人教版高数必修五第2讲：正弦定理和余弦定理的应用(教师版)

【学习目标】
1.掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。

2.通过引导学生分析，解答三个典型例子，使学生学会综合运用正、余弦定理，三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题。

【学习重点】在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。

【学习难点】正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用
【授课类型】新授课
【教具】课件、电子白板
【学习方法】
．在∆ABC。

正弦定理、余弦定理的应用教学设计一、教材分析：（一）教材的地位和作用本课内容为人教A 版本必修5，§1.1.1正弦定理、§1.1.2余弦定理后的一节复习课.正弦定理、余弦定理是必修四第一章《三角函数》和第三章《三角恒等变换》的后续学习，是对三角形边角关系的探索和运用，具有较强的应用性．本节课是在学生初步掌握两个定理的基础上，对知识的综合运用，从解三角形的角度认识两个定理，根据三角形的已知元素运用方程思想判断应用哪个定理求解，从宏观角度把握两个定理，起到总结、提升作用的同时也为§1.2应用举例（正弦定理、余弦定理的实际应用）奠定了一定的基础．（二）教学目标：1．掌握正弦、余弦定理的结构，能根据实际问题合理选择定理，能正确判断三角形两解问题，体会数形结合思想.2．通过解三角形的一些应用，总结解三角形的一般方法，体会两个定理在解任意三角形问题时的应用特点，提高分析、归纳能力.3．能够利用正弦、余弦定理解决解三角形的综合问题，增强运用定理解决实际问题的能力和数学建模意识.（三）教学重点、难点：重点：掌握正、余弦定理的适用范围；根据题设会选择利用正弦定理、余弦定理来解三角形.难点：根据题设会选择利用正弦定理、余弦定理来化解三角形，在应用过程中体会、总结正、余弦定理的应用价值. 二、学情分析学生具备了一定的解三角形的知识，知道正弦定理和余弦定理的内容，并能简单应用.但是对于复杂的解三角形问题，还不能准确判断如何选择定理.从学生的思维特点和认知水平来看，具有一定的等式变换的基础但是方程思想的运用还有待提高. 三、教学导图四、教学过程： （一）问题情境休渔期内，在海岸A 处发现北偏东︒45方向，距A 处13-海里的B 处，有一艘偷捕船.在A 处北偏西︒75方向，距A 处2海里的C 处有一搜执法船奉命以310海里/小时的速度追截偷捕船.此时偷捕船正以10海里/小时的速度从B 处向北偏东︒30的方向逃窜，问执问题情境方法探究小结反思三 边两边及一边对角 两边及夹角一边两角总结提升问题情境解决 }法船沿什么方向能最快追上偷捕船，并求出所需时间.动画演示后提出问题：问题1：如何在几何图形中表示“执法船追上走私船”你能否根据题目情境描述画出船航行的方位示意图？问题2：你判断应该用什么知识解决这个问题？ 【设计意图】引出课题：正弦定理、余弦定理的应用 （二）方法探究 1.知识回顾 （1）正弦定理R CcB b A a 2sin sin sin ===（R 为ABC ∆外接圆半径） （2）余弦定理及推论A bc c b a cos 2222-+= bca cb A 2cos 222-+=B ac c a b cos 2222-+= acb c a B 2cos 222-+=⇒C ab b a c cos 2222-+= abc b a C 2cos 222-+=问题3：用正弦定理和余弦定理解决情境中的问题，需要构造怎样的图形？问题4：在上面图形中的两个三角形，哪一个可以直接求解？ 生：ABC ∆.DD师：我们把这个问题抽象为一个数学问题.例1：在ABC ∆中，C B A ∠∠∠,,的对边分别为c b a ,,，已知132-==c b ,，︒=∠120A ，解这个三角形.问题5：本题已知怎样的边、角？满足条件的三角形是唯一的吗？依据是什么？ 根据已知条件可知此三角形已知两边及夹角，有三角形全等的判定方法可知此三角形是确定的.问题6：你选择用哪个定理解这个三角形？ 已知两边及夹角，应用余弦定理.问题7：已知哪些元素，三角形是唯一确定的？问题8：需要构造怎样的条件，才能应用两个定理解三角形？【设计意图】引发学生对三角形中元素进行思考，从定性角度思考确定三角形的条件. 下面我们变化已知条件，继续研究.变式1：在ABC ∆中，C B A ∠∠∠,,的对边分别为c b a ,,，若︒=∠==4523B b a ,,，求.A ∠【设计意图】学生展示解答过程，能够通过大边对大角判断三角形两解问题.