高考数学大一轮复习 第十二章 推理与证明、算法、复数 12_4 复数教师用书 文 北师大版

2018版高考数学大一轮复习 第十二章 推理与证明、算法、复数 12.4

复数教师用书 文 北师大版

1．复数的有关概念

(1)定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫作复数，其中a叫作复数z的实部，b叫作复数z的虚部．(i为虚数单位)

(2)分类：

满足条件(a，b为实数)

复数的分类

a＋bi为实数⇔b＝0

a＋bi为虚数⇔b≠0

a＋bi为纯虚数⇔a＝0且b≠0

(3)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．

(4)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．

(5)模：向量OZ→的模叫作复数z＝a＋bi的模，记作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝a2＋b2(a，b∈R)．

2．复数的几何意义

复数z＝a＋bi与复平面内的点Z(a，b)及平面向量OZ→＝(a，b)(a，b∈R)是一一对应关系．

3．复数的运算

(1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R.

(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行． 如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即OZ→＝OZ1→＋OZ2→，Z1Z2→＝OZ2→－OZ1→.

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)方程x2＋x＋1＝0没有解．( × )

(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.( × )

(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．( × )

(4)原点是实轴与虚轴的交点．( √ )

(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．( √

)

1．(2016·全国乙卷)设(1＋2i)(a＋i)的实部与虚部相等，其中a为实数，则a等于( )

A．－3 B．－2 C．2 D．3

答案 A

解析 ∵(1＋2i)(a＋i)＝a－2＋(2a＋1)i，

∴a－2＝2a＋1，解得a＝－3，故选A.

2．(2015·课标全国Ⅰ)已知复数z满足(z－1)i＝1＋i，则z等于( )

A．－2－i B．－2＋i C．2－i D．2＋i

答案 C

解析 由(z－1)i＝1＋i，两边同乘以－i，则有z－1＝1－i，所以z＝2－i.

3．在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是( )

A．4＋8i B．8＋2i C．2＋4i D．4＋i

答案 C

解析 ∵A(6,5)，B(－2,3)，∴线段AB的中点C(2,4)， 则点C对应的复数为z＝2＋4i.

4．(教材改编)在复平面内，向量AB→对应的复数是2＋i，向量CB→对应的复数是－1－3i，则向量CA→对应的复数是( )

A．1－2i B．－1＋2i

C．3＋4i D．－3－4i

答案 D

解析 CA→＝CB→＋BA→＝－1－3i＋(－2－i)＝－3－4i.

5．i2 011＋i2 012＋i2 013＋i2 014＋i2 015＋i2 016＋i2 017＝________.

答案 1

解析 原式＝i3＋i4＋i1＋i2＋i3＋i4＋i＝1.

题型一 复数的概念

例1 (1)(2015·福建)若(1＋i)＋(2－3i)＝a＋bi(a，b∈R，i是虚数单位)，则a，b的值分别等于( )

A．3，－2 B．3,2

C．3，－3 D．－1,4

(2)若z1＝(m2＋m＋1)＋(m2＋m－4)i(m∈R)，z2＝3－2i，则“m＝1”是“z1＝z2”的( )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

(3)(2016·天津)i是虚数单位，复数z满足(1＋i)z＝2，则z的实部为________．

答案 (1)A (2)A (3)1

解析 (1)∵(1＋i)＋(2－3i)＝3－2i＝a＋bi，

∴a＝3，b＝－2，故选A.

(2)由 m2＋m＋1＝3，m2＋m－4＝－2，解得m＝－2或m＝1，

所以“m＝1”是“z1＝z2”的充分不必要条件． (3)∵(1＋i)z＝2，∴z＝21＋i＝1－i，∴其实部为1.

引申探究

1．将本例(1)中方程左边改为(1＋i)(2－3i)，求a，b的值．

解 (1＋i)(2－3i)

＝2＋3－i＝5－i＝a＋bi，

所以a＝5，b＝－1.

2．将本例(3)中的条件“(1＋i)z＝2”改为“(1＋i)3z＝2”，求z的实部．

解 z＝21＋i3＝2－2＋2i

＝－12－12i，

∴z的实部为－12.

思维升华 解决复数概念问题的方法及注意事项

(1)复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．

(2)解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．

(1)已知a∈R，复数z1＝2＋ai，z2＝1－2i，若z1z2为纯虚数，则复数z1z2的虚部为( )

A．1 B．i C.25 D．0

(2)如果复数m2＋i1－mi是实数，则实数m等于( )

A．－1 B．1 C．－2 D.2

答案 (1)A (2)A

解析 (1)由z1z2＝2＋ai1－2i＝2＋ai1＋2i5＝2－2a5＋4＋a5i是纯虚数，得a＝1，此时z1z2＝i，其虚部为1.

