复变函数期末考试试卷及答案详解

复变函数期末考试试卷及答案详解

《复变函数》考试试题(一) 三.计算题(40分):

dz1,1、 __________.(为自然数)

nn,f(z),|z,z|,10(zz),0D,{z:0,|z|,1}(z,1)(z,2)f(z)，求在1. 设22sinz，cosz,2. _________. 内的罗朗展式.

1sinz3.函数的周期为___________. dz.,|z|,1cosz2. 12f(z),,，,，3712,f(z)fzd,()z，1C,{z:|z|,3}f'(1，i).,C4.设，则的孤立奇点有__________. ,z,3. 设，其中，试求

,z,1nw,nz5.幂级数的收敛半径为__________. ,z，14. 求复数的实部与虚部.

n0,

6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________. 四. 证明题.(20分)

zzz，，...，1. 函数在区域D内解析. 证明:如果在D内为常数，f(z)|f(z)|12n,limlimz,,n,,nnn,,7.若，则______________.

D那么它在内为常数. zesRe(,0),n0Re1,,z2. 试证: 在割去线段的平面内能分出两zfzzz()(1),,z8.________，其中n为自然数.

z,,10Re1,,z个单值解析分支, 并求出支割线上岸取正值的那支在sinz的值.

9. 的孤立奇点为________ .

《复变函数》考试试题(二) z

二. 填空题. (20分)

limf(z),___zf(z)z,z0010.若是的极点，则.

1

3sin(2z)1. 设，则 z,,i|z|,__,argz,__,z,__的幂级数展开式. 1. 求函数 2222.设，则f(z),(x，2xy)，i(1,sin(x，y),,z,x，iy,C2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数在正z

实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点________. limf(z),z,1，i

处的值. z,i

dz

,3. _________.(为自然数) inn,|z,z|,10(zz),0I,|z|dz3. 计算积分:，积分路径为(1)单位圆()|z|,1,,i,nnz4. 幂级数的收敛半径为__________ . 的右半圆. ,n0,

sinzdz,z,25. 若z是f(z)的m阶零点且m>0，则z是的_____零点. ,f'(z)002(,)z24. 求 .z6. 函数e的周期为__________.

四. 证明题. (20分) 537. 方程在单位圆内的零点个数为________. 2z,z，3z，8,0

f(z)1. 设函数f(z)在区域D内解析，试证:f(z)在D内为常数的充要条件是1f(z),8. 设，则的孤立奇点有_________. f(z)2在D内解析. 1，z

2. 试用儒歇定理证明代数基本定理. 9. 函数的不解析点之集为________.

f(z),|z|《复变函数》考试试题(三)

二. 填空题. (20分) z,1110. . Res(,1),____f(z),1. 设，则f(z)的定义域为___________. 42z，1zz三. 计算题. (40分) 2. 函数e的周期为_________.

2

n，21n，,z,，i(1，)3. 若，则__________. limz,nnn!n,,1,nnn的收敛半径.

2. 试求幂级数z,n22n4. ___________. sinz，cosz,n,

dzzedz,5. _________.(为自然数) nn,|z,z|,13. 算下列积分:，其中是.

C|z|,10(zz),22,0Cz(z,9) ,nnx6. 幂级数的收敛半径为__________. ,962n,0z,2z，z,8z,2,04. 求在|z|<1内根的个数.

四. 证明题. (20分) 1

f(z),7. 设，则f(z)的孤立奇点有__________. 21. 函数在区域D内解析. 证明:如果在D内为常f(z)|f(z)|z，1

z数，那么它在D内为常数. 8. 设，则. z,___e,,1

2. 设是一整函数，并且假定存在着一个正整数n，以及两个正数f(z)z9. 若是的极点，则. f(z)limf(z),___0z,z0

R及M，使得当时 |z|,Rze

n10. Res(,0),____. n|f(z)|,M|z|， z

三. 计算题. (40分) 证明是一个至多n次的多项式或一常数。 f(z)12z1. 将函数在圆环域内展为Laurent级数. 0,,,zfzze(),

《复变函数》考试试题(四)

3

二. 填空题. (20分)

z1ef(z),，求 2. 设Res(f(z),,).1. 设，则. z,Rez,__,Imz,___2z,11,i

zzz，，...，12nz,lim2. 若，则______________. limz,,n,,nn,,dz.n3. .

2,|z|,2z,，(9z)(zi)3. 函数e的周期为__________.

111f(z),4. 函数的幂级数展开式为__________ 2,1，zzze,14. 函数有哪些奇点,各属何类型(若是极点，指明它fz(),5. 若函数f(z)在复平面上处处解析，则称它是___________.

6. 若函数f(z)在区域D内除去有限个极点之外处处解析，则称它是D内的阶数). 的_____________. 四. 证明题. (20分) f(z)1. 证明:若函数在上半平面解析，则函数在下半平面解f(z)7. 设，则.

