江苏省南通市如东高级中学2020-2021学年高二10月月考数学试题

2020-2021学年江苏省南通市如皋中学高二（创新班）上学期第二次阶段考试数学试题一、单选题1．已知集合{}21|log ,,|2,12xA y y x xB y y x -⎧⎫==>==>⎨⎬⎩⎭，则A B =（ ） A ．1{|1}2y y -<< B ．1{|0}2y y << C ．1{|}2y y >D ．∅【答案】B【分析】先利用指数函数与对数函数的单调性求函数的值域，即化简集合A ，B ，再利用集合的交集运算求得结果. 【详解】对数函数2log y x =在1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭单调递增，21log 12y ∴>=-指数函数122xxy -⎛⎫== ⎪⎝⎭在()1,+∞单调递减，111022y ⎛⎫∴<<= ⎪⎝⎭ 即{}1|1,|02A y y B y y ⎧⎫=>-=<<⎨⎬⎩⎭1|02AB y y =<<⎧⎫⎨⎬⎩⎭故选：B.【点睛】易错点睛：本题考查了集合的交集运算，及函数的值域问题，解题时一定要注意集合中的自变量的取值范围，确定各自的值域，再求集合的交集，考查学生的逻辑推理能力与转化与划归能力，属于基础题.2．设:p “2,10x R x mx ∀∈-+>”，:q “22m -≤≤”，则p 是q 成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】先化简命题p 得到m 的取值范围，再利用集合的关系和充分不必要的定义判断得解. 【详解】2,10x R x mx ∀∈-+>，240,22m m ∴∆=-<∴-<<，所以命题:22p m -<<.(2,2)[2,2]-⊂-≠，p ∴是q 成立的充分不必要条件.故选： A【点睛】本题主要考查二次不等式的恒成立问题，考查集合的关系，考查充分不必要条件的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3．体检时使用的“标准对数视力表”发明者是我国已故眼科专家缪天荣教授.体检者的视力分别有“小数记录”和“五分记录”两种方式，例如表中左侧最下方的49是“五分记录”，0.8是“小数记录”，用2V 、1V 分别表示“五分记录”和“小数记录”，则两者之间的关系是（ ）（参考数据lg 20.3010= lg30.4771=）A ．215ln V V =-B ．215lg V V =+C ．214ln V V =-D ．214lg V V =+【答案】B【分析】根据题意提取两组数据当1 1.0V =时，2 5.0V =、当1 1.2V =时，2 5.1V =，由第一组数据排除C 、D 两个选项，由第二组数据排除A 即可得到答案 【详解】由题意：当1 1.0V =时，2 5.0V =，则排除C 、D 两个选项，A 选项：当1 1.2V =时，25ln1.25V =-<，而由题意2 5.1V =，故排除A 选项， 故选：B.【点睛】本题考查根据对数运算确定对数型函数，是基础题. 4．下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为2y x =±的是A ．22=14y x -B ．22=14x y -C ．22=14y x -D ．22=14x y -【答案】C【解析】试题分析：焦点在y 轴上的是C 和D ，渐近线方程为ay x b=±，故选C ． 【解析】1．双曲线的标准方程；2．双曲线的简单几何性质．5．函数()()2ax bf x x c +=+的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）A ．0a >，0b >，0c <B ．0a <，0b >，0c >C ．0a <，0b >，0c <D ．0a <，0b <，0c < 【答案】C【解析】试题分析：函数在P 处无意义，由图像看P 在y 轴右侧，所以0,0c c -><，()200,0b f b c =>∴>，由()0,0,f x ax b =∴+=即bx a=-，即函数的零点000.0,0bx a a b c a=->∴<∴<，故选C ． 【解析】函数的图像6．2011年国际数学协会正式宣布将每年的3月14日设为国际数学节，来源则是中国古代数学家祖冲之的圆周率.现用我国何承天发明“调日法”来得到π的近似数，其原理是设实数x 的不足近似值和过剩近似值为b a 和dc *(,,,)a b c d N ∈，则b d a c ++是更为精确的不足近似值或过剩近似值.若令31631020π<<，则第一次用“调日法”后得4715，它是π的更为精确的不足近似值，即47631520π<<.若每次都取得简分数，则第n 次用调日法后π的近似值为11336，则n 的值为（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】D【分析】按照“调日法”的基本原理进行运算、推导即可得到结果. 【详解】第一次“调日法”后：47631520π<<；第二次“调日法”后：2471572π<<；第三次“调日法”后：6922227π<<；第四次“调日法”后：9122297π<<； 第五“调日法”后：11322367π<<，此时π的近似值为11336. 故选：D .【点睛】本题考查数学史和新定义运算的问题，本质是考查根据程序框图循环结构计算循环体执行次数，属于基础题.7．已知函数()f x 为R 上的奇函数，且图象关于点(3，0)对称，且当x ∈(0，3)时，1()()12x f x =-，则函数()f x 在区间[2019,2024]上的（ ）A ．最小值为34- B ．最小值为78-C ．最大值为0D ．最大值为78【答案】A【分析】先利用奇函数的定义和对称性求出函数的周期，结合(0,3)x ∈时，1()()12x f x =-，可知(3,0)x ∈-时，()12x f x =-，知函数()f x 在区间(]3,2-上单调递减，函数取得最小值3(2)4f =-，即可求解.【详解】函数()f x 的图像关于点()3,0对称，()()6f x f x ∴+=--.又函数()f x 为奇函数，()()6f x f x ∴+=，∴函数()f x 是6T =的周期函数，201933763=⨯-，202433762=⨯+，由周期性可知，函数()f x 在区间[2019,2024]上的图像与在区间3,2上的图像一样，又当(0,3)x ∈时，1()()12xf x =-，由指数函数性质知()f x 在区间(0,3)上单调递减， 又函数()f x 为R 上的奇函数，故当(3,0)x ∈-时，()12xf x =-，故()f x 在()3,0-上单调递减，且()00f =，所以()f x 在区间()3,3-上单调递减，即()f x 在区间(]3,2-上单调递减，函数取得最小值3(2)4f =-. 故函数()f x 在区间[2019,2024]上的最小值为34- 故选：A.【点睛】结论点睛：本题主要考查函数的性质及对称性与周期性的综合应用，函数周期性常用结论：（1）若()()f x a f x a +=-，则函数的T =2a ； （2）若()()f x a f x +=-，则函数的T =2a ； （3）若1()()f x a f x +=，则函数的T =2a ；（4）函数()f x 关于直线x a =与x b =对称，那么函数()f x 的T =2||b a - ； （5）若函数()f x 关于点(),0a 对称，又关于点(),0b 对称，则函数()f x 的T =2||b a -；（6）若函数()f x 关于直线x a =对称，又关于点(),0b 对称，则函数()f x 的T =4||b a -8．若实数2a ≥，则下列不等式中一定成立的是（ ） A ．12log (2)1a a a a +++>+ B ．1log (1)a a a a++<C ．1log 1)log )((2a a a a ++<+D ．21(1)(2)a a a a +++>+【答案】D【分析】A.构造函数()ln xf x x=，用导数得到()f x 在()0,e 上递减，在(),e +∞上递增；然后由21a a e +>+>，利用单调性定义结合换底公式判断；B. 根据22log 9log 8>，化简为()221log 212++>，由2a =判断；C.由()2212a a a +>+ ，取对数()()22lg 1lg 2a a a +>+，结合基本不等式判断； D. 构造函数()ln x f x x=，用导数得到()f x 在()0,e 上递减，在(),e +∞上递增；由21a a e +>+>，利用单调性的定义结合对数运算判断. 【详解】A.设()ln x f x x =，则()21ln xf x x-'=，当0x e <<时，()0f x '>，当x e >时，()0f x '<，所以()f x 在()0,e 上递减，在(),e +∞上递增；而21a a e +>+>，所以()()ln 2ln 121a a a a ++<++，则 ()()ln 22ln 11a a a a ++<++，由换底公式得12log (2)1a a a a +++<+，故错误；B. 因为22log 9log 8>，所以22log 33>，即()221log 212++>，所以2a =时，不等式1log (1)a a a a++<不成立，故错误； C.因为()2212a a a +>+ ，所以()()22lg 1lg 2a a a +>+， 所以()()lg lg 2lg 12a a a +++>>，所以()()()()2lg lg 2lg 1lg lg 22a a a a a +++>>⋅+，所以()()()lg 1lg 2lg lg 1a a aa ++>+，()()()1log 1log 2a a a a ++>+故错误；D. 