衡水市高三二模文科数学试题(含答案)

上学期二调考试文科数学答案一.选择题1——5 CDCAA 6——10 BDBDB 11.A 12.B详解如下：1.【详解】∵x2−2x>0∴x>2或x<0∴B=(−∞,0)∪(2,+∞) ;因此A∩B={−1,3}，选C.2.【解析】由原命题与逆否命题的构成关系可知答案A是正确的；当a=2>1时，函数f(x)=log2x 在定义域内是单调递增函数，故答案B也是正确的；由于存在性命题的否定是全称命题，所以命题“∃x∈R，使得x2+x+1<0”的否定是：“∀x∈R均有x2+x+1≥0”，即答案C是也是正确的；又因为f′(x0)=0的根不一定是极值点，例如函数f(x)=x3+1，则f′(x)=3x2=0⇒x=0就不是极值点，也就是说命题“若x0为y=f(x)的极值点，则f′(x0)=0”的逆命题是假命题，所以应选答案D。

3.【解析】z=2ii−1=−(i−1)2i−1=(i−1)=i−1，复数z=2ii−1在复平面内对应坐标为(1,−1)，所以复数z=2ii−1在复平面内对应的点在第四象限，故选C.4.【详解】f′(x)=3x2−6x+3=3(x−1)2，当x=1时导函数值为0，但在此零点两侧导函数均大于0，所以此处不是函数的极值点，所以函数极值点个数为0. 故选A。

5.【详解】因为趋向于负无穷是y=(2x−1)e x<0,所以舍去C,D;因为y′=(2x+1)e x，所以当x<−12时y′<0，所以选A.6.【详解】∵a=f(1og123)=f(−1og23)=f(1og23)，且1og23>12,0<2−1.2<2−1=12，∴1og23>12>2−1.2>0.又f(x)在区间(−∞,0)内单调递增，且f(x)为偶函数，∴f(x)在区间(0,+∞)内单调递减，∴f(−1og23)<f(12)<f(2−1.2)，∴b>c>a.故选：B.7.详解：因为f(x+2)=f(x)，所以周期为2，作图如下：由图知，直线y=x+a与函数f(x)的图像在[0,2]内恰有两个不同的公共点时直线y=x+a点A(1,1)或与f(x)=x2相切，即1=1+a,a=0或x2=x+a,Δ=1+4a=0,a=−14选D.8.【详解】y =cos (2x +π3)=cos (π2+2x −π6)=−sin (2x −π6)∵−sin (2x −π6)=sin (π+2x −π6)=sin (2x +5π6)∴y =cos (2x +π3)=sin (2x +5π6)=sin 2(x +5π12)由图象平移的规则可知只需将函数y =sin2x 的图象向左平移5π12个长度单位级就可以得到函数y =cos (2x +π3)的图象，故选B9.详解：f′(x)=lnx −ax +x(1x −a)=lnx −2ax +1，由题意f′(x)=lnx −2ax +1=0在(0,2)上有两个不等实根，即a =lnx+12x在(0,2)上有两个实根．设g(x)=lnx+12x，则g′(x)=−lnx2x 2，易知当0<x <1时，g′(x)>0，g(x)递增，当1<x <2时，g′(x)<0，g(x)递减，g(x)极大值=g(1)=12，又g(2)=ln2+14，当0<x <1e时，g(x)<0，∴ln2+14<a <12．故选D ．10. 函数y =sinx 的单调区间为[kπ+π2，kπ+3π2]，k ∈Z ，由kπ+π2≤ωx +π6≤kπ+3π2，k ∈Z ，得kπ+π3ω≤x ≤kπ+4π3ω，k ∈Z ．∵函数f(x)=sin(ωx +π6) (ω>0)在区间(π，2π)内没有最值， ∴函数f(x) 在区间(π，2π)内单调，∴(π，2π)⊆[kπ+π3ω，kπ+4π3ω]，k ∈Z ，∴{kπ+π3ω≤πkπ+4π3ω≤2π，k ∈Z ，解得k +13≤ω≤k 2+23，k ∈Z ．由k +13<k2+23，得k <23．当k =0时，得13≤ω≤23； 当k =−1时，得−23≤ω≤16，又ω>0，故0<ω≤16． 综上得ω的取值范围是(0，16]∪[13，23]．故选B ．11.【解析】详解：设f(m)=g(n)=t ，则t >0，m =e t−1，n =ln t2+12=lnt −ln2+12，∴m −n =e t−1−lnt +ln2−12，令h(t)=e t−1−lnt +ln2−12，则h′(t)=e t−1−1t ，h"(t)=e t−1+1t 2>0，∴h′(t)是(0,+∞)上的增函数， 又h′(1)=0，∴当t ∈(0,1)时，h′(t)<0，当t ∈(1,+∞)时，h′(t)>0， 即h(t)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，h(1)是极小值也是最小值， h(1)=12+ln2，∴m −n 的最小值是12+ln2．故选A ．12.详解：当x =0时，f (0)=0,g (0)=−1，则f (x )−g (x )=0不成立， 即方程f (x )−g (x )=0没有零解， ①当x >0时，xlnx =kx −1， 即kx =xlnx +1，则k =lnx +1x ，设h (x )=lnx +1x，则h′(x )=1x−1x 2=x−1x 2，由h′(x )>0得1<x <e 2，此时函数递增； 由h′(x )<0得0<x <1，此时函数递减， 故当x =1时，函数h (x )取得极小值h (1)=1， 当x =e 2时，h (e 2)=1e 2+2，当x →0时，h (x )→+∞.②当x <0时，x 2+4x =kx −1， 即kx =x 2+4x +1，则k =x +1x +4，设m (x )=x +1x +4，则m′(x )=1−1x 2=x 2−1x 2，由m′(x )>0得x >1（舍去）或x <−1，此时函数递增； 由m′(x )<0得−1<x <0，此时函数递减， 故当x =−1时，函数m (x )取得极大值m (−1)=2，当x =−2时，m (−2)=−2−12+4=32，当x →0时，m (x )→−∞， 作出函数h (x )和m (x )图象如图，要使方程f (x )−g (x )=0在x ∈(−2,e 2)有三个实数，则k ∈(1,32]或k =2，故选B.二. 选择题13. 3√1313． 14.1 15. ③ , ④ 16. 0m ≥或详解如下：13. 详解：∵角θ的终边经过点(−2,3)，∴x=−2，y=3，r=√13，则sin θ=y r =3√1313．∴cos (θ+3π2)=sinθ=3√1313，故答案为：3√1313．14.【详解】对于①，∵f (5π12)=2,∴函数f (x )=2sin (2x −π3)的一条对称轴是x =5π12，故①正确；对于②，∵函数y =tanx 满足f (x )+f (π−x )=0,∴函数y =tanx 的图象关于点(π2,0)，对称，故②正确；对于③，若sin (2x 1−π4)=sin (2x 2−π4)=0，则2x 1−π4=mπ,2x 2−π4 =nπ(m ∈Z,n ∈Z ),∴x 1−x 2=12(m −n )π=12kπ， 其中k ∈Z ，故③错误；对于④，函数y =cos 2x +sinx =−sin 2x +sinx +1=−(sin 2x −12)2+54，当sinx =−1时，取最小值−1，故④正确，故有1个错误. 15. 【答案】令F （x ）=f （x ）﹣x 3，则由f （x ）﹣f （﹣x ）=2x 3， 可得F （﹣x ）=F （x ），故F （x ）为偶函数， 又当x ≥0时，f′（x ）＞3x 2即F′（x ）＞0， 所以F （x ）在（0，+∞）上为增函数．不等式f （x ）﹣f （x ﹣1）＞3x 2﹣3x+1化为F （x ）＞F （x ﹣1）， 所以有|x|＞|x ﹣1|，解得x ＞．故答案为：.16.【解析】因为()110f x x =+>'，所以函数在()0,+∞上为增函数且1110f e e ⎛⎫=--< ⎪⎝⎭，所以当0m ≥时，与()m g x x =有一个公共点，当0m <时， 令()()22,f x g x x xlnx x me =∴+-=有一解即可，设22(=h x x xlnx x e +-），令2(=2x +1=0h x lnx e -'+）得1x e =，因为当10x e <<时， ()0h x '<，当1x e <时， ()0h x '>，所以当1x e =时， (h x ）有唯一极小值21e e +-，即()h x 有最小值21e e +-，故当21e m e +=-时有一公共点，故填0m ≥或21e m e +=-. 17.【详解】（I ）f(x)=√2sin x2cos x2−√2sin 2x2=√22sinx −√2⋅1−cosx 2=√22sinx +√22cosx −√22=sin(x +π4)−√22.由2kπ−π2≤x +π4≤2kπ+π2得2kπ−3π4≤x ≤2kπ+π4，k ∈Z ，则f(x)的单调递增区间为[2kπ−3π4,2kπ+π4]，k ∈Z .（II ）∵−π≤x ≤0，∴−3π4≤x +3π4≤π4，当x +π4=−π2，x =−3π4时，f(x)min =−1−√22. 