高等数学第九章 重积分 练习题册

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求曲边梯形面积的解题步骤 :
1) 大化小. 在区间 [a , b] 中任意插入 n –1 个分点
用直线 x xi 将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形;
2) 常代变. 在第i 个窄曲边梯形上任取 i [xi1 , xi ]
窄曲边梯形面积
得
y
Ai f (i )xi (xi xi xi1 )

n
因此面积元素 也常
记作 dxdy, 二重积分记作
引例1中曲顶柱体体积:
13
关于二重积分定义的几点说明:
1、二重积分的值与D域的分法及 k 上 k , k
的取法无关。
2、二重积分是个极限值，是个数值。其大小只与
f x, y 及D有关而与积分变量的记号无关。
3、d 对应和式中的 i , 对D的分割是任意的，若用
(x y)2 (x y)3
D (x y)2 d D (x y)3 d
21
2. 设D 是第二象限的一个有界闭域 , 且 0 < y <1, 则
I1 yx3 d ,
D
的大小顺序为 ( D )
( A) I1 I2 I3;
I3
y
1 2
x
3
d
D
(B) I2 I1 I3 ;
(C) I3 I2 I1 ; (D) I3 I1 I2 .
平行于坐标轴的直线段来划分D ,那么除了靠边的一些
小区域外，绝大部分的小区域都是矩形的，由于
i 0, 靠边的小区域不作计较。
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二重积分的几何意义
(1)z f (x, y) 0
zz f ( x, y)
V f ( x, y)d
D
(2)z f (x, y) 0

高等数学定积分及重积分的方法与技巧第一部分 定积分的计算一、定积分的计算例1 用定积分定义求极限. )0(21lim 1>++++∞→a nn a a a a n . 解 原式=∫∑=⋅=∞→1011lim a ani n x n n i dx =aa x a +=++11111. 例2 求极限 ∫+∞→121lim xx n n dx .解法1 由10≤≤x ，知nn x x x ≤+≤210，于是∫+≤1210x x n ∫≤1n x dx dx .而∫10nx ()∞→→+=+=+n n n x dx n 0111101，由夹逼准则得∫+∞→1021lim xx n n dx =0. 解法2 利用广义积分中值定理()()x g x f ba ∫()()∫=b ax g f dx x dx （其中()x g 在区间[]b a ,上不变号）， ().1011112102≤≤+=+∫∫n n nn dx x dx xx x x由于11102≤+≤nx，即211nx+有界，()∞→→+=∫n n dx x n01110，故∫+∞→1021lim x x n n dx =0. 注 （1）当被积函数为()22,x a x R +或()22,a x x R −型可作相应变换.如对积分()∫++3122112xxdx，可设t x tan =；对积分()02202>−∫a dx x ax x a，由于()2222a x a x ax −−=−，可设t a a x sin =−.对积分dx e x ∫−−2ln 021，可设.sin t e x =−（2）()0,cos sin cos sin 2≠++=∫d c dt td t c tb t a I π的积分一般方法如下：将被积函数的分子拆项，[分子]=A[分母]+B[分母]′，可求出22dc bdac A ++=，22dc adbc B +−=. 则积分 ()220cos sin ln 2cos sin cos sin πππtd t c B A dt td t c t d t c B A I ++=+′++=∫.ln2dc B A +=π例3 求定积分()dx x x x ∫−1211arcsin分析 以上积分的被积函数中都含有根式，这是求原函数的障碍.可作适当变换，去掉根式. 解法1 ()dxx x x ∫−1211arcsin 2tx x t ==12121211212arcsin arcsin arcsin 21arcsin 2tt d t dt tt ==−∫∫.1632π=解法2 ()dx x x x∫−1211arcsin .163cos sin cos sin 2sin 2242242πππππ==⋅=∫u du u u uu u u x 小结 （定积分的换元法）定积分与不定积分的换元原则是类似的，但在作定积分换元()t x ϕ=时还应注意：（1）()t x ϕ=应为区间[]βα,上的单值且有连续导数的函数； （2）换限要伴随换元同时进行；（3）求出新的被尽函数的原函数后，无需再回代成原来变量，只要把相应的积分限代入计算即可.例4 计算下列定积分（1）∫+=2031cos sin sin πx x xdx I ， dx xx xI ∫+=2032cos sin cos π；（2）.1cos 226dx e xx ∫−−+ππ解 （1）∫+=2031cos sin sin πxx xdx I)(sin cos cos 2023du u u uu x −+−=∫ππ=.sin cos cos 223∫=+πI dx xx x故dx xx xx I I ∫++==203321cos sin cos sin 21π=()41cos cos sin sin 212022−=+−∫ππdx x x x x . （2）=I .1cos 226dx e x x ∫−−+ππ()dxe xdu e uu x x u ∫∫−−+=−+−=2262261cos 1cos ππππ+++=∫∫−−2222661cos 1cos 21ππππdx e x dx e x e I x x x.3252214365cos cos 21206226πππππ=×××===∫∫−xdxxdx这里用到了偶函数在对称取间上的积分公式以及公式：dx xdx n n∫∫=2020cos sin ππ()()()()()()=⋅×−×−−=×−×−−=偶数奇数n n n n n n n n n n ,22421331,1322431π小结 （1）常利用线性变换把原积分化为可抵消或可合并的易于积分的形式。