设()ln x f x x =，则()21ln xf x x-'=，当0x e <<时，()0f x '>，当x e >时，()0f x '<，所以()f x 在()0,e 上递减，在(),e +∞上递增；而21a a e +>+>，所以()()ln 2ln 121a a a a ++<++，则()()()()2ln 11ln 2a a a a ++>++，即()()21ln 1ln 2a a a a +++>+，所以()()2112a a a a +++>+，故正确；故选：D【点睛】关键点点睛：本题关键是构造函数()ln xf x x=，由其单调性结合换底公式得解.二、多选题9．下列命题为真命题的是（ ）A ．若,x y R ∈，且2x y +≤，则,x y 中至少有一个大于1.B ．每个正方形都是平行四边形C ．2,2n n N n ∃∈>成立D ．(0,),1x x e x ∀∈+∞>+成立 【答案】BCD【分析】通过逆否命题的真假判断A 选项错误；根据正方形定义判断B 选项正确；举例子判断C 选项正确；构造函数，求导判断单调性及最值，从而判断D 选项正确. 【详解】A. 若,x y R ∈，且2x y +≤，则,x y 中至少有一个大于1，的逆否命题为：若,x y R ∈，且,x y 都不大于1，则2x y +>，故A 错误；B. 每个正方形都是平行四边形，故B 正确；C.当3n =时，2332>，故C 正确；D.设函数()1,0x f x e x x =-->，()10x f x e '=-≥，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增，()(0)0f x f ∴>=恒成立，即1x e x >+，故D 正确；故选：BCD.10．已知i 为虚数单位,下列命题中正确的是( ) A ．若x ,y ∈C ,则1x yi i +=+的充要条件是1x y == B ．2(1)()a i a +∈R 是纯虚数C ．若22120z z +=,则120z z == D ．当4m =时,复数22lg(27)(56)m m m m i --+++是纯虚数 【答案】BD【分析】选项A ：取x i =,y i =-满足方程，所以错误；选项B ：a ∀∈R ,210a +>恒成立，所以正确；选项C ：取1z i =,21z =,22120z z +=，所以错误；选项D ：4m =代入 22lg(27)(56)m m m m i --+++，验证结果是纯虚数，所以正确.【详解】取x i =,y i =-,则1x yi i +=+, 但不满足1x y ==,故A 错误；a ∀∈R ,210a +>恒成立,所以2(1a i +)是纯虚数,故B 正确；取1z i =,21z =,则22120z z +=,但120z z ==不成立,故C 错误; 4m =时，复数2212756=42g m m m m i i --+++()()是纯虚数,故D 正确. 故选:BD.【点睛】本题考查复数有关概念的辨析，特别要注意复数的实部和虚部都是实数，解题时要合理取特殊值，属于中档题.11．设函数3()(,)f x x ax b a b R =++∈，下列条件中，使得()y f x =有且仅有一个零点的是（ ）A ．1,2a b ==B ．3,3a b =-=-C ．0,2a b ><D ．0,0a b <>【答案】ABC【分析】求导2()3f x x a '=+，分0a ≥和0a <进行讨论，当0a ≥时，可知函数单调递增，有且只有一个零点；当0a <时，讨论函数的单调性，要使函数有一个零点，则需比较函数的极大值与极小值与0的关系，再验证选项即可得解. 【详解】3()f x x ax b =++，求导得2()3f x x a '=+当0a ≥时，()0f x '≥，()f x ∴单调递增，当x →-∞时，()f x →-∞；当x →+∞时，()f x →+∞；由零点存在性定理知，函数()f x 有且只有一个零点，故A ，C 满足题意；当0a <时，令()0f x '=，即230x a +=，解得13ax -=-，23a x -= 当x 变化时，()'f x ，()f x 的变化情况如下表：x ,3a ⎛⎫--∞- ⎪ ⎪⎝⎭3a-- ,33a a ⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭3a- ,3a ⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭()'f x+-+()f x极大值极小值故当3ax -=-，函数()f x 取得极大值2333333a a a a a a f a b b ⎛⎫-----=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭， 当3ax -=，函数()f x 取得极小值2333333a a a a a a f a b b ⎛⎫-----=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭又当x →-∞时，()f x →-∞；当x →+∞时，()f x →+∞； 要使函数()f x 有且只有一个零点，作草图或则需00f f ⎧⎛<⎪ ⎪⎝⎨⎪<⎪⎩，即00b b ⎧<⎪⎪<，即0b <<，B 选项，3,3a b =-=-，满足上式，故B 符合题意；则需00f f ⎧⎛>⎪ ⎪⎝⎨⎪>⎪⎩，即00b b ⎧>⎪⎪>，即0b >>，D 选项，0,0a b <>，不一定满足，故D 不符合题意； 故选：ABC【点睛】思路点睛：本题考查函数的零点问题，如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图像是连续不断的一条曲线，并且有()()0f a f b <，那么，函数()y f x =在区间(),a b 内有零点，即存在(),c a b ∈，使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的根，考查学生的逻辑推理与运算能力，属于较难题.12．已知定义域为R 的奇函数()f x ，满足22,2()2322,02x f x x x x x ⎧>⎪=-⎨⎪-+<≤⎩，下列叙述正确的是（ ）A ．存在实数k ，使关于x 的方程()f x kx =有7个不相等的实数根B ．当1211x x -<<<时，恒有12()()f x f x >C ．若当(0,]x a ∈时，()f x 的最小值为1，则5[1,]2a ∈ D ．若关于x 的方程3()2f x =和()f x m =的所有实数根之和为零，则32m =- 【答案】AC【分析】根据奇函数()()f x f x -=-，利用已知定义域的解析式，可得到对称区间上的函数解析式，然后结合函数的图象分析各选项的正误，即可确定答案 【详解】函数是奇函数，故()f x 在R 上的解析式为：222,22322,20()0,022,022,223x x x x x f x x x x x x x ⎧<-⎪+⎪----≤<⎪⎪==⎨⎪-+<≤⎪⎪>⎪-⎩绘制该函数的图象如所示：对A ：如下图所示直线1l 与该函数有7个交点，故A 正确；对B ：当1211x x -<<<时，函数不是减函数，故B 错误； 对C ：如下图直线2:1l y =，与函数图交于5(1,1),(,1)2，故当()f x 的最小值为1时有5[1,]2a ∈，故C 正确对D ：3()2f x =时，函数的零点有136x =、212x =+、212x =-； 若使得其与()f x m =的所有零点之和为0， 则32m =-或38m =-，如图直线4l 、5l ，故D 错误故选：AC【点睛】本题考查了分段函数的图象，根据奇函数确定对称区间上函数的解析式，进而根据函数的图象分析命题是否成立三、填空题13．某县教育局招聘了8名高中教师，其中3名语文教师，3名数学教师，2名英语教师，平均分配到,A B 两所学校任教，则3名数学老师不分配在同一所学校的概率为_________. 【答案】67【分析】先求出将8名教师平均分配到两所学校有4484C C 种方法，再求出3名数学老师分配在同一所学校有1252C A 种方法，即可求出3名数学老师不在同一所学校有60种方法，利用概率公式可得解.【详解】先将8名教师平均分配到,A B 两所学校任教，共有448470C C =种方法，若将3名数学老师分配在同一所学校，共有125210C A =种方法，故将3名数学老师不分配在同一所学校，共有701060-=种方法， 所以3名数学老师不分配在同一所学校的概率606707P == 故答案为：6714．法国数学家拉格朗日于1778年在其著作《解析函数论》中提出一个定理：如果函数()y f x =满足如下两个条件：（1）其图象在闭区间[],a b 上是连续不断的；（2）在区间(),a b 上都有导数.则在区间(),a b 上至少存在一个数ξ，使得()()()()f b f a f b a ξ'-=-，其中ξ称为拉格朗日中值.函数()ln g x x x =+在区间[]1,2上的拉格朗日中值ξ=________.【答案】1ln 2【分析】先求得导函数，结合拉格朗日中值的定义，可得()()()1ln 212g g g ξ='-=+，进而求得ξ的值即可. 【详解】()11g x x'=+，则()11g ξξ'=+由拉格朗日中值的定义可知，函数()ln g x x x =+在区间[]1,2上的拉格朗日中值ξ满足，()()()()2121g g g ξ'-=-所以()()()ln 2122n 112l g g g ξ==+-='+- 所以()11ln 21g ξξ'=+=+，即1ln 2ξ=，则n 21l ξ=故答案为：1ln 215．