变式2：在ABC ∆中，若.,,,c b a B 求2326===π【设计意图】通过两种解法的对比，感受已知两边及一边的对角解三角形时既可以应用正弦定理也可以应用余弦定理.体会方程思想在解三角形中的应用.变式3：在ABC ∆中，若.,2,4,127a b B C 求===ππ 【设计意图】利用三角形内角和解出角A ，再应用正弦定理建立方程，强化三角形边角关系.（三）总结提升问题9：已知哪些元素三角形可解？选择哪个定理求解？你还能补充吗？ 请同桌之间互相讨论，补充、总结.【设计意图】通过小组讨论，总结正弦定理和余弦定理可以解决哪几类解三角形问题，学会选择定理，提升对两个定理的认识，提高总结概括能力.(1) 已知三边A bc c b a cos 2222-+=CcB b A a sin sin sin == ABC13-2︒120通过方程结构发现：应用正弦定理无法求解.根据余弦定理已知三边可以建立任意一角的方程，所以此种情况选择应用余弦定理求解.(2) 已知两边及夹角A bc c b a cos 2222-+=结合三角形内角和为π，再应用正弦定理虽然可求解，但是运算繁琐，直接应用余弦定理建立方程可求得第三边.此种类型选择余弦定理求解.(3) 已知两边及一边的对角A bc c b a cos 2222-+=应用正弦定理可以直接求角，应用余弦定理可以直接建立关于第三边的一元二次方程求边.但此种情况三角形不唯一，涉及到两解问题，应用正弦定理可以通过“大边对大角”的结论判定，应用余弦定理求边，可以通过“两边之和大于第三边”求解.（4）已知一边两角A bc c ba cos 2222-+=无论是两角及一角的对边还是两角及第三边都可以通过正弦定理直接建立方程求解，而无法应用余弦定理建立可求解的方程，此种类型选择正弦定理求解.余弦定理至少需要已知两边，正弦定理至少需要已知一角. （四）解决情境问题问题10：通过前面的学习，你能继续解决本课开始时的问题吗？我们还要构造哪些条件才能继续解三角形？【设计意图】应用定理解决实际问题，提升两个定理的应用意识.CcB b A a sin sin sin ==CcB b A a sin sin sin ==C cB b A a sin sin sin ==CcB b A a sin sin sin == D的求解，可解出执法船行驶的方向和时间.通过对BCD(五) 小结反思1．本节课学习了哪些主要内容？（两个定理的应用）2．你如何来判别使用哪个定理？（能否建立方程）3．如何应用两个定理来解决实际的距离、角度问题？（分析实际问题，建立数学模型→解决数学问题→检验、解释实际问题）(六) 作业布置习题1.1A组1、2。

名师示范课第一章 解三角形1.1.2 余弦定理（名师：王历权）一、教学目标1.核心素养通过学习余弦定理,初步形成基本的数学抽象和逻辑推理能力.2.学习目标（1）了解余弦定理能解决的求三角形问题的类型;（2）能证明余弦定理;（3）应用余弦定理解决三角形相应问题.3.学习重点理解余弦定理,会用余弦定理解三角形问题.4.学习难点余弦定理的证明.二、教学设计（一）课前设计1.预习任务任务阅读教材P5－P7,思考:余弦定理的内容是什么?你还有哪些方法可以证明余弦定理?余弦定理有哪些应用?2.预习自测1.结论:2a =_________________;2b =___________________;2c =_______________. 变式:A cos =__________;B cos =________________;C cos =_________________. 解:A bc c b a cos 2222-+=,B ac a c b cos 2222-+=,C ab b a c cos 2222-+=.bc a c b A 2cos 222-+=,ca b a c B 2cos 222-+=,abc b a C 2cos 222-+=.2.已知3,4,a b ==a 和b 的夹角为60º,求c .解:13,1360cos 432169cos 2222==︒⨯⨯-+=-+=c C ab b a c .（二）课堂设计1.知识回顾（1）在三角形中大边对大角,大角对大边.（2）三角形的面积:C ab S sin 21=. （3）正弦定理:sin sin sin a b c A B C ==. 2.问题探究问题探究一 另一类解三角形问题●活动一 回顾旧知理论上正弦定理可解决两类问题:（1）已知两角和任意一边,求其它两边和一角;（2）两边和其中一边对角,求另一边的对角,进而可求其它的边和角.●活动二 整合旧知,探求边角新关系如果已知某个三角形的两条边和它们的夹角,则显然三角形的形状与大小唯一确定,能求出未知的边与角吗?