重积分一、基本要求1.了解二重、三重积分的概念和性质2.掌握二重积分在直角坐标和极坐标下的计算3.掌握三重积分在直角坐标、柱面坐标和球面坐标下的计算4.会用重积分计算曲面面积、立体面积、以及物体质量、质心等几何量和物理量.二、主要内容详细内容：1. 重积分定义：设(,)f x y 是有界闭域D 上的有界函数，将D 任意分成n 个小闭区域12,,,n σσσ∆∆∆，其中i σ∆也表示第i 个小闭区域的面积，在每个i σ∆上任取一点(,)i i ξη (1,2,,)i n =作和1(,)ni i i i f ξησ=∆∑，如果当各小区域的直径的最大值0λ→时，这和式的极限总存在，则称此极限为函数(,)f x y 在D 上的二重积分，记作(,)Df x y d σ⎰⎰，即1(,)l i m (,)ni i i i Df x y d f λσξησ→==∆∑⎰⎰ 2. 性质ⅰ) [](,)(,)(,)(,)DDDf x yg x y d f x y d g x y d αβσασβσ+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰ⅱ)1211(,)(,)(,)D D D D f x y d f x y d f x y d σσσ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰ⅲ)1DDd d σσσ==⎰⎰⎰⎰ (σ为D 的面积)ⅳ)如果在D 上，(,)(,)f x y g x y ≤，则有(,)(,)DDf x y dg x y d σσ≤⎰⎰⎰⎰ⅴ)设,M m 分别是(,)f x y 在闭区域D 上的最大值和最小值，σ是D 的面积，则有(,)Dm f x y d M σσσ≤≤⎰⎰ⅵ)(中值定理)设(,)f x y 在闭区域D 上连续，σ是D 的面积，则在D 上至少存在一点(,)ξη,使得(,)(,)Df x y d f σξησ=⎰⎰3. 直角坐标下计算二重积分ⅰ)积分区域{}12(,)()(),D x y x y x a x b φφ=≤≤≤≤ 则21()()(,)(,)bx a x Df x y d dx f x y dy φφσ=⎰⎰⎰⎰ⅱ) 积分区域{}12(,)()(),D x y y x y c y d ϕϕ=≤≤≤≤则21()()(,)(,)dy c y Df x y d dy f x y dx ϕϕσ=⎰⎰⎰⎰4. 极坐标下计算二重积分设积分区域D ：12()(),φθρφθαθβ≤≤≤≤ 则(,)(cos ,sin )DDf x y d f d d σρθρθρρθ=⎰⎰⎰⎰21()()(cos ,sin )d f d βφθαφθθρθρθρρ=⎰⎰5. 二重积分的几何意义：(,)Df x y d σ⎰⎰等于以D 为底，(,)z f x y =为顶的曲顶拄体的体积，(这里(,)0f x y ≥)物理意义：(,)Df x y d σ⎰⎰表示位于平面区域D ，面密度为(,)f x y 的薄片的质量.6. 三重积分定义：设(,,)f x y z 是有界闭域Ω上的有界函数，将Ω任意分成n 个小闭区域12,,,n v v v ∆∆∆，其中i v ∆也表示第i 个小闭区域的体积，在每个i v ∆上任取一点(,,)i i i ξηζ (1,2,,)i n =作和1(,,)nii i i i f ξηζσ=∆∑，如果当各小区域的直径的最大值0λ→时，这和式的极限总存在，则称此极限为函数(,,)f x y z 在Ω上的三重积分，记作(,,)f x y z dv Ω⎰⎰，即1(,,)l i m (,,)ni i i i i f x y z d v f vλξηζ→=Ω=∆∑⎰⎰⎰ 7. 直角坐标下计算三重积分ⅰ)积分区域{}12(,,)(,)(,),(,)xy x y z z x y z z x y x y D Ω=≤≤∈ 则21(,)(,)(,,)(,,)xyz x y z x y D f x y z dv dxdy f x y z dz Ω=⎰⎰⎰⎰⎰⎰21()()(,)(,)bx ax Df x y d dx f x y dy φφσ=⎰⎰⎰⎰ⅱ) 积分区域{}12(,,)(,),z x y z x y D c z c Ω=∈≤≤ 则21(,,)(,,)zc c D f x y z dv dz f x y z dxdy Ω=⎰⎰⎰⎰⎰⎰8.柱面坐标下计算二重积分设Ω：1212,()(),(,)(,)z z z αθβφθρφθρθρθ≤≤≤≤≤≤ 则(,,)f x y z dv Ω⎰⎰⎰2211()(,)()(,)(cos ,sin ,)z z d d f z dz βφθρθαφθρθθρρρθρθ=⎰⎰⎰9. 球面坐标下计算三重积分设Ω：1212,()(),(,)(,)r r r αθβφθφφθθφθφ≤≤≤≤≤≤ 则(,,)f x y z dv Ω⎰⎰⎰＝2211()(,)2()(,)sin (sin cos ,sin sin ,cos )r r d d f r r r r dr βφθθφαφθθφθφφφθφθφ=⎰⎰⎰10. 三重积分的物理意义：(,,)f x y z dv Ω⎰⎰⎰表示位于空间区域Ω，体密度为(,,)f x y z 的空间形体的质量. 11.对称区域上的奇偶函数积分ⅰ)若(,)f x y 为区域上D 的连续函数，D 关于y 轴对称，且1D 为D 位于y 轴右侧的子区域，则10(,)(,)2(,)(,)DD f x y x f x y d f x y d f x y x σσ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰，为的奇函数，为的偶函数ⅱ) 若(,,)f x y z 为Ω区域上的连续函数，Ω关于xy O 坐标面对称，1Ω为Ω位于xy O 坐标面上侧的部分，则10(,,)(,,)2(,,)(,,)f x y z f x y z dv f x y z dvf x y z ΩΩ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰⎰⎰，为z 的奇函数为z 的偶函数12.