高中数学 3.2 一元二次不等式及其解法(第1课时)学案 新人教A版必修5
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3.2 一元二次不等式及其解法(第1课时)
学习目标
1.理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系.
2.掌握图象法解一元二次不等式的方法.
合作学习
一、设计问题,创设情境
问题1:观察不等式x2-4x<0和-x2+x+2>0,它们有什么共同特征?怎样给这样的不等式命名?它的一般形式是什么?
问题2:请尝试求解不等式x2-4x<0.
问题3:两种方法分别体现了什么样的数学思想?哪种方法更简洁、直观?请同学们用这种方法求不等式-x2+x+2>0的解集.
问题4:用数形结合的方法求解一元二次不等式的解集,主要关注相应二次函数图象的什么特征?
问题5:上面的方法可以推广到求一般的一元二次不等式ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0(a>0)解集吗?相应的二次函数图象与x轴的交点情形确定吗?由谁决定?怎么处理?(分类讨论)请大家探究.
根据探究的情形,完成下表:
Δ
三个“二次”
Δ>0
Δ=0
Δ<0
二次函数
y=ax2+bx+c
(a>0)的图象
一元二次方程
ax2+bx+c=0
续表
Δ
三个“二次”
Δ>0
Δ=0
Δ<0
ax2+bx+c>0(a> 0)
的解集
ax2+bx+c<0(a>0)
的解集
问题6:当二次项系数a<0时,怎样处理呢?请大家思考解一元二次不等式的一般步骤,并完成下面的程序框图.
二、运用规律,解决问题
【例题】解下列不等式:
(1)4x2-4x+1>0;
(2)-x2+2x-3>0.
三、变式训练,深化提高
变式训练1:解下列不等式:
(1)-x2+2x+8≥0;
(2)x2-6x+9≤0.
变式训练2:请同学们自己编两道解一元二次不等式的题目,并由同位给出解答,交流解答结果.
四、反思小结,观点提炼
问题7:本节课我们主要用什么思想方法推导了一元二次不等式的解法?这种思想对一般的不等式f(x)>0可以求解吗?具体步骤是什么?类似的你能用这种方法求不等式f(x)>k的解集吗?
参考答案
一、设计问题,创设情境
问题1:只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2;一元二次不等式;ax2+bx+c>0(<0)(a≠0).
问题2:(数形结合)设f(x)=x2-4x,画出其图象.
容易知道方程x2-4x=0的根x1=0,x2=4,就是函数f(x)=x2-4x的零点,也就是函数f(x)=x2-4x的图象与x轴交点的横坐标.
而不等式x2-4x<0的解集,即f(x)<0的解集,也就是函数f(x)=x2-4x图象在x轴下方的部分对应的横坐标的取值集合为{x|0 (化归转化)不等式x2-4x<0可以化为x(x-4)<0,由“符号法则”得 或 解得{x|0 问题3:函数思想、数形结合思想和化归转化思想;数形结合;{x|-1 问题4:开口方向和图象与x轴交点的横坐标. 问题5:能;不确定;判别式Δ;分类讨论. Δ>0 Δ=0 Δ<0 二次函数 y=ax2+bx+c (a>0)的图象 一元二次方程 ax2+bx+c=0 有两相异实根 x1,x2(x1 x1=x2=- 无实根 ax2+bx+c>0(a>0) 的解集 {x|x ax2+bx+c<0(a>0) 的解集 {x|x1 问题6:可利用不等式的基本性质,将二次项系数化为正;当然也可以考虑其图象求解. 二、运用规律,解决问题 【例题】解:(1)因为Δ=0,方程4x2-4x+1=0的解是x1=x2=. 所以,原不等式的解集是. (2)整理,得x2-2x+3<0. 因为Δ<0,方程x2-2x+3=0无实数解, 所以不等式x2-2x+3<0的解集是⌀. 从而,原不等式的解集是⌀. 三、变式训练,深化提高 变式训练1:解:(1)不等式可化为x2-2x-8≤0, 因为Δ>0,方程x2-2x-8=0的解为x1=-2,x2=4,而函数y=x2-2x-8的图象开口向上,所以原不等式的解集为{x|-2≤x≤4}. (2)注意到x2-6x+9=(x-3)2≥0, 所以,原不等式的解集为{x|x=3}. 四、反思小结,观点提炼 问题7:函数与方程思想;可以;画出函数y=f(x)的图象,求出函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标,即方程f(x)=0的根,然后根据函数y=f(x)的图象与x轴的位置关系,即可得出相应不等式的解;只需将x轴,换做直线y=k即可. 精美句子 1、善思则能“从无字句处读书”。读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。读大海，读出了它气势磅礴的豪情。读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。 2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂； 幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。 3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。 4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。 5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。 井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。山中的石！当你背靠群峰时，意志就坚了。水中的萍！当你随波逐流后，根基就没了。空中的鸟！当你展翅蓝天中，宇宙就大了。空中的雁！当你离开队伍时，危险就大了。地下的煤！你燃烧自己后，贡献就大了 6、朋友是什么？ 朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。朋友是成功道路上的一位良师，热情的将你引向阳光的地带；朋友是失败苦闷中的一盏明灯，默默地为你驱赶心灵的阴霾。 7、一粒种子，可以无声无息地在泥土里腐烂掉，也可以长成参天的大树。 一块铀块，可以平庸无奇地在石头里沉睡下去，也可以产生惊天动地的力量。一个人，可以碌碌无为地在世上厮混日子，也可以让生命发出耀眼的光芒。 8、青春是一首歌，她拨动着我们年轻的心弦；青春是一团火，她点燃了我们沸腾的热血； 青春是一面旗帜，她召唤着我们勇敢前行；青春是一本教科书，她启迪着我们的智慧和心灵。
