解法_背景_引申_谈2011年高考数学湖北卷解析几何解答题

解法、背景、引申

󰀁󰀁󰀁谈2011年高考数学湖北卷解析几何解答题

周远方(湖北省教学研究室,430205)

󰀁󰀁2011年全国高考数学湖北卷理科第20题(文科第21题),文理共用,满分均为14分,是一道以有心圆锥曲线为载体的解析几何综合题,我们通过对这道题目解法的分析,重在揭示其明显的教材背景和深刻的数学背景,并通过拓展探究将其结论作进一步的引申.原题如下:题目󰀁平面内与两定点A1(-a,0),A2(a,0)(a>0)连线的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹,加上A1,A2两点所成的曲线C可以是圆、椭圆或双曲线.(󰀁)求曲线C的方程,并讨论C的形状与m值的关系;(󰀁)当m=-1时,对应的曲线为C1;对给定的m󰀁(-1,0)󰀁(0,+󰀁),对应的曲线为C2.设F1,F2是C2的两个焦点.试问:在C1上,是否存在点N,使得󰀁F1NF2的面积S=|m|a2.若存在,求tanF1NF2的值;若不存在,请说明理由.本题设计了两个定点、两个动点和两个参数(即m,a),其中两个动点带动两个参数,两者相互制约,两问有机衔接,既反映了有心圆锥曲线间的轨迹相关性,又体现着曲线间的动静相宜,主要考查曲线与方程、圆锥曲线等基础知识,同时考查推理运算的能力,以及分类与整合、数形结合的思想.该题在学科的基础知识、基本问题和基本思想方法的交汇处命题,要求考生分析细致全面,计算合理准确,基础知识运用熟练,具有较强的甄选功能.1󰀁试题的解法分析解析󰀁第(󰀁)问:设动点为M(x,y),按照课本习惯和斜率存在的条件,即当x󰀁󰀂a时,由条件可得kMA1󰀁kMA2=yx-a󰀁yx+a=y2x2-a2=m,即mx2-y2=ma2(x󰀁󰀂a).故所求轨迹上应除去已知的两个定点,但此两点的坐标又适合所求的轨迹方程,即所谓的极限点,因此,由于A1(-a,0),A2(a,0)的坐标满足方程mx2-y2=ma2,故依题意,曲线C的方程为mx2-y2=ma2.因为试题已经指明了轨迹的三种曲线类型,所以对轨迹形状的讨论就很明确了,即当m󰀁(-󰀁,-1)󰀁(-1,0)时,曲线C表示椭圆;当m=-1时,曲线C表示圆心在原点,半径为a的圆;当m󰀁(0,+󰀁)时,曲线C表示双曲线.第(󰀁)问:根据第(󰀁)问可知,C1的方程为x2+y2=a2;C2的两个焦点分别为F1(-a1+m,0),F2(a1+m,0).于是可先从特殊位置切入探求解题思路,如可从两个平衡点N(0,󰀁a)的位置出发,此时由󰀁F1NF2为等腰三角形可得S=12󰀁2c󰀁a=|m|a2,即|m|=ca=e=1+m,解得m=1󰀁52.故当m=1󰀁52时,圆C1上存在满足条件的两个对称点N(0,󰀁a),如图1,2所示.

图󰀁1图󰀁2其中m=1-52对应的离心率为e1=5-12的椭圆即为黄金椭圆;而m=1+52对应的离心率为52数学通讯󰀁2011年第9期(下半月)󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀂复习参考󰀁e2=5+12的双曲线即为黄金双曲线,它们相应的基本量a,b,c均满足b2=ac.令󰀁F1NF2=󰀁(下同),则由tan󰀁2=ca,可得

tan󰀁=2tan󰀁21-tan2󰀁2=2aca2-c2.

所以对应于黄金椭圆,tan󰀁=2acb2=2;对应于黄金双曲线,tan󰀁=-2acb2=-2.对于给定的m󰀁(-1,0)󰀁(0,+󰀁),再由此特殊情形合情探求一般情形.首先,m存在范围的确定可有如下两种典型思路:思路1󰀁(利用方程思想)假设圆C1上存在点N(x0,y0)(y0󰀁0),使得S=|m|a2,则其充要条件是方程组x20+y20=a2,12󰀁21+ma|y0|=|m|a2有解.于是将问题转化为解不等式0<|m|a1+m󰀁a󰀁1+m-m2󰀁0(m󰀁0)即可.由此可知,当m󰀁(1-52,0)󰀁(0,1+52)时,在圆C1上总存在满足条件且两两对称的四个点N1,N2,N3,N4(如图3,4所示);当m󰀁{1-52,1+52}时,即如上探求的特例.

