最新高中数学第二章平面向量章末复习课导学案新人教A版必修4
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最新人教版数学精品教学资料第二章 平面向量学习目标 1.回顾梳理向量的有关概念，进一步体会向量的有关概念的特征.2.系统整理向量线性运算、数量积运算及相应的运算律和运算性质.3.体会应用向量解决问题的基本思想和基本方法.4.进一步理解向量的“工具”性作用.1.向量的运算：设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2).2.两个定理(1)平面向量基本定理①定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.②基底：把不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. (2)向量共线定理向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b ＝λa . 3.向量的平行与垂直a ，b 为非零向量，设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，类型一 向量的线性运算例1 如图所示，在△ABC 中，AN →＝13NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋211AC →，则实数m 的值为________.答案311解析 设BP →＝λBN →，则BP →＝BA →＋AP →＝－AB →＋mAB →＋211AC →＝(m －1)AB →＋211AC →.BN →＝BA →＋AN →＝－AB →＋14AC →.∵BP →与BN →共线，∴14(m －1)＋211＝0，∴m ＝311.反思与感悟 向量共线定理和平面向量基本定理是进行向量合成与分解的核心，是向量线性运算的关键所在，常应用它们解决平面几何中的共线、共点问题.跟踪训练1 在△ABC 中，E 为线段AC 的中点，试问在线段AC 上是否存在一点D ，使得BD →＝13BC →＋23BE →，若存在，说明D 点位置；若不存在，说明理由.解 假设存在D 点，使得BD →＝13BC →＋23BE →.BD →＝13BC →＋23BE →⇒BD →＝13BC →＋23(BC →＋CE →)＝BC →＋23CE →⇒BD →－BC →＝23CE →⇒CD →＝23CE →⇒CD →＝23×⎝ ⎛⎭⎪⎫12CA →⇒CD →＝13CA →.所以当点D 为AC 的三等分点⎝⎛⎭⎪⎫CD →＝13CA →时，BD →＝13BC →＋23BE →.类型二 向量的数量积运算例2 已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，且|k a ＋b |＝3|a －k b |(k >0). (1)用k 表示数量积a ·b ；(2)求a ·b 的最小值，并求出此时a 与b 的夹角θ的大小. 解 (1)由|k a ＋b |＝3|a －k b |， 得(k a ＋b )2＝3(a －k b )2，∴k 2a 2＋2k a ·b ＋b 2＝3a 2－6k a ·b ＋3k 2b 2. ∴(k 2－3)a 2＋8k a ·b ＋(1－3k 2)b 2＝0.∵|a |＝cos 2α＋sin 2α＝1，|b |＝cos 2β＋sin 2β＝1， ∴k 2－3＋8k a ·b ＋1－3k 2＝0， ∴a ·b ＝2k 2＋28k ＝k 2＋14k.(2)a ·b ＝k 2＋14k ＝14(k ＋1k).由函数的单调性可知，f (k )＝14(k ＋1k )在(0，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，∴当k ＝1时，f (k )min ＝f (1)＝14×(1＋1)＝12，此时a 与b 的夹角θ的余弦值cos θ＝a ·b |a ||b |＝12，∴θ＝60°.反思与感悟 数量积运算是向量运算的核心，利用向量数量积可以解决以下问题： (1)设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0， a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.(2)求向量的夹角和模的问题 ①设a ＝(x 1，y 1)，则|a |＝x 21＋y 21. ②两向量夹角的余弦(0≤θ≤π)cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22. 跟踪训练2 已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(5－m ，－(3＋m )). (1)若点A ，B ，C 能构成三角形，求实数m 应满足的条件； (2)若△ABC 为直角三角形，且∠A 为直角，求实数m 的值. 解 (1)若点A ，B ，C 能构成三角形，则这三点不共线， ∵OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)， OC →＝(5－m ，－(3＋m ))，∴AB →＝(3，1)，BC →＝(－m －1，－m )， ∵AB →与BC →不平行，∴－3m ≠－m －1，解得m ≠12，∴当实数m ≠12时满足条件.(2)若△ABC 为直角三角形，且∠A 为直角，则AB →⊥AC →，而AB →＝(3，1)，AC →＝(2－m ，1－m )， ∴3(2－m )＋(1－m )＝0，解得m ＝74.类型三 向量坐标法在平面几何中的应用例3 已知在等腰△ABC 中，BB ′，CC ′是两腰上的中线，且BB ′⊥CC ′，求顶角A 的余弦值的大小.解 建立如图所示的平面直角坐标系，设A (0，a )，C (c ，0)，则B (－c ，0)，OA →＝(0，a )，BA →＝(c ，a )，OC →＝(c ，0)，BC →＝(2c ，0).