现有甲､乙､丙､丁四人参加数学竞赛，其中只有一位获奖.有人走访了四人，甲说：“乙､丁都未获奖”，乙说：“是甲或丙获奖”，丙说：“是甲获奖”，丁说：“是乙获奖”，四人所说话中只有一位是真话，则获奖的人是______(填甲､乙､丙､丁中之一). 【答案】乙【分析】结合题意进行假设讨论.【详解】解：假设甲说的是真话，那么乙和丁都未获奖，则是甲或丙获奖，所以乙说的也是真话，因为四人中只有一位说的是真话，所以甲说真话的假设不成立，故甲所说为假；因为甲所说是假，所以获奖者为乙或者丁，进而乙和丙说的都是假话，只有丁说真话，也就是获奖者为乙. 故本题正确答案为：乙.【点睛】本题主要考查合情推理与演绎推理，属于基础题型.四、双空题16．已知抛物线2:6C x y =的焦点F ，过点F 的直线l 与抛物线C 相交于,A B 两点，且3AF FB =，则直线l 的斜率是___________；AB =________.【答案】3±8 【分析】设直线l 的方程为32y kx =+，()()1122,,,A x y B x y ，联立2326y kx x y⎧=+⎪⎨⎪=⎩，由韦达定理可得21263y y k +=+，1294y y =，然后由3AF FB =可得()1231y y =+，然后可解出答案.【详解】因为抛物线2:6C x y =，所以其焦点30,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭显然直线l 的斜率存在且不等于0，设直线l 的方程为32y kx =+，()()1122,,,A x y B x y 联立2326y kx x y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩，消去x 可得()2296304y k y -++=，所以21263y y k +=+，1294y y =因为3AF FB =，所以1233322y y ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，即()1231y y =+ 由()12123194y y y y ⎧=+⎪⎨=⎪⎩可解得129212y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以212635y y k +=+=，解得k = 128ABy y p故答案为：；8五、解答题17．已知n 的展开式中，前三项的系数成等差数列.（1）求n ；（2）求展开式中所有项的系数和； （3）求展开式中系数最大的项.【答案】（1）8n =；（2）83()2；（3）527x 或747x .【分析】（1）根据二项式展开式的通项公式，结合等差数列的性质进行求解即可； （2）用赋值法进行求解即可；（3）根据最大项列出不等式组，解不等式组即可.【详解】（1）n +展开式的通项公式为：23411()2n rr n rrr r r nnT C C x --+=⋅⋅=⋅⋅，展开式的前三项的系数为：001122111(),(),()222n n n C C C ⋅⋅⋅，因为前三项的系数成等差数列，所以110022111(1)2()()()182228n n n n n C C C n n -⋅=⋅+⋅⇒=+⇒=或1n =（舍去）， 所以8n =；（2）由（1）知：8n =，令1x =，883()2=； （3）由（1）知：8n =，设第+1r 项系数最大，所以有：118811()()22r r r r C C --⋅≥⋅且1+18811()()22r r r r C C +⋅≥⋅，解得3r ≤且2r ≥，而r N ∈所以232r r ≤≤⇒=或3r =， 因此展开式中系数最大的项为：2832522422181()72T C x x ⨯-⨯+=⋅⋅=或2833733443181()72T C x x ⨯-⨯+=⋅⋅=，展开式中系数最大的项为：527x 或747x .18．此前，美国政府颁布了针对中国企业华为的禁令，禁止各国及各国企业向华为出售含有美国技术或软件设计的产品，否则出售者本身也会受到制裁.这一禁令在9月15日正式生效，迫于这一禁令的压力，很多家企业被迫停止向华为供货，对华为电子设备的发展产生不良影响.为适应发展的需要，某企业计划加大对芯片研发部的投入，据了解，该企业研发部原有100名技术人员，年人均投入a 万元，现把原有技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员x 名（x ∈N 且4575x ≤≤），调整后研发人员的年人均投入增加4x %，技术人员的年人均投入调整为225x a m ⎛⎫-⎪⎝⎭万元. （1）要使这100x -名研发人员的年总投入不低于调整前100名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数最多多少人?（2）是否存在这样的实数m ，使得技术人员在已知范围内调整后，同时满足以下两个条件：①技术人员的年均投入始终不减少；②研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入，存在，求出m 的范围；若不存在，说明理由. 【答案】（1）75人；（2）存在，m 的范围为{7}.【分析】（1）求出对应的100-x 名研发人员的年总投入，建立方程关系进行求解即可； （2）根据条件①②建立不等式利用参数分离法转化求最值问题即可．【详解】（1）由题意得：(100)(14%)100(0)x x a a a -+≥>，解得75x ≤，所以调整后的技术人员的人数最多75人.（2）由技术人员年人均投入不减少得（ⅰ）2 25a m x a ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，得2125x m ≥+， 由研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入得（ⅱ）2(100)(14%)25x x x a x m a ⎛⎫-+≥- ⎪⎝⎭，两边除以ax 得1002112525x x m x ⎛⎫⎛⎫-+≥-⎪⎪⎝⎭⎝⎭，整理得100325x m x ≤++，故有2100132525x xm x +≤≤++，10033725x x ++≥=，当且仅当50x =时取等号，7m ∴≤， 又因为4575x ≤≤，当75x =时，令2125xy =+取得最大值7，7m ∴≥，77m ∴≤≤， 即存在这样的m 满足条件，其范围为{7}m ∈.【点睛】本题考查了函数的应用问题，结合条件建立方程和不等式，利用参数分离法进行求解是解决本题的关键．考查学生的计算能力，属于中档题．19．随着智能手机的普及，手机计步软件迅速流行开来，这类软件能自动记载每个人每日健步的步数，从而为科学健身提供一定的帮助.某市工会为了解该市市民每日健步走的情况，从本市市民中随机抽取了2000名市民（其中不超过40岁的市民恰好有1000名），利用手机计步软件统计了他们某天健步的步数，并将样本数据分为[)3,5，[)5,7，[)7,9，[)9,11，[)11,13，[)13,15，[)15,17，[)17,19，[]19,21九组（单位：千步），将抽取的不超过40岁的市民的样本数据绘制成频率分布直方图如右，将40岁以上的市民的样本数据绘制成频数分布表如下，并利用该样本的频率分布估计总体的概率分布.（1）现规定，日健步步数不低于13000步的为“健步达人”，填写下面列联表，并根据列联表判断能否有99.9％的把握认为是否为“健步达人”与年龄有关；健步达人 非健步达人 总计 40岁以上的市民 不超过40岁的市民 总计（2）（ⅰ）利用样本平均数和中位数估计该市不超过40岁的市民日健步步数（单位：千步）的平均数和中位数；（ⅱ）由频率分布直方图可以认为，不超过40岁的市民日健步步数Z （单位：千步）近似地服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为样本平均数x （每组数据取区间的中点值），σ的值已求出约为3.64.现从该市不超过40岁的市民中随机抽取5人，记其中日健步步数Z 位于()4.88,15.8的人数为X ，求X 的数学期望.参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.参考数据：若(),Z N μσ~，则()0.6826P Z μσμσ-<<+=，()220.9544P Z μσμσ-<<+=.【答案】（1）填表见解析；有99.9％的把握认为是否为“健步达人”与年龄有关（2）（ⅰ）平均数为12.16，中位数为373（ⅱ）() 4.0925E X = 【分析】（1）完善列联表，计算22910.828K ≈>，得到答案.（2）（ⅰ）计算平均值为12.16，根据频率知样本中位数落在第5组，设样本中位数为t ，则()110.150.50.3t -⨯=-，得到答案；（ⅱ）()()2, 4.88,15.8μσμσ-+=得到()5,0.8185X B ~，计算得到答案.【详解】（1）列联表为()2220005206004804002910.828920108010001000K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以有99.9％的把握认为是否为“健步达人”与年龄有关. （2）（ⅰ）样本平均数为40.0460.0680.10100.10120.3140.2x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯160.1180.08200.02+⨯+⨯+⨯12.16=由前4组的频率之和为0.040.060.100.100.30+++=，前5组的频率之和为0.300.300.6+=，知样本中位数落在第5组，设样本中位数为t ，则()110.150.50.3t -⨯=-，∴373t =. 