几何应用、物理应用曲面面积：xyD A =⎰⎰平面薄片的质心坐标：(,)(,)DDx x y d x x y d ρσρσ=⎰⎰⎰⎰， (,)(,)DDy x y d y x y d ρσρσ=⎰⎰⎰⎰空间物体的质心坐标：1(,,)x x x y z dv M ρΩ=⎰⎰⎰ ，1(,,)y y x y z dv MρΩ=⎰⎰⎰1(,,)z z x y z dv MρΩ=⎰⎰⎰其中(,,)M x y z dv ρΩ=⎰⎰⎰三、 重点与难点：1. 选择适当的坐标计算重积分.2. 根据被积函数及积分区域特点，选择适当的积分次序.3. 二次积分的积分次序变换.4. 利用对称区域上函数的奇偶性简化计算. 四、 例题1. 设(,)f x y 在[,]a b 上连续，证明不等式22()()()b b a a f x dx b a f x dx ⎡⎤≤-⎢⎥⎣⎦⎰⎰ 等号仅当()f x 为常数时成立.分析：利用“非负被积函数的二重积分非负”的性质来证明.在证明等号成立的条件时，用到了“非负连续函数的定积分为零，则此函数恒为零”的性质. 证明：因为[]20()()bba adx f x f y dy ≤-⎰⎰222()()2()()()bb baa ab a f x dx f x dx b a f y dy ⎡⎤=--+-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰ 故有22()()()b ba a f x dxb a f x dx ⎡⎤≤-⎢⎥⎣⎦⎰⎰ 当()f x 为常数时，显然上述等号成立.反之，设上述等号成立，则[]2()()0bba a dx f x f y dy -=⎰⎰ 由于函数[]2()()()ba F x f x f y dy =-⎰是[,]ab 上非负连续函数， 故()0F x ≡，a x b ≤≤.特别()0F a =即[]2()()0ba f x f y dy -=⎰，又由于函数[]2()()()G y f x f y =-是[,]a b 上非负连续函数，故()0G x ≡，a y b ≤≤.因此()()f y f a ≡，a y b ≤≤ 即()f x 为常数.2. 在下列二次积分中改变积分次序 1)2111(,)x dx f x y dy --⎰⎰分析：积分域D ：211,1x y x -≤≤≤≤-，也表示为两个区域12,D D 的并，其中1D ：210,1y x y -≤≤≤≤- ：01,y x ≤≤≤≤解：2110111(,)(,)(,)x dx f x y dy dy f x y dx dy f x y dx ---=+⎰⎰⎰⎰2)311(,)x x dx f x y dy -⎰⎰分析：注意到当01x <<，3x x <，尽管这个二次积分并不是(,)f x y 在由y x =及3y x =所围区域上的二重积分，但是改变积分次序使之与原二次积分相等仍为可能.解：311(,)x x dx f x y dy -⎰⎰＝33110(,)(,)x x x x dx f x y dy dx f x y dy --⎰⎰⎰⎰ 3011(,)(,)x yx dx f x y dy dy f x y dx --=⎰⎰⎰31100(,)(,)x x y dx f x y dy dx f x y dx =⎰⎰⎰311(,)x x dx f x y dy -⎰⎰01(,)y dy f x y dx -=⎰10(,)y dx f x y dx -⎰11(,)ydy f x y dx -=⎰3. 计算下列二重积分1) 22()Dx y dxdy +⎰⎰，其中D 是,,y x y x a y a ==+=和3y a = (0)a >为边的平行四边形区域.分析：当y 从a 变到3a ，对每一固定的y ，x 从y a -变到y 故化为先对x 后对y 的二重积分较简单. 解：D ：3,a y a y a x y ≤≤-≤≤ 32222()()aya y a Dx y dxdy dy x y dx -+=+⎰⎰⎰⎰23324()1433aay y a ay dy a ⎡⎤-=+-=⎢⎥⎣⎦⎰ 2) 2Dy dxdy ⎰⎰，其中D 是由x 轴和摆线的第一拱(sin ),(1cos ),(02)x a t t y a t t π=-=-≤≤所围的区域分析：区域D ：02x a π≤≤，0()y x φ≤≤其中()y x φ=为摆线的直角坐标方程，显然当(sin )x a t t =-时，()(1cos ),(02)y x a t t φπ==-≤≤解： []2()2322001()3a x ay dxdy dx y dy x dx πφπφ==⎰⎰⎰⎰⎰23301(1cos )(1cos )3a t a t dt π=--⎰ ((sin ))x a t t =- 4280161sin 332a t dt π=⎰44882003232sin 2sin 33a a udu udu ππ==⋅⎰⎰ ()2tu = 4432753135238642212a a ππ⋅⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅⋅3)2Dy x dxdy -⎰⎰，其中D ：11x -≤≤，02y ≤≤分析：将区域D 分成两块12,D D ，使被积函数21222(),(,)(,)y x x y D y x y xx y D ⎧--∈⎪-=⎨-∈⎪⎩再利用二重积分的关于积分域的可加性，分块计算 解：曲线2y x =将区域D 分成 ：11x -≤≤，20y x ≤≤ ：11x -≤≤，22x y ≤≤2Dy xdxdy -⎰⎰1222()()D D x y dxdy y x dxdy =-+-⎰⎰⎰⎰2221122101()()x x dx x y dy dx y x dy --=-+-⎰⎰⎰⎰114240(44)4615x dx x x dx=+-+=⎰⎰4)D⎰⎰,其中D :22224x y ππ≤+≤分析：当二重积分的积分域为圆域或扇形域，可考虑用极坐标解：220sin d d πππθρρρ=⋅⎰⎰⎰⎰22sin d πππρρρ=⋅⎰ 26π- 4.