18.(Ⅰ)∵函数f (x )的最大值是3,∴A +1=3,即A =2.∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2,∴最小正周期T =π,∴ω=2.所以f (x )=2sin(2x -π6)+1，令π2+2kπ≤2x −π6≤3π2+2kπ,k ∈Z,即π3+kπ≤x≤5π6+kπ,k ∈Z,∵x ∈[0,π],∴f (x )的单调减区间为[π3,5π6]. (Ⅱ)依题意得g (x )=f (x -π12)-1=2sin(2x -π3), 列表得：描点连线得g (x )在[0,π]内的大致图象.19. (1)∵f(x)=e x −2x ， ∴f′(x)=e x −2． ∴f′(0)=−1, 又f(0)=1，∴曲线y =f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y −1=−x ， 即x +y −1=0．(2)由题意得g(x)=e x −2x −a , ∴g′(x)=e x −2,由g′(x)=e x −2=0解得x =ln2,故当−1≤x <ln2时, g′(x)<0,g(x)在[−1,ln2)上单调递减；当ln2<x ≤1时, g′(x)>0,g(x)在(ln2,1]上单调递增． ∴g(x)min =g (ln2)=2−2ln2−a ， 又g (−1)=e −1+2−a ，g(1)=e −2−a ， 结合函数的图象可得，若函数恰有两个零点，则{g (−1)=e −1+2−a ≥0g(1)=e −2−a ≥0g(ln2)=2−2ln2−a <0 ，解得2−2ln2<a ≤e −2．∴实数a 的取值范围为(2−2ln2,e −2]．20. （1）解：由f(x)≥0，得m ≤xlnx 在(1,+∞)上恒成立. 令g(x)=xlnx ，则g′(x)=lnx−1(lnx)2， 当x ∈(1,e)时，g′(x)<0； 当x ∈(e,+∞)时，g′(x)>0，所以g(x)在(1,e)上单调递减，在(e,+∞)上单调递增. 故g(x)的最小值为g(e)=e .所以m ≤e ，即m 的取值范围是(−∞,e].（2）证明：因为m =a =1，所以f(x)=−(x +1)lnx +x −1. f′(x)=−lnx −x+1x +1=−lnx −1x ，令h(x)=−lnx −1x ，h′(x)=−1x +1x 2=1−x x 2，当x ∈(1,+∞)时，h′(x)<0，h(x)单调递减； 当x ∈(0,1)时，h′(x)>0，h(x)单调递增.所以h(x)max =h(1)=−1<0，即当x ∈(0,+∞)时，f′(x)<0， 所以f(x)在(0,+∞)上单调递减，又因为f(1)=0，所以当x ∈(0,1)时，f(x)>0；当x ∈(1,+∞)时，f(x)<0. 于是(x −1)f(x)≤0对∀x ∈(0,+∞)恒成立.21. （1）f(x)=lnx −12x 2(x >0)，所以f′(x)=1x −x(x >0).令f′(x)=0得x =1；由f′(x)>0得0<x <1，所以f(x)的单调递增区间为(0,1). 由f′(x)<0得x >1，所以f(x)的单调递减区间为(1,+∞). 所以函数f(x)极大值=f(1)=−12，无极小值.（2）法一：令G(x)=F(x)−(mx −1)=lnx −12mx 2 +(1−m)x +1. 所以G′(x)=1x −mx +(1−m)=−mx 2+(1−m)x+1x.当m ≤0时，因为x >0，所以G′(x)>0所以G(x)在(0,+∞)上是递增函数， 又因为G(1)=−32m +2>0.所以关于x 的不等式G(x)≤mx −1不能恒成立. 当m >0时，G′(x)=−mx 2+(1−m)x+1x=−m(x−1m)(x+1)x .令G′(x)=0得x =1m，所以当x ∈(0,1m )时，G′(x)>0；当x ∈(1m ,+∞)时，G′(x)<0， 因此函数G(x)在x ∈(0,1m )是增函数，在x ∈(1m ,+∞)是减函数.故函数G(x)的最大值为G (1m )=12m −ln m .令h(m)=12m −ln m ，因为h(1)=12>0，h(2)=14−ln2<0， 又因为h(m)在m ∈(0,+∞)上是减函数，所以当m ≥2时，h(m)<0. 所以整数m 的最小值为2.法二：由F(x)≤mx −1恒成立知m ≥2(lnx+x+1)x 2+2x(x >0)恒成立，令h(x)=2(lnx+x+1)x 2+2x(x >0)，则h′(x)=−2(x+1)(2lnx+x)(x 2+2x)2，令φ(x)=2lnx +x ，因为φ(12)=12−ln4<0，φ(1)=1>0，则φ(x)为增函数.故存在x 0∈(12,1)，使φ(x 0)=0，即2lnx 0+x 0=0，当0<x <x 0时，h′(x)>0，h(x)为增函数，当x 0<x 时，h′(x)<0，h(x)为减函数. 所以h(x)max =h(x 0)=2lnx 0+2x 0+2x 02+2x 0=1x 0，而x 0∈(12,1)，所以1x 0∈(1,2)，所以整数m 的最小值为2.22. （1）由题意可知，函数f(x)的定义域为(0,+∞)， f ′(x)=1x +1−ax 2=x 2+x−a x 2，因为函数f(x)在[1,+∞)为增函数，所以f ′(x)≥0在[1,+∞)上恒成立， 等价于x 2+x −a ≥0在[1,+∞)上恒成立，即a ≤(x 2+x)min ， 因为x 2+x =(x +12)2−14≥2，所以a ≤2， 故a 的取值范围为a ≤2.（2）可知g(x)=xlnx +x 2+a −(a +1)x 2−x =xlnx −ax 2−x +a ， 所以g ′(x)=lnx −2ax ，因为g(x)有两极值点x 1,x 2，所以lnx 1=2ax 1,lnx 2=2ax 2，欲证x 1⋅x 22>e 3，等价于要证：ln(x 1⋅x 22)>lne 3=3，即lnx 1+2lnx 2>3，所以ax 1+2ax 2>32，因为0<x 1<x 2，所以原式等价于要证明：a >32x 1+4x 2，①由lnx 1=2ax 1,lnx 2=2ax 2，可得ln x 2x 1=2a(x 2−x 1)，则有a =lnx 2x 12（x 2−x 1），②由①②原式等价于要证明：lnx 2x 1x 2−x 1>3x 1+2x 2，即证lnx 2x 1>3(x 2−x 1)x 1+2x 2=3(x 2x 1−1)1+2x 2x 1，令t =x 2x 1，则t >1，上式等价于要证lnt >3(t−1)1+2t， 令h(t)=lnt −3(t−1)1+2t，则h ′(t)=1t−3(1+2t)−6(t−1)(1+2t)2=(t−1)(4t−1)t(1+2t)2因为t >1，所以h ′(t)>0，所以h(t)在(1,+∞)上单调递增， 因此当t >1时，h(t)>h(1)=0，即lnt >3(t−1)1+2t.所以原不等式成立，即x 1⋅x 22>e 3.。

2023年河北省衡水中学高考数学模拟试卷1. 已知全集，，，则( )A. B.C. D.2. 已知复数，，若z在复平面上对应的点在第三象限，则( )A. 4B.C.D.3.已知等差数列的前n项和为，，则( )A. 66B. 78C. 84D. 964. 条件p：，，则p的一个必要不充分条件是( )A. B. C. D.5. 函数的部分图象大致是( )A. B. C. D.6. 在中，，，，P，Q是平面上的动点，，M是边BC上的一点，则的最小值为( )A. 1B. 2C. 3D. 47. 已知抛物线C：过点，动点M，N为C上的两点，且直线AM 与AN的斜率之和为0，直线l的斜率为，且过C的焦点F，l把分成面积相等的两部分，则直线MN的方程为( )A. B.C. D.8. 《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，其中有很多对几何体外接球与内切球的研究.其中的一些研究思想启发着后来者的研究方向.已知正四棱锥的外接球半烃为R，内切球半径为r，且两球球心重合，则( )A. 2B.C.D.9. 统计学是源自对国家的资料进行分析，也就是“研究国家的科学”.一般认为其学理研究始于希腊的亚里士多德时代，迄今已有两千三百多年的历史.在两千多年的发展过程中，将社会经济现象量化的方法是近代统计学的重要特征.为此，统计学有了自己研究问题的参数，比如：均值、中位数、众数、标准差.一组数据：，，⋯，记其均值为m，中位数为k，标准差为s，则( )A.B.C.新数据：，，，⋯，的标准差为D.新数据：，，，⋯，的标准差为2s10. 已知，，且满足，则的取值可以为( )A. 10B. 11C. 12D. 2011. 圆O：与双曲线交于A，B，C，D四点，则( )A. r的取值范围是B. 若，矩形ABCD的面积为C. 若，矩形ABCD的对角线所在直线是E的渐近线D. 存在，使四边形ABCD为正方形12. 已知函数的导函数为，则( )A. 有最小值B. 