故可以估计：该市不超过40岁的市民日健步步数的平均数为12.16，中位数为373. （ⅱ）()()2, 4.88,15.8μσμσ-+=， 而()()()1122222P Z P Z P Z μσμσμσμσμσμσ-<<+=-<<++-<<+ 0.8185=，∴()5,0.8185X B ~，∴X 的数学期望为()50.8185 4.0925E X =⨯=.【点睛】本题考查了独立性检验，平均值和中位数，数学期望，意在考查学生的计算能力和应用能力.20．设函数()a x f x xe bx -=+，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为(1)4y e x =-+，（1）求a ，b 的值； （2）求()f x 的单调区间.【答案】（Ⅰ）2a =，b e =；（2）()f x 的单调递增区间为(,)-∞+∞. 【解析】试题分析：（Ⅰ）根据题意求出，根据(2)22,(2)1f e f e =+=-'求a,b的值即可； （Ⅱ）由题意判断的符号，即判断1()1x g x x e-=-+的单调性，知g(x)>0，即>0，由此求得f(x)的单调区间. 试题解析：（Ⅰ）因为()a xf x xebx -=+，所以()(1)a x f x x e b -=-+'.依题设，(2)22,{(2)1,f e f e =+=-'即222222,{1,a a eb e e b e --+=+-+=- 解得2,e a b ==.（Ⅱ）由（Ⅰ）知2()xf x xe ex -=+.由21()(1)xx f x ex e --=-+'及20x e ->知，与11x x e --+同号.令1()1x g x x e -=-+，则1()1x g x e-=-+'.所以，当时，，在区间上单调递减； 当时，，在区间上单调递增.故是在区间上的最小值，从而. 综上可知，，.故的单调递增区间为.【解析】导数的应用；运算求解能力【名师点睛】用导数判断函数的单调性时，首先应确定函数的定义域，然后在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间．在对函数划分单调区间时，除必须确定使导数等于0的点外，还要注意定义区间内的间断点．21．已知椭圆2212x y +=上两个不同的点,A B 关于直线1(0)2y mx m =+≠对称（1）求实数m 的取值范围；（2）求AOB 面积的最大值(O 为坐标原点). 【答案】（1）6m >6m <；（2）max 2S =【分析】（1）设直线AB 的方程为y kx n =+，联立椭圆的方程和直线AB 的方程消元，由0∆>得到2212k n +>，然后算出线段AB 中点的坐标，代入12y mx =+可得2122k n +=-，然后可求出答案；（2）求出||AB 和O 到AB 的距离，写出AOB 面积的关系式，根据n 的范围求出答案即可．【详解】（1）设直线AB 的方程为：y kx n =+，联立解方程组2212y kx n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩， 消去y 得222(12)4220k x knx n +++-=，2222164(12)(22)0k n k n ∆=-+->，2212k n ∴+>设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，所以122412kn x x k -+=+，212222·12n x x k-=+，所以线段AB 的中点22(12kn G k -+，2)12n k +，代入直线12y mx =+，注意其中1k m =-，得2122k n +=-，结合2212k n +>，得(2)0n n +<，即20n -<<，20124k <+<，得232k <，所以223>m ，故m >或m <，（2）12|AB x =-==， O 到AB 的距离d =，12S AB d ===20n -<<，所以当1n =-时max S =． 【点睛】结论点睛：若两点,A B 关于直线l 对称，则可得到直线AB 与直线l 垂直，且线段AB 的中点在直线l 上.22．若函数()f x 满足：对于任意正数s ，t ，都有()0f s >，()0f t >，且()()()f s f t f s t +<+，则称函数()f x 为“L 函数”．（1）试判断函数21()f x x =与22()log (1)f x x =+是否是“L 函数”；（2）若函数()()31231xxg x a -=-+-为“L 函数”，求实数a 的取值范围；（3）若函数()f x 为“L 函数”，且(1)1f =，求证：对任意()()1*2,2k kx k -∈∈N ，都有1()f x f x ⎛⎫->⎪⎝⎭22x x -．【答案】（1）21()f x x =是“L 函数”，22()log (1)f x x =+不是“L 函数”；（2）11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（3）证明见解析．【分析】（1）根据题中“L 函数”的定义，分别判断21()f x x =与22()log (1)f x x =+，即可得出结果；（2）先由题题意，得到()()312310ttg t a -=-+->，即()()31320tta -->对一切正数t 恒成立，求得12a ≤；再由“L 函数”的定义，得到()()()3131320s t s ta +--+>，推出3320t a ++>对一切正数s ，t 恒成立，求出12a ≥-，即可得出结果； （3）由“L 函数”的定义，令s t =，得到(2)2()f s f s >，推出对于正整数k 与正数s ，都有()22()k k f s f s >，得出对任意()()1*2,2k k x k -∈∈N ，可得()112,2k k x --∈，推出()2x f x >，12f x x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即可得出结论成立. 【详解】（1）对于函数21()f x x =，当0t >，0s >时，21()0f t t =>，21()0f s s =>，又222111()()()()20f t f s f t s t s t s ts +-+=+-+=-<，所以111()()()f s f t f s t +<+，故21()f x x =是“L 函数”．对于函数22()log (1)f x x =+，当1t s ==时，2222()()2log 3()f t f s f t s +=>=+，故22()log (1)f x x =+不是“L 函数”．（2）当0t >，0s >时，由()()31231x x g x a -=-+-是“L 函数”， 可知()()312310t t g t a -=-+->，即()()31320t t a -->对一切正数t 恒成立，又310t ->，可得23t a <对一切正数t 恒成立，所以12a ≤． 由()()()g t g s g t s +<+，可得 ()3331233310s t s t t t s t a +------++--+>，故()()()3131320s t s t a +--+>，又()()31310t s -->，故320x t a ++>，由3320t a ++>对一切正数s ，t 恒成立，可得210a +≥，即12a ≥-． 综上可知，a 的取值范围是11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． （3）由函数()f x 为“L 函数”， 可知对于任意正数s ，t ，都有()0f s >，()0f t >，且()()()f s f t f s t +<+，令s t =，可知(2)2()f s f s >，即(2)2()f s f s >， 故对于正整数k 与正数s ，都有()()()()()112222(2)2()()22k k k k k k f s f s f s f s f s f s f s f s ---=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅>， 对任意()()1*2,2k k x k -∈∈N ，可得()112,2k k x--∈， 又(1)1f =，所以()()()11112()2222(1)22k k k k k x f x f x f f f ---->-+>≥=>， 同理()()111111122222(1)2k k k k k f f f f f x x x -----⎛⎫⎛⎫<--<≤=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故12()2x f x f x x⎛⎫->- ⎪⎝⎭． 【点睛】本题主要考查函数的新定义问题，考查函数的综合应用，涉及指数函数、对数函数、以及二次函数的性质，属于较难题型.。