应用正弦定理显然无法求解三角形.Rt ABC V 中,90C ∠=︒,,,A B C ∠∠∠的对边依次为a b c 、、,若已知边b c 、,显然很容易得到222=+c a b ,那么对于任意一个三角形ABC ,若已知两边及夹角,第三边与另外两边及夹角之间有怎样的数量关系呢?问题探究二 余弦定理的证明. ●活动一 集思广益,证明余弦定理在一般的三角形中若已知A c b 、、,你能证明A bc c b a cos 2222-+=这个结论吗? 在锐角△ABC 中,过点C 作CD AB ⊥,垂足为D ,则=AB AD DB +.因而,有2222222(sin )(cos )2cos a CD BD b A c b A b c bc A =+=+-=+-,同理,我们可以得到:2222222cos ,2cos b c a ac B c a b ab C =+-=+-,. 或者222222222cos ,cos ,cos 222b c a c a b a b c A B C bc ca ab+-+-+-===. 在钝角三角形中是否也能用类似方法证明呢?不妨设∠B 为钝角,如图,22222(sin )(cos )a CD BD b A b A c =+=+-A bc c b cos 222-+=, 若△ABC 中∠A 为直角呢?我们可以得到A bc c b c b a cos 222222-+=+=. 余弦定理:对于任意的一个三角形,都有2222222222cos ,2cos ,2cos a b c bc A b c a ac B c a b ab C =+-=+-=+-.公式还可以变形为:bc a c b A 2cos 222-+=,ca b a c B 2cos 222-+=,ab c b a C 2cos 222-+=. ●活动二 发现公式证明新方法,反思过程结合问题条件与结论涉及边长与角度,能否用向量的办法证明余弦定理?A B如图在ABC ∆中,AB 、BC 、CA 的长分别为c 、a 、b .∵AC AB BC =+u u u r u u u r u u u r ,∴()()AC AC AB BC AB BC ⋅=+⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 222AB AB BC BC =+⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r222||||cos(180)AB AB BC B BC =+⋅-+o u u u r u u u r u u u r u u u r 22cos 2a B ac c +-=.即B ac a c b cos 2222-+=同理可证A bc c b a cos 2222-+=,C ab b a c cos 2222-+=.反思:对向量等式+=平方法即得B ac a c b cos 2222-+=,过程中哪些方法值得总结?另外向量等式BC AB AC +=有哪些丰富的内涵?等式中隐藏了哪些信息?问题探究三 利用余弦定理能解决哪些三角形的问题? ●活动一 初步运用,运用定理解三角形例1 在ΔABC 中,已知a ＝7,b ＝10,c ＝6,求A 、B 和C.【知识点:余弦定理,解三角形;数学思想:数形结合】详解:∵222cos 0.7252b c a A bc+-==,∴A≈44° ∵222cos 0.80712a b c C ab+-==,∴C≈36°, ∴B ＝180°－(A ＋C)≈100°.点拨:知道三边利用余弦定理可以求任意一个内角的余弦值.例2 在ΔABC 中,已知a ＝2.730,b ＝3.696,C ＝82°28′,解这个三角形.【知识点:余弦定理,解三角形;数学思想:数形结合】详解:由C ab b a c cos 2222-+=,得c ≈4.297∵222cos 0.77672b c a A bc+-=≈,∴A≈39°2′, ∴B ＝180°－(A ＋C)＝58°30′(∵sin sin 0.6299a C A c=≈,∴A=39°或141°(舍))点拨:在已知两边和夹角的条件下,用余弦定理求出另一边,再用余弦定理或正弦定理可以求解整个三角形.例3 在ABC ∆中,cos cos b A a B =,则三角形为（ ）A.直角三角形B.锐角三角形C.等腰三角形D.等边三角形【知识点:余弦定理】详解:选C,由正弦定理有sin cos sin cos B A A B =,即sin()0A B -=,所以ABC ∆是等腰三角形.又解,由余弦定理知acb c a a bc a c b b 22222222-+=-+,整理得a b = 点拨:灵活使用正余弦定理是解题关键.