计算二重积分112111224y y xxy dy e dx dy e dx I =+⎰⎰⎰分析：由于被积函数的原函数不易求出，可考虑改变积分次序后再计算.解：设区域D ：211,2x x y x ≤≤≤≤21111223()82y y xx xxx De e d dx e dy x e e dx σI ===-=-⎰⎰⎰⎰⎰ 5.设一平面薄片位于双曲线221x y -=及0,1y y ==直线所围平面区域D ，且D 上任一点(,)x y 处的面密度为2x y ，求此薄片的质量. 分析：平面薄片的质量等于密度函数再区域上的二重积分，再利用区域对称化简计算.解：薄片的质量1222DD M x yd x yd σσ==⎰⎰⎰⎰31122200022(1)3dy x ydx y y dy ==+⎰⎰152222(1)1)1515y =+=6.求曲面z =夹在两曲面2222,2x y y x y y +=+=之间的那部分曲面的面积.分析：将所求的曲面投影到xoy 面计算最简单，投影域xy D 为曲线2222,2x y y x y y +=+=所围部分.解：投影域：xy D ：222y x y y ≤+≤由z =，知x y z z ==2xyxyD D S dxdy ==⎰⎰⎰⎰)4ππ=-=7.化二次积分1100(,)dx f x y dy ⎰⎰为极坐标形式的二次积分.分析：一般极坐标形式的二次积分为先对ρ后对θ的二次积分，当然也可化为先θ对后对ρ的二次积分. 解：区域可表示为1D ：10,04cos πθρθ≤≤≤≤及2D ：1,042sin ππθρθ≤≤≤≤1114cos 0(,)(cos ,sin )dx f x y dy d f d πθθρθρθρρ=⎰⎰⎰⎰12sin 04(cos ,sin )d f d πθπθρθρθρρ+⎰⎰积分域也可表示为1D ：01,02πρθ≤≤≤≤及2D ：110cosarcsinarc ρθρρ≤≤≤≤两部分.111200(,)(cos ,sin )dx f x y dy d f d πρρρθρθθ=⎰⎰⎰⎰＋1arcsin11arccos(cos ,sin )d f d ρρρρθρθθ⎰8.设函数()f x 在[0,1]上连续，并设10()f x dx A =⎰，求110()()x dx f x f y dy ⎰⎰. 分析：求解关键是利用二重积分对坐标轮换对称的性质，即区域D 的边界曲线方程关于,x y 对称，则有 (,)(,)DDf x y dxdy f y x dxdy =⎰⎰⎰⎰.解：变换积分次序得1110()()()()yxdx f x f y dy dy f x f y dx =⎰⎰⎰⎰10()()xdx f x f y dy =⎰⎰111112()()()()()()x xxdx f x f y dy dx f x f y dy dx f x f y dy =+⎰⎰⎰⎰⎰⎰1100()()dx f x f y dy =⎰⎰112()()f x dx f y dyA=⋅=⎰⎰∴11201()()2x dx f x f y dy A =⎰⎰ 9.求锥面z =和抛物面22z x y =+所围成的立体体积. 分析：求体积可用二重积分，也可用三重积分. 解一：投影域D ：221x y +≤()22DV x y d σ⎤=+⎦⎰⎰2120()6d d πθρρρρπ=-=⎰⎰解二：221120002()6V dv d d dz d πρρπθρρπρρρρΩ===-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰10.计算23xy z dxdydz Ω⎰⎰⎰，其中Ω是由,,1,0z xy y x x z ====所围成的区域分析：Ω在面xoy 上投影域D 如图所示，在D 上的点(,)x y ，0z xy =≥，在不知道曲面z xy =形状的情况下，也容易写出Ω的积分范围. 解：Ω：0,0,01z xy y x x ≤≤≤≤≤≤ 12323000xxyxy z dxdydz dx dy xy z dz Ω=⎰⎰⎰⎰⎰⎰1230001364x xyxdx y dy z dz ==⎰⎰⎰ 11.求22()x y z dv Ω++⎰⎰⎰，其中Ω是由曲面220y zx ⎧=⎨=⎩绕z 轴旋转一周而成的曲面与平面4z =所围成的立体.分析：Ω是由旋转曲面222x y z +=与4z =所围而成的立体，化三重积分的计算中可化为先对z 或后对z 的积分.解一：Ω：221()42x y z +≤≤，(,)xy x y D ∈，22:8xy D x y +≤ 22422221()2()()xyx y D x y z dv dxdy x y z dz +Ω++=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰2242102350()528)82563d d z dzd πρθρρπρρρρρπ=+=+-=⎰⎰解二：Ω：04z ≤≤，(,)z x y D ∈，其中22:2z D x y z +≤ 422220()()zD x y z dv dz x y z dxdy Ω++=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰4220420)42563dz d z d z dzπθρρρππ=+==⎰⎰⎰12.试将三重积分(,,)f x y z dv ΩI =⎰⎰⎰化为三次积分，其中Ω是由z =及1,2z z ==所围成的区域.分析：此题可分别化为直角坐标、柱面坐标和球面坐标下的三重积分，主要这个三重积分不可将它理解为(,,)f x y z 在大的圆锥区域积分减去小的圆锥区域积分.解：21(,,)zz dx dy f x y z dx -I =⎰⎰直2121(cos ,sin ,)d d f z dz πθρρρθρθI =⎰⎰⎰柱22201(cos ,sin ,)d d f z dz πρθρρρθρθ+⎰⎰⎰22101(cos ,sin ,)zdz d f z d πθρθρθρρ=⎰⎰⎰()!22sec 2!!400sec (sin cos ,sin sin ,cos )sin n r n r d d f r r r r dr ππφφθφφθφθφφ-I =⎰⎰⎰球13.