有最小值C. D.13. 已知角终边上有一点，则______ .14. 甲、乙两人下围棋，若甲执黑子先下，则甲胜的概率为；若乙执黑子先下，则乙胜的概率为假定每局之间相互独立且无平局，第二局由上一局负者先下，若甲、乙比赛两局，第一局甲、乙执黑子先下是等可能的，则甲、乙各胜一局的概率为______ .15. 已知函数的部分图像如图所示，在区间内单调递减，则的最大值为______ .16. 如图，在多面体ABCDEFG中，四边形ABCD为菱形，，，，且平面ABCD，四边形BEFG是正方形，则______ ；异面直线AG与DE所成角的余弦值为______ .17. 已知数列满足，且，求证：是等比数列，并求的通项公式；若数列的前n项和为，求使不等式成立的n的最小值.18. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且求的最小值；若M为的重心，，求19. 第22届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在我国杭州举行，这是我国继北京后第二次举办亚运会.为迎接这场体育盛会，浙江某市决定举办一次亚运会知识竞赛，该市A社区举办了一场选拔赛，选拔赛分为初赛和决赛，初赛通过后才能参加决赛，决赛通过后将代表A社区参加市亚运知识竞赛.已知A社区甲、乙、丙3位选手都参加了初赛且通过初赛的概率依次为、、，通过初赛后再通过决赛的概率均为，假设他们之间通过与否互不影响.求这3人中至多有2人通过初赛的概率；求这3人中至少有1人参加市知识竞赛的概率；某品牌商赞助了A社区的这次知识竞赛，给参加选拔赛的选手提供了两种奖励方案：方案一：参加了选拔赛的选手都可参与抽奖，每人抽奖1次，每次中奖的概率均为，且每次抽奖互不影响，中奖一次奖励600元；方案二：只参加了初赛的选手奖励200元，参加了决赛的选手奖励500元.若品牌商希望给予选手更多的奖励，试从三人奖金总额的数学期望的角度分析，品牌商选择哪种方案更好.20. 如图，在直四棱柱中，四边形ABCD是平行四边形，，，AD与平面所成的角为求；求二面角的余弦值.21. 如图，已知椭圆的右顶点为A，下顶点为B，且直线AB的斜率为，的面积为1，O为坐标原点.求C的方程；设直线l与C交于，两点，且，N与B不重合，M与C的上顶点不重合，点Q在线段MB上，且轴，AB平分线段QN，点到l的距离为d，求当d取最大值时直线MN的方程.22. 已知函数证明：当时，为增函数；若有3个零点，求实数a的取值范围，参考数据：，答案和解析1.【答案】A【解析】解：因为，，所以，又因为，所以则故选：求出集合M、N，再利用并集和补集的定义，即可求解．本题主要考查交集、补集的混合运算，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：因为，则，解得，因为复数z在复平面上对应的点在第三象限，则，解得，因此，故选：利用复数的除法化简复数z，利用复数的模长公式以及复数的几何意义可求得实数a的值．本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：设等差数列的首项为，公差为d，由可得，整理可得，所以，则故选：设等差数列的首项为，公差为d，结合题意可得，结合等差数列的性质代入等差数列的前n项和公式即可求解．本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：若，使得，则，可得，则，因为函数在上单调递减，在上单调递增，且，故当时，，即p：，所以p的一个必要不充分条件是故选：对于命题p，由参变量分离法可得，求出函数在上的最大值，可得出实数a的取值范围，再利用必要不充分条件的定义可得出合适的选项．本题主要考查充分条件、必要条件的定义，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：对于函数，有，可得，所以，函数的定义域为，因为，，所以，函数为偶函数，排除AB选项；当时，，则，此时，排除D选项．故选：分析函数的定义域、奇偶性及其在上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项．本题主要考查了函数的奇偶性在函数图象判断中的应用，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：取PQ的中点N，则，可得，，当且仅当N在线段AM上时，等号成立，故，显然当时，取到最小值，，故故选：根据向量运算可得，结合图形分析的最小值即可得结果．本题主要考查了向量的线性表示及向量数量积的性质的应用，属于中档题．7.【答案】D【解析】解：因为抛物线C：过点，所以，解得：，所以，设，，直线MN：，代入中整理得，所以，，所以，即，则，解得：，所以直线MN：，直线l的斜率为，且过C的焦点，所以l：，则到直线l的距离为，所以l把分成面积相等的两部分，因为直线l与直线MN平行，所以到直线l：的距离为到直线MN：距离的，，解得：或舍去所以直线MN的方程为故选：由题意求出抛物线方程为，设，，直线MN：，联立直线和抛物线的方程结合韦达定理由，可求出，再求出直线l的方程，由题意可转化为到直线l：的距离为到直线MN：距离的，代入求解即可得出答案．本题主要考查了抛物线的性质，考查了直线与抛物线的位置关系，属于中档题．8.【答案】B【解析】解：设底面正方形ABCD的对角线长为2a，高为h，，正方形的中心为O，外接球的球心为，则有即，在中，，①，②，以O为原点，建立空间直角坐标系，如图所示：则有，，设平面PCD的一个法向量为，则有，即，令，解得，，设向量与平面PCD的夹角为，则，球心到平面PCD的距离，，由①得，即③，故设，则③可整理成，两边平方得，，由①②得故选：正四棱锥的外接球和内接球球心重合，说明其结构特殊，找出结构的特殊性，再计算．本题主要考查了正四棱锥的外接球和内切球问题，考查了学生的空间想象能力，属于中档题．9.【答案】AD【解析】解：对于A选项，因为，样本数据最中间的项为，由中位数的定义可知，A对；对于B选项，不妨令，则，B错；对于C选项，数据，，，⋯，的均值为，方差为，所以，数据，，，⋯，的标准差为s，C错；对于D选项，数据，，，⋯，的均值为，其方差为，所以，新数据：，，，⋯，的标准差为2s，D对．故选：利用中位数的定义可判断A选项；取，可判断B选项；利用方差公式可判断CD选项．本题主要考查了均值、中位数和标准差的计算公式，属于基础题．10.【答案】CD【解析】解：因为，，所以，，故，当，且，而时，即等号不能同时成立，所以，故AB错误，CD正确．故选：根据条件及基本不等式可得，进而即得．本题主要考查基本不等式及其应用，属于基础题．11.【答案】BD【解析】解：对于选项A，双曲线的顶点坐标为，渐近线方程为，因为圆O：与双曲线交于A，B，C，D四点，所以，故A错误；对于选项B，C，当时，圆O：，联立方程，解得，所以或或或，不妨令，，，，所以，，所以，则，所以AC：，故不是双曲线的渐近线，即B正确，C错误；对于选项D，若四边形ABCD为正方形，不妨设A为第一象限内的交点，设，，由，解得，又，所以，所以当时，使四边形ABCD为正方形，故D正确；故选：首先求出双曲线的顶点坐标与渐近线方程，即可判断A，对于B、C，求出交点坐标，即可判断B、C，设，求出m、r，即可判断本题主要考查了双曲线的性质，考查了圆与双曲线的综合问题，属于中档题．12.【答案】ACD【解析】解：由于函数的导函数为，则，又得其导函数为，故在定义域为单调递增函数，知无最小值，故B错误；当时，，，，故；当时，，，，但是指数函数始终增长的最快，故；又因为，，故一定存在，使得，所以在时为单调递减，在时为单调递增，故在处取得最小值，故A正确；又在定义域为单调递增函数，可知在为凹函数，可得，即，故C正确；令，易知，，，令，故在定义域为单调递增函数，故，则，故D正确．故选：对选项逐一判断，首先对求导得到，再对进行求导，得出的单调性及零点，即可得出，最值及单调性，即可判断AB的正误，由的增减性可知的凹凸性，由此可知，的大小，即可判断C的正误，再构造，同理可判断D的正误．本题主要考查了导数与单调性，函数性质的综合应用，属于中档题．13.【答案】【解析】解：，，根据同角关系有，故答案为：根据正切的定义，运用诱导公式以及同角关系求解．本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．14.【答案】【解析】解：分两种情况讨论：第一局甲胜，第二局乙胜：若第一局甲执黑子先下，则甲胜第一局的概率为，第二局乙执黑子先下，则乙胜的概率为，若第一局乙执黑子先下，则甲胜第一局的概率为，第二局乙执黑子先下，则乙胜的概率为，所以第一局甲胜，第二局乙胜的概率为；第一局乙胜，第二局甲胜：若第一局甲执黑子先下，则乙胜第一局的概率为，第二局甲执黑子先下，则甲胜的概率为，若第一局乙执黑子先下，则乙胜第一局的概率为，第二局甲执黑子先下，则甲胜的概率为，所以，第一局乙胜，第二局甲胜的概率为综上所述，甲、乙各胜一局的概率为故答案为：分两种情况讨论：第一局甲胜，第二局乙胜：第一局乙胜，第二局甲胜．