●活动二 对比提升,判断三角形解的个数余弦定理非常对称美观,三角函数把几何中关于三角形的定性结果都变成了可定量计算的公式了,它可以求解如下两类解三角形的问题:（1）已知三边,求三个角;（2）已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角.利用余弦定理解三角形时会出现无解、一解或多解等多种情况吗?3.课堂总结【知识梳理】余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍,即2222222cos cos 2b c a a b c bc A A bc +-=+-⇔=, 2222222cos cos 2c a b b c a ac B B ca +-=+-⇔=, 2222222cos cos 2a b c c a b ab C C ab +-=+-⇔=. 【重难点突破】（1）余弦定理是勾股定理的推广,勾股定理是余弦定理的特例,它揭示的是三角形中边角之间的关系,是解三角形的重要工具之一.（2）在余弦定理中含三边和一边的对角这四个元素,利用方程的思想,知三可求一.（3）解三角形问题时,一般先画出示意图,根据题目的结构特征,灵活运用正弦定理或余弦定理及其变式,这不仅是解决有关问题的切入点,更是找到解题捷径所在.4.随堂检测1.已知在ABC ∆中,sin :sin :sin 3:2:4A B C =,那么cos C 的值为（ ）A.－41B.41C.－ 32D.32 【知识点:余弦定理;数学思想:数形结合】解:A2.在200米高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°,则塔高为（ ） A.3400米33400米 C.2003米米【知识点:余弦定理;数学思想:数形结合】解:A3.在ABC ∆中,cos cos b A a B =,则三角形为（ ）A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 等腰三角形D. 等边三角形【知识点:余弦定理;数学思想:数形结合】解:C4.三角形的两边分别为5和3,它们夹角的余弦是方程25760x x --=的根,则三角形的另一边长为（ ）A. 52B. 132C. 16D. 4 【知识点:余弦定理;数学思想:数形结合】解:B5. 在ABC ∆中,等式C b a B A b a s in )()s in ()2222-=-+（成立的充要条件是（ ）A.b a =B.090=∠CC.90a b C =∠=︒且D. 90a b C =∠=︒或【知识点:余弦定理;数学思想:数形结合】解:A（三）课后作业基础型 自主突破1.长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为 ( )A.90°B.120°C.135°D.150°【知识点:余弦定理;数学思想:数形结合】解:B2. 已知b a ,为ABC ∆的边,,A B 分别是b a ,的对角,且32sin sin =B A ,求a b b+的值. 【知识点:余弦定理;正弦定理】解:25 3.已知三角形的一个角为60°,面积为310,周长为20,求此三角形的各边长.【知识点:余弦定理,三角形面积;数学思想:数形结合】解:5,7,8 .4.已知锐角三角形三边分别为3,4,a ,则a 的取值范围为（ ）A.15a <<B.17a << 5a << 7a <<【知识点:余弦定理;数学思想:分类讨论、数形结合】解:C5.如图,在斜度一定的山坡上的一点A 测得山顶上一建筑物顶端C 对于山坡的斜度为15︒,向山顶前进100m 后,又从点B 测得斜度为45︒,假设建筑物高50m,求此山对于地平面的斜度θ.【知识点:余弦定理;数学思想:数形结合】解:θ = 4294︒6.在ABC ∆中,=53AB AC =，,D 为BC 中点,且4=AD ,求BC 边长.【知识点:余弦定理;数学思想:数形结合】解:2能力型 师生共研7. 如图,在四边形ABCD 中,已知A D C D ⊥, 10,14AD AB ==,60BDA ∠=︒, 135BCD ∠=︒,求BC 的长.【知识点:余弦定理】解:288.在ABC ∆中,求证: 0)sin (sin )sin (sin )sin (sin =-+-+-B A c A C b C B a .【知识点:正弦定理、余弦定理】解:左边=)sin (sin sin 2)sin (sin sin 2)sin (sin sin 2B A C R A C B R C B A R -+-+- =]sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin [sin 2B C A C A B C B C A B A R -+-+-=0=右边.9.