【第16-30讲】讲义-数学
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30个问题学完高中数学98 第16讲 不等式初步 ——踮起脚尖跳芭蕾·论显腿长的几种小技巧 芭蕾舞（意大利语：balletto；法语、英语：ballet），是一种欧洲古 典舞蹈，孕育于意大利文艺复兴时期，十七世纪后半叶开始在法国发展流行并逐渐职业化，在不断革新中风靡世界. 芭蕾舞最重要的一个特征即女演员表演时以脚尖点地，故又称脚尖舞.其代表作品有《天鹅湖》、《仙女》、《胡桃夹子》等.芭蕾舞是用音乐、舞蹈手法来表演戏剧情节.芭蕾艺术孕育在意大利，降生在十七世纪后期路易十四的法国宫廷，十八世纪在法国日臻完美，到十九世纪末期，在俄罗斯进入最繁荣的时代.芭蕾在近四百年的持久历史成长过程中，对世界列国影响很大,传布极广，至今已成为世界列国都全力成长的一种 图16.1 ballet 艺术形式了. 女芭蕾舞者一个最经典的特征就是踮起脚尖跳舞，外行人觉得一定很辛苦，但是看起来像天鹅一样好美，但是却不知道为什么？经过多次查资料，一种解释是这样既显高又显腿长. 假设一个芭蕾舞者身高为L，腿长为l，踮起脚尖高出d，则容易得到ldlLdL+>+.这就是
用数学上不等式的科学解释.这样也能解释高跟鞋的作用了.
知识讲解 一． 证明不等式的基本方法 作差法，作商法，构造函数法，分析法【例1】 比较大小 （1）,,,Rabcd∈,比较()()2222abcd++,
()2acbd+
（2）,,Rabm+∈,且ab>，比较,
bbmaam+
+ 第16讲 不等式初步 99 （3）Nn+∈,比较1nn−−,12n,1nn+−
（4）已知0,0ab>>，比较ab，2ab+，222ab+，
2ab
ab+
【例2】 比较πe和eπ的大小.
【例3】已知0>>ba，求证：
bbaabbaaba8)(28
)(22−<−+<−30个问题学完高中数学
100 二．如何解不等式 1.一元二次不等式，一元高次不等式转化成方程，分析根的情况，结合函数走势进行求解2.几种一元二次方程根的关系
20axbxc++=，非零解
12,xx
则20axbxc−+=，非零解1x−，
2x−
则20cxbxa++=，非零解11x，
2
1
x
3.无理不等式注意充分必要条件
【例4】 解不等式 （1）2230xx−−<
（2）2320190xx−+>
（3）261xx+>−
（4）1552xx+−−≤
（5）()()()()12340xxxx−−−−≤
（6）()()()()22019312340xxxx−−−−>
【例5】 20axbxc++>的解集是{}|xxαβ<<,其中1αβ<<，
则()()220axbxccxbxa−+++>的解集是 .(用,αβ表示) 第16讲 不等式初步
101 强化习题
1.比较大小：222abc++ ,
abbcca++
2.若0,0ab>>，且2cab>+，求证：（1）abc>2 （2）22
.ccabaccab−−<<+−[
3.证明不等式:()()()2
40acabcb−+−−≥
4.不等式组222232320xxxxxx−−>−−
+−<
的解集是 .
5.（思考题）锐角三角形三边长为,,abc，其对应的角分别为,,ABC，每条边上的高为,,abchhh，其内接正方形一边位于三角形的一条边上，
求证：（1）当正方形的一条边在a上时，其边长为a
a
ahah⋅
+
（2）当正方形的这条边在较短边上时，面积较大.
相关词条 不等式，不等30个问题学完高中数学102 第17讲 重要不等式 ——赵爽的弦图·一个图形揭示四种平均数的大小关系 本节主要内容是基本不等式，以及多元均值不等式. 提到基本不等式，大家并不陌生，即是对于正数,ab，
2abab+≥，这个不等式中国古代数学家在证明勾股定理
的时候就顺手证明出来了. 在图中，正方形ABCD的面积是不小于四个直角三角
形的面积的. 即222abab+≥，相当于上述不等式的一个变形.