图󰀁3图󰀁4思路2󰀁(利用正余弦的有界性)假设圆C1上存在点N(acos󰀁,asin󰀁),使得S=|m|a2,其中󰀁󰀁(0,󰀁)󰀁(󰀁,2󰀁),则其充要条件是方程

12󰀁21+m󰀁a2|sin󰀁|=|m|a2有解.于是又将问题转化为解不等式0<|m|1+m󰀁1󰀁1+m-m2󰀁0(m󰀁0)即可(下同思路1).其次,当m󰀁[1-52,0)󰀁(0,1+52]时,求tan󰀁的值又有如下几种典型方法.

图󰀁5解法1󰀁(利用夹角公式)尽管根据夹角公式求是最自然的想法,但容易忽视对斜率是否存在的说明.事实上,当m=-12󰀁[1-52,0)时,椭圆C2的两个焦点分别为F1(-22a,0),F2(22a,0).

又由x20+y20=a2,12󰀁21+ma|y0|=|m|a2可解得

x0=󰀁22a,y0=󰀁22a.此时在圆C1上总存在满足条件且两两对称的四个点N1(22a,22a),N2(-22a,22a),N3(-22a,-22a),N4(22a,-22a).如图5所示,由于对应的四个󰀁F1NiF2(i=1,2,3,4)均为全等的直角三角形,故可直接解直角三角形得到tan󰀁=2.当m󰀁[1-52,-12)󰀁(-12,0)时,由|F1F2|<2a知󰀁为锐角,可求得tan󰀁=|k1-k21+k1k2|=2;当m󰀁(0,1+52]时,由|F1F2|>2a知󰀁为钝角,可求得tan󰀁=-|k1-k21+k1k2|=-2.

综上,可得tan󰀁=2,m󰀁[1-52,0),-2,m󰀁(0,1+52].解法2󰀁(利用向量方法)由NF1=(-a53󰀁复习参考󰀁󰀂󰀂󰀂󰀂󰀂󰀂󰀂󰀂󰀂󰀂󰀂󰀂数学通讯󰀁2011年第9期(下半月)1+m-x0,-y0),NF2=(a1+m-x0,-y0),可得NF1󰀁NF2=x20-(1+m)a2+y20=-ma2.令|NF1|=r1,|NF2|=r2,则由NF1󰀁NF2=r1r2cos󰀁=-ma2,可得r1r2=-ma2cos󰀁,从而S=12r1r2sin󰀁=-ma2sin󰀁2cos󰀁=-12ma2tan󰀁=|m|a2,即tan󰀁=-2|m|m(下同思路1).

解法2󰀁(利用解三角形方法)令|NF1|=r1,|NF2|=r2,则有r1=(x0+1+ma)2+y20,r2=(x0-1+ma)2+y20,可得r21+r22=2(2+m)a2󰀁在󰀁F1NF2中,由余弦定理可得4(1+m)a2=r21+r22-2r1r2cos󰀁󰀁将󰀁代入󰀁可得cos󰀁=-ma2r1r2.又由S=12r1r2sin󰀁=|m|a2,得sin󰀁=2|m|a2r1r2,故当m󰀁[1-52,0)󰀁(0,1+52]时,tan󰀁=sin󰀁cos󰀁=-2|m|m(下同思路1).评析󰀁从阅卷过程中抽样来看,考生思维受阻主要表现在:一是用特殊情形取代一般,求出的范围不完整,或是以偏概全,将条件存在问题误作为一致存在问题;二是绝大多数考生用夹角公式求时,忽视了对斜率是否存在的说明,或因运算途径不当,避简就烦,导致后续计算无法完成;三是在存在范围内求时,没有区分出椭圆对应的是锐角而双曲线对应的是钝角.2󰀁试题的背景解读󰀁2.1󰀁课本中的例题与习题背景󰀁首先,第(󰀁)问的设计素材可追溯到人教版高级中学课本(甲种本)解析几何(全一册)第二章󰀁圆锥曲线󰀁的复习参考题二B组第29题:题1󰀁点P与两定点F1(-a,0),F2(a,0)连线的斜率的乘积是常数k,求点P的轨迹方程.讨论当k的值变化时,轨迹都是什么曲线,并在同一坐标系中画出它们的图形.其次,我们还可以从新课标教材和大纲版教材中寻找它的源头.一是全日制普通高级中学教科书数学(必修)第二册(上)第八章󰀁圆锥曲线方程󰀁的如下几道习题:题2󰀁(复习参考题A组第19题P98)点M到两定点M1,M2距离的比是一个正数m,求点M的轨迹方程,并说明轨迹是什么图形(考虑m=1和m󰀁1两种情况).题3󰀁(练习第4题P106)󰀁ABC的两个顶点A,B的坐标分别是(-6,0),(6,0),边AC,BC所在直线的斜率之积等于-49,求顶点C的轨迹方程.题4󰀁(习题8.3第1题P108)󰀁ABC一边的两个端点是B(0,6),C(0,-6),另两边所在直线的斜率之积等于49,求顶点A的轨迹.二是普通高中课程标准实验教科书人教A版数学选修2-1第二章󰀁圆锥曲线与方程󰀁中有如下的一组例题与习题:题5󰀁(2.2椭圆中的例3P41)如图2.2-6,设A,B的坐标分别是(-5,0),(5,0),直线AM,BM相交于点M,且它们的斜率之积是-49,求点M的轨迹方程.

