初一几何平行线的性质及判定.

1 第二级（上）·第1讲·基础-提高-尖子班·教师版

定 义 示例剖析 平行线的概念：在同一平面内，永不相交的两条直线称为平行线．用“∥”表示． ∥ab，∥ABCD等．

平行线的性质： 两直线平行，同位角相等； 两直线平行，内错角相等； 两直线平行，同旁内角互补．

ba432

1

若∥ab，则12； 若∥ab，则23； 若∥ab，则34180．

平行线的判定： 同位角相等，两直线平行； 内错角相等，两直线平行； 同旁内角互补，两直线平行．

ba432

1

若12，则∥ab； 若23，则∥ab； 若34180，则∥ab．

平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 简单说成：过一点有且只有一条直线与已知直线平行．

(c)b

a

A

过直线a外一点A做∥ba，∥ca，则b与c重合．

平行公理推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 简单说成：平行于同一条直线的两条直线平行．

cba

若∥，∥baca，则∥bc．

模块一 平行的定义、性质及判定 知识导航

1 平行的性质及判定 2 【例1】 ⑴ 两条直线被第三条直线所截，则（ ） A．同位角相等 B．内错角相等 C．同旁内角互补 D．以上都不对

⑵ 1和2是同旁内角，若145，则2的度数是（ ） A．45 B．135 C．45或135 D. 不能确定

⑶ 如图，下面推理中，正确的是（ ） A．∵180AD°，∴ADBC∥ B．∵180CD°，∴ABCD∥ C．∵180AD°，∴ABCD∥ D．∵180AC°，∴ABCD∥ (北京三帆中学期中)

⑷ 如图，直线a∥b，若∠1＝50°，则∠2＝（ ） A．50° B．40° C．150° D．130°

(北京101中期中) ⑸ 如图，直线ABCD∥，EFCD，F为垂足，如果 20GEF°，则1的度数是（ ）

A．20° B．60° C．70° D．30° (北京八中期中) ⑹ 如图，直线ab∥，点B在直线b上，且ABBC，155°，则2的度数为______

21baCBA

(北京八十中期中) ⑺ 如图，1和2互补，那么图中平行的直线有（ ）

A．ab∥ B．cd∥ C．de∥ D．ce∥

夯实基础 DCBA

21ed

c

ba

ba21

DGF

1E

C

BA 3 第二级（上）·第1讲·基础-提高-尖子班·教师版

(北京十三分期中) ⑻ 将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，下列结论：①12；②34；③2490°；④45180°，其中正确的个数（ ）

1

23

45

A．1 B．2 C．3 D．4 (北京十三分期中) ⑼ 如图，直线12ll∥，ABCD，134°，那么2的度数是 ．

21l

2

l1

D

CBA

(北京一六一中期中) ⑽ 将一张长方形纸片按如图所示折叠，如果164°，那么2等于 ．

21

(北京一六一中期中)

【解析】 ⑴D； ⑵D ；⑶C ；⑷D ；⑸C ；⑹35°； ⑺D ；⑻D ；⑼56°； ⑽52°.

【例2】 ⑴ 如图，∥ABCD,BD,请说明12，请你完成下列填空，把解答过程补充完整． 解：∵ABCD∥， ∴180BADD°（ ）． ∵BD， ∴BAD 180°（等量代换）． ∴ （同旁内角互补，两直线平行）． ∴12（ ）． （北京市海淀区期末）

⑵ 填空，完成下列说理过程. 如图，DP平分ADC交AB于点P，90DPC，如果∠1＋∠3＝90°，那么∠2和∠4相等吗？说明理由. 解：∵DP平分ADC， ∴∠3＝∠ （ ）

21DC

BA

PDCBA

43

21 4

∵APB= °，且90DPC， ∴∠1＋∠2＝90°. 又∵∠1＋∠3＝90°， ∴∠2＝∠3. （ ） ∴∠2＝∠4.