2020-2021学年江苏省南通市如皋中学高二上学期第二次阶段考试数学试题一、单选题1．抛物线24y x =的焦点坐标是（ ） A ．()1,0 B ．()0,1C ．1,016⎛⎫⎪⎝⎭D ．10,16⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D【分析】将抛物线化简成标准形式再分析即可.【详解】24y x =即214x y =,故抛物线焦点在y 轴上,11248p p =⇒=,焦点纵坐标为1216p =. 故焦点坐标为10,16⎛⎫⎪⎝⎭故选：D【点睛】本题主要考查了抛物线的焦点坐标,需要将抛物线化成标准形式再判断,属于基础题.2．命题:p 方程221xy m+=表示焦点在x 轴上的椭圆，命题:1q m ≥，则p 是q 成立的（ ）条件. A ．充分不必要 B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要 【答案】A【分析】由方程221x y m+=表示焦点在x 轴上的椭圆，得出>1m ，再由充分必要条件的定义可判断得选项.【详解】因为方程221x y m+=表示焦点在x 轴上的椭圆，所以>1m ，所以由命题:p 方程221x y m+=表示焦点在x 轴上的椭圆，能推出命题:1q m ≥；而由命题:1q m ≥，不能推出命题:p 方程221xy m+=表示焦点在x 轴上的椭圆，所以p 是q 成立的充分不必要条件. 故选：A.【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断： （1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等； （4）p 是q 的既不充分又不必要条件， q 对的集合与p 对应集合互不包含．3．已知()221717xx C C x N ++=∈，则x =（ ）A ．2B ．5C ．2或5D ．2或6【答案】C【分析】根据组合数的性质可得22x x =+或2217x x ++=，解方程即可. 【详解】由()221717xx C C x N ++=∈，可得22x x =+或2217x x ++=， 解得2x =或5. 故选：C4．在庆祝中华人民共和国成立70周年之际，某学校为了解《我和我的祖国》､《我爱你，中国》､《今天是你的生日》等经典爱国歌曲的普及程度，在学生中开展问卷调查.该校共有高中学生900人，其中高一年级学生330人，高二年级学生300人，高三年级学生270人.现采用分层抽样的方法从高中学生中抽取一个容量为90的样本，那么应抽取高一年级学生的人数为（ ） A ．30 B ．31C ．32D ．33【答案】D【分析】直接根据分层抽样的概念可得结果.【详解】由分层抽样方法可得：应抽取高一年级学生的人数为90330=33900⨯， 故选：D.5．2020154-被7除后余数是（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】C【分析】利用二项式定理将2020154-转化为12202022020202020202020111414...14C C C ++++求解.【详解】因为()202020201541144-=+-，1220202202020202020202020201414...144C C C C =++++-，12202022020202020202020111414...14C C C =++++，所以2020154-被7除后余数是4 故选：C6．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱11A B 的中点，则异面直线AE 与1BD 所成角的余弦值为（ ） A．15B．5C．3D【答案】A【分析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AE 与1BD 所成角的余弦值．【详解】解：在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱11A B 的中点，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系， 设正方体1111ABCD A B C D -中棱长为2，则(2A ，0，0)，(2E ，1，2)，(2B ，2，0)，1(0D ，0，2)， (0AE =，1，2)，1(2BD =-，2-，2)，设异面直线AE 与1BD 所成角为θ， 则11||15cos ||||512AE BD AE BD θ=== ∴异面直线AE 与1BD 所成角的余弦值为15．故选：A ．【点睛】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．7．重阳节，农历九月初九，谐音是“久”，有长久之意，人们常在此日感恩敬老，是我国民间的传统节日.某校在重阳节当日安排6位学生到两所敬老院开展志愿服务活动，要求每所敬老院至少安排2人，则不同的分配方案数是（ ） A ．50 B ．40 C ．35 D ．30【答案】A【分析】先把6人分成两组，再安排到两所敬老院，由此可得．【详解】先分组再安排：6人可按3,3分组或2,4分组，然后再安排到敬老院，方法为32266222()50C C A A +⨯=．故选：A【点睛】关键点点睛：本题考查分组分配问题，涉及到平均分组和不平均分组，平均分组时要除以组数的阶乘．n 个不同元素按12,,,k m m m 分成k 组，若12,,,k m m m 两两不等，则分组数为312112kkmm m m n n m n m m m C C C C ---，若12,,,k m m m 中仅有i 个数相等，则分组数为312112kkm m m m n n m n m m mi iC C C C A---．8．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的焦点为1F ，2F ，其渐近线上横坐标为12的点P 满足120PF PF ⋅=，则a =（ ）A ．14B ．12C ．2D ．4【答案】B【分析】由题意可设1(,)22b P a ±，则1211(,),(,)2222b b PF c PF c a a=--=-，再由120PF PF ⋅=，可得22240a c c -=，从而可求出a 的值【详解】解：双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的渐近线方程为b y x a =±，故设1(,)22bP a±， 设12(,0),(,0)F c F c -，则1211(,),(,)2222b bPF c PF c a a=--=-， 因为120PF PF ⋅=，所以2211()()0224b c c a-+-+=，即2222224a c a b c a -==-， 所以22240a c c -=，因为20c ≠，所以2410a -=， 因为0a >，所以12a =， 故选：B二、多选题9．对于,m n N +∈关于下列排列组合数，结论正确的是（ ）A ．m n mn n C C -=B ．11m m mn n n C C C -+=+ C ．m mn n m m A C A =D ．11(1)m mn n A m A ++=+【答案】ABC【分析】根据排列计算公式，组合计算公式，逐一验证选项即可． 【详解】根据组合数的性质与组合数的计算公式()!!!mn n C n m m =-，()()()!!!!!!n m n n n C n m m n n m n m -==-⎡⎤---⎣⎦，故A 正确； 因为()()11!1!!mn n C n m m ++=+-，()()()()()11!!!!!1!!1!1!m m n n n n n C C n m m n m m n m m -++=-+-⎡⎤---⎣⎦=+，所以11m m mn n n C C C -+=+，故B 正确；因为()()()!!!,!!!!!mm m n n m n n n A C A m n m n m m n m ==⨯=---，所以m m n n m m A C A =，故C 正确；因为()()()()()11+1!+1!!,(1)(1)!!!m m n nn n n A m A m n m n m n m ++=++⨯≠---=，故D 不正确， 故选：ABC ． 10．已知1021001210(32)(1)(1)(1)x a a x a x a x -=+-+-++-，则下列结论正确的是（ ） A ．01a = B ．10121021a a a +++=-C ．2405a =D ．201002410222a a a a +++++=【答案】ACD【分析】令1x =得选项A 正确；令2x =得选项B 错误；令0x =得100123102a a a a a =-+-++，又10121041a a a +++=-，得选项D 正确；先换元再利用二项式展开式的通项得选项C 正确.【详解】令1x =得100(32)1=a -=，所以选项A 正确； 令2x =得10012104a a a a =++++，所以10121041a a a +++=-，所以选项B 错误；令0x =得100123102a a a a a =-+-++，又10121041a a a +++=-，两式相加得10102010024********a a a a ++++++==，所以选项D 正确； 令1x t -=，所以1x t =+，所以1021001210(31)t a a t a t a t +=++++，其展开式的通项为10110(3),r rr T C t -+=令102,8r r -=∴=， 所以82210=3405a C =，故选项C 正确.故选：ACD【点睛】关键点睛：解答本题的关键是判断选项C 的真假，这种形式的一般先换元，再借助二项展开式的通项求解.11．某校高三年级共有800名学生参加了数学测验（满分150分），已知这800名学生的数学成绩均不低于90分，将这800名学生的数学成绩分组并得到频率分布直方图（如图所示），则下列说法中正确的是（ ）A ．0.045a =B ．这800名学生中数学成绩在110分以下的人数为160人C ．这800名学生数学成绩的众数可近似认为是125D ．这800名学生数学成绩的第75百分位数约为128.6 【答案】BCD【分析】根据频率直方图的性质依次判断选项即可得到答案。