C:|z|,1(z,1)dz,___,C析.

4sinz2. 证明方程在内仅有3个根. 1,|z|,2z,6z，3,08. 的孤立奇点为________.

z

z9. 若是的极点，则. f(z)limf(z),___ 0z,z0

《复变函数》考试试题(五) ze Res(,0),10. _____________. nz二. 填空题.(20分) 三. 计算题. (40分)

z,1,3i1. 设，则. |z|,__,argz,__,z,__3z，1,01. 解方程 .

4

z2. 当时，为实数. z,___ez,1

的实部与虚部. 1. 求复数z3. 设，则. z,___e,,1z，1

2. 计算积分: z4. 的周期为___. e

， I,Rezdz,L5. 设，则. C:|z|,1(z,1)dz,___,C1，i在这里L表示连接原点到的直线段.

z2,,de,1I,3. 求积分:，其中0

7. 若函数f(z)在区域D内除去有限个极点之外处处解析，则称它是D内4.

应用儒歇定理求方程，在|z|<1内根的个数，在这里z,,(z)的_____________。

1f(z),8. 函数的幂级数展开式为_________. 在上解析，并且. ,(z)|z|,1|,(z)|,121，z

四. 证明题. (20分) sinz

9. 的孤立奇点为________. 2f(z),|z|1. 证明函数除去在z,0外，处处不可微. z

2. 设是一整函数，并且假定存在着一个正整数n，以及两个数Rf(z)1 dz,___10. 设C是以为a心，r为半径的圆周，则.n,C(z,a)及M，使得当时

|z|,R(为自然数) nn|f(z)|,M|z|， 三. 计算题. (40分)

5

ix证明:是一个至多n次的多项式或一常数. f(z)称为_____________________.

10. 公式exix,，cossin

二、计算题(30分)

n2,i,,《复变函数》考试试题(六) 1、. lim,,,,n6,,1.

一、填空题(20分) 2371,,，，n，21,Czz,,:32、设，其中，试求.

fzdfi(1)，(),,n,,,zi,，，(1)limz,C1. 若，则___________. nnz,,1,nn

1zfz(),2. 设，则的定义域为fz()e23、设，求. ()Re((),)sfzifz,z，121z，____________________________.

sinz3. 函数的周期为_______________________. 3sinz4、求函数在内的罗朗展式. 0,,,z2264. _______________________. sincoszz，,z

z,1，,w,5、求复数的实部与虚部. nnz5. 幂级数的收敛半径为________________. z，1,n0,,,i3e6、求的值. ,m,1zz6. 若是的阶零点且，则是的____________零fz()mfz()00三、证明题(20分) 点. 7631、 方程在单位圆内的根的个数为6. zzz，，,,96107. 若函数在整个复平面处处解析，则称它是______________. fz()

D2、 若函数在区域内解析，等于常数，fzuxyivxy()(,)(,),，vxy(,)

8. 函数的不解析点之集为__________. fzz(),

D则在恒等于常数. fz()

539. 方程在单位圆内的零点个数为___________. 2380zzz,，，,

6 试卷一至十四参考答案 13、 若z是的阶零点，则z是的阶极点. fz()mm

00fz()《复变函数》考试试题(一)参考答案

二(填空题

21,in,,2k, ; 2. 1; 3. ，; 4. zi,,; 5. 1. ()kz, ,01n,,,(计算下列积分((,分)

1 2z,2sinzdz(1) ; (2) ( dz2,,1z,4z,2,zz(3),26. 整函数; 7. ; 8. ; 9. 0; ,()z,(1)!n,2

2,d,10. . ,,(计算积分((,分) ,0三(计算题. 53cos，,

,(求下列幂级数的收敛半径((,分) 1. 解 因为 所以 01,,,z01,,z

2,,(!)nnnnz(1)，iz(1) ; (2) ( ,,n,,1z111nnnn,11n,,,z() .

fz(),,,,,z22(1)(2)1zzz,,,00nn,,2(1),3232lfzmynxyixlxy()(),，，，,(设为复平面上的解析函数，试确定，2，的值((,分) 2. 解 因为 mn

三、证明题( ,z，12DDfz(),(设函数在区域内解析，在区域内也解析，证明必fz()fz()Re()limlim1sfz,,,,, ,,,cossinzz,zz,,z,222为常数((,分)

bazazb，，,0,(试证明的轨迹是一直线，其中为复常数，为实常a

数((,分)

7

2222,. 令fzuivfzuvc(),(),，,，,则z,12.

Re()limlim1sfz,,,,,,uuvv，,0(1)cossinzz,,zz,,,,z,,xx222xy, 两边分别对求偏导数, 得 ,uuvv，,0(2)yy,1所以.