[精品]2014年四川省成都外国语学校自主招生考试数学试卷与参考答案

2014年四川省成都外国语学校自主招生考试数学试卷

一、选择题：共12小题，每小题3分，共36分．

1．（3分）下列运算正确的是（ ）

A．a2•a3=a6 B．a6÷a2=a3 C．（a2）3=a6 D．a6﹣a2=a4

2．（3分）一次函数y=2x+1的图象不经过（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．（3分）如图，AF是∠BAC的平分线，EF∥AC交AB于点E．若∠1=25°，则∠BAF的度数为（ ）

A．15° B．50° C．25° D．12.5°

4．（3分）某次比赛共有15位选手参加角逐争取8个晋级名额，已知他们的分数互不相同，小张要判断自己是否能够晋级，只要知道下列15名选手成绩统计量中的（ ）

A．众数 B．方差 C．中位数 D．平均数

5．（3分）如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，联结BC，若∠A=36°，则∠C等于（ ）

A．36° B．54° C．60° D．27°

6．（3分）若一个圆锥的母线长是它底面半径的3倍，则它的侧面展开图的圆心角等于（ ）

A．120° B．135° C．150° D．180°

7．（3分）函数y=﹣，则自变量x的取值范围是（ ）

A．x≥﹣1 B．x≥﹣1且x≠2 C．x≠2 D．x＞﹣1且x≠2

8．（3分）将y=（2x﹣1）•（x+2）+1化成y=a（x+m）2+n的形式为（ ）

2 A． B．

C． D．

9．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，若AC=2，AB=3，则tan∠BCD的值为（ ）

A． B． C． D．

10．（3分）已知三点P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（1，﹣2）都在反比例函数的图象上，若x1＜0，x2＞0，则下列式子正确的是（ ）

A．y1＜y2＜0 B．y1＜0＜y2 C．y1＞y2＞0 D．y1＞0＞y2

11．（3分）已知下列命题：

①对角线相等的四边形是矩形；

②等腰梯形的对角线互相垂直；

③对角线垂直相等的四边形是菱形；

④两组对角分别相等的四边形是平行四边形，

其中假命题有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

12．（3分）如图，四边形ABCD是边长为2cm的正方形，动点P在ABCD的边上沿A﹣B﹣C﹣D的路径以1cm/s的速度运动（点P不与A，D重合）．在这个运动过程中，△APD的面积S（cm）2随时间t（s）的变化关系用图象表示，正确的为（ ）

3 A． B． C． D．

二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．

13．（4分）分解因式：2x3﹣8xy2= ．

14．（4分）根据全国第六次人口普查统计，某市常住人口约为2980000人，近似数2980000保留两个有效数字可表示为

人．

15．（4分）若方程=1的解是非负数，则a的取值范围是 ．

16．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，AD=2AB，M是AD的中点，CE⊥AB于点E，∠CEM=40°，则∠AME的度数是

．

17．（4分）如图，Rt△ABC的边BC位于直线l上，AC=，∠ACB=90°，∠A=30°，若Rt△ABC由现在的位置向右无滑动地翻转，当点A第4次落在直线l上时，点A所经过的路线的长为 （结果用含π的式子表示）．

18．（4分）如图，已知动点A在函数y=（x＞0）的图象上，AB⊥x轴于点B，AC⊥y轴于点C，延长CA至点D，使AD=AB，延长BA至点E，使AE=AC，直线DE分别交x轴、y轴于点P、Q，当QE：DP=1：4时，图中的阴影部分的面积等于 ．

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三、解答题：共10小题，共90分．

19．（12分）（1）计算：|﹣2|+20090﹣（﹣）﹣1+3tan30°；

（2）解方程：+=3．

20．（6分）先化简，再求值：，其中．

21．（8分）如图所示，每个小方格都是边长为1的正方形，以O点为坐标原点建立平面直角坐标系．

（1）画出四边形OABC关于y轴对称的四边形OA1B1C1，并写出点B1的坐标是 ；

（2）画出四边形OABC绕点O顺时针方向旋转90°后得到的四边形OA2B2C2，并求出点C旋转到点C2经过的路径的长度．

22．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函y=的图象交于第一、第三象限内的A、B两点，直线AB与x轴交于点C，点B的坐标为（﹣6，n），线段OA=5，E为正半轴上的一点，且tan∠

5 AOE=．

（1）求反比例函数解析式；

（2）求△AOB的面积；

（3）求不等式kx+b≥的解集．

23．（8分）已知：如图，直角三角形BCA中，∠BCA=90°，BC=a，CA=b，AB=c，请你用两种方法证明：a2+b2=c2．

24．（8分）红星中学为了解七年级学生课堂发言情况，随机抽取该年级部分学生，对他们某天在课堂上发言的次数进行了统计，其结果如表，并绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，已知B、E两组发言人数的比为5：2，请结合图中相关数据回答下列问题：

（1）求出样本容量，并补全直方图；

（2）该年级共有学生600人，请估计全年级在这天里发言次数不少于12次的人数；

（3）已知A组发言的学生中恰有2位女生，E组发言的学生中恰有1位男生，现从A组与E组中分别抽一位学生写报告，请用列表法或画树状图的方法，求所抽的两位学生恰好是一男一女的概率．

发言次数n

A 0≤n＜3

B 3≤n＜6

6 C 6≤n＜9

D 9≤n＜12

E 12≤n＜15

F 15≤n＜18

25．（10分）如图所示，在Rt△ABC中，AB=BC=4，∠ABC=90°，点P是△ABC的外角∠BCN的角平分线上一个动点，点P′是点P关于直线BC的对称点，连结PP′交BC于点M，BP′交AC于D，连结BP、AP′、CP′．

（1）若四边形BPCP′为菱形，求BM的长；

（2）若△BMP′∽△ABC，求BM的长；

（3）若△ABD为等腰三角形，求△ABD的面积．

26．（8分）某商店购进一批单价为8元的商品，如果按每件10元出，那么每天可销售100件，经调查发现，这种商品的销售单价每提高1元，其销售量相应减少10件．将销售价定为多少，才能使每天所获销售利润最大？最大利润是多少？

27．（10分）如图，半圆O中，将一块含60°的直角三角板的60°角顶点与圆心O重合，角的两条边分别与半圆圆弧交于C，D两点（点C在∠AOD内部），AD与BC交于点E，AD与OC交于点F．

（1）求∠CED的度数；

（2）若C是弧的中点，求AF：ED的值；

7 （3）若AF=2，DE=4，求EF的长．

28．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=（x﹣m）2﹣m2+m的顶点为A，与y轴的交点为B，连结AB，AC⊥AB，交y轴于点C，延长CA到点D，使AD=AC，连结BD．作AE∥x轴，DE∥y轴．

（1）当m=2时，求点B的坐标；

（2）求DE的长？

（3）①设点D的坐标为（x，y），求y关于x的函数关系式？②过点D作AB的平行线，与第（3）①题确定的函数图象的另一个交点为P，当m为何值时，以A，B，D，P为顶点的四边形是平行四边形？

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2014年四川省成都外国语学校自主招生考试数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：共12小题，每小题3分，共36分．

1．（3分）下列运算正确的是（ ）

A．a2•a3=a6 B．a6÷a2=a3 C．（a2）3=a6 D．a6﹣a2=a4

【解答】解：A、同底数幂的乘法底数不变指数相加，故A错误；

B、同底数幂的除法底数不变指数相减，故B错误；

C、幂的乘方底数不变指数相乘，故C正确；

D、不是同底数幂的除法指数不能相减，故D错误；

故选：C．

2．（3分）一次函数y=2x+1的图象不经过（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【解答】解：∵k=2＞0，图象过一三象限，b=1＞0，图象过第二象限，

∴直线y=2x+1经过一、二、三象限，不经过第四象限．

故选D．

3．（3分）如图，AF是∠BAC的平分线，EF∥AC交AB于点E．若∠1=25°，则∠BAF的度数为（ ）

A．15° B．50° C．25° D．12.5°

【解答】解：∵EF∥AC，∠1=25°，

∴∠2=∠1=25°，

∵AF是∠BAC的平分线，

∴∠BAF=∠2=25°．

故选：C．

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4．（3分）某次比赛共有15位选手参加角逐争取8个晋级名额，已知他们的分数互不相同，小张要判断自己是否能够晋级，只要知道下列15名选手成绩统计量中的（ ）

A．众数 B．方差 C．中位数 D．平均数

【解答】解：∵15位选手参加角逐争取8个晋级名额，

∴小张要判断自己是否能够晋级，只要知道下列15名选手成绩统计量中的中位数，

故选C．

5．（3分）如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，联结BC，若∠A=36°，则∠C等于（ ）

A．36° B．54° C．60° D．27°

【解答】∵AB与⊙O相切于点B，

∴∠ABO=90°，

∵∠A=36°，

∴∠BOA=54°，

∴由圆周角定理得：∠C=∠BOA=27°，

故选D．

6．（3分）若一个圆锥的母线长是它底面半径的3倍，则它的侧面展开图的圆心角等于（ ）

A．120° B．135° C．150° D．180°