ABC ＝12bc sin A 得sin A ＝12，又因为0°<A <180°，所以A ＝30°或150°.答案：30°或150°6．一船在海面A 处望见两灯塔P ，Q 在北偏西15°的一条直线上，设船沿东北方向航行4 n mile 到达B 处，望见灯塔P 在正西方向，灯塔Q 在西北方向，则两灯塔的距离为________ n mile.解析：如图，在△ABP 中，AB ＝4，∠ABP ＝45°，∠BAP ＝60°. ∴∠APB ＝75°. 由正弦定理，得AB sin 75°＝BPsin 60°，∴BP ＝4sin 60°sin 75°＝62－2 6.在△BPQ 中，∠PBQ ＝45°， ∠AQB ＝30°.由正弦定理，得PQ ＝BP sin 45°sin 30°＝12－43，∴两灯塔相距(12－43)n mile. 答案：12－4 37.我炮兵阵地位于地面A 处，两观察所分别位于地面点C 和D处，已知CD ＝6 000 m ，∠ACD ＝45°，∠ADC ＝75°，目标出现于地面点B 处时，测得∠BCD ＝30°，∠BDC ＝15°(如图)，求炮兵阵地到目标的距离．解：在△ACD 中，∠CAD ＝180°－∠ACD －∠ADC ＝60°，CD ＝6 000，∠ACD ＝45°，根据正弦定理，有AD ＝CD sin 45°sin 60°＝23CD . 同理，在△BCD 中，∠CBD ＝180°－∠BCD －∠BDC ＝135°，CD ＝6 000，∠BCD ＝30°，根据正弦定理，有BD ＝CD sin 30°sin 135°＝22CD .又在△ABD 中，∠ADB ＝∠ADC ＋∠BDC ＝90°. 根据勾股定理，有 AB ＝AD 2＋BD 2＝23＋12CD ＝426CD ＝1 00042，所以炮兵阵地到目标的距离为1 00042 m.8．在△ABC中，cos A＝－513，cos B＝35.(1)求sin C的值；(2)设BC＝5，求△ABC的面积．解：在△ABC中，由cos A＝－513，得sin A＝1213，由cos B＝35，得sin B＝45.所以sin C＝sin (A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B＝1665.(2)由正弦定理得AC＝BC×sin Bsin A＝5×451213＝133，所以△ABC的面积S＝12×BC×AC×sin C＝12×5×133×1665＝83.。