高中数学：参数方程练习

高中数学：参数方程练习

1．(全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为 x＝3cos α，y＝sin α(α为参数)．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsinθ＋π4＝22.

(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；

(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．

解：(1)C1的普通方程为x23＋y2＝1.

C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0.

(2)由题意，可设点P的直角坐标为(3cos α，sin α)．因为C2是直线，所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d(α)的最小值，

d(α)＝|3cos α＋sin α－4|2＝2sinα＋π3－2.

当且仅当α＝2kπ＋π6(k∈Z)时，d(α)取得最小值，最小值为2，此时P的直角坐标为32，12.

2．(南昌一模)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 x＝2cos φ，y＝3sin φ(φ为参数)．以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin θ－kρcos

θ＋k＝0(k∈R)．

(1)请写出曲线C的普通方程与直线l的一个参数方程；

(2)若直线l与曲线C交于点A，B，且点M(1,0)为线段AB的一个三等分点，求|AB|.

解：(1)由题意知，曲线C的普通方程为x24＋y23＝1.

直线l的直角坐标方程为y＝k(x－1)，其一个参数方程为 x＝1＋tcos α，y＝tsin α(t为参数)．

(2)联立(1)中直线l的参数方程与曲线C的普通方程并化简得(3＋sin2α)t2＋6tcos α－9＝0，

设点A，B对应的参数分别为t1，t2，

∴ t1＋t2＝－6cos α3＋sin2α，t1·t2＝－93＋sin2α<0.①

不妨设t1>0，t2<0，t1＝－2t2，代入①中得cos2α＝49，sin2α＝59.

|AB|＝|t1－t2|＝t1＋t22－4t1t2＝123＋sin2α＝278.

3．(河北衡水中学模拟)在极坐标系中，曲线C1的极坐标方程是ρ＝244cos θ＋3sin θ，在以极点为原点O，极轴为x轴正半轴(两坐标系取相同的单位长度)的直角坐标系xOy中，曲线C2的参数方程为 x＝cos θ，y＝sin θ(θ为参数)．

(1)求曲线C1的直角坐标方程与曲线C2的普通方程；

(2)将曲线C2经过伸缩变换 x′＝22x，y′＝2y后得到曲线C3，若M、N分别是曲线C1和曲线C3上的动点，求|MN|的最小值．

解：(1)∵C1的极坐标方程是

ρ＝244cos θ＋3sin θ，

∴4ρcos θ＋3ρsin θ＝24，

∴4x＋3y－24＝0，

故C1的直角坐标方程为4x＋3y－24＝0.

∵曲线C2的参数方程为 x＝cos θ，y＝sin θ，

∴x2＋y2＝1，

故C2的普通方程为x2＋y2＝1.

(2)将曲线C2经过伸缩变换 x′＝22x，y′＝2y后得到曲线C3，则曲线C3的参数方程为 x′＝22cos α，y′＝2sin α(α为参数)．设N(22·cos α，2sin α)，则点N到曲线C1的距离

d＝|4×22cos α＋3×2sin α－24|5

＝|241sinα＋φ－24|5

＝24－241sinα＋φ5

其中φ满足tan φ＝423.

当sin(α＋φ)＝1时，d有最小值24－2415，

所以|MN|的最小值为24－2415.

4．已知直线l的参数方程为 x＝4＋22t，y＝22t(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝4cos θ，直线l与圆C交于A，B两点．

(1)求圆C的直角坐标方程及弦AB的长；

(2)动点P在圆C上(不与A，B重合)，试求△ABP的面积的最大值．

解：(1)由ρ＝4cos θ得ρ2＝4ρcos θ，

所以x2＋y2－4x＝0，所以圆C的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4.

设A，B对应的参数分别为t1，t2.

将直线l的参数方程代入圆C：

(x－2)2＋y2＝4，并整理得t2＋22t＝0，

解得t1＝0，t2＝－22.

所以直线l被圆C截得的弦AB的长为

|t1－t2|＝22.

(2)由题意得，直线l的普通方程为x－y－4＝0.

圆C的参数方程为 x＝2＋2cos θ，y＝2sin θ(θ为参数)，

可设圆C上的动点P(2＋2cos θ，2sin θ)，

则点P到直线l的距离

d＝|2＋2cos θ－2sin θ－4|2＝2cosθ＋π4－2，

当cosθ＋π4＝－1时，d取得最大值，且d的最大值为2＋2.

所以S△ABP＝12×22×(2＋2)＝2＋22，

即△ABP的面积的最大值为2＋22.

5．(郑州测试)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 x＝tcos α，y＝1＋tsin α(t为参数，α∈[0，π))．以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．设曲线C的极坐标方程为ρcos2θ＝4sin θ.

(1)设M(x，y)为曲线C上任意一点，求x＋y的取值范围；

(2)若直线l与曲线C交于不同的两点A，B，求|AB|的最小值．

解：(1)将曲线C的极坐标方程ρcos2θ＝4sin θ化为直角坐标方程，得x2＝4y.