在ABC ∆中,三边长为连续的自然数,且最大角是最小角的2倍,求此三角形的三边长.【知识点:余弦定理】解:三边长为4,5,6.10.在ABC ∆中,证明下列各式:（1）0tan )(tan )(222222=+-+--B c b a A c b a .(2) 2222112cos 2cos ba b B a A -=-. 【知识点:正弦定理、余弦定理】证明:(1)左边＝)(222c b a --B B c b a A A cos sin )(cos sin 222+-+ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-++-+-+-=-+⋅⋅+-+-+⋅⋅--=222222222222222222222222)(2222)(22)(b c a b c a a c b a c b R a b c b c a ac R b c b a a c b bc R a c b a 右边==+-=0)11(Rabc 故原命题得证右边左边=-=+--=+--=---=22222222222222222211)2(2)2(211sin )2(sin 2sin )2(sin 2)11(sin 21sin 21)2(ba R Rb a B R B A R A b a b B a A 故原命题得证探究型 多维突破11.在ABC ∆中,30A ︒=,sin C2sin B B C =. (1) 求证:ABC ∆为等腰三角形;(2) 设D 为ABC ∆外接圆的直径BE 与AC 的交点,且2AB =,求:AD DC 的值.【知识点:正弦定理、余弦定理;数学思想:数形结合】解:（1）略 ;（2）3:112.ABC ∆中,若已知三边为连续正整数,最大角为钝角.（1）求最大角;（2）求以此最大角为内角,夹此角两边之和为4的平行四边形的最大面积.【知识点:余弦定理;数学思想:分类讨论】解:（1） 109,41cos ,4,3,2=-====C C c b a . （2）设夹C 角的两边为y x ,,4=+y x ,)4(415415)4(sin 2x x x x C xy S +-⋅=⋅-==, 当2=x 时15max =S .自助餐1. 在ABC ∆中,已知60A ︒=,1b =,,则sin sin sin a b c A B c ++++为( )A. B. C. D. 【知识点:正弦定理、余弦定理、三角形面积;数学思想:数形结合】 解:B.2. 在ABC ∆中,内角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c .若c 2＝(a －b )2＋6,C ＝π3,则ABC ∆的面积是( )A.3B.9 32C.3 32D.3 3【知识点:余弦定理、三角形面积】解:C.3. 在ABC ∆中,π4B =,BC 边上的高等于13BC ,则cos A =（ ）C.-D.- 【知识点:余弦定理;数学思想:数形结合】解:C.4.设ABC ∆的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若cos cos sin b C c B a A +=,则ABC ∆的形状为（ ）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定【知识点:正弦定理、余弦定理;数学思想:数形结合】解:B.5.已知ABC ∆中,A b B a c cb ac b a cos cos 2222==-+-+且,试判断ABC ∆的形状. 【知识点:正弦定理、余弦定理;数学思想:数形结合】解:等边三角形.6.一货轮航行到M 处,测得灯塔S 在货轮的北偏东15°相距20里处,随后货轮按北偏西30°的方向航行,半小时后,又测得灯塔在货轮的北偏东45°,求货轮的速度.【知识点:余弦定理;数学思想:数形结合】解:7.设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,()()a b c a b c ac ++-+=.(1)求B ;(2)若sin sin A C =,求C . 【知识点:余弦定理;数学思想:数形结合】 解:（1）120︒;（2）15︒或45︒8. 在ABC ∆中,若22299190a b c +-=,试求tan tan (tan tan )tan A B A B C+的值. 【知识点:余弦定理;数学思想:数形结合】 解:59。