图󰀁2.2-6图󰀁2.3-5题6󰀁(2.3双曲线中的探究P55)如图2.3-5,设A,B的坐标分别是(-5,0),(5,0),直线AM,BM相交于点M,且它们的斜率之积是49,试求点M的轨迹方程.并由点M的轨迹方程判断轨迹的形状.与2.2的例3比较,你有什么发现?题7󰀁(复习参考题A组第10题P80)已知󰀁ABC的两个顶点A,B的坐标分别是(-5,0),(5,0),且AC,BC所在直线的斜率之积等于m(m󰀁0),试探求顶点C的轨迹.题8󰀁(2.2.1椭圆及其标准方程中的练习第4题P42)点A,B的坐标分别是(-1,0),(1,0),直线AM,BM相交于点M,且直线AM的斜率与直线BM的斜率的商是2,点M的轨迹是什么?为什么?题9󰀁(2.4抛物线习题2.4B组第3题P74)已知点A,B的坐标分别是(-1,0),(1,0),直线54数学通讯󰀁2011年第9期(下半月)󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀂复习参考󰀁AM,BM相交于点M,且直线AM的斜率与直线BM的斜率的差是2,求点M的轨迹方程.题10󰀁(复习参考题B组第6题P81)已知点A,B的坐标分别是(-1,0),(1,0),直线AM,BM相交于点M,且它们的斜率之和是2,求点M的轨迹方程.这一组例题与习题,涵盖着对与已知两定点的连线的斜率之和、差、积、商等相关的一组问题的探求,特别是从题5,6所采用的对偶探究方式到题7的更一般性探求,可以说就是试题第(󰀁)问的设计原形,其源于课本又兼顾新旧教材对接的命题意图在此体现得淋漓尽致.为保持曲线的完整性,同时有利于两问的有机融合,一是在题干的叙述中加上了两个极限点,避免了去点的麻烦;二是指明轨迹的三种曲线类型,隐含对第(󰀁)问中所涉及到的焦点的衔接.这样可让考生的注意力完全集中讨论曲线的限定形状与值的关系上,而不必始终要去考虑去点的问题.同时不强调考生对󰀁曲线性状󰀁(即曲线的形状、大小和位置)的完整表述,既考虑到对阅卷尺度把握的调控,又体现着对考生的人文关怀,当然,考生的思维品质和分类与整合的素养的高低,由此仍可得到甄别.2.2󰀁有心圆锥曲线的统一定义背景󰀁事实上,不妨将本题第(󰀁)问得出的曲线C的方程记为Cm:mx2-y2=ma2,则在某种意义下,Cm可视为有心圆锥曲线的一种统一方程,而其中非零常数m可称为曲线Cm的特征量.本问的设计意图正是反映有心圆锥曲线Cm的一种统一定义方式,并且可以说明随着特征量m取值的变化,有心圆锥曲线间的轨迹相关性,即圆或椭圆的相伴曲线是双曲线,而双曲线的相伴曲线又是圆或椭圆(详见文[4]).随着特征量m从小到大的取值变化,曲线Cm性状的动态变化可进一步说明如下:当m󰀁(-󰀁,-1)时,Cm:x2a2+y2-ma2=1表示焦点为F1(0,-a-m-1),F2(0,a-m-1),离心率为e=1+1m的椭圆.当m󰀁-1时,e󰀁0,此时椭圆Cm逐渐变圆,并最终退化为圆心在原点半径为a的圆C-1;当m󰀁(-1,0)时,Cm表示焦点为F1(-a1+m,0),F2(a1+m,0),离心率为e=1+m的椭圆.当m󰀁0时,此时椭圆Cm逐渐变扁,并最终退化为x轴所在的直线;当m󰀁(0,+󰀁)时,Cm:x2a2+y2ma2=1表示焦点为F1(-a1+m,0),F2(a1+m,0),离心率为e=1+m的双曲线.当m󰀁󰀂时,此时双曲线Cm的张口逐渐变大,并最终退化为两条平行直线x=󰀁a.由于对于给定的m󰀁(-1,0)󰀁(0,+󰀁),曲线Cm表示的椭圆或双曲线的焦点坐标和离心率的表达式正好是一致的,于是便形成了本题第(󰀁)问的设问雏形.2.3󰀁准焦点三角形的性质背景󰀁首先,第(󰀁)问的背景还可追寻到2005年高考数学辽宁卷的第21题的第(󰀁)问,原题如下: