2021版高考数学苏教版：函数模型及其应用含答案

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2021版高考数学苏教版：2.10函数模型及其应用含答案

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2 / 20 第十节 函数模型及其应用

［最新考纲］ 1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征、结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.2.了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用.

1.常见的几种函数模型

（1）一次函数模型：y＝kx＋b（k≠0）.

（2）反比例函数模型：y＝kx＋b（k、b为常数且k≠0）.

（3）二次函数模型：y＝ax2＋bx＋c（a、b、c为常数、a≠0）.

3 / 20 （4）指数函数模型：y＝a·bx＋c（a、b、c为常数、b＞0、b≠1、a≠0）.

（5）对数函数模型：y＝mlogax＋n（m、n、a为常数、a＞0、a≠1、m≠0）.

（6）幂函数模型：y＝a·xn＋b（a≠0）.

2.三种函数模型之间增长速度的比较

3.解函数应用问题的步骤（四步八字）

（1）审题：弄清题意、分清条件和结论、理顺数量关系、初步选择数学模型；

（2）建模：将自然语言转化为数学语言、将文字语言转化为符号语言、利用数学知识、建立相应的数学模型；

（3）解模：求解数学模型、得出数学结论；

（4）还原：将数学问题还原为实际问题.

［常用结论］

形如f（x）＝x＋ax（a＞0）的函数模型称为“对勾”函数模型：

（1）该函数在（－∞、－a］和［a、＋∞）内单调递增、在［－a、0）和（0、a］上单调递减.

（2）当x＞0时、x＝a时取最小值2a、

当x＜0时、x＝－a时取最大值－2a. 函数

性质 y＝ax（a＞1） y＝logax（a＞1） y＝xn（n＞0）

在（0、＋∞）上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增

增长速度 越来越快 越来越慢 因n而异

图象的变化 随x的增大逐渐表现为与y轴平行 随x的增大逐渐表现为与x轴平行 随n值变化而各有不同

值的比较 存在一个x0、当x＞x0时、有logax＜xn＜ax

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一、思考辨析（正确的打“√”、错误的打“×”）

（1）函数y＝2x与函数y＝x2的图象有且只有两个公共点.

（ ）

（2）幂函数增长比直线增长更快. （ ）

（3）不存在x0、使ax0＜xn0＜logax0. （ ）

（4）f（x）＝x2、g（x）＝2x、h（x）＝log2x、当x∈（4、＋∞）时、恒有h（x）＜f（x）＜g（x）. （ ）

［答案］ （1）× （2）× （3）× （4）√

二、教材改编

1.某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示、则下列说法中错误的是（ ）

5 / 20 （注：结余＝收入－支出）

A.收入最高值与收入最低值的比是3∶1

B.结余最高的月份是7月

C.1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同

D.前6个月的平均收入为40万元

D ［由题图可知、收入最高值为90万元、收入最低值为30万元、其比是3∶1、故A正确；由题图可知、7月份的结余最高、为80－20＝60（万元）、故B正确；由题图可知、1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同、故C正确；由题图可知、前6个月的平均收入为16×（40＋60＋30＋30＋50＋60）＝45（万元）、故D错误.］

2.在某个物理实验中、测量得变量x和变量y的几组数据如下表：

x 0.50 0.99 2.01 3.98

y －0.99 0.01 0.98 2.00

则对x、y最适合的拟合函数是（ ）

A.y＝2x B.y＝x2－1

C.y＝2x－2 D.y＝log2 x

D ［根据x＝0.50、y＝－0.99、代入计算、可以排除A；根据x＝2.01、y＝0.98、代入计算、可以排除B、C；将各数据代入函数y＝log2x、可知满足题意、故选D.］

3.生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本、某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C（x）＝12x2＋2x＋20（万元）.一万件售价为20万元、为获取更大利润、该企业一个月应生产该商品数量为 万件.

6 / 20 18 ［利润L（x）＝20x－C（x）＝－12（x－18）2＋142、当x＝18时、L（x）有最大值.］

4.用长度为24的材料围一矩形场地、中间加两道隔墙、要使矩形的面积最大、则隔墙的长度为 .

3 ［设隔墙的长度为x（0＜x＜6）、矩形面积为y、则y＝x×24－4x2＝2x（6－x）＝－2（x－3）2＋18、

∴当x＝3时、y最大.］

考点1 用函数图象刻画变化过程

判断函数图象与实际问题中两变量变化过程相吻合的2种方法

7 / 20 （1）构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时、先建立函数模型、再结合模型选图象.

（2）验证法：当根据题意不易建立函数模型时、则根据实际问题中两变量的变化特点、结合图象的变化趋势、验证是否吻合、从中排除不符合实际的情况、选择出符合实际情况的答案.

1.（20xx·遵义模拟）如图、有一直角墙角、两边的长度足够长、若P处有一棵树与两墙的距离分别是4 m和a m（0＜a＜12）.不考虑树的粗细、现用16 m长的篱笆、借助墙角围成一个矩形花圃ABCD、设此矩形花圃的最大面积为u、若将这棵树围在矩形花圃内、则函数u＝f（a）（单位：m2）的图象大致是（ ）

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A B C D

B ［设AD的长为x m、则CD的长为（16－x）m、则矩形ABCD的面积为x（16－x）m2.因为要将点P围在矩形ABCD内、所以a≤x≤12.当0＜a≤8时、当且仅当x＝8时、u＝64；当8＜a＜12时、u＝a（16－a）.画出函数图象可得其形状与B选项接近、故选B.］

2.有一个盛水的容器、由悬在它的上空的一条水管均匀地注水、最后把容器注满、在注水过程中时间t与水面高度y之间的关系如图所示.若图中PQ为一线段、则与之对应的容器的形状是（ ）

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A B C D

B ［由函数图象可判断出该容器必定有不同规则的形状、且函数图象的变化先慢后快、所以容器下边粗、上边细.再由PQ为线段、知这一段是均匀变化的、所以容器上端必是直的一段、故排除A、C、D、选B.］

3.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程、下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是（ ）

A.消耗1升汽油、乙车最多可行驶5千米

B.以相同速度行驶相同路程、三辆车中、甲车消耗汽油最多

C.甲车以80千米/小时的速度行驶1小时、消耗10升汽油

D.某城市机动车最高限速80千米/小时、相同条件下、在该市用丙车比用乙车更省油

10 / 20 D ［根据图象知消耗1升汽油、乙车最多行驶里程大于5千米、故选项A错；以相同速度行驶时、甲车燃油效率最高、因此以相同速度行驶相同路程时、甲车消耗汽油最少、故选项B错；甲车以80千米/小时的速度行驶时燃油效率为10千米/升、行驶1小时、里程为80千米、消耗8升汽油、故选项C错；最高限速80千米/小时、丙车的燃油效率比乙车高、因此相同条件下、在该市用丙车比用乙车更省油、故选项D对.］

准确掌握常见函数模型图象的变化趋势是解决此类问题的关键.

考点2 应用所给函数模型解决实际问题

求解所给函数模型解决实际问题的3个关注点

（1）认清所给函数模型、弄清哪些量为待定系数.

11 / 20 （2）根据已知利用待定系数法、确定模型中的待定系数.

（3）利用该模型求解实际问题.

小王大学毕业后、决定利用所学专业进行自主创业.经过市场调查、生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元、每生产x万件、需另投入流动成本为W（x）万元、在年产量不足8万件时、W（x）＝13x2＋x（万元）.在年产量不小于8万件时、W（x）＝6x＋100x－38（万元）.每件产品售价为5元.通过市场分析、小王生产的商品能当年全部售完.

（1）写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式；（注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本）

（2）年产量为多少万件时、小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？

［解］ （1）因为每件商品售价为5元、则x万件商品销售收入为5x万元、依题意得、当0＜x＜8时、

L（x）＝5x－13x2＋x－3＝－13x2＋4x－3；

当x≥8时、L（x）＝5x－6x＋100x－38－3＝35－x＋100x.

所以L（x）＝ －13x2＋4x－3，0＜x＜8，35－x＋100x，x≥8.

12 / 20 （2）当0＜x＜8时、L（x）＝－13（x－6）2＋9.

此时、当x＝6时、

L（x）取得最大值L（6）＝9万元、

当x≥8时、L（x）＝35－x＋100x≤35－2x·100x＝35－20＝15、此时、当且仅当x＝100x、即x＝10时、L（x）取得最大值15万元.

因为9＜15、所以当年产量为10万件时、小王在这一商品的生产中所获利润最大、最大利润为15万元.

解决实际问题时、应注意自变量的取值范围、如本例中x∈（0、＋∞）.

一个容器装有细沙a cm3、细沙从