（北京市朝阳区期末） ⑶ 如图,已知DEAC∥，DFAB∥，求ABC度数．

4321

FE

DCB

A

解：∵DEAC∥（ ）， ∴C （ ）， 3 （ ） 又∵DFAB∥（ ） ∴B （ ） A （ ） ∴3A（ ） ∴123ABCBDC （ ）

【点评】第⑶题即证明了三角形内角和等于180°． 【解析】 ⑴ 依次填：两直线平行，同旁内角互补；B；∥ADBC；两直线平行，内错角相等 ⑵ 4，角平分线定义，180，同角的余角相等 ⑶ 已知；1；两直线平行，同位角相等；4；两直线平行，内错角相等；已知；2；两直线平行，同位角相等；4；两直线平行，同位角相等；等量代换；180°；平角定义．

【例3】 ⑴ 如图，已知直线ABCD∥， 115C°，25A°，则E 的度数为 度．

⑵ 如图，不添加辅助线，请写出一个能判定EBAC∥的 条件： .

⑶ 如图，点E在AC的延长线上，给出下列条件： ① 12；② 34；③ ADCE； ④ DDCE；⑤ 180AABD°； ⑥ 180AACD°；⑦ ABCD.

能力提升 A B C D E

图3

EDCBAF

4321

E

D

CB

A 5 第二级（上）·第1讲·基础-提高-尖子班·教师版

能说明ACBD∥的条件有 . ⑷ 如图，直线EF分别与直线AB、CD相交于点G、H， 已知1260°，GM平分HGB交直线CD于点M． 则3（ ） A．60° B．65° C．70° D．130°

【解析】 ⑴ ∵ABCD∥，115C°（已知）， ∴65BFC°（两直线平行，同旁内角互补） ∴65AFEBFC°（对顶角相等）． ∵25A°（已知）， ∴90E°（三角形内角和）． ⑵ EBDACB（EBABAC）等（答案不唯一） ⑶ ②④⑤； ⑷ A．

【例4】 ⑴ 已知：如图1，CD平分ACB，DEBC∥，80AED°，求EDC． ⑵ 已知：如图2，1C，2和D互余，BEFD于G．求证：ABCD∥． (北京八中期中)

EDCB

A 2

1G

F

EDC

BA

图1 图2 【解析】 ⑴ ∵DEBC∥ ∴80EDCDCBACBAED，

∵CD平分ACB ∴1402EDCDCBACB ⑵ 证明：∵1C（已知） ∴BECF∥（同位角相等，两直线平行） 又∵BEFD（已知） ∴90CFDEGD（两直线平行，同位角相等） ∴290BFD（平角定义） 又∵290D（已知） ∴BFDD（等量代换） ∴ABCD∥（内错角相等，两直线平行）

【例5】 如图，已知：AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点M、N， MG、NH分别平分AME、CNE. 求证：MG∥NH． 从本题我能得到的结论是：

A E B G

C D M H F

1 2 3

NMH

G

FE

DC

BA 6

【解析】 ∵AB∥CD，∴AMECNE 又∵MG、NH分别平分AME、CNE

∴1122GMEAMECNMHNE，∴MG∥NH 从本题我能得到的结论是：两直线平行，同位角的角分线平行. 引导学生举一反三，可得：两直线平行，内错角的角分线平行； 两直线平行，同旁内角的角分线互相垂直.

模 型 示例剖析 a

b21 若∥ab，则12

ab

c32

1 若∥∥abc，则1213180，

ba321 若∥ab，则123

ab321 若∥ab，则123360

【例6】 已知：如图∥ABCD,点E为其内部任意一点， 求证：BEDBD． 【解析】 过点E作∥EFAB, ∵∥EFAB,∥ABCD（已知） ∴∥EFCD（平行于同一条直线的两直线平行）

夯实基础

知识导航 模块二 基本模型中平行线的证明 FAB

CDE

EDC

BA