人教版高中数学必修第二册椭圆的几何性质(1)

学必求其心得，业必贵于专精

- 1 - 课时分层作业（十） 椭圆的几何性质(一）

(建议用时：60分钟)

[基础达标练]

一、选择题

1．已知椭圆错误!＋错误!＝1（m〉0)的左焦点为F1（－4，0)，则m等于（ )

A．2 B．3 C．4 D．9

B ［由题意知25－m2＝16，解得m2＝9,又m〉0，所以m＝3.]

2．已知椭圆C的短轴长为6，离心率为错误!，则椭圆C的焦点F到长轴的一个端点的距离为 （ )

A．9 B．1

C．1或9 D．以上都不对

C [错误!解得a＝5，b＝3，c＝4。

∴椭圆C的焦点F到长轴的一个端点的距离为a＋c＝9或a－c＝1.］

3．如图所示，底面直径为12 cm的圆柱被与底面成30°角的平面所截，截口是一个椭圆，则这个椭圆的离心率为( ) 学必求其心得，业必贵于专精

- 2 - A.12 B。34

C。错误! D。错误!

A ［由题意得2a＝错误!＝8错误!(cm)，短轴长即2b为底面圆直径12 cm，∴c＝错误!＝2错误! cm，∴e＝错误!＝错误!.故选A。］

4．曲线错误!＋错误!＝1与曲线错误!＋错误!＝1（k〈9）的（ ）

A．长轴长相等 B．短轴长相等

C．焦距相等 D．离心率相等

C ［曲线错误!＋错误!＝1的焦点在x轴上，长轴长为10，短轴长为6，离心率为45，焦距为8.曲线错误!＋错误!＝1（k〈9)的焦点在x轴上，长轴长为2错误!,短轴长为2错误!，离心率为错误!，焦距为8.则C正确．]

5．已知椭圆C：错误!＋错误!＝1(a〉b〉0）的左，右焦点为F1，F2，离心率为错误!，过F2的直线l交C于A、B两点,若△AF1B的周长为43,则C的方程为( ）

A。错误!＋错误!＝1 B。错误!＋y2＝1

C。错误!＋错误!＝1 D。错误!＋错误!＝1

A [∵△AF1B的周长为4错误!，∴4a＝4错误!， 学必求其心得，业必贵于专精

教学内容：椭圆的简单几何性质

【基础知识精讲】

22ax+22by=1(a＞b＞0)；范围：椭圆位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形里；即｜x｜≤a；｜y｜≤b.

2.对称性：椭圆关于x轴；y轴和原点都是对称的.坐标轴为椭圆的对称轴；原点是椭圆的对称中心；即为椭圆的中心.

3.顶点：椭园与坐标轴的交点为椭圆的顶点为A1(-a；0)；A2(a；0)；B1(0；b)；B2(0；-b)

4.离心率：e=ac；(o＜e＜1)；e越接近于1；则椭圆越扁；e越接近于0；椭圆就越接近于圆.

5.椭圆的第二定义：平面内的点到定点的距离和它到定直线的距离的比为常数e(0＜e＜1)的点的轨迹.定点即为椭圆的焦点；定直线为椭圆的准线.

6.椭圆的焦半径公式：设P(x0；y0)是椭圆22ax+22by=1(a＞b＞0)上的任意一点；F1、F2分别是椭圆的左、右焦点；则｜PF1｜=a+ex0；｜PF2｜=a-ex0.

sin)(cosbyax是参数

本节学习要求：

椭圆的几何性质内容多.它与直线的位置关系的确定离不开一元二次方程中的判别式及韦达定理.如椭圆中的弦长问题：若直线y=kx+b和二次曲线Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0相交；所得弦长可由下法求之；由两方程中消去y；得ax2+bx+c=0；记△=b2-4ac；则弦长=ak)1(2△;若弦过焦点；则用焦半径公式更为简洁.这要求大家针对具体的题目；灵活采用方法计算弦长或与焦半径有关的问题.

【重点难点解析】

通过“圆的方程”的学习我们知道；圆的几何性质问题用代数的方法解题简便；计算量小的特点；同样；椭圆也有类似的几何性质；那么在学习本节之前要复习椭圆的定义及标准方程；在此基础上来学习椭圆的几何性质；掌握椭圆的性质；标准方程；及椭圆的第二定义.