因为BB ′，CC ′为AC ，AB 边上的中线， 所以BB ′—→＝12(BC →＋BA →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 2，a 2，同理CC ′—→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－3c 2，a 2.因为BB ′—→⊥CC ′—→，所以BB ′—→·CC ′—→＝0， 即－9c 24＋a 24＝0，化简得a 2＝9c 2，又因为cos A ＝AB →·AC→|AB →||AC →|＝a 2－c 2a 2＋c 2＝9c 2－c 29c 2＋c 2＝45.即顶角A 的余弦值为45.反思与感悟 把几何图形放到适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而解决问题.这样的解题方法具有普遍性.跟踪训练 3 如图，半径为3的扇形AOB 的圆心角为120°，点C 在AB 上，且∠COB ＝30°，若OC →＝λOA →＋μOB →，则λ＋μ等于( )A. 3B.33C.433D.2 3 答案 A解析 由题意，得∠AOC ＝90°，故以O 为坐标原点，OC ，OA 所在直线分别为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，则O (0，0)，A (0，3)，C (3，0)，B (3×cos 30°，－3×sin 30°)， 因为OC →＝λOA →＋μOB →，所以(3，0)＝λ(0，3)＋μ(3×32，－3×12)， 即⎩⎪⎨⎪⎧3＝μ×3×32，0＝3λ－3×12μ，则⎩⎪⎨⎪⎧μ＝233，λ＝33，所以λ＋μ＝ 3.1.在菱形ABCD 中，若AC ＝2，则CA →·AB →等于( ) A.2 B.－2C.|AB →|cos A D.与菱形的边长有关答案 B解析 如图，设对角线AC 与BD 交于点O ，∴AB →＝AO →＋OB →.CA →·AB →＝CA →·(AO →＋OB →) ＝－2＋0＝－2.2.设四边形ABCD 为平行四边形，|AB →|＝6，|AD →|＝4.若点M ，N 满足BM →＝3MC →，DN →＝2NC →，则AM →·NM →等于( ) A.20 B.15 C.9 D.6答案 C解析 ▱ABCD 的图象如图所示，由题设知，AM →＝AB →＋BM →＝AB →＋34AD →，NM →＝13AB →－14AD →，∴AM →·NM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋34AD →·⎝ ⎛⎭⎪⎫13AB →－14AD →＝13|AB →|2－316|AD →|2＋14AB →·AD →－14AB →·AD →＝13×36－316×16＝9. 3.已知向量a ＝(2，3)，b ＝(－1，2)，若m a ＋4b 与a －2b 共线，则m 的值为( ) A.12 B.2 C.－12 D.－2 答案 D解析 m a ＋4b ＝(2m －4，3m ＋8)，a －2b ＝(4，－1). ∵m a ＋4b 与a －2b 共线，∴(2m －4)×(－1)－(3m ＋8)×4＝0，解得m ＝－2.4.若向量OA →＝(1，－3)，|OA →|＝|OB →|，OA →·OB →＝0，则|AB →|＝________. 答案 2 5解析 由题意可知，△AOB 是以O 为直角顶点的等腰直角三角形，且腰长|OA →|＝|OB →|＝10，由勾股定理得|AB →|＝20＝2 5.5.平面向量a ＝(3，－1)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，若存在不同时为0的实数k 和t ，使x ＝a ＋(t 2－3)b ，y ＝－k a ＋t b ，且x⊥y ，试求函数关系式k ＝f (t ). 解 由a ＝(3，－1)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，得a·b ＝0，|a |＝2，|b |＝1，由x ⊥y ，得[a ＋(t 2－3)b ]·(－k a ＋t b )＝0， －k a 2＋t a·b －k (t 2－3)a·b ＋t (t 2－3)b 2＝0， 即－4k ＋t 3－3t ＝0，所以k ＝14(t 3－3t )，令f (t )＝14(t 3－3t )，所以函数关系式为k ＝f (t )＝14(t 3－3t ).1.由于向量有几何法和坐标法两种表示方法，它的运算也因为这两种不同的表示方法而有两种方式，因此向量问题的解决，理论上讲总共有两个途径，即基于几何表示的几何法和基于坐标表示的代数法，在具体做题时要善于从不同的角度考虑问题.2.向量是一个有“形”的几何量，因此，在研究向量的有关问题时，一定要结合图形进行分析判断求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧.课时作业一、选择题1.下列命题中正确的是( ) A.OA →－OB →＝AB → B.AB →＋BA →＝0 C.0·AB →＝0 D.AB →＋BC →＋CD →＝AD → 答案 D解析 OA →－OB →＝BA →；AB →，BA 是一对相反向量，它们的和应该为零向量，即AB →＋BA →＝0；0·AB →＝0.2.在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，AB →＝(1，－2)，AD →＝(2，1)，则AD →·AC →等于( ) A.5 B.4 C.3 D.2 答案 A解析 ∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AC →＝AB →＋AD →＝(1，－2)＋(2，1)＝(3，－1)，∴AD →·AC →＝2×3＋(－1)×1＝5.3.设向量a ＝(2，4)与向量b ＝(x ，6)共线，则实数x 等于( ) A.2 B.3 C.4 D.6 答案 B解析 ∵a ∥b ，∴2×6－4x ＝0，∴x ＝3.4.若平面向量b 与向量a ＝(1，－2)的夹角是180°，且|b |＝35，则b 等于( ) A.(－3，6) B.(3，－6) C.(6，－3) D.