第九章 差错控制编码

只对出错信息重发，因此传输效率大大提 高，但收发两端都要有足够的存储空间。
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(4) 混合方式
ARQ
FEC 编码器
ห้องสมุดไป่ตู้
反馈信道 正向信道
FEC 译码器
ARQ
编码既有纠错能力也有检错能力，收端收到 信息码组后在收端进行检测。
在纠错范围内：纠正； 超出范围：通过ARQ方式进行重发。
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(2) 检错或纠错的原理
例: A、B两消息，可用一位二进制数表示，A=1、B=0 出错时无法判定 。
n 增加一个监督位，取11→A、00→B,若收到01 或10时，可知发生了错误，但不能纠正错误。
o 再增加一个监督位，取111→A、000→B,如果 一位错：001判成B 110判成A；
若两位错011,110则只能发现不能纠错。
工作过程：发送——检测——回复——重发或发送新的数据
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ARQ的三种实现方式
①停止等待方式
发送端 1
2
2
3
接收端 1
2
2
特点：半双工工作，简单，要求的缓存量小，但等待时间较长， 传输效率↓
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10-3 Pe
要信噪比7.5 dB，可 10-4
以节省功率2 dB。
通常称这2 dB为编
10-5
码增益。
10-6
A E
编码后
B C
D
比特信噪比 (dB)
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9.3 常用的简单编码
1、奇偶监督码： k=n-1,r=1的线性码。
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(3) 分组码
对被传输的信息序列分组，每组为k个信息元，对 每组按某种关系附加(n-k)个监督码元 (校验)，形成为 n位的码字。这种方法构成的码组称为分组码。
分组码的三个参数 码长 n，信息位 k，最小距离 d0 ， 用符号 (n,k,d0) 表示
d0
（b）
e AA22
d0
（c）
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例9-1
一个码集，只有两个许用码：0000、1111，试求其 纠、检错能力和编码效率。
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（6）差错控制编码的效用
P7 (1) ≈ 7 p = 7×10−3
P7 (2)
≈
7! 2!(7 −
2)!
p2
=
21×
p2
=
2.1×10−5
P7
(3)
≈
7! 3!(7 −
3)!
p3
=
35×
p3
=
3.5×10−8
由此可见，即使仅能纠正1-2个错误，也可使
误码率下降几个数量级，所以差错控制编码具有
较大的实际应用价值。
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E(Rb)为误差指数，Rb<C时，E(Rb)>0。
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系统带宽和信噪比的矛盾
在发送信息码元序列中加入监督码元, 发 送序列增长，冗余度增大。若仍须保持发送信 息码元速率不变，则传输速率必须增大，因而 增大了系统带宽。
系统带宽的增大将引起系统中噪声功率增 大，使信噪比下降。信噪比的下降反而又使系 统接收码元序列中的错码增多。
码长：码组中码元的数目，常用n表示； 码重：码组中非零码元的数目，记为W；
码距：两等长码字C1、C2对应位上取值不同的数 目，又称为汉明(Hamming)距离，记为d(c1,c2)。 最小码距：在分组码(n,k)中，任意两个码字之 间汉明距离的最小值，记为dmin。
码距的大小关系到编码的检纠错能力！
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(3) 检错重发法 ARQ
发码具有检错能力，收端接收后判决是否出错，通 过反向信道发送判决结果，发端据此决定是否重发。
信源
编码器
正向信道
译码器
信宿
缓存器
重发控制器 反向信道 重发判决器
译码设备简单，对突发错误有效，要求有反馈信道。
10-3 Pe
10-4
不增大发送功率，
就能降低误码率约一 10-5
个半数量级，付出的
代价是带宽增大。
10-6
A E
编码后
B C
D
比特信噪比 (dB)
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10-1
若保持误码率在
10-5，未采用编码
10-2
时，约需要信噪比
Eb/n0=9.5dB。在采 用这种编码时，约需
特点： 码组中的1个数是奇数（奇监督码） 或偶数（偶监督码）。
偶监督时，要满足： an−1 ⊕ an−2 ⊕ " ⊕ a0 = 0 奇监督时，要满足： an−1 ⊕ an−2 ⊕ " ⊕ a0 = 1
两者的校验能力相同，均只能检测出奇数个错误。
编码效率： R=k/n=n-1/n=1-1/n
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（7）有扰信道编码定理（Shannon第二定理）
对于给定的有扰信道，若信道容量为C，只 要发送端以低于C的信息速率Rb发送信息，则一 定存在一种编码方法，使得译码错误概率P随着 码长n的增加，按指数下降至任意小的值，表示 为P≤e-nE(Rb)
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差错控制（纠错编码）
在发送端利用信道编码器在数据信息 中增加一些监督信息，使不带规律性或规 律性不强的原始数字信号变为带规律性或 加强了规律性的数字信号，信道译码器则 利用这些规律性来鉴别是否发生错误，或 进行错误纠正。
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②连续重发方式
01234523456
01234523456
退N步方式：从出错帧开始重发。
优缺点：传输效率↑，但重发的N帧中，大部分为正确，所 以仍有浪费。发端缓存必须可存N帧。
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③选择重发方式
01234526789
01234526789
其它重复码依次类推！
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111→A、000→B