江苏省南通市如皋中学2020-2021学年高二上学期第二次阶段考试数学试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.抛物线4y x =的焦点坐标是（ ） A.()1,0B.()0,1C.1,016⎛⎫⎪⎝⎭D.10,16⎛⎫⎪⎝⎭2.命题:p 方程221xy m+=表示焦点在x 轴上的椭圆，命题:1q m ≥，则p 是q 成立的（ ）条件. A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要3.已知()221717xx C C x N ++=∈，则x =（ ）A.2B.5C.2或5D.2或64.在庆祝中华人民共和国成立70周年之际，某学校为了解《我和我的祖国》､《我爱你，中国》､《今天是你的生日》等经典爱国歌曲的普及程度，在学生中开展问卷调查.该校共有高中学生900人，其中高一年级学生330人，高二年级学生300人，高三年级学生270人.现采用分层抽样的方法从高中学生中抽取一个容量为90的样本，那么应抽取高一年级学生的人数为（ ） A.30B.31C.32D.335.2020154-被7除后余数是（ ） A.2B.3C.4D.56.在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱11A B 的中点，则异面直线AE 与1BD 所成角的余弦值为（ ）C.7.重阳节，农历九月初九，谐音是“久”，有长久之意，人们常在此日感恩敬老，是我国民间的传统节日.某校在重阳节当日安排6位学生到两所敬老院开展志愿服务活动，要求每所敬老院至少安排2人，则不同的分配方案数是（ ） A.50B.40C.35D.308.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的焦点为1F ，2F ，其渐近线上横坐标为12的点P满足120PF PF ⋅=，则a =（ ）A.14B.12C.2D.4第II 卷（非选择题）二、填空题9.()211x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为______. 10.已知点1F 是椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点，过原点作直线l 交椭圆于,A B 两点，,M N 分别是1AF ，1BF 的中点，若存在以MN 为直径的圆过原点，则椭圆的离心率的范围是______. 三、解答题x 和判断力y 进行统计分析，得下表数据.（1）请根据表中提供的数据，求出关于的线性回归方程ˆˆybx a =+； （2）预测记忆力为19的同学的判断力.（附参考公式：1221ˆni ii ni i x y nx ybx nx==-=-∑∑，ˆa y bx=-） 12.甲、乙两位学生参加数学文化知识竞赛培训.在培训期间，他们参加的5次测试成绩记录如下：（2）现要从甲、乙两位同学中选派一人参加正式比赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪位同学参加合适？并说明理由.13.已知抛物线2:2(0)C y px p =>上的点(5,)M m 到焦点F 的距离为6. （1）求p ，m 的值；（2）过点(2,1)P 作直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，且点P 是线段AB 的中点，求直线l 的方程及弦AB 的长.14.已知（(31)nx -的展开式中第2项与第5项的二项式系数相等，求212nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中：（1）所有二项式系数之和； （2）二项式系数最大的项； （3）系数的绝对值最大的项.15.（本小题满分10分）如图，已知四棱锥P −ABCD 的底面是菱形，对角线AC,BD 交于点O ，OA=4，OB =3，OP =4，OP ⊥底面ABCD ，设点M 满足PM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λMC⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (λ>0)．（1）当λ=12时，求直线PA 与平面BDM 所成角的正弦值；（2）若二面角M−AB −C 的大小为π4，求λ的值．16.已知椭圆2222:1x y E a b+=过点31,2D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且右焦点为(1,0)F ，右顶点为A.过点F 的弦为BC .直线BA 、直线CA 分别交直线:,(2)l x m m =>于P 、Q 两点.（1）求椭圆E 的方程；（2）求证：直线AB 、AC 的斜率之积为定值； （3）若FP FQ ⊥，求m 的值.四、新添加的题型17.对于+关于下列排列组合数，结论正确的是（ ）A.m n m n n C C -=B.11m m m n n n C C C -+=+C.m mn n m m A C A =D.11(1)m m n n A m A ++=+18.已知1021001210(32)(1)(1)(1)x a a x a x a x -=+-+-++-，则下列结论正确的是（ ） A.01a = B.10121021a a a +++=-C.2405a =D.201002410222a a a a +++++=19.某校高三年级共有800名学生参加了数学测验（满分150分），已知这800名学生的数学成绩均不低于90分，将这800名学生的数学成绩分组并得到频率分布直方图（如图所示），则下列说法中正确的是（ ）A.0.045a =B.这800名学生中数学成绩在110分以下的人数为160人C.这800名学生数学成绩的众数可近似认为是125D.这800名学生数学成绩的第75百分位数约为128.620.已知点P 是双曲线2262511x y -=右支上一点，1F 是双曲线的左焦点O 为原点，若18OP OF +=，则下列结论正确的是（ ）A.双曲线的离心率为53B.双曲线的渐近线为45y x =± C.点P 到该双曲线左焦点的距离为18D.12PF F △的面积为3621.7个人排成一排拍照片，若要求甲、乙两人必须相邻，则有_______种不同的排法（用数字作答）；若要求甲、乙两人相邻，但与丙均不相邻，则有_________种不同的排法.（用数字作答）参考答案1.D【解析】1.将抛物线化简成标准形式再分析即可.24y x =即214x y =,故抛物线焦点在y 轴上,11248p p =⇒=,焦点纵坐标为1216p =.故焦点坐标为10,16⎛⎫⎪⎝⎭故选：D 2.A【解析】2.由方程221x y m+=表示焦点在x 轴上的椭圆，得出>1m ，再由充分必要条件的定义可判断得选项.因为方程221x y m+=表示焦点在x 轴上的椭圆，所以>1m ，所以由命题:p 方程221xy m +=表示焦点在x 轴上的椭圆，能推出命题:1q m ≥；而由命题:1q m ≥，不能推出命题:p 方程221xy m+=表示焦点在x 轴上的椭圆，所以p 是q 成立的充分不必要条件. 故选：A. 3.C【解析】3.根据组合数的性质可得22x x =+或2217x x ++=，解方程即可. 由()221717xx C C x N ++=∈，可得22x x =+或2217x x ++=， 解得2x =或5. 故选：C 4.D【解析】4.直接根据分层抽样的概念可得结果.由分层抽样方法可得：应抽取高一年级学生的人数为90330=33900⨯， 故选：D. 5.C【解析】5.利用二项式定理将2020154-转化为12202022020202020202020111414...14C C C ++++求解. 因为()202020201541144-=+-，1220202202020202020202020201414...144C C C C =++++-，12202022020202020202020111414...14C C C =++++，所以2020154-被7除后余数是4 故选：C 6.A【解析】6.以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AE 与1BD 所成角的余弦值．解：在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱11A B 的中点，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系， 设正方体1111ABCD A B C D -中棱长为2，则(2A ，0，0)，(2E ，1，2)，(2B ，2，0)，1(0D ，0，2)， (0AE =，1，2)，1(2BD =-，2-，2)，设异面直线AE 与1BD 所成角为θ， 则11||15cos ||||512AE BD AE BD θ=== ∴异面直线AE 与1BD ．故选：A ．7.A【解析】7.先把6人分成两组，再安排到两所敬老院，由此可得．先分组再安排：6人可按3,3分组或2,4分组，然后再安排到敬老院，方法为32266222()50C C A A +⨯=．故选：A 8.B【解析】8. 