(－6，3)答案 A解析 设b ＝k a ＝(k ，－2k )，k ＜0，而|b |＝35，则5k 2＝35，∴k ＝－3，b ＝(－3，6).5.已知向量m ＝(λ＋1，1)，n ＝(λ＋2，2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ等于( ) A.－4 B.－3 C.－2 D.－1答案 B6.在△ABC 中，若AB →2－AB →·AC →＝BA →·BC →－CA →·BC →，则△ABC 是( ) A.等边三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形答案 C解析 由已知，得AB →·(AB →－AC →)－BC →·(BA →－CA →)＝0， ∴AB →·CB →－BC →·BC →＝0，∴BC →·(－AB →－BC →)＝0，即－BC →·AC →＝0，BC →⊥AC →， ∴BC ⊥AC ，∴△ABC 为直角三角形.故选C.7.若a ，b 是非零向量且满足(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，则a 与b 的夹角θ的大小为( ) A.π6 B.π3 C.2π3D.5π6答案 B解析 ∵a 2－2a ·b ＝0，b 2－2a ·b ＝0， ∴a 2＝b 2，|a |＝|b |，又∵cos θ＝a ·b |a ||b |＝12a 2|a |2＝12，θ∈[0，π]，∴θ＝π3.8.如图所示，在△ABC 中，AD ＝DB ，AE ＝EC ，CD 与BE 交于点F .设AB →＝a ，AC →＝b ，AF →＝x a ＋y b ，则(x ，y )为()A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，12 答案 C解析 令BF →＝λBE →.由题可知，AF →＝AB →＋BF →＝AB →＋λBE →＝AB →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫12AC →－AB →＝(1－λ)AB →＋12λAC →.令CF →＝μCD →，则AF →＝AC →＋CF →＝AC →＋μCD →＝AC →＋μ⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB →－AC →＝12μAB →＋(1－μ)AC →.由⎩⎪⎨⎪⎧1－λ＝12μ，12λ＝1－μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝23，μ＝23，所以AF →＝13AB →＋13AC →，故选C.二、填空题9.若|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，若(3a ＋5b )⊥(m a －b )，则m 的值为________. 答案238解析 由题意知(3a ＋5b )·(m a －b )＝3m a 2＋(5m －3)a·b －5b 2＝0，即3m ＋(5m －3)×2×cos 60°－5×4＝0，解得m ＝238.10.已知向量a ，b 的夹角为120°，|a |＝1，|b |＝3，则|5a －b |＝________. 答案 711.在△ABC 中，点O 在线段BC 的延长线上，且|BO →|＝3|CO →|，当AO →＝xAB →＋yAC →时，x －y ＝________. 答案 －2解析 由|BO →|＝3|CO →|，得BO →＝3CO →， 则BO →＝32BC →，所以AO →＝AB →＋BO →＝AB →＋32BC →＝AB →＋32(AC →－AB →)＝－12AB →＋32AC →.所以x ＝－12，y ＝32，所以x －y ＝－12－32＝－2.12.已知向量a ，b 满足|a |＝|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则b 在a 方向上的投影是________. 答案 1解析 ∵|a |＝|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，∴b 在a 方向上的投影是|b |cos 60°＝1.13.已知向量AB →与AC →的夹角为120°，且|AB →|＝3，|AC →|＝2.若AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，则实数λ的值为________.答案 712解析 ∵AP →⊥BC →，∴AP →·BC →＝(λAB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝－λAB →2＋(λ－1)AB →·AC →＋AC →2＝－9λ＋(λ－1)×3×2×(－12)＋4＝0， ∴λ＝712. 三、解答题14.若OA →＝(sin θ，－1)，OB →＝(2sin θ，2cos θ)，其中θ∈[0，π2]，求|AB →|的最大值. 解 ∵AB →＝OB →－OA →＝(sin θ，2cos θ＋1)⇒|AB →|＝sin 2θ＋4cos 2θ＋4cos θ＋1＝3cos 2θ＋4cos θ＋2＝ 3(cos θ＋23)2＋23， ∴当cos θ＝1，即θ＝0时，|AB →|取得最大值3.四、探究与拓展15.已知OA →＝(1，0)，OB →＝(0，1)，OM →＝(t ，t )(t ∈R )，O 是坐标原点.(1)若A ，B ，M 三点共线，求t 的值；(2)当t 取何值时，MA →·MB →取到最小值？并求出最小值.解 (1)AB →＝OB →－OA →＝(－1，1)，AM →＝OM →－OA →＝(t －1，t ).∵A ，B ，M 三点共线，∴AB →与AM →共线， ∴－(t －1)－t ＝0，∴t ＝12. (2)∵MA →＝(1－t ，－t )，MB →＝(－t ，1－t )，∴MA →·MB →＝2t 2－2t ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122－12，易知当t ＝1 2时，MA→·MB→取得最小值－12.。