该（3.1）码，能纠正一个错，发现两个错。但是 数据位仅为1位，监督位为两位，传输效率↓↓
从上例可以看出： 1、差错控制是以牺牲传输效率为代价而换取
了传输质量的提高的。 2、纠检错能力与加入的监督元数目成正比。
an-1
an-2
…… ar
ar-1
……
a0
k个信息元 码长：n = k+r
r个监督元
R=k/n为编码效率，d0一定(纠错能力一定)时，k/n大，效率高。
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（4）分组码的纠(检)错能力
任一（n，k）分组码，若要在码字内能： 1、检测e个随机错误，则要求：d0 ≥e+1 2、纠正t个随机错误，则要求：d0 ≥ 2t+1
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纠错码的分类
根据各码组信息码和监督码的关系分：
（1）
线性码，非线性码
（2） 根据监督码元是否仅与本组信息元有关
分组码，卷积码
（3） 根据纠错码组中信息元是否隐蔽分：
系统码，非系统码
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差错控制的方法
（1）前向纠错法 FEC
信源
FEC 编码
信道
FEC 译码
信宿
所发码具有纠错能力，收端接收后自动纠错，无需反 向信道。实时性好，但译码设备复杂，传输效率↓。
（2）信息反馈法 IF
发端
信息信号 信息信号
收端
方法和设备简单，无需纠检错编译系统。但需要双 向信道，传输效率↓、实时性差。
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n=3时，码距的几何说明：
（ a2 a1 a0 ）
（ 110） （ 011 ）
011
d=2
（ 111） （ 000 ）
a0
d=3
a1
110 111
000
a2
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8 1000 1
9 1001 0
10 1 0 1 0 0
11 1 0 1 1 1
12 1 1 0 0 0
13 1 1 0 1 1
14 1 1 1 0 1
15 1 1 1 1 0
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32
aa44
aa44 码字
aa33
aa33
aa22
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根据码的用途分：
（4）
检错码 ，纠错码
（5）
根据码元的取值：
二进制码，多进制码
（6）
根据构造编码的数学方法：
代数码，几何码，算术码
本课程主要讨论纠随机错误的二进制线性分组码！
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9.2 纠错编码的基本原理
（1）几个术语
5
差错的两大类型：
随机性错误：前后出错位之间无一定 关系，随机、离散出现。
突发性错误：差错成串出现，且有一 定相关性。
实际信道中，上述两种错误常同时存在！
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6
提高传输可靠性措施
合理的设计基带信号 时域/频域均衡 提高信号发射功率 采用信道纠错编码
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4
差错
在通信过程中，会受到各种外来 干扰，如脉冲干扰，随机噪声干扰， 人为干扰及通信线路传输性能的限制 都将使信号失真。由于以上原因，引 起数据信息序列产生错误，称之为差 错。
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第9章 差错控制编码
南京航空航天大学电子信息工程学院 通信原理教研组
1 引言 2 纠错编码的基本原理
3 常用的简单编码 4 线性分组码
5 循环码 6 卷积码 7 网格编码调制
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2
9.1 引言
数字通信系统的组成
ASK FSK
PSK
aa22
aa11
aa11
信息组
++
aa00
a0 = a4 ⊕ a3 ⊕ a2 ⊕ a1
偶监督码编码器
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偶监督码的检错电路
接收码组 bb00 bb11 bb22 bb33 bb44
B
+
S 检错信号
s
= b4
⊕ b3
3、纠正t个同时检测e(e>t)个随机错误，则
要求：d0 ≥ e+t+1
（5）对纠错编码的要求
纠、检错能力强，编码效率高，码长短， 编码规律简单。
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纠（检）错能力的几何解释
e
AA11
A2
d0
（a） t
AA11
t AA11
AA22A2 t
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码长5的偶监督码
序
码字
号 信息码元 监督元
a4 a3 a2 a1 a0
0 0000 0
1 0001 1
2 0010 1
3 0011 0
4 0100 1
5 0101 0
6 0110 0
7 0111 1
序
码字
号 信息码元 监督元
a4 a3 a2 a1 a0
一般说来，采用纠错编码后，误码率总是 能够得到很大改善的，改善的程度和所用的编 码有关。
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编码性能举例
未采用纠错编码 10-1
时，若接收信噪比等
于7dB，编码前误码率 10-2
约为8*10-4; 在采用纠
错编码后，误码率降 至约4*10-5;
DPSK
信
编
加
调
信
解
解
译
信
源
码
密
制
道
调
密
码
宿
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噪
声
同步系统
信源编码 信道编码
A/D
数据压缩 差错控制
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数字通信中的编码分：
信源编码：为提高信号传输的有效性而 采取的措施。
信道编码：为提高信号传输的可靠性而采取 的措施，亦称差错控制编码。
假设在随机信道中，发送“0”和“1”的错误概 率相等，都等于p，且p＜＜1，在码长为n的码 组中，发生r个错误的概率为：
Pn (r)
=
Cnr
pr (1−
p)n−r
≈
n! r !(n − r)!
pr
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例如：当n=7，p=10-3时，则有：