(2)因为m2＋i1－mi

＝m2＋i1＋mi1＋m2＝m2－m＋1＋m3i1＋m2是实数，所以1＋m31＋m2＝0，所以m＝－1，故选A.

题型二 复数的运算

命题点1 复数的乘法运算 例2 (1)(2016·四川)设i为虚数单位，则复数(1＋i)2等于( )

A．0 B．2 C．2i D．2＋2i

(2)(2016·全国乙卷)设(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则|x＋yi|等于( )

A．1 B.2 C.3 D．2

(3)(2015·课标全国Ⅱ)若a为实数，且(2＋ai)(a－2i)＝－4i，则a等于( )

A．－1 B．0 C．1 D．2

答案 (1)C (2)B (3)B

解析 (1)(1＋i)2＝12＋i2＋2i＝1－1＋2i＝2i.

(2)由(1＋i)x＝1＋yi，得x＋xi＝1＋yi⇒ x＝1，x＝y⇒ x＝1，y＝1.所以|x＋yi|＝x2＋y2＝2，故选B.

(3)因为a为实数，且(2＋ai)(a－2i)＝4a＋(a2－4)i＝－4i，得4a＝0且a2－4＝－4，解得a＝0，故选B.

命题点2 复数的除法运算

例3 (1)(2016·全国丙卷)若z＝1＋2i，则4izz－1等于( )

A．1 B．－1 C．i D．－i

(2)(2016·北京)复数1＋2i2－i等于( )

A．i B．1＋i C．－i D．1－i

(3)(1＋i1－i)6＋2＋3i3－2i＝________.

答案 (1)C (2)A (3)－1＋i

解析 (1)z＝1＋2i，zz＝5，4izz－1＝i.

(2)1＋2i2－i＝1＋2i2＋i2－i2＋i＝5i5＝i.

(3)原式＝[1＋i22]6＋2＋3i3＋2i32＋22

＝i6＋6＋2i＋3i－65＝－1＋i.

命题点3 复数的综合运算 例4 (1)(2016·山东)若复数z满足2z＋z＝3－2i，其中i为虚数单位，则z等于( )

A．1＋2i B．1－2i

C．－1＋2i D．－1－2i

(2)(2016·全国丙卷)若z＝4＋3i，则z|z|等于( )

A．1 B．－1

C.45＋35i D.45－35i

(3)若复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，则z的虚部为( )

A．－4 B．－45 C．4 D.45

答案 (1)B (2)D (3)D

解析 (1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＝a－bi，∴2(a＋bi)＋(a－bi)＝3－2i，整理得3a＋bi＝3－2i，∴ 3a＝3，b＝－2，

解得 a＝1，b＝－2，∴z＝1－2i，故选B.

(2)z＝4＋3i，|z|＝5，z|z|＝45－35i.

(3)设z＝a＋bi，

故(3－4i)(a＋bi)＝3a＋3bi－4ai＋4b＝|4＋3i|，

所以 3b－4a＝0，3a＋4b＝5，解得b＝45.

思维升华 复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略

(1)复数的乘法．复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可．

(2)复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式.

(3)复数的运算与复数概念的综合题．先利用复数的运算法则化简，一般化为a＋bi(a，b∈R)的形式，再结合相关定义解答． (4)复数的运算与复数几何意义的综合题．先利用复数的运算法则化简，一般化为a＋bi(a，b∈R)的形式，再结合复数的几何意义解答．

(5)复数的综合运算．分别运用复数的乘法、除法法则进行运算，要注意运算顺序，要先算乘除，后算加减，有括号要先算括号里面的．

(1)(2015·山东)若复数z满足z1－i＝i，其中i为虚数单位，则z等于( )

A．1－i B．1＋i C．－1－i D．－1＋i

(2)1＋i1－i2 017＝________.

(3)－23＋i1＋23i＋21－i2 017＝________.

答案 (1)A (2)i (3)22＋(22＋1)i

解析 (1)z＝i(1－i)＝1＋i，∴z＝1－i，故选A.

(2)(1＋i1－i)2 017＝[1＋i21－i1＋i]2 017＝i2 017＝i.

(3)－23＋i1＋23i＋(21－i)2 017

＝i1＋23i1＋23i＋(21－i)[(21－i)2]1 008

＝i＋i1 008·22(1＋i)＝22＋(22＋1)i.

题型三 复数的几何意义

例5 (1)△ABC的三个顶点对应的复数分别为z1，z2，z3，若复数z满足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，则z对应的点为△ABC的( )

A．内心 B．垂心

C．重心 D．外心

答案 D

解析 由几何意义知，复数z对应的点到△ABC三个顶点距离都相等，z对应的点是△ABC的外心．

(2)如图所示，平行四边形OABC，顶点O，A，C分别表示0，3＋2i，－2＋4i，试求：