由题意可设1(,)22b P a ±，则1211(,),(,)2222b b PF c PF c a a=--=-，再由120PF PF ⋅=，可得22240a c c -=，从而可求出a 的值解：双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为b y x a =±，故设1(,)22b P a ±， 设12(,0),(,0)F c F c -，则1211(,),(,)2222b bPF c PF c a a=--=-， 因为120PF PF ⋅=，所以2211()()0224b c c a-+-+=，即2222224a c a b c a -==-， 所以22240a c c -=，因为20c ≠，所以2410a -=， 因为0a >，所以12a =，故选：B 9.5-【解析】9.先求得61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项公式，再分1乘以61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭和2x 乘以61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭两种情况求解. 61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项公式为6621661(1)r r r r r rr x T x x C C --+⎛⎫-=- ⎪⎝⎭=， 当1乘以61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭时，令620r -=，解得3r =，常数项为336(1)20C -=-；当2x 乘以61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭时，令622r -=-，解得4r =，常数项为4641(1)5C -=； 所以()6211x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为-5，故答案为：-510.2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭【解析】10.由题意分析可知11AF BF ⊥，设点()00,A x y ，利用110AF BF ⋅=得到关于00,x y 的方程，再联立2200221x y a b+=，用含,,a b c 的式子表示出20x ，只需满足2200x a <<，得出离心率的范围. 解：如图所示，当点,M N 分别是1AF 、1BF 的中点时，,OM ON 是1ABF ∆的两条中位线，若以MN 为直径的圆过原点，则有OM ON ⊥,11AF BF ⊥， 设点()00,A x y ，则点()00,B x y --,又点()1,0F c -， 所以，()100,AF c x y =---，()100,BF c x y =-+,则22211000AF BF c x y ⋅=--=，又2200221x y a b+=， 所以，2222020c x b c a +-=，得()222202a c b x c-=，即只需()222220a c b a c -<<，整理得：222c a >e <，又1e <，所以12e <<.故答案为：⎫⎪⎪⎝⎭11.（1）ˆ0.7 2.3yx =-；（2）记忆力为19的同学的判断力约为11.【解析】11.（1）根据题意及公式1221ˆni ii nii x y nx ybxnx==-=-∑∑算出ˆb，根据公式ˆa y bx =-算出a 即可得出答案；（2）将19x =代入（1）中的回归方程计算即可. 解：（1）由题意416283105126158i ii x y==⨯+⨯+⨯+⨯=∑，68101294x +++==，235644y +++==，4222221681012344i i x ==+++=∑，所以2158494140.73444920ˆb-⨯⨯===-⨯，ˆˆ40.79 2.3a y bx =-=-⨯=-， 故线性回归方程为ˆ0.7 2.3yx =- （2）当19x =时，解得ˆ11y= 所以由回归直线方程预测，记忆力为19的同学的判断力约为11.12.（1）1225；（2）派甲参赛比较合适；答案见解析.【解析】12.（1）甲被抽到的成绩为x ，乙被抽到成绩为y ，用数对(,)x y 表示基本事件，可列举出所有基本事件，也可得出符合x y >的基本事件，计数后可计算概率； （2）计算两者的均值和方差后比较可得．解（1）记甲被抽到的成绩为x ，乙被抽到成绩为y ，用数对(,)x y 表示基本事件：(82,95),(82,75),(82,80),(82,90),(82,85)， (82,95),(82,75),(82,80),(82,90),(82,85)， (79,95),(79,75),(79,80),(79,90),(79,85)， (95,95),(95,75),(95,80),(95,90),(95,85)， (87,95),(87,75),(87,80),(87,90),(87,85)，样本空间中样本点共25个，且每个样本点发生的可能性相同. 设“甲的成绩比乙高”为事件A ，事件A 包含的样本点：(82,75),(82,80),(82,75),(82,80),(79,75),(95,75)， (95,80),(95,90),(95,85),(87,75),(87,80),(87,85)，事件A 包含的基本事件数12m =.所以，12()25m P A n ==. （2）派甲参赛比较合适，理由如下：x甲1(70180390192275)855=⨯+⨯+⨯+++++= x乙1(70180290250505)855=⨯+⨯+⨯+++++= 2s甲222221(7985)(8285)(8285)(8785)(9585)31.65⎡⎤=-+-+-+-+-=⎣⎦ 2s 乙222221(7585)(8085)(8085)(9085)(9585)505⎡⎤=-+-+-+-+-=⎣⎦ 因为x 甲＝x 乙，2s 甲<2s 乙，所以，甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适.13.（1）2p =，m =±2）230x y --=；AB =【解析】13.（1）利用焦半径公式求出p ，再将点(5,)M m 代入抛物线方程即可求解.（2）法一：分析直线的斜率存在，设直线:1(2)l y k x -=-，将直线与抛物线方程联立，根据韦达定理以及中点坐标公式求出k ，再根据弦长公式即可求解.；法二：利用点差法求出直线的斜率k ，再利用弦长公式即可求解. （1）由抛物线焦半径公式知：||562pMF =+=，解得：2p =， ∴2:4C y x =，∴25420m =⨯=，解得：m =±（2）法一：当直线l 的斜率不存在时显然点P 不是AB 的中点，所以直线l 的斜率存在，设直线:1(2)l y k x -=-，且0k ≠，设()11,A x y ，()22,B x y由2124y kx k y x=+-⎧⎨=⎩得：()2222244(12)0k x k k x k +--+-=，且0k ≠ 22121222424(12),k k k x x x x k k-+-+== 因为(2,1)P 为AB 的中点，所以21224244k k x x k-++==，所以2k = 此时直线l 的方程为：12(2)y x -=-），即230x y --=. 所以AB ===法二：设()11,A x y ，()22,B x y ，则21122244y x y x ⎧=⎨=⎩，两式作差得：()()()1212124y y y y x x +-=-， ∴1212124l y y k x x y y -==-+，∵(2,1)P 为AB 的中点，∴122y y +=，∴2l k =， ∴直线l 的方程为：12(2)y x -=-，即230x y --=.将直线与抛物线联立22304x y y x--=⎧⎨=⎩，整理可得241690x x -+=，所以124x x +=，1294x x =， 所以AB ===14.（1）1024；（2）8064-；（3）第4项31415360T x +-=.【解析】14.（1）由题知14nnC C =，进而得5n =，故212nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭二项式系数和为1021024=； （2）由于210n =为偶数，故展开式中第6项的二项式系数最大，进而根据公式计算即可得答案；（3）由于展开式的通项公式为10102110(1)2r r rr r T C x --+=-⋅⋅⋅，故101101101010110110102222r r r r r r r r C C C C ---+-+--⎧⋅≥⋅⎨⋅≥⋅⎩，解不等式组得81133r ≤≤，即3r =，进而得系数的绝对值最大的是第4项.解：（1）由题意14n n C C =，解得5n =. 二项式系数和为1021024=（2）由于210n =为偶数，所以1012x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中第6项的二项式系数最大， 即555651101(2)8064T T C x x +⎛⎫==⋅⋅-=- ⎪⎝⎭.（3）设第1r +项的系数的绝对值最大，则1010102110101(2)(1)2rr r r rr r r T C x C x x ---+⎛⎫=⋅⋅-=-⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭∴101101101010110110102222r r r r r r r r C C C C ---+-+--⎧⋅≥⋅⎨⋅≥⋅⎩，得110101101022r r r r C C C C -+⎧≥⎨≥⎩，即1122(1)10r r r r -≥⎧⎨+≥-⎩ ∴81133r ≤≤，∴3r =， 故系数的绝对值最大的是第4项，即：10333311044(1)215360x T C x -+=-=-⋅⋅⋅ 15.