上述不等式还有一个推论，即
22222ababababab++
≤≤≤
+，
即两个正数的调和平均数不大于几何平均数，几何平均数不大于算术平均数，算术平均数不大于平方平均数，用代数结构依次证明是很简单的.不过有一种纯几何的证明方案，如下图所示. 图中半圆的直径长ab+，ACa=，BCb=
DC⊥AB，CE⊥OD，FO⊥AB，
则上述不等式相当于 DECDOFCF≤≤≤.
知识讲解 一.什么是基本不等式1.本不等式即对,ab+∈R，有2abab+≥，等号成立条件当且仅当ab=.
图17.1 赵爽弦图 图17.2 一张图比较四种平均数 EFD
OABC 第17讲 重要不等式
103 2.基本不等式的变形
（1）222abab+
≤
（2）22abab+
≤
二.不等式的推论又是什么基本不等式的推论对,ab+∈R，22222ababababab++≤≤≤+，等号当且仅当ab=时成立.
【例1】 （1）()4,0fxxxx=+>的最小值是 . （2）
()()
1213,0,3fxxxx=−∈
的最大值是 .
【例2】 （1）函数()()433fxxxx=+<−的最大值是. （2）函数
()
2
284x
fxxx=
++的值域是 .
【例3】 函数()22111fxxxxx=++++的值域是 . 30个问题学完高中数学
104 【例4】 已知,,abc为正数且1abc++=，求证：1111118abc−−−≥.
三.什么是多元均值不等式对正实数12,,,naaa，()11212nnnaaaaaan+++≥，等号当且仅当12naaa===时成立.
【例5】 一块边长为a的正方形硬纸板，在四角去掉四个相同的小正方形，使剩下的部分可以围城一个无盖的正四棱柱，则其体积的最大值是 .
【例6】 求证21216yxx=+的最小值为7【例7】 ()321yxx=−，01x<第17讲 重要不等式
105 强化习题
1.11,,1,1,3,23,xyxyRabababxy∈>>++若则的最大值为 .
2.已知0,0xy>>，且26xyxy++，求xy，24xy+的最小值.3.求函数2710()(1)1xxfxxx++=>−+的值域. 30个问题学完高中数学
106 4.（1）求函数2116(1)1xyxxxx=++>+的最小值. （2）求函数2
116(4)1xyxxxx=++≥
+的最小值.
5.设12,,,kaaa是正实数，且满足121kaaa+++<.证明：
()()()()()
1212112121111kkk
kk
aaaaaakaaaaaa−−
−+++
≤
+++−−−
相关词条 均值不等式，幂平均不等式，调和平均数，几何平均数，算术平均数，平方平均数第18讲 计数原理 1107 第18讲 计数原理1 ——火车票有几种买法·一大堆无形的东西也能数 十一期间，打算先去西安，再去上海玩，从这里到西安，有若干种交通工具可以选择，飞机，高铁，飞机和高铁各有1x，2x班次可供选择，从西安到上海也是一样，各有12,yy班
次可供选择，我从出发地到上海一共有多少种行程可供选择，从出发地到西安一共12xx+种
交通工具可供选择，这就是本节课涉及到的加法原理，同理从西安到上海一共12yy+种可供
选择，则从出发地到上海的行程选择一共()()1212xxyy++
种可供选择，这就是乘法原理.
上述提到的例子就是计数原理的内容.所谓计数原理就是针对抽象的问题的数数. 数数是一件有趣的事.数实实在在的物体和数抽象的事物,因为具体和抽象而有感官区别,常常被我们当成两种不同的行为.数实实在在的物体，我们衍生出了数的加法和乘法等运算.面对较大数据时，数抽象的事物我们也衍生出了加法原理和乘法原理，他们也是数的加法和乘法，本质上他们是同一行为.
学好这一部分我们要能做到，对抽象的事物条理化如同对实际物体的条理化.
知识讲解 一．无形的东西怎么数？ 1 枚举法 枚举所有可能，数出结果.
2 加法原理 完成一件事的方法可分成n个互不相交的类，在第1类到第n类分别有12,,...,nmmm种方法，
则总共完成这件事有12...n
mmm+++种方法.
