2018届高三数学(理)一轮复习课件：3.2导数与函数的单调性、极值、最值

2018版高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 3.2 导数与函数的单调性、极值、最值真题演练集训 理 新人教A版

1．[2015·新课标全国卷Ⅱ]设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是( )

A．(－∞，－1)∪(0,1)

B．(－1,0)∪(1，＋∞)

C．(－∞，－1)∪(－1,0)

D．(0,1)∪(1，＋∞)

答案：A

解析：设y＝g(x)＝fxx(x≠0)，

则g′(x)＝xfx－fxx2，

当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，

∴ g′(x)<0，

∴ g(x)在(0，＋∞)上为减函数，且g(1)＝f(1)＝－f(－1)＝0.

∵ f(x)为奇函数，∴ g(x)为偶函数，

∴ g(x)的图象的示意图如图所示．

当x＞0，g(x)＞0时，f(x)＞0,0＜x＜1；

当x＜0，g(x)＜0时，f(x)>0，x＜－1.

∴ 使得f(x)＞0成立的x的取值范围是(－∞，－1)∪(0,1)，故选A.

2．[2015·福建卷]若定义在R上的函数f(x)满足f(0)＝－1，其导函数f′(x)满足f′(x)>k>1，则下列结论中一定错误的是( )

A．f1k<1k B．f1k>1k－1 2 C．f1k－1<1k－1 D．f1k－1>kk－1

答案：C

解析：令g(x)＝f(x)－kx＋1，

则g(0)＝f(0)＋1＝0，

g1k－1＝f1k－1－k·1k－1＋1

＝f1k－1－1k－1.

∵ g′(x)＝f′(x)－k>0，

∴ g(x)在[0，＋∞)上为增函数．

又k>1，∴ 1k－1>0，

∴ g1k－1>g(0)＝0.

∴ f1k－1－1k－1>0，

即f1k－1>1k－1.

2018版高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 3.2 导数与函数的单调性、极值、最值真题演练集训 理 新人教A版

1．[2015·新课标全国卷Ⅱ]设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是( )

A．(－∞，－1)∪(0,1)

B．(－1,0)∪(1，＋∞)

C．(－∞，－1)∪(－1,0)

D．(0,1)∪(1，＋∞)

答案：A

解析：设y＝g(x)＝fxx(x≠0)，

则g′(x)＝xfx－fxx2，

当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，

∴ g′(x)<0，

∴ g(x)在(0，＋∞)上为减函数，且g(1)＝f(1)＝－f(－1)＝0.

∵ f(x)为奇函数，∴ g(x)为偶函数，

∴ g(x)的图象的示意图如图所示．

当x＞0，g(x)＞0时，f(x)＞0,0＜x＜1；

当x＜0，g(x)＜0时，f(x)>0，x＜－1.

∴ 使得f(x)＞0成立的x的取值范围是(－∞，－1)∪(0,1)，故选A.

2．[2015·福建卷]若定义在R上的函数f(x)满足f(0)＝－1，其导函数f′(x)满足f′(x)>k>1，则下列结论中一定错误的是( )

A．f1k<1k B．f1k>1k－1 2 C．f1k－1<1k－1 D．f1k－1>kk－1

答案：C

解析：令g(x)＝f(x)－kx＋1，

则g(0)＝f(0)＋1＝0，

g1k－1＝f1k－1－k·1k－1＋1

＝f1k－1－1k－1.

∵ g′(x)＝f′(x)－k>0，

∴ g(x)在[0，＋∞)上为增函数．

又k>1，∴ 1k－1>0，

∴ g1k－1>g(0)＝0.

∴ f1k－1－1k－1>0，

即f1k－1>1k－1.

1 【状元之路】2017届高三数学一轮总复习 第二章 函数、导数及其应用 2.2

函数的单调性与最值模拟试题

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1．[2016·阜阳模拟]给定函数①y＝x 12 ，②y＝log12 (x＋1)，③y＝|x－1|，④y＝2x＋1。其中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是( )

A．①② B．②③

C．③④ D．①④

解析：①y＝x 12 在(0,1)上递增；②∵t＝x＋1在(0,1)上递增，且0＜12＜1，故y＝log12 (x＋1)在(0,1)上递减；③结合图象可知y＝|x－1|在(0,1)上递减；④∵u＝x＋1在(0,1)上递增，且2＞1，故y＝2x＋1在(0,1)上递增，故在区间(0,1)上单调递减的函数序号是②③。

答案：B

2．[2016·福州模拟]函数f(x)＝ －x＋3a，x＜0，ax，x≥0(a＞0且a≠1)是R上的减函数，则a的取值范围是( )

A．(0,1) B.13，1

C.0，13 D.0，23

解析：当x＜0时，函数f(x)＝－x＋3a是减函数；当x≥0时，若函数f(x)＝ax是减函数，则0＜a＜1。要使函数f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数，需满足0＋3a≥a0，解得a≥13，故有 0＜a＜1，a≥13，即13≤a＜1。

答案：B

3．[2015·湖北]已知符号函数sgnx＝ 1，x＞0，0，x＝0，－1，x＜0。f(x)是R上的增函数，g(x)＝f(x)－f(ax)(a＞1)，则( )

A．sgn[g(x)]＝sgnx

B．sgn[g(x)]＝－sgnx

C．sgn[g(x)]＝sgn[f(x)] 2 D．sgn[g(x)]＝－sgn[f(x)]

解析：因为f(x)是R上的增函数，又a＞1，所以当x＞0时，f(x)＜f(ax)，即g(x)＜0；当x＝0时，f(x)＝f(ax)，即g(x)＝0；当x＜0时，f(x)＞f(ax)，即g(x)＞0。由符号函数sgnx＝ 1，x＞0，0，x＝0，－1，x＜0知sgn[g(x)]＝ －1，x＞0，0，x＝0，1，x＜0＝－sgnx。

生活的色彩就是学习

K12的学习需要努力专业专心坚持 第三章 导数及其应用 3.2 导数的应用 第1课时 导数与函数的单调性 理

1．函数的单调性

在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．

2．函数的极值

(1)一般地，求函数y＝f(x)的极值的方法

解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时：

①如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；

②如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．

(2)求可导函数极值的步骤：

①求f′(x)；

②求方程f′(x)＝0的根；

③考察f′(x)在方程f′(x)＝0的根附近的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．

3．函数的最值

(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．

(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．

(3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：

①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；

②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．

【知识拓展】

1.在某区间内f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．

2.可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零． 生活的色彩就是学习