设(,,)1()(,,)f x y z x y z f x y z dv Ω=+++⎰⎰⎰，其中Ω：2221,0x y z z ++≤≥分析：两边在Ω上求三重积分，解出(,,)f x y z dv Ω⎰⎰⎰即可.解：设(,,)f x y z dv A Ω=⎰⎰⎰，则 (,,)1()f x y z x A y z =+++[](,,)(1)()A f x y z dv x A y z dv dv A zdv ΩΩΩΩ==+++=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰22211200122(1)33x y z A zdz dxdy A z z dz πππ+≤-=+=+-⎰⎰⎰⎰ 234A ππ=+ 83(4)A ππ=-，故8(,,)1()3(4)f x y z x y z ππ=+++- 14.用定积分表示三重积分000()xyzdy dz f t dt ⎰⎰⎰分析：由于被积函数是t 的函数，故将,z t 积分次序变换后，把对z 的积分算出，再将,y t 的积分次序变换，又可把对y 的积分算出，最后保留对t 的积分式子. 解：0()()xy z x y ytdy dz f t dt dy dt f t dz =⎰⎰⎰⎰⎰⎰020()()()()1()()2x yx xt x dy f t y t dtdt f t y t dy f t x t dt =-=-=-⎰⎰⎰⎰⎰15.用重积分证明：由平面图形0,0()a x b y f x ≤≤≤≤≤绕x 轴和y 轴旋转所成的旋转体的体积分别是2()bx a V f x dx π=⎰和2()b y a V xf x dx π=⎰证明：曲线()y f x =绕x 轴旋转的旋转曲面方程：222()y z f x +=，a x b ≤≤在xoy 面上投影域为xy D ：,()()a x b f x y f x ≤≤-≤≤故所求体积()()b f x x a f x V dx dy -=⎰⎰(04bf x a dx =⎰⎰24()4ba f x dx π=⎰2()baf x dx π=⎰曲线()y f x =绕y轴旋转的旋转曲面方程：y f = 在xoz 面上投影域为zx D ：2222a x z b ≤+≤故所求体积0zx f y D V dzdx dy =⎰⎰⎰2()2()bf a b ad d dyf d πρθρρπρρρ==⎰⎰⎰⎰即2()by a V xf x dx π=⎰16.求曲面221z x y =++上点(1,1,3)M -处的切平面与曲面22z x y =+所围成的空间区域的体积V .分析：所围的空间区域在xoy 面上的投影域的确定以及如何在此投影域上积分是此题的关键.解：曲面221z x y =++在(1,1,3)M -处的法向量''(,,1)(2,2,1)M x y M n z z =-=--则切平面方程为2(1)2(1)2(3)0x y z --+--= 即221z x y =--所以切平面与曲面的交线22221z x y z x y =--⎧⎨=+⎩在xoy 面上的投影曲线为 22(1)(1)1x y z ⎧-++=⎨=⎩即所求空间在xoy 面上的投影域D 为22(1)(1)1x y -++≤故22221()DV x y x y dxdy ⎡⎤=---+⎣⎦⎰⎰221(1)(1)Dx y dxdy ⎡⎤=---+⎣⎦⎰⎰ 22221(1)x y x y dxdy +≤=--⎰⎰2120(1)2d d πθρρρπ=-=⎰⎰17.设球体占有闭区域Ω：2222x y z Rz ++≤，它在内部个点处的密度的大小等于该点到坐标原点距离的平方.试求这球体的质心.分析：由于Ω为球体，且被积函数出现222x y z ++项，故可用球面坐标计算，同时注意到区域Ω的对称性. 解：密度222(,,)x y z x y z ρ=++ 此球体的质量(,,)M x y z dv ρΩ=⎰⎰⎰222()x y z dv Ω=++⎰⎰⎰22cos 222sin R d d r r dr ππφθφφ=⋅⎰⎰⎰5555202322sin cos 515R R d πππφφφ=⋅=⎰由对称性易知0x y == 22211(,,)()z x y z dv z xy z dv MMρΩΩ==++⎰⎰⎰⎰⎰⎰而22cos 22222200()sin cos R z x y z dv d d d ππφθφφρρρρρΩ++=⋅⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰666720282sin cos 63R Rd πππφφφ=⋅=⎰∴54z R =即球体的质心：5(0,0,)4R 五、自测题(A)一、 选择题(3分⨯5＝15分)1. 设D 为221x y +≤在第一象限部分，二重积分2Dxy d σ⎰⎰可化为A)112dx xy dy ⎰⎰B) 1200dx dy ⎰C) 1200dx dy ⎰D) 20xy dy2. 设1()Dx y d σI =+⎰⎰,2sin()Dx y d σI =+⎰⎰,3tan()Dx y d σI =+⎰⎰,其中D 为三角形闭区域，三顶点分别为(0,0),(1,0),(0,1),则 A) 123I <I <I B) 213I <I <I C) 231I <I <I D)以上均不正确3. 设空间区域1Ω：2222,0x y z R z ++≤≥2Ω：2222,0,0,0x y z R x y z ++≤≥≥≥ 则 A)124xdv xdv ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ B)124ydv ydv ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰C) 124zdv zdv ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ D)124xyzdv xyzdv ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰4. 