∵M(x，y)为曲线C上任意一点，

∴x＋y＝x＋14x2＝14(x＋2)2－1，

∴x＋y的取值范围是[－1，＋∞)．

(2)将 x＝tcos α，y＝1＋tsin α代入x2＝4y，

得t2cos2 α－4tsin α－4＝0.

∴Δ＝16sin2α＋16cos2α＝16>0，

设方程t2cos2α－4tsin α－4＝0的两个根为t1，t2，

则t1＋t2＝4sin αcos2α，t1t2＝－4cos2α，

∴|AB|＝|t1－t2|＝t1＋t22－4t1t2＝4cos2α≥4，当且仅当α＝0时，取等号．

故当α＝0时，|AB|取得最小值4.

6．(广州调研)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为 x＝cos α，y＝2sin α(α为参数)，将曲线C1经过伸缩变换 x′＝2x，y′＝y后得到曲线C2.在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标

系中，直线l的极坐标方程为ρcos θ－ρsin θ－10＝0.

(1)说明曲线C2是哪一种曲线，并将曲线C2的方程化为极坐标方程；

(2)已知点M是曲线C2上的任意一点，求点M到直线l的距离的最大值和最小值．

解：(1)因为曲线C1的参数方程为

 x＝cos α，y＝2sin α(α为参数)，且 x′＝2x，y′＝y，

所以曲线C2的参数方程为 x＝2cos α，y＝2sin α，

所以C2的普通方程为x2＋y2＝4，

所以C2为圆心在原点，半径为2的圆，

所以C2的极坐标方程为ρ2＝4，

即ρ＝2(θ∈R)．

(2)解法一 直线l的直角坐标方程为x－y－10＝0，设M(2cos α，2sin α)(α为参数)．

曲线C2上的点M到直线l的距离

d＝|2cos α－2sin α－10|2＝|22cosα＋π4－10|2.

当cosα＋π4＝1，即α＝2kπ－π4(k∈Z)时，d取得最小值，为|22－10|2＝52－2.

当cosα＋π4＝－1，即α＝3π4＋2kπ(k∈Z)时，d取得最大值，为|－22－10|2＝2＋52.

解法二 直线l的直角坐标方程为

x－y－10＝0.

因为圆C2的半径r＝2，且圆心到直线l的距离d＝|0－0－10|2＝52>2，

所以直线l与圆C2相离．

所以圆C2上的点M到直线l的距离的最大值为d＋r＝52＋2，

最小值为d－r＝52－2.

7．(洛阳统考)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为 x＝t，y＝m＋t(t为参数，m∈R)，

以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2＝33－2cos2θ(0≤θ≤π)．

(1)写出曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；

(2)已知点P是曲线C2上一点，若点P到曲线C1的最小距离为22，求m的值．

解：(1)由曲线C1的参数方程消去参数t，可得C1的普通方程为x－y＋m＝0.

由曲线C2的极坐标方程得

3ρ2－2ρ2cos2θ＝3，θ∈[0，π]，

∴曲线C2的直角坐标方程为

x23＋y2＝1(0≤y≤1)．

(2)设曲线C2上任意一点P的坐标为

(3cos α，sin α)，α∈[0，π]，

则点P到曲线C1的距离

d＝|3cos α－sin α＋m|2＝2cosα＋π6＋m2.

∵α∈[0，π]，∴cosα＋π6∈－1，32，2cosα＋π6∈[－2，3]，

由点P到曲线C1的最小距离为22得，

若m＋3<0，则m＋3＝－4，

即m＝－4－3.

若m－2>0，则m－2＝4，即m＝6.

若m－2<0，m＋3>0，

当|m＋3|≥|m－2|，即m≥2－32时，

－m＋2＝4，即m＝－2，不合题意，舍去；

当|m＋3|<|m－2|，即m<2－32时，

m＋3＝4，即m＝4－3，不合题意，舍去．

综上，m＝－4－3或m＝6.

8．(成都诊断)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 x＝2cos α，y＝2＋2sin α(α为参数)，直线l的参数方程为 x＝3－32t，y＝3＋12t(t为参数)．在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，过极点O的射线与曲线C相交于不同于极点的点A，且点A的极坐标为(23，θ)，其中θ∈π2，π.

(1)求θ的值；

(2)若射线OA与直线l相交于点B，求|AB|的值．

解：(1)由题意知，曲线C的普通方程为

x2＋(y－2)2＝4，

∵x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，

∴曲线C的极坐标方程为

(ρcos θ)2＋(ρsin θ－2)2＝4，

即ρ＝4sin θ.

由ρ＝23，得sin θ＝32，

∵θ∈π2，π，∴θ＝2π3.

(2)易知直线l的普通方程为

x＋3y－43＝0，

∴直线l的极坐标方程为

ρcos θ＋3ρsin θ－43＝0.

又射线OA的极坐标方程为θ＝2π3(ρ≥0)，

联立 θ＝2π3ρ≥0，ρcos θ＋3ρsin θ－43＝0，

解得ρ＝43.

∴点B的极坐标为43，2π3，