分析出每局输赢的情况，结合独立事件和互斥事件的概率公式可求得所求事件的概率．本题主要考查了独立事件的概率乘法公式，属于基础题．15.【答案】2【解析】解：由图可知函数过点，所以，即，所以或，，因为，所以或，又函数在原点右侧最近的零点的右侧的极值点函数取得最小值，所以，所以，因为在区间内单调递减，，所以，所以，所以，则或解得或，所以的最大值为故答案为：根据函数过点求出的值，再根据x的范围求出的范围，结合函数的单调性与周期性求出的大致范围，再根据正弦函数的性质得到不等式组，解得即可．本题主要考查了正弦函数性质的应用，属于中档题．16.【答案】【解析】解：由四边形ABCD为菱形，，可得为正三角形，设H为AB的中点，连接DH，所以又，因此又平面ABCD，故以D为原点，分别以DE，DC，DF所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：设，，，，则，，，，由题意，则平面ABCD，平面ABCD，设，，从而，因为四边形BEFG是正方形，所以，所以，解得，所以，，设，则，因为，所以，所以，即，所以，所以，设异面直线AG与DE所成角为，又，所以，即异面直线AG与DE所成角的余弦值为故答案为：；根据线面垂直，建立空间直角坐标系，利用向量法求解距离及异面直线所成角的余弦值．本题主要考查了利用空间向量求线段的长，以及利用空间向量求异面直线所成的角，属于中档题．17.【答案】解：由，，可得，所以，则，又因为，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，则，所以，则，所以由可知：，当n为偶数时，，当n为奇数时，，因为，，所以使不等式成立的n的最小值为【解析】根据递推公式即可证明是等比数列，然后利用等比数列的通项公式和已知条件即可求解；结合的通项公式求出数列的前n项和为，然后讨论即可求解．本题主要考查数列递推式，数列的求和，考查运算求解能力，属于中档题．18.【答案】解：，，当且仅当，即时，等号成立，的最小值为；分别延长BM，CM，AM，交三角形的对应边于点D，E，F，点M为的重心，，在中，，D为边AC的中点，，，设，，则，，在中，又勾股定理可得：，即，同理在中，，即，在中，，即，消去x，y得，又，所以，从而解得，即，在中，由余弦定理可得：，，同理在中，，，【解析】利用余弦定理及基本不等式即可求解最小值；利用重心性质及勾股定理求出边长关系，利用余弦定理求出两个角的余弦值，然后通过同角关系求出正弦值即可．本题考查解三角形，余弦定理勾股定理，基本不等式的应用，方程思想，属中档题．19.【答案】解：人全通过初赛的概率为，所以这3人中至多有2人通过初赛的概率为；甲参加市知识竞赛的概率为，乙参加市知识竞赛的概率为，丙参加市知识竞赛的概率为，所以这3人中至少有1人参加市知识竞赛的概率为；方案一：设三人中奖人数为X，所获奖金总额为Y元，则，且，所以元，方案二：记甲、乙、丙三人获得奖金之和为Z元，则Z的所有可能取值为600、900、1200、1500，则，，，，所以所以，所以从三人奖金总额的数学期望的角度分析，品牌商选择方案二更好．【解析】计算出3人全通过初赛的概率，再利用对立事件的概率公式可求得所求事件的概率；计算出3人各自参加市知识竞赛的概率，再利用独立事件和对立事件的概率公式可求得所求事件的概率；利用二项分布及期望的性质求出方案一奖金总额的期望，对方案二，列出奖金总额为随机变量的所有可能取值，并求出对应的概率，求出其期望，比较大小作答．本题主要考查了独立事件的概率乘法公式，考查了二项分布的概率公式和期望公式，属于中档题．20.【答案】解：因为，，在中，由余弦定理可得，则，所以，则，又因为为直四棱柱，所以平面ABCD，所以，DA，DB两两垂直，建立如图所示空间直角坐标系，设，则，，，，，，，所以，，，设平面的法向量为，则，则可取，由题意可知：AD与平面所成的角为，所以，解得，所以由知：平面的法向量，，，设平面的法向量为，则，则可取，则，由图可知：二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值【解析】根据，，利用余弦定理可得，结合已知条件，建立空间直角坐标系，设，写出相应点的坐标，求出平面的法向量和AD的方向向量，线面角即可求解；结合的结论和平面的法向量，再求出平面的法向量，利用空间向量的夹角公式即可求解．本题考查空间向量在立体几何中的运用，考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力，考查直观想象和数学运算等核心素养，属于中档题．21.【答案】解：由已知得，，，即①又因为的面积为1，所以，即②联立①②解得，，所以椭圆C的方程为；根据题意，直线l的斜率存在，且l不过C的上、下顶点，故可设其方程为，，设Q点的横坐标为，AB与QN的交点为T，其横坐标为，由得，，则，即，又，由已知直线MB的方程为，直线AB的方程为，直线QN的方程为，联立，解得，即，联立，解得，即，因为AB平分线段QN，所以T为线段QN的中点，所以，即，整理得，把代入上式整理得，因为，所以，化简得，又由得，解得，，设，则，所以，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，当时，有最大值，即d有最大值，所以，所以直线MN的方程为【解析】根据已知条件列出关于a，b的方程组求解即可；设l的方程为，，Q点的横坐标为，AB与QN的交点为T，其横坐标为，由已知可得，结合韦达定理可得出，从而可求点到l的距离d，再通过构造函数，利用函数单调性求出d取最大值时的条件，从而可求直线MN 的方程．本题主要考查了椭圆性质在椭圆方程求解中的应用，还考查了直线与椭圆位置关系的应用，属于中档题．22.【答案】解：将代入的解析式得：，，令，显然是增函数，，，使得，此时，当时，，单调递减，当时，，单调递增，，显然是关于得减函数，，由，，得，，，即，是增函数；令，，，令，令，则有，，，显然是增函数，第21页，共21页，，使得，当时，，单调递减，当时，，单调递增，，，时，，即，是增函数，时，，即是减函数，时，是增函数，所以在处，有极大值，在处有极小值，的大致图像如下：欲使得原函数有3个零点，a 得取值范围是，综上，a 得取值范围是【解析】将代入函数解析式，求导，求出导函数的极小值即可；参数分离，构造函数，求出其单调区间以及函数的大致图像即可．本题主要考查了导数与单调性关系的应用，还考查了函数性质在零点个数判断中的应用，特殊值是解决本题的一个关键，对于导函数的研究的一个原则是多次求导直到导函数能够比较清晰的观察出其单调性为好，属于中档题．。

2019—2020学年度上学期高三年级二调考试数学（文科）试卷本试卷分第I 卷（选择题）和第I 卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟．第I 卷一．选择题（从每小题给出的四个选项中，选出最佳选项，并在答题纸上将该项涂黑）1.若集合}{12A x x =-≤≤，{}10B x x =-<，则A B U =( ). A. }{1x x <B. }{11x x -≤<C. {}2x x ≤D.{}21x x -≤<【答案】C 【解析】 【分析】直接根据并集的定义求解即可.【详解】因为}{12A x x =-≤≤，{}{}101B x x x x =-<=<， 所以，根据并集的定义：A B ⋃是属于A 或属于B 的元素所组成的集合， 可得{}2A B x x ⋃=≤，故选C.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合A 或属于集合B 的元素的集合.2.设30.2a =，2log 0.3b =，3log 2c =，则（ ） A. a b c >> B. a c b >>C. b a c >>D. c a b >>【答案】D 【解析】 【分析】利用函数的单调性，并结合取中间值法即可判断大小.【详解】由于300.20.2<<，22log 0.3log 10<=， 331log 2log 32>=， 则323log 0.30.2log 2<<，即c a b >>.故选D.【点睛】本题主要考查对数与对数函数和指数与指数函数，利用函数的单调性比较大小是常用手段，属基础题.3.函数()2ln 11y x x =-+-的图象大致为( )A B.C. D.【答案】B 【解析】 【分析】利用对称性排除A ，C ；利用单调性排除D ，从而得到结果.【详解】由于2ln y x x =+为偶函数，所以()2ln 11y x x =-+-关于直线x 1=轴对称，从而可排除A ，C ；2ln y x x =+在()0∞+，上为增函数，所以()2ln 11y x x =-+-在()1∞+，上为增函数，排除D; 故选B【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象. 4.在ABC ∆中，角AB C 的对边分别为a,b,c,且sin 22,1,,1cos 26c b B c π===- 则a 的值为( )A.1-B. 2C. 2D.【答案】D 【解析】 【分析】由sin211cos2c c =-得到角C ，又6B π=，故A=712π，利用正弦定理即可得到结果.【详解】由sin211cos2c c =-可得：2212sinCcosC sin C =,即tanC=1,故C=,4πA=712π由正弦定理：a b sinA sinB = 可得：7126a bsin sin ππ=,∴7a 4s?12in π==故选D【点睛】此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键． 5.已知1sin()62πθ-=，且02πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，则cos()3πθ-=( ) A. 0 B.12C. 1【答案】C 【解析】 【分析】解法一：由题意求出θ的值，然后代入求出结果；解法二：由两角差的余弦公式求出结果 【详解】解法一：由π1sin 62θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭得，π3θ=，代入πcos 3θ⎛⎫- ⎪⎝⎭得， πcos 3θ⎛⎫- ⎪⎝⎭=cos01=，故选C ．解法二：由π1sin 62θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭得，πcos 62θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 所以πππππππcos cos cos cos sin sin 13666666θθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选C ． 【点睛】本题考查了运用两角差的余弦公式来求出三角函数值，较为基础6.已知锐角△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,23cos 2A+cos 2A=0,a=7,c=6,则b 等于( ) A. 10 B. 9C. 8D. 5【答案】D 【解析】【详解】由题意知,23cos 2A+2cos 2A-1=0, 即cos 2A=125, 又因△ABC 为锐角三角形, 所以cosA=15. △ABC 中由余弦定理知72=b 2+62-2b×6×15,即b 2-125b-13=0, 即b=5或b=-135(舍去),故选D.【此处有视频，请去附件查看】7.已知奇函数()f x 满足()()4f x f x =+，当()0,1x ∈时，()4xf x =，则()4log 184(f =)A. 3223-B.2332C.34D. 38-【答案】A【解析】 【分析】 根据函数的周期性结合奇偶性推导出()()44442332log 184log 18443223f f f log flog ⎛⎫⎛⎫=-==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用()0,1x ∈时，()4x f x =能求出结果．【详解】Q 奇函数()f x 满足()()4f x f x =+，()()44423log 184log 184432f f f log ⎛⎫∴=-= ⎪⎝⎭因为4231032log -<<， 所以442332013223log log <-=< 所以444233232322323f log f log f log ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭又因为当()0,1x ∈时，()4xf x =，所以432log 23432423f log ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭3223=-,故选A ． 【点睛】本题考查对数的运算法则，考查函数的奇偶性、周期性等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．解答函数周期性、奇偶性、解析式相结合的问题，通常先利用周期性与奇偶性转化自变量所在的区间，然后根据解析式求解. 8.已知1cos sin 5αα-=，则cos 22πα⎛⎫- ⎪⎝⎭=( ).A. 2425-B. 45- C. 2425D.45【答案】C 【解析】 【分析】 将1cos sin 5αα-=两边平方，求出24sin 225α=，利用诱导公式可得结果.【详解】因为1cos sin 5αα-=， 所以22cos 2sin cos sin 1sin 2ααααα-+=-=125， 所以24sin 225α=，cos 22πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭24sin 225α=，故选C.【点睛】三角函数求值有三类，(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．9.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2cos ,4,cos a c Cb b B-==则ABC ∆的面积的最大值为（ ）A.B. C. 2【答案】A 【解析】 【分析】由已知式子和正弦定理可得B ，再由余弦定理和基本不等式可得ac ≤16，代入三角形的面积公式可得最大值． 【详解】∵在△ABC 中，2cos cos a c Cb B-= ∴（2a ﹣c ）cos B ＝b cos C ， ∴（2sin A ﹣sin C ）cos B ＝sin B cos C ，∴2sin A cos B ＝sin C cos B +sin B cos C ＝sin （B +C ）＝sin A ，约掉sin A 可得cos B ＝12，即B ＝3π，由余弦定理可得16＝a 2+c 2﹣2ac cos B ＝a 2+c 2﹣ac ≥2ac ﹣ac ， ∴ac ≤16，当且仅当a ＝c 时取等号， ∴△ABC 的面积S ＝12ac sin B ≤故选A ．【点睛】本题考查解三角形，涉及正余弦定理和基本不等式以及三角形的面积公式，属中档题．10.已知函数()()xxf x x e e-=-，对于实数a b ，，“0a b +>”是“()()0f a f b +>”的( ). A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】先判断出函数为奇函数，且为R 的单调增函数，结合单调性与奇偶性利用充分条件与必要条件的定义判断即可. 【详解】因为()()()()xx x x f x x e e x e e f x ---=--=--=-，所以()f x 为奇函数，0x >时，()1x x f x x e e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()f x 在()0,∞+上递增，所以函数()f x 在R 上为单调增函数， 对于任意实数a 和b ，若0a b +>，则()(),a b f a f b >-∴>-，Q 函数()f x 为奇函数，()()f a f b ∴>-，()()0f a f b ∴+>，充分性成立；若()()0f a f b +>，则()()()f a f b f b >-=-，Q 函数在R 上为单调增函数，a b ∴>-，0a b ∴+>，必要性成立，∴对于任意实数a 和b ，“0a b +>”，是“()()0f a f b +>”的充要条件，故选C.【点睛】本题主要考查函数的单调性与奇偶性以及充分条件与必要条件的定义，属于综合题. 判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件p 和结论q 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试,p q q p ⇒⇒.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理. 11.如图是函数()sin y x ωϕ=+0,02πωϕ⎛⎫><<⎪⎝⎭在区间5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图像，将该图像向右平移()0m m <个单位长度后，所得图像关于直线4x π=对称，则m 的最大值为（ ）．A. 12π-B. 6π-C. 4π-D. 3π-【答案】B 【解析】 【分析】由函数图像可得函数解析式为：sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，由三角函数图像的平移变换可得平移后的解析式为sin 223y x m π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再结合三角函数图像的对称性可得,26k m k Z ππ=-+∈，再求解即可. 【详解】解：由题意可知，25()66T ππππω==--=，所以2ω=， 根据五点作图法可得2()06πϕ⨯-+=，解得3πϕ=，所以sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，将该函数图像向右平移()0m m <个单位长度后， 得到sin 223y x m π⎛⎫=-+⎪⎝⎭的图像，又sin 223y x m π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图像关于直线4x π=对称，所以22432m k ππππ⨯-+=+，即,26k m k Z ππ=-+∈， 因为0m <，所以当0k =时，m 取最大值6π-， 故选B.【点睛】本题考查了由函数图像求解析式及三角函数图像的平移变换，重点考查了三角函数图像的对称性，属基础题. 12.若函数2()(1)(0)f x ln x ax a x=-+->恰有一个零点，则实数a 的值为( ) A.12B. 2C.1eD. e【答案】A 【解析】 【分析】先将函数零点转化为直线与曲线相切问题，再利用导数求切点即得切线斜率，即得a 的值. 【详解】函数的定义域为()1,+∞，若函数()()21(0)f x ln x ax a x =-+->恰有一个零点， 等价为()()210f x ln x ax x=-+-=恰有一个根，即()21ln x ax x-+=只有一个根，即函数()21y ln x x=-+和y ax =的图象只有一个交点，即当0a >时，y ax =是函数()21y ln x x=-+的切线,设()()21g x ln x x =-+，切点为(),m n ，则()21ln m n m-+=，因为()222122201x 1x x g x x x x -+=-=>--'，切线斜率()212'1k g m a m m ==-=-， 则切线方程为()2121y n x m m m ⎛⎫-=--⎪-⎝⎭，Q 切线过原点()2122101m ln m m mm ⎛⎫∴--+-+= ⎪-⎝⎭， 即()4101mln m m m -+-=-， 因为()()()()()()()2222224111111m m m m mln m m m m m m m m --+--+-≤---=--- 所以2m =，此时21212111121422a m m =-=-=-=--， 故选A ．【点睛】本题考查函数零点以及导数几何意义，考查综合分析求解能力，属中档题.第II 卷（非选择题共90分）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知3sin()(0)25πααπ-=-<<，则sin 2α=__________． 【答案】2425- 【解析】 【分析】由题意求出sin α和cos α，然后再利用倍角公式求解．【详解】∵3sin cos (0)25παααπ⎛⎫-==-<< ⎪⎝⎭， ∴2415sin cos αα=-=， ∴342422sin cos 2()5525sin ααα==⨯-⨯=-． 故答案为2425-． 【点睛】本题考查同角三角函数关系及倍角公式，解题时容易出现的错误是忽视函数值的符号，属于简单题．14.将函数()sin cos (,R,0)f x a x b x a b a =+∈≠的图象向左平移6π个单位长度，得到一个偶函数图象，则ba=________．【解析】 【分析】根据平移后关于y 轴对称可知()f x 关于6x π=对称，进而利用特殊值()03f f π⎛⎫=⎪⎝⎭构造方程，从而求得结果. 【详解】()f x Q 向左平移6π个单位长度后得到偶函数图象，即关于y 轴对称 ()f x ∴关于6x π=对称 ()03f f π⎛⎫∴=⎪⎝⎭即：1sincos332a b b b ππ+=+= b a ∴=【点睛】本题考查根据三角函数的对称轴求解参数值的问题，关键是能够通过平移后的对称轴得到原函数的对称轴，进而利用特殊值的方式来进行求解. 15.设定义域为R 的函数()f x 满足()()f x f x '>，则不等式()()121x e f x f x -<-的解集为__________． 【答案】(1,)+∞ 【解析】 【分析】根据条件构造函数F （x ）()xf x e=，求函数的导数，利用函数的单调性即可得到结论．【详解】设F （x ）()xf x e =，则F ′（x ）()()'xf x f x e -=，∵()()f x f x '>，∴F ′（x ）＞0，即函数F （x ）在定义域上单调递增． ∵()()121x ef x f x -<-∴()()2121xx f x f x ee--＜，即F （x ）＜F （2x 1-）∴x 2x 1-＜，即x ＞1 ∴不等式()()121x ef x f x -<-的解为()1,+∞故答案为()1,+∞【点睛】本题主要考查函数单调性的判断和应用，根据条件构造函数是解决本题的关键． 16.设ABC ∆的内角A B C ，，的对边长a b c ，，成等比数列，()1cos cos 2A CB --=，延长BC 至D ，若2BD =，则ACD ∆面积的最大值为__________.【解析】 【分析】由()1cos cos 2A C B --=，可得1cos cos 4A C =，由,,a b c 成等比数列，结合正弦定理 可得2sin sin sinB AC =，两式相减，可求得3B π=，从而得ABC ∆为正三角形，设正三角形边长为a ，ACD S ∆ ()2a =-，利用基本不等式可得结果. 【详解】()cos cos A C B --Q ()()1cos cos 2A C A C =-++=， 1cos cos 4A C ∴=，① 又,,a b c Q 成等比数列，2b ac ∴=， 由正弦定理可得2sin sin sin B A C =，②①-②得21sin cos cos sin sin 4B AC A C -=- ()cos cos A C B =+=-，21cos 1cos 4B B ∴+-=-，解得1cos ,23B B π==， 由()1cos cos 2A C B --=，得()1cos cos 12A C B -=+=，0,A C A B -==，ABC ∆为正三角形，设正三角形边长为a ， 则2CD a =-，1sin1202ACD S AC CD o ∆=⋅()()1222a a a =-=- ()22444a a ⎡⎤+-⎣⎦≤=，1a =时等号成立．即ACD ∆【点睛】本题主要考查对比中项的应用、正弦定理的应用以及基本不等式求最值，属于难题. 利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.三．解答题（共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.将函数()sin2f x x =的图象向左平移6π个单位后得到函数()g x 的图像，设函数()()()h x f x g x =-.（Ⅰ）求函数()h x 的单调递增区间； （Ⅱ）若163g πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求()h α的值. 【答案】(Ⅰ) ()5 1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，(Ⅱ) 13-【解析】 【分析】(Ⅰ)由已知可得()sin 23g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，则()sin2sin 2sin 233h x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,由 222232k x k πππππ-+≤-≤+，解不等式即可得结果；(Ⅱ)由163g πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭得21sin 2sin 26333πππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫++=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，从而可得()21 sin 22333h sin ππααα⎛⎫⎛⎫=-=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【详解】(Ⅰ)由已知可得()sin 23g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭， 则()sin2sin 23h x x x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭122sin 2223sin x cos x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭. 