例1 设直线l过点P(-1；0)；倾角为3；求l被椭圆x2+2y2=4所截得的弦长.

解：直线l的方程为y=3x+3；代入椭圆方程；得7x2+12x+2=0；∵△=144-4×7×2=88

椭圆

下面我们首先来介绍椭圆的基本知识：

1． 椭圆的定义

平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。

这里同学们应特别注意定义中的常数要大于F1F2，若常数等于F1F2呢？则其动点轨迹就是线段F1F2；若常数小于F1F2呢？则其轨迹不存在。

2． 椭圆的标准方程

我们利用对称性建立平面直角坐标系，由椭圆的定义可得出椭圆的标准方程22221yxab

或22221yxab（ab0）。

关于椭圆的标准方程，同学们要注意以下几点：

（1） 任何一个椭圆，只要适当地建立坐标系，其方程均可写成标准形式，当且仅当椭圆的中心在原点，其焦点在坐标轴上时，椭圆的方程才具有标准形式。

（2） 在标准方程中，隐含着ab0，c2a2b2这两个条件，这在解题中随时可能用到。

（3） 标准方程中的两个参数a、b，确定了椭圆的形状和大小，是椭圆的定形条件。

（4） 焦点F1、F2的位置，是椭圆的定位条件，它决定标准方程的类型，即知道了焦点位置，其标准方程只有一种形式，不知道焦点位置，其标准方程具有两种形式。

3． 椭圆的几何性质（见下表）

标准方程 22221yxab（ab0） 22221yxab（ab0）

图形

性质 焦点 F1(c,0)，F2(c,0) F1(0,c)，F2(0,c)

焦距 F1F22c (c2a2b2)

范围 a  x  a, b  y  b b  x  b, a  y  a

对称 关于x轴，y轴和原点都对称

顶点 A1(a,0)，A2(a,0)

B1(0,b)，B2(0,b) B1(b,0)，B2(b,0)

A1(0,a)，A2(0,a)

轴 长轴A1A2，长轴长2a，短轴B1B2，短轴长2b

离心率 2011cbee,eaa

椭圆的简单几何性质1

●教学目标

１．掌握椭圆的几何性质：

范围、对称性、顶点、长轴、短轴、离心率；

２．掌握椭圆标准方程中a、b、c关系；

３．能根据条件利用工具画出椭圆．

●教学重点：椭圆的几何性质

●教学难点：椭圆离心率与椭圆关系

●教学方法：学导式

●教具准备：幻灯片、三角板

●教学过程：

Ⅰ、复习回顾：

师：前几节课，我们学习椭圆的定义、椭圆的标准方程，并且熟悉了它们的应用，这一节课我们利用椭圆的标准方程)0(12222babyax来研究椭圆的几何性质．

Ⅱ、讲授新课：

１．范围：

椭圆位于直线ax和by所围成的矩形里．

原因：由标准方程可知，椭圆上的点的坐标（x,y）都适合不等式,1,12222byax 即2222,byax,byax,

2．对称性：

椭圆关于y轴、x轴和原点都对称．

原因：在椭圆标准方程里，以-x代x，或以-y代y，或以-x，-y分别代x、y，方程都不变．

３．顶点：

椭圆和它的对称轴有四个交点，这四个交点叫椭圆的顶点．

其中Ａ１（-a,0）,A2(a,0)是椭圆与x轴的两个交点；

Ｂ１（０，－b）,B1(0,b)是椭圆与y轴的两个交点．

线段Ａ１Ａ２、Ｂ１Ｂ２分别叫椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a和2b，a和b分别叫椭圆的长半轴长和短半轴长．

４．离心率：

椭圆的焦距与长轴长的比ace，叫做椭圆的离心率．

说明①因为,0ca所以10e．

②e越接近１，则c越接近a，从而22cab越小，因此椭圆越扁；反之，e越接近于０，c越接近于０，从而b越接近于a，这时椭圆就接近于圆；

③当且仅当a=b时，c=0，这时两焦点重合，图形变为圆．

师：对于上述性质要求学生熟练掌握，并能由此推出焦点在y轴的椭圆标准方程的几何性质（要求学生自己归纳），并能根据椭圆方程得到相应性质． 例１ 求椭圆400251622yx的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用描点法画出它的图形．