设平面薄片位于区域221x y +≤，密度函数为222(2)(2)x y x ρ=++，质心坐标为(,)x y ，则A) 0,0x y == B)0,0x y =≠ C) 0,0x y ≠= D)0,0x y ≠≠5. 设22()Dx y d σ+⎰⎰，D ：由2y x =，1x =，0y =所围，则化为极坐标形式的积分为 A)sec 3400d d πθθρρ⎰⎰B)1340d d πθρρ⎰⎰C) 3400d d πθρ⎰ D)sec 340tan sec d d πθθθθρρ⎰⎰二、 填空题(3分⨯5＝15分) 1.2224x x y d σ≤+≤⎰⎰＝2. 2sin sin 200cos d d πθαθθρθρ+⎰⎰＝3.利用重积分性质估计22(49)Dx y d σI =++⎰⎰，这里D :224x y +≤，那么 I∈ 4.积分222y xdx e dy -⎰⎰的值等于5.设Ω：224,01x y z +≤≤≤，则(sin cos 2)x y z dv Ω+⎰⎰⎰三、(10分) 计算二重积分1()x y x y dxdy +≤+⎰⎰四、 (10分) 改变下列积分次序. 1.220(,)xx dx f x y dy ⎰⎰ 2. ln 10(,)exdx f x y dy ⎰⎰五、 (10分) 证明()()000()()()ayam a x m a x dy e f x dx a x e f x dx --=-⎰⎰⎰六、 (10分) 计算三重积分()x y dv Ω+⎰⎰⎰，其中Ω是由曲面z =与z =所围区域.七、 (10分) 设(,)f x y 连续，且(,)(,)Df x y xy f x y dxdy =+⎰⎰，其中D 是由0y =，2y x =，1x =曲面与所围区域，求(,)f x y .八、 (10分) 求平面1xy z a b c++=被三坐标所割出的有限部分的面积.九、 (10分) 计算2z dv ΩI =⎰⎰⎰，Ω：2222221x y z a b c ++≤.自测题(B)三、 选择题(3分⨯5＝15分) 1. 在下列哪种情况下成立A) (,)(,)f x y f x y -=- B) (,)(,)f x y f x y -= C) (,)(,)f x y f x y --= D) (,)(,)f x y f x y -= 且(,)(,)f x y f x y -=2. 设D 由1x =，0y =，12x y +=，1x y +=，若[]31ln()Dx y dxdy I =+⎰⎰，32()Dx y dxdy I =+⎰⎰，[]33sin()Dx y dxdy I =+⎰⎰，则1I ，2I ，3I 之间的关系为A) 123I <I <I B) 321I <I <I C) 132I <I <I D) 312I <I <I 3.设(,)f x y 为连续函数，则00(,)axdx f x y dy ⎰⎰等于 A) 00(,)aydy f x y dx ⎰⎰ B) 0(,)a ay dy f x y dx ⎰⎰ C) 0(,)aya dy f x y dx ⎰⎰ D) 0(,)aady f x y dx ⎰⎰ 4.设平面区域{}(,),D x y a x a x y a =-≤≤≤≤，{}1(,)0,D x y x a x y a =≤≤≤≤则(cos sin )Dxy x y dxdy +⎰⎰等于A) 12cos sin D x ydxdy ⎰⎰ B) 12D xydxdy ⎰⎰C) 14(cos sin )D xy x y dxdy +⎰⎰ D)05.一物体占有空间区域Ω：2221,0x y z z ++≤≥，密度为(2)(2),x y z +-质心坐标，(,,)x y z 则A)0,0x y >> B) 0,0x y >> C) 0,0x y <> D) 0,0x y << 四、 填空题(3分⨯5＝15分) 1.22222()x y yf x y d σ+≤+⎰⎰的极坐标形式的二次积分为2.设区域D 由双曲线222()2x y xy +=，那么()Dx y d σ+⎰⎰等于3.设D ：222x y a +≤，Dxy dxdy ⎰⎰＝4.空间区域Ω是由平面1x y z ++=及三坐标面所围，将三重积分(,,)f x y z dv Ω⎰⎰⎰化为先对x ，再对y ，最后对z 的三重积分5.曲面1x y z ++=所围立体的体积是 三、(10分)计算221()Dx yf x y dxdy ⎡⎤++⎣⎦⎰⎰，其中D 是由3y x =，1y =，1x =-所围成的区域，()f x 为连续函数.十、 (10分)求椭球2222221x y z a b c++≤的体积十一、15分)将(,,)f x y z dv Ω⎰⎰⎰化为三次积分，其中Ω由22z x y =+，z =所围.十二、10分) 21xxdx ⎰⎰十三、10分) 求由2y ax =及x a = (0)a >所围图形关于直线y a =-的转动惯量. 八、(15分) 求222201lim(,)t x y t f x y d t σπ→+≤⎰⎰，其中(,)f x y 为连续函数.自测题(C)一、选择题(3分⨯5＝15分)1. 设D ：2214x y ≤+≤，则(,)D f x y d σ⎰⎰A)2121(,)(,)dx f x y dy dx f x y dy ---⎰⎰B)120104(,)(,)dx f x y dy dx f x y dy ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦⎰⎰C) 2201(cos ,sin )d f d πθρθρθρρ⎰⎰D) 2012(cos ,sin )d f d πθρθρθρρ⎰⎰ 2. 设1Dx y dxdy I =+⎰⎰，22aDx y dxdy I =+⎰⎰ (0)a >，其中D ：1x y +≤，那么A) 120I -I > B) 120I -I <C) 120I -I = D) 12I -I 的符号与a 的取值有关3.设Ω：2222x y z R ++≤，2221()x y z dv ΩI =++⎰⎰⎰，则A) 543R πI = B)223()2x y dv ΩI =+⎰⎰⎰C) 223()2y z dv ΩI >+⎰⎰⎰ D) 223()2z x dv ΩI <+⎰⎰⎰ 4.设k D ：22()()2,1,2,3x k y k k -+-≤=，记2(3)kk D x y d σI =+-⎰⎰，则有A)123I =I ≠I B) 321I =I ≠I C) 132I =I ≠I D)以上都不正确5.设设Ω：2222x y z z ++≤，12z ≥，则f dxdydz Ω⎰⎰⎰A)123002()sin d f d ππφρρφρ⎰⎰ B)2cos 23002()sin d f d πφπφρρφρ⎰⎰C)111022dr f rdz π⎰⎰D)21022dz f rdr π⎰五、 填空题(3分⨯5＝15分)1.将柱面坐标三次积分42000(,,)dz d f z d πθρθρ⎰⎰化为先对z 后对ρ，θ的三次积分2.不等式22041z x y ≤≤+≤所表示的图形的体积为3.设Ω为2222x y z x ++≤则222()f x y z dv Ω++⎰⎰⎰在球面坐标下的三次积分为在柱面坐标下的三次积分为4.一旋转抛物面状容器装满水，再将水倒掉34，问容器内水面下降了 ％三、(15分)将二次积分变换积分次序 2210(,)x dx f x y dy I =⎰⎰六、 (15分)计算三次积分1000sin 1x yzdx dy dz z-⎰⎰⎰ 七、 (15分)用二重积分证明：平面曲线()0y f x =>，(0)a x b ≤≤≤绕x轴和y 轴旋转一圈所得的旋转曲面的面积分别是2(bx a S f x π=⎰和2by a S π=⎰ 八、 (15分)求曲面z =与222x z z +=所围立体的体积 九、 (10分)若(,)f x y 为区域D 上的连续函数，D 关于y 轴对称，且1D 为D 位于y 轴右侧的子区域，证明 0(,)(,)2(,)(,)DDf x y x f x y d f x y d f x y x σσ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰为的奇函数为的偶函数重积分自测题答案自测题(A)一、1.C 2.B 3.C 4.B 5.D二、1.3π 2.0 3.]ρπ[36，100 4. 41(1)2e -- 5.4π 三、43四、1)2420222(,)(,)yy y dy f x y dx dy f x y dx +⎰⎰⎰⎰2) 1(,)y eedy f x y dx ⎰⎰六、8π 七、18xy +九、3415abc π自测题(B)一、1.D 2.C 3.B 4.A 5.B 二、1.2sin 200()d f d πθθρρρ⎰⎰2.03.42a 4.111000(,,)z y zdz dy f x y z dx ---⎰⎰⎰5.43三、25- 四、43abc π五、7()36π-1 七、485a 八、(0,0)f自测题(C)一、1.C 2.A 3.B 4.A 5.D 二、1.222400(,,)d d f z dz πρθρρθ⎰⎰⎰2.8π3.2sin cos 2200sin ()d d f r r dr ππφθπθφφ-⎰⎰⎰2cos 220()d d f z dz πθπθρρρ-+⎰⎰4.50三、142001(,)(,)dy f x y dx dy f x y dx -⎰⎰四、1(1sin1)2-七、提示：将(,)Df x y d σ⎰⎰表示为在1D 上的二重积分.。

《高等数学Ⅰ》练习题系 专业 班 姓名 学号 08060122436．1 二重积分（1）一．选择题1．设积分区域D 是4122≤+≤y x ，则⎰⎰Ddxdy = [ B ]（A ）π （B ）3π （C ）4π （D ）15π 2．设积分区域D 是1≤+y x ，则⎰⎰Ddxdy = [ B ]（A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）8 3．设平面区域D 由1,21=+=+y x y x 与两坐标轴所围成，若⎰⎰+=Ddxdy y x I 91)][ln(， ⎰⎰+=Ddxdy y x I 92)(，⎰⎰+=Ddxdy y x I 93)][sin(，则它们之间的大小顺序为： [ C ]（A ）321I I I ≤≤ （B ）123I I I ≤≤ （Ｃ）231I I I ≤≤ （Ｄ）213I I I ≤≤ 4．设区域D 是由两坐标轴及直线1=+y x 围成的三角形区域，则⎰⎰Dxydxdy ＝ [ D ]（A ）41 （B ）81 （C ）121 （D ）241二．填空题1．设区域D 是20,10≤≤≤≤y x ，估计积分的值 2 ⎰⎰≤++≤Ddxdy y x )1( 82．设⎰⎰≤+++=10||||22sin cos 100y x yx d I σ，则I 的取值范围是 ≤≤I 23．120xdx xy dy ⎰⎰= 三．计算题1．设区域D 由11≤≤-x ，11≤≤-y 所确定，求 ⎰⎰-Ddxdy x y xy )(解：原式=111221112()03----==⎰⎰⎰dx xy x y dy xdx2．设D 是由直线2=x ，x y =及双曲线1=xy 所围成的平面区域，求⎰⎰Ddxdy yx 22解：由题意知112;⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭D x y x x，于是原式=222312119()4=-=⎰⎰⎰xxx dx dy x x dx y3．设区域D 由x y x y ==22,所围成，求σd y xD)(2⎰⎰+.解; 由题意知{}x y x x D ≤≤≤≤=2;10，于是原式=2511242333)()22140+=+-=⎰⎰x x dx x y dy x x dx《高等数学Ⅰ》练习题系 专业 班 姓名 学号6．1 二重积分（2）一．选择题1．设区域D 是顶点为)0,0(O 、)1,10(A 、)1,1(B 的三角形，则⎰⎰-Ddxdy y xy 2= [ C ]（A ）3 （B ）5 （C ）6 （D ）10 2．设),(y x f 是连续函数，则0(,)a xdx f x y dy ⎰⎰= [ B ]（A ）00(,)a ydy f x y dx ⎰⎰ （B ）0(,)aaydy f x y dx ⎰⎰（C ）(,)ay ady f x y dx ⎰⎰ （D ）0(,)a ady f x y dx ⎰⎰3．二次积分220(,)x dx f x y dy ⎰⎰的另一种积分次序是 [ A ]（A）420(,)dy f x y dx ⎰ （B）40(,)dy f x y dx ⎰ （C ）242(,)xdy f x y dx ⎰⎰ （D）402(,)dy f x y dx ⎰⎰4．设f 是连续函数，而D ：122≤+y x 且0>y ，则dx dy y x f D)(22⎰⎰+= [ A ]（A ）10()rf r dr π⎰ （B ）1()f r dr π⎰ （C ）21()rf r dr π⎰ （D ）21()f r dr π⎰二．填空题 1．改换积分的次序12201(,)(,)x x dx f x y dy dx f x y dy -+⎰⎰⎰⎰=2．改换积分的次序212(,)xdx f x y dy -⎰⎰=3．化二次积分为极坐标的二次积分101(,)xdx f x y dy -⎰=⎰⎰+1c o ss i n 120)s i n ,c o s (θθπθθθdr r r rf d三．计算题 1．求222y xdx e dy -⎰⎰解：因为2y e -在简单区域{}02,2=≤≤≤≤D x x y 连续，所以原式=2222401(1)2---==-⎰⎰⎰y y y edy dx yedy e2．设区域D 由y 轴与曲线y x cos =（22ππ≤≤-y ）所围成，求⎰⎰Dydxdy x22sin 3解：由题意，积分区域,0cos 22ππ⎧⎫=-≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭D y x y ，所以原式=cos 222322022sin 3sin cos ππππ--=⎰⎰⎰yydy x dx y ydy22202sin (1sin )sin π=⋅-⎰y y d y 415=3．设积分区域D 为122≤+y x ，求⎰⎰-+Ddxdy xy y x )(22解：令c o s,s i n θθ==x r y r 则积分区域{}02,01θπ=≤≤≤≤D r于是原式=2122000112(sin cos )(sin 2)383πππθθθθθ-=-=⎰⎰⎰d r r r dr d4．设区域D 是由22224ππ≤+≤y x 所围成，求dxdy y x D⎰⎰+22sin解：令cos ,sin ,θθ==x r y r 则积分区域{}02,2θπππ=≤≤≤≤D r 于是原式=⎰⎰220sin d r rdr πππθ=⋅-+22(cos sin )|r r r πππ=-26π《高等数学Ⅰ》练习题系 专业 班 姓名 学号6．3 三 重 积 分（1）一．选择题1．设区域2222|),,{(R z y x z y x ≤++=Ω，}0≥z ，22221|),,{(R z y x z y x ≤++=Ω，}0,0,0≥≥≥z y x ，则等式成立的是 [ C ]（A ）⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=14xdv xdv （B ）⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=14ydv ydv（C ）⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=14zdv zdv （D ）⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=14xyzdv xyzdv2．若三重积分⎰⎰⎰Ω=328πdxdydz ，积分区域Ω为 [ C ] （A ）4122≤+≤y x ，380≤≤z （B ）422≤+y x ，380≤≤z （C ）41222≤++≤z y x （D ）4222≤++z y x 二．计算题 1．计算⎰⎰⎰Ωdv z xy32，其中Ω是由曲面xy z =与平面x y =，1=x 和0=z 所围成的闭区域.解：由题意，积分区域{}01,0,0x y x z xy Ω=≤≤≤≤≤≤，则原式=1231364xxydx dy xy z dz =⎰⎰⎰ 2．计算⎰⎰⎰Ω+dv y x )(22，其中Ω是由曲面z y x 222=+及平面2=z 所围成的闭区域. 解：由题意，利用柱坐标变换cos sin x r y r z z θθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩可得积分区域2r ⎧⎫则原式=2222302163r d r dr dz πθπ=⎰⎰⎰ 3．计算⎰⎰⎰Ωzdv ，其中闭区域Ω是由不等式2222)(a a z y x ≤-++，222z y x ≤+所确定. 解：由题意，利用柱坐标变换cos sin x r y r z z θθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩可得积分区域{02,0,Ω=≤≤≤≤≤≤r a r z a θπ，则原式=42076=⎰⎰⎰aa ra d rdr πθπ《高等数学Ⅰ》练习题系 专业 班 姓名 学号6．3 三 重 积 分（2）1．求由曲面226y x z --=及22y x z +=所围成的立体的体积.解：由题意，利用柱坐标变换cos sin x r y r z z θθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩可得积分区域{}202,02,6r r z r θπΩ=≤≤≤≤≤≤-，则所求立体的体积22260323r rV dv d rdr dz ππθ-Ω===⎰⎰⎰⎰⎰⎰2．求锥面22y x z +=被柱面x z 22=所割下部分的曲面面积.解：锥面22y x z +=被柱面x z 22=所割下部分的曲面在xy 平面上的投影{}22(,);(1)1,,xy x y x y x y R σ=-+=∈于是所求曲面面积2cos 202S d πθπσθ-==⎰⎰⎰⎰2202d πθθ==⎰3．设平面薄片所占的闭区域D 由抛物线2x y =及直线x y =所围成，它在点),(y x 处的面密度y x y x 2),(=μ，求该薄片的质心。