令222232k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈，，解得51212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，. ∴函数()h x 的单调递增区间为()51212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，.(Ⅱ)由163g πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭得21sin 2sin 26333πππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫++=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， ∴221sin 2223333sin sin πππααπα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即()13h α=-. 【点睛】本题主要考查三角函数的恒等变换以及三角函数的单调性，属于中档题.函数sin()y A x ωϕ=+的单调区间的求法：若0,0A ω>>,把x ωϕ+看作是一个整体，由22k x ππωϕ+≤+≤()322k k Z ππ+∈求得函数的减区间，2222k x k πππωϕπ-+≤+≤+求得增区间.18.已知ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且5b =，()a b +()sin 2sin A b A C =+．（1）证明：ABC V 为等腰三角形．（2）设点D 在AB 边上，2AD BD =，CD =AB 的长． 【答案】（1）证明见解析 （2）6 【解析】 【分析】 （1）由正弦定理sin sin a b A B=，化角为边可得()22a a b b +=，再运算可得证； （2）设BD x =22=.【详解】（1）证明：因为()()sin 2sin 2sin a b A b A C b B +=+=，所以由正弦定理sin sin a b A B=，可得()22a a b b +=，整理可得()()20a b a b +-=． 因为20a b +>，所以a b =，ABC V 为等腰三角形，得证． （2）解：设BD x =，则2AD x =，由余弦定理可得2cosCDA ∠=2cos CDB ∠=．因为CDA CDB π∠=-∠，22=2x =，所以6AB =．【点睛】本题考查了正弦定理及余弦定理，重点考查了解斜三角形及运算能力，属中档题. 19.已知函数2()f x x xlnx =-．（1）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）若2()2x f x k ->在(1,)+∞上恒成立，求实数k 的取值范围．【答案】（1）0x y -=；（2）1(,]2-∞. 【解析】【分析】（1）对()f x 求导得到()f x '，代入切点横坐标1x =得到斜率，再写出切线方程；（2）令()()2222x x g x f x xlnx =-=-，证明其导函数在()1,+∞上恒为正，即()g x 在()1,+∞上恒增，而k 要满足()k g x <在()1,+∞上恒成立，从而得到k 的取值范围【详解】（1）()2f x x xlnx =-Q ，()'21f x x lnx ∴=--，'f （1）1=，又f （1）1=，即切线的斜率1k =，切点为()1,1， ∴曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程0x y -=；（2）令()()2222x x g x f x xlnx =-=-，()1,x ∈+∞，则()'1g x x lnx =--，令()1h x x lnx =--，则()11'1x h x x x-=-=． 当()1,x ∈+∞时，()'0h x >，函数()h x 在()1,+∞上为增函数，故()h x h >（1）0=； 从而，当()1,x ∈+∞时，()''g x g >（1）0=． 即函数()g x 在()1,+∞上为增函数，故()g x g >（1）12=． 因此，()22x f x k ->在()1,+∞上恒成立，必须满足12k …．∴实数k 的取值范围为(-∞，1]2．【点睛】本题考查利用导数求函数在某一点的切线，利用导数研究函数的单调性，恒成立问题，属于常规题. 20.已知()ln 1mf x n x x =++（m ，n 为常数），在1x =处的切线方程为20x y +-=． （Ⅰ）求f （x)的解析式并写出定义域； （Ⅱ）若1,1x e⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，使得对1,22t ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦上恒有32)22f x t t at ≥--+（成立，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）若2()()()1g x f x ax a R x =--∈+有两个不同的零点12,x x ，求证：212x x e ⋅>.【答案】（Ⅰ）21()ln 12f x x x =-+，x∈（0，+∞）；（Ⅱ）5[,)4+∞；（Ⅲ）详见解析. 【解析】 【分析】（Ⅰ）利用导数的几何意义意义求得m ，n 的值，根据对数函数的定义得到函数定义域； （Ⅱ）f （x ）在[1e ，1]上的最小值为f （1）＝1，只需t 3﹣t 2﹣2at +2≤1，即212a t t t≥-+对任意的122t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，上恒成立，构造函数m （t ），利用导数求出m （t ）的最大值，即可求得结论；（Ⅲ）不妨设x 1＞x 2＞0，得到g （x 1）＝g （x 2）＝0，根据相加和相减得到12112122x x x lnx lnx ln x x x ++=-，再利用分析法，构造函数，求出函数单调性和函数的最小值，问题得以证明．【详解】解：（Ⅰ）由f （x ）=1m x ++nlnx 可得()()21m n f x x x +'=-+， 由条件可得()114mf n =-+=-'，把x=-1代入x+y =2可得，y =1， ∴()112m f ==，∴m=2，12n =-，∴()21ln 12f x x x =-+，x∈（0，+∞）， （Ⅱ）由（Ⅰ）知f （x ）在1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，∴f （x ）在1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为f （1）=1，故只需t 3-t 2-2at +2≤1，即212a t t t ≥-+对任意的1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，令()21m t t t t =-+，()()2221112t 122112t m t t t t t t +⎛⎫=--=-+-=-+ ⎝'⎪⎭易求得m （t ）在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减，[1，2]上单调递增，而1724m ⎛⎫=⎪⎝⎭，()522m =，∴2a≥m （t ）max=g （2），∴54a ≥，即a 的取值范围为5,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭（Ⅲ）∵()1ln 2g x x ax =--，不妨设x 1＞x 2＞0， ∴g （x 1）=g （x 2）=0，∴111ln 2x ax -=，221ln 2x ax -=，相加可得()()12121ln ln 2x x a x x -+=+，相减可得()()12121ln ln 2x x a x x --=-， 由两式易得：12112122ln ln ln x x x x x x x x ++=-；要证212x x e >，即证明12ln ln 2x x +>，即证：121122ln 2x x x x x x +>-，需证明112212ln 2x x x x x x ->+成立，令12xt x =，则t ＞1，于是要证明()21ln 1t t t ->+，构造函数()()21ln 1t t t t ϕ-=-+，∴()()()()222114011t t t t t t ϕ-=-=+'>+，故ϕ（t ）在（1，+∞）上是增函数， ∴ϕ（t ）＞ϕ（1）=0，∴()21ln 1t t t ->+，故原不等式成立．