（1）√1010；（2）13．【解析】15.试题（1）以O 为坐标原点，建立坐标系O−ABP ，求出相关点的坐标，平面BDM 的法向量，利用空间数量积求解直线PA 与平面BDM 所成角的正弦值；（2）求出平面ABC 的一个法向量，设M(a,0,b)，代入PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λMC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求得MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(4λ1+λ,3,−41+λ)，求出平面ABM 的法向量，通过向量的数量积得到方程即可求出λ的值．试题解析：（1）以O 为坐标原点，建立坐标系O −ABP ，则A(4,0,0)，B(0,3,0)，C(−4,0,0)，D(0,−3,0)，P(0,0,4)，所以，DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,6,0)，．当λ=12时，得M(−43,0,83)，所以MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(43,3,−83)，设平面BDM 的法向量n ⃗⃗ =(x,y,z)，则{6y =043x +3y −83z =0 ，得y =0， 令x=2，则z =1，所以平面BDM 的一个法向量n⃗⃗ =(2,0,1)， 所以cos〈PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ 〉=4√2⋅√5=√1010，即直线PA 与平面BDM 所成角的正弦值√1010．（2）易知平面ABC 的一个法向量n 1⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,1)． 设M(a,0,b)，代入PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λMC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，得(a,0,b −4)=λ(−4−a,0,−b)，解得{a =−4λ1+λb =41+λ，即M(−4λ1+λ,0,41+λ)，所以MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(4λ1+λ,3,−41+λ)， 设平面ABM 的法向量n 2⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y,z)，则{−4x +3y =04λ1+λx +3y −41+λz =0 ， 消去y ，得(2λ+1)x=z ，令x =1，则z =2λ+1，y =43，所以平面ABM 的一个法向量n 2⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,43,2λ+1)， 所以√22=√1+169+(2λ+1)，解得λ=13或−43，因为λ>0，所以λ=13． 16.（1）22143x y +=；（2）证明见解析；（3）4m =.【解析】16.（1）将点代入椭圆方程以及221a b -=即可求解.（2）设()00,B x y ，写出直线BC ，将直线与椭圆联立求出点C ，再计算AB AC k k ⋅即可求解.（3）由（2）可得94AP AQ k k =-，设()1,Q m y ，求出21FQ AQ m k k m -=-与21FP AP m k k m -=-，计算292141FP FQm k k m -⎛⎫=-=- ⎪-⎝⎭，即可求出m 的值.解：（1）由题意2222191,14a b a b +=-=，解得：224,3a b ==，所以22143x y +=（2）设()00,B x y ，则00:(1)1y BC y x x =--， 与椭圆22:143x y E +=联立方程组：0022(1),11.43y y x x x y ⎧=-⎪-⎪⎨⎪+=⎪⎩ 解得0x x =，0y y =或008552x x x -=-，00352y y x -=-，所以0000853,5252x y C x x ⎛⎫-- ⎪--⎝⎭.2002000002200000039145233985222444252AB ACx y y x y y y k k x x x x x x x ⎛⎫-- ⎪-⎝⎭=⋅=⋅===---⋅-+----. （3）显然,AB AP AC AQ k k k k ==，所以94AP AQ k k =-. 设()1,Q m y ，11221211FQ AQ y y m m k k m m m m --==⋅=----，同理21FP AP m k k m -=-. 所以222921141FP FQAP AQ m m k k k k m m --⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，又2m >，所以2213m m -=-，所以4m =. 17.ABC【解析】17.根据排列计算公式，组合计算公式，逐一验证选项即可．根据组合数的性质与组合数的计算公式()!!!mn n C n m m =-，()()()!!!!!!n m n n n C n m m n n m n m -==-⎡⎤---⎣⎦，故A 正确； 因为()()11!1!!mn n C n m m ++=+-，()()()()()11!!!!!1!!1!1!m mnnn n n CC n m m n m m n m m -++=-+-⎡⎤---⎣⎦=+，所以11m m mn n n C C C -+=+，故B 正确；因为()()()!!!,!!!!!mm m n n m n n n A C A m n m n m m n m ==⨯=---，所以m m n n m m A C A =，故C 正确； 因为()()()()()11+1!+1!!,(1)(1)!!!m m n nn n n A m A m n m n m n m ++=++⨯≠---=，故D 不正确， 故选：ABC ． 18.ACD【解析】18.令1x =得选项A 正确；令2x =得选项B 错误；令0x =得100123102a a a a a =-+-++，又10121041a a a +++=-，得选项D 正确；先换元再利用二项式展开式的通项得选项C正确.令1x =得100(32)1=a -=，所以选项A 正确； 令2x =得10012104a a a a =++++，所以10121041a a a +++=-，所以选项B 错误；令0x =得100123102a a a a a =-+-++，又10121041a a a +++=-，两式相加得10102010024********a a a a ++++++==，所以选项D 正确； 令1x t -=，所以1x t =+，所以1021001210(31)t a a t a t a t +=++++，其展开式的通项为10110(3),r rr T C t -+=令102,8r r -=∴=， 所以82210=3405a C =，故选项C 正确.故选：ACD 19.BCD【解析】19.根据频率直方图的性质依次判断选项即可得到答案。

2020-2021学年高二数学10月月考试题文注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、设命题，则为（）A．B．C． D．2、抛物线的焦点到双曲线渐近线的距离为（）A．B．C．D．3、设，若，则的值为（）A、 B、 C、 D、4、设椭圆的右焦点与抛物线的焦点相同，且离心率为，则此椭圆的方程为（）A．B． C．D．5、直线与抛物线相切，则实数（）A．4 B．3 C．2 D．16、双曲线的虚轴长是实轴长的3倍，则（）A．9 B．C． D．7、已知，，则是的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件8、曲线在点的切线方程为（）A、 B、C、 D、9、过抛物线的焦点作一条倾斜角为直线交抛物线于两点，则（）A．B．C．15 D．1210、已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（）A、 B、 C、或 D、11、设经过点的等轴双曲线的焦点为，此双曲线上一点满足，则的面积为（）A．4 B．8 C．12 D．1612、设椭圆的左右焦点分别为，是上的点，，，则的离心率为（）A、 B、 C、 D、二.填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）13、已知，则．14、若命题“”为假命题，则实数的最小值为_______．15、已知函数在点处的切线方程为，则点的坐标为．16、椭圆的左焦点为，点在椭圆上，若线段的中点在轴上，则．三.解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17、（10分）设命题是减函数；命题：关于的不等式的解集为，如果“”为真命题，“”为假命题，求实数的取值范围．18、（12分）设命题：实数满足，命题：实数满足．（1）若，为真命题，求的取值范围；（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．19、（12分）（12分）已知函数的图像经过点，且在处的切线方程为。