【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了恒成立问题的等价转化方法，考查了利用已经证明的结论证明不等式的方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.21.已知函数()()11ln x f x ea x x -=--+ (a R ∈，e 是自然对数的底数).（1）设()g x =()f x ' (其中()f x '是()f x 的导数)，求()g x 的极小值； （2）若对[)1,x ∈+∞，都有()1f x ≥成立，求实数a 的取值范围．【答案】(Ⅰ) 2a -(Ⅱ) (] 2-∞，【解析】 【分析】(Ⅰ)求出()g x '，分别令()'0g x >求得x 的范围，可得函数()g x 增区间，()'0g x <求得x 的范围，可得函数()g x 的减区间，结合单调性可求得函数的极值；(Ⅱ)由(Ⅰ)知，()f x '在()1+∞，上单调递增，在(0，1)上单调递减，()()12f x f a ''≥=-.讨论当2a ≤时，当2a >时两种情况，分别利用对数以及函数的单调性，求出函数最值，从而可筛选出符合题意的实数a 的取值范围.【详解】(Ⅰ)()()()110x g x f x ea x x -=+-'=>，()121x g x e x--'=.令()()()1210x x g x e x x ϕ-=-'=>，∴()1320x x e x ϕ-'=+>， ∴()g x '在()0+∞，上为增函数，()10g '=. ∵当()01x ∈，时，()0g x '<；当()1x ∈+∞，时，()0g x '>， ∴()g x 的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为()1+∞，， ∴()()12g x g a ==-极小.(Ⅱ)由(Ⅰ)知，()f x '在()1+∞，上单调递增，在(0，1)上单调递减， ∴()()12f x f a ''≥=-.当2a ≤时，()0f x '≥，()f x 在[)1+∞，上单调递增，()()11f x f ≥=，满足条件； 当2a >时，()120f a ='-<. 又∵()ln 11ln 10ln 1ln 1af a ea a a +=-+=>++'，∴()01ln 1x a ，∃∈+，使得()00f x '=，此时，()01x x ∈，，()0f x '<；()0ln 1x x a ∈+，，()0f x '>， ∴()f x 在()01x ，上单调递减，()01x x ∈，，都有()()11f x f <=，不符合题意. 综上所述，实数a 的取值范围为(]2-∞，. 【点睛】本题主要考查利用导数求函数的极值以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；② 数形结合(()y f x = 图象在()y g x = 上方即可)；③ 讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立；④ 讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.22.已知函数()221ln 2x f x x ax e e x=-++-（e为自然对数的底数）． （1）当a e =时，求曲线()y f x =在点()(),e f e 处的切线方程； （2）证明：当a e ≤时，不等式32212ln x ax x e x e ⎛⎫-≥-+ ⎪⎝⎭成立． 【答案】（1）0y = （2）证明见解析【解析】 【分析】（1）先求函数的导函数为()'21ln 22xfx x e x-=--，再由导数的几何意义可得，所求切线的斜率即为()0f e '=，再求切线方程即可； （2）先构造函数()2212g x x ex e e =-++，()()ln 0x h x x x=>，结合导数的应用判断函数的单调性求出函数()g x 的最小值，函数()h x 的最大值，再比较大小即可得证. 【详解】（1）解：由题意知，当a e =时，()221ln 2xf x x ex e e x=-++-，解得()0f e =， 又()'21ln 22xfx x e x -=--， 所以()0k f e '==．则曲线()y f x =在点()(),e f e 处的切线方程为0y =． （2）证明：当a e ≤时，得2222ax ex -≥-， 要证明不等式32212ln x ax x e x e ⎛⎫-≥-+ ⎪⎝⎭成立，即证32212ln x ex x e x e ⎛⎫-≥-+ ⎪⎝⎭成立，即证22ln 12x x ex e x e ⎛⎫-≥-+ ⎪⎝⎭成立， 即证221ln 2xx ex e e x-++≥成立， 令()2212g x x ex e e =-++，()()ln 0x h x x x =>，易知()()1g x g e e≥=，由()21ln xh x x-'=，知()h x 在区间()0,e 内单调递增， 在区间()0,∞+内单调递减， 则()()1h x h e e≤=， 所以()()g x h x ≥成立．即原不等式成立．【点睛】本题考查了导数的几何意义及利用导数证明不等式，重点考查了函数与不等式的相互转化，属综合性较强的题型.。

2018-2019学年度小学期高三年级二调考试数学试卷（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）注意事项： 1.答卷Ⅰ前，考生将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。

2.答卷Ⅰ前，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

一、选择题（每小题5分，共60分。

下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1.设集合{}1,2,4A =,{}240B x x x m =-+=，若{}1A B ⋂=,则B =A.{}1,3-B.{}1,0C.{}1,3D.{}1,5 2.下列函数中，在其定义域上既是奇函数又是减函数的是 A.2x y -= B.3y x -= C.sin xy x= D.()()lg 2lg 2y x x =--+ 3.命题()00:,2,p x R f x ∃∈≥则p ⌝为A.(),2x R f x ∀∈≥B.(),2x R f x ∀∈<C.()00,2x R f x ∃∈≤D.()00,2x R f x ∃∈<4.下列函数中，其图象与函数ln y x =的图象关于直线1x =对称的是A.()ln 1y x =-B.()ln 2y x =-C.()ln 1y x =+D.()ln 2y x =+ 5.函数2sin 2xy x =的图象可能是6.已知实数1,a >若函数()log a f x x x m =+-的零点所在区间为()0,1，则m 的取值范围是 A.(),1-∞ B.(),2-∞ C.()0,1 D.()1,27.已知13313711log ,,log 245a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为 A.a b c >> B.b a c >> C.c b a >> D.c a b >>8.已知函数()()()1f x x ax b =-+为偶函数，且在()0,+∞上单调递减，则()30f x -<的解集为 A.()2,4 B.()(),24,-∞⋃+∞ C.()1,1- D.()(),11,-∞-⋃+∞9.已知()f x 是定义域为(),-∞+∞的奇函数，满足()()11f x f x -=+.若()12f =，则()()()()1232018f f f f ++++=A.2018-B.0C.2D.5010.如图，可导函数()y f x =在点()()00,P x f x 处的切线为():l y g x =，设()()()h x f x g x =-，则下列说法正确的是A.()'000,h x x x ==是()h x 的极大值点 B.()'000,h x x x ==是()h x 的极小值点C.()'000,h x x x ≠=不是()h x 的极值点 D.()'000,h x x x ≠=是()h x 的极值点11.已知函数()24ln ,f x ax ax x =--则()f x 在()1,3上不单调的一个充分不必要条件是A.1,6a ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭B.1,2a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭ C.1,2a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭ D.11,26a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭。