高等数学 简明二阶微分方程讲义

二阶微分方程什么是二阶微分方程？在数学中，二阶微分方程是一个含有两个未知函数的微分方程。

它的一般形式可以表示为：a(x)y''(x) + b(x)y'(x) + c(x)y(x) = F(x)其中y(x)是未知函数，y'(x)和y''(x)分别表示y(x)的一阶和二阶导数。

a(x)、b(x)、c(x)和F(x)是已知函数。

通过求解二阶微分方程，我们可以找到函数y(x)的表达式，从而得到其图形和性质。

二阶微分方程的解法1. 齐次线性二阶微分方程的解法齐次线性二阶微分方程是指F(x) = 0的情况。

对于齐次线性二阶微分方程，我们可以使用特征方程的方法来求解。

具体步骤如下：1.将二阶微分方程变形为标准形式：y''(x) + p(x)y'(x) + q(x)y(x)= 0。

2.假设y(x) = e^(rx)是方程的解，代入方程得到特征方程r^2 +p(x)r + q(x) = 0。

3.解特征方程得到两个不同的根r1和r2。

4.根据根的情况，分为三种不同的情况讨论：–当r1和r2都为实数时，解的形式为y(x) = C1e^(r1x) + C2e^(r2x)，其中C1和C2是常数。

–当r1和r2为共轭复数时，解的形式为y(x) =e^(ax)(C1cosbx + C2sinbx)，其中C1和C2是常数，a和b是实数。

–当r1和r2相等且为实数时，解的形式为y(x) = (C1 + C2x)e^(rx)，其中C1和C2是常数。

2. 非齐次线性二阶微分方程的解法非齐次线性二阶微分方程是指F(x) ≠ 0的情况。

对于非齐次线性二阶微分方程，我们可以使用常数变易法来求解。

具体步骤如下：1.首先求解对应的齐次线性二阶微分方程，得到通解y_c(x)。

2.假设非齐次线性二阶微分方程的特解为y_p(x)，代入方程得到一个与F(x)相关的方程。

3.根据F(x)的形式选择合适的猜测函数，并代入方程求解特解y_p(x)。

二阶微分方程二阶微分方程作为微积分中的一种常用形式，它的求解方法十分重要。

本文将围绕二阶微分方程的基本定义、求解方法及其应用展开讲述。

一、二阶微分方程的基本定义及形式二阶微分方程指的是形如 $y''+P(x)y'+Q(x)y=f(x)$ 的微分方程。

其中$y$ 表示一个未知函数，$P(x)$ 和$Q(x)$ 是已知函数，$f(x)$ 是已知的函数。

二阶微分方程中的 $y''$ 表示未知函数 $y$ 的二阶导数，$y'$ 表示 $y$ 的一阶导数。

$P(x)$ 和 $Q(x)$ 是已知函数，它们可能包含 $x$ 或 $y$，甚至二者的组合。

$f(x)$ 是已知的函数，它是一个关于 $x$ 的函数，通常是我们要寻求的解函数。

二阶微分方程是高阶微分方程的一个特例。

如果方程中只包含 $y''$ 与 $y$，则称为二阶常系数齐次微分方程。

二阶微分方程的一些常见形式：1. $y''+p(x)y'+q(x)y=g(x)$，这是二阶非齐次线性微分方程的一般形式。

2. $y''+w(x)y=0$，这是二阶齐次线性微分方程的一般形式。

3. $y''-c^2y=0$，这是二阶常系数齐次微分方程的一般形式，其中 $c$ 是常数。

二、二阶微分方程的求解方法1. 变量分离法当二阶微分方程形如 $y''=f(x)$ 时，我们可以用变量分离法求解。

首先将方程两边同时积分得到 $y'=F(x)+C_1$，再次积分得到$y=\\int[F(x)+C_1]dx+C_2$，其中 $C_1$ 和 $C_2$ 分别是积分常数。

2. 特征方程法对于形如 $y''+ay'+by=0$ 的二阶常系数齐次微分方程，我们可以采用特征方程法求解。

首先设 $y=e^{mx}$，代入方程得到 $m^2+am+b=0$，这就是所谓的特征方程。

§3 二阶偏微分方程一、 二阶偏微分方程的分类、标准形式与特征方程考虑二阶偏微分方程()0),,,,,,(111,2=∂∂∂∂+∂∂∂∑=n nnj i j i ij x u x u u x x F y x u x a (1) 式中a ij (x )=a ij (x 1,x 2,…,x n )为x 1,x 2,…,x n 的已知函数.[特征方程·特征方向·特征曲面·特征平面·特征锥面]代数方程()01,=∑=nj i jiijaa x a称为二阶方程(1)的特征方程；这里a 1,a 2,…,a n 是某些参数，且有012≠∑=ni ia.如果点x ︒=(x 1︒,x 2︒,…,x n ︒)满足特征方程，即()01,o =∑=nj i jiijaa x a则过x ︒的平面()01o=-∑=nk kk k x x a 的法线方向l :(a 1,a 2,…,a n )称为二阶方程的特征方向；如果一个(n 1-)维曲面，其每点的法线方向都是特征方向，则称此曲面为特征曲面；过一点的(n 1-)维平面，如其法线方向为特征方向，则称这个平面为特征平面，在一点由特征平面的包络组成的锥面称为特征锥面.[n 个自变量方程的分类与标准形式] 在点P (x 1︒,x 2︒,…,x n ︒)，根据二次型()∑=nj i jinijaa x x x a 1,o o 2o 1,,, (a i 为参量)的特征根的符号，可将方程分为四类：(i) 特征根同号，都不为零，称方程在点P 为椭圆型.(ii) 特征根都不为零，有n 1-个具有同一种符号 ，余下一个符号相反，称方程在点P 为双曲型.(iii) 特征根都不为零，有m n -个具有同一种符号(n >m >1)，其余m 个具有另一种符号，称方程在点P 为超双曲型.(iv) 特征根至少有一个是零，称方程在点P 为抛物型.若在区域D 内每一点方程为椭圆型，双曲型或抛物型，则分别称方程在区域D 内是椭圆型、双曲型或抛物型.在点P 作自变量的线性变换可将方程化为标准形式：椭圆型：∑==+∂∂ni ix u1220Φ双曲型：∑==+∂∂-∂∂n i ix ux u 22120Φ超双曲型：()10112222>>=+∂∂-∂∂∑∑=+=m n x ux u mi nm i ii Φ抛物型：()00122>=+∂∂∑-=m x umn i iΦ式中Φ为不包含二阶导数的项.[两个自变量方程的分类与标准形式] 方程的一般形式为0,,,,222222122211=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂+∂∂+∂∂∂+∂∂y u x u u y x F y u a y x u a x u a (2) a 11,a 12,a 22为x ,y 的二次连续可微函数，不同时为零. 方程a 11d y 22-a 12d x d y +a 22d x 2=0称为方程(2)的特征方程.特征方程的积分曲线称为二阶方程(2)的特征曲线. 在某点P (x 0,y 0)的邻域D 内，根据Δ=a 122－a 11a 12的符号将方程分类： 当Δ>0时，方程为双曲型； 当Δ=0时，方程为抛物型； 当Δ<0时，方程为椭圆型.在点P 的邻域D 内作变量替换，可将方程化为标准形式：（i ） 双曲型：因Δ>0，存在两族实特征曲线11),(c y x =ϕ，22),(c y x =ϕ，作变换),(1y x ϕξ=，),(2y x ϕη=和,,ηηξ-=+=s t s 方程化为标准形式),,,,(2222t us u u t s t u s u ∂∂∂∂=∂∂-∂∂Φ 或),,,,(12ηξηξΦηξ∂∂∂∂=∂∂∂uu u u （ii ） 抛物型: 因Δ=0，只存在一族实的特征曲线c y x =),(ϕ，取二次连续可微函数),(y x ψ，使0),(),(≠∂∂y x ψϕ，作变换),(y x ϕξ=，),(y x ψη=，方程化为标准形式),,,,(222ηξηξΦη∂∂∂∂=∂∂uu u u （iii ） 椭圆型：因Δ<0，不存在实特征曲线，设c y x i y x y x =+=),(),(),(21ϕϕϕ为11221121212d d a a a a a x y -+=的积分，y x ϕϕ,不同时为零，作变量替换),(1y x ϕξ=，),(2y x ϕη=,方程化为标准形式),,,,(32222ηξηξΦηξ∂∂∂∂=∂∂+∂∂uu u u u二、 极值原理·能量积分·定解问题的惟一性定理椭圆型方程、抛物型方程的极值原理及双曲型方程的能量守恒原理是相应方程的解所具有的最基本性质之一，在定解问题的研究中起着重要的作用. [椭圆型方程的极值原理与解的惟一性定理]1︒ 极值原理 设D 为n 维欧氏空间E n 的有界区域，S 是D 的边界，在D 内考虑椭圆型方程()()()()x x x x f u c x ub x x u a Lu ni i i n j i j i ij =+∂∂+∂∂∂≡∑∑==11,2式中a ij (x ),b i (x ),c (x ),f (x )在D 上连续，c (x )≤0且二次型()∑=nj i j i ij a a a 1,x 正定，即存在常数μ>0，i ()∑∑==≥ni i n j i j i ij a a a a 121,μx定理1 设u (x )为D 内椭圆型方程的解，它在D 内二次连续可微，在D 上连续，且不是常数，如f (x )≤0（或f (x )≥0），则u (x )不能在D 的内点取非正最小值（或非负最大值）.如果过边界S 上的任一点P 都可作一球，使它在P 点与S 相切且完全包含在区域D 内，则有 定理2 设u (x )为椭圆型方程在D 内二次连续可微，在D 上连续可微的解，且不是常数，并设f (x )≤0（或f (x )≥0）.若u (x )在边界S 上某点M 处取非正最小值（或非负最大值），只要外法向导数错误！未定义书签。

三、二阶微分方程1、二阶线性微分方程1)定义形如的方程称之为二阶线性微分方程，如果等式右端的函数，则称该方程为二阶齐次线性微分方程.2）线性微分方程的性质:定理1：设是齐次方程的解，则是齐次方程的解；设、均为齐次方程的解，则是齐次方程的解.定理2：设是非齐次方程的解，是齐次方程的解，则是非齐次方程的解.设都是非齐次方程的解，则是相应的齐次方程的解.定理3：设是齐次方程的两个线性无关的解，是非齐次方程的任一特解，则是非齐次方程的通解，其中为两个相互独立的常数. 定理4（叠加原理）：设是方程的特解，是方程的特解，则是方程的解.'''()()()y P x y Q x y f x ++=()0f x =1()y x '''()()0y P x y Q x y ++=1()ky x '''()()0y P x y Q x y ++=1()y x 2()y x '''()()0y P x y Q x y ++=12()()y y x y x =+'''()()0y P x y Q x y ++=1()y x '''()()()y P x y Q x y f x ++=2()y x '''()()0y P x y Q x y ++=12()()y y x y x =+'''()()()y P x y Q x y f x ++=12(),()y x y x '''()()()y P x y Q x y f x ++=12()()y y x y x =-'''()()0y P x y Q x y ++=12(),()y x y x '''()()0y P x y Q x y ++=*()y x '''()()()y P x y Q x y f x ++=*1122()()()y C y x C y x y x =++'''()()()y P x y Q x y f x ++=12,C C 1()y x '1''()()()y P x y Q x y f x ++=2()y x '2''()()()y P x y Q x y f x ++=1122()()y k y x k y x =+'1122''()()()()y P x y Q x y k f x k f x ++=+【例1】：设非齐次线性微分方程有两个不同的解为任意常数，则该方程的通解是（）. （）. （）. （） 答案：（）【例2】设是一阶线性非齐次微分方程的两个特解. 若常数使是该方程的解，是对应的齐次方程的解, 则() . () . () . () . 答案：()【例3】均为某二阶非齐次线性微分方程的解，求其通解. 答案：.3）二阶常系数线性微分方程的求解如果二阶线性微分方程中函数均恒为常数，则称该方程为二阶常系数线性微分方程.我们下面讨论这类方程的解法，也即形如的方程的求解.()()y P x y Q x '+=12(),(),y x y x C A []12()()C y x y x -B []112()()()y x C y x y x +-C []12()()C y x y x +D []112()()()y x C y x y x ++B 12,y y ()()y p x y q x '+=,λμ12y y λμ+12y y λμ-A 21,21==μλB 21,21-=-=μλC 31,32==μλD 32,32==μλA 221232,,3xxxxx x x y xe e y xe ey xe e e --=+=+=+-'''()()()y P x y Q x y f x ++=212xxxy xe C e C e'''()()()y P x y Q x y f x ++=(),()P x Q x '''()y py qy f x ++=先求解二阶常系数齐次线性微分方程： a. 写出对应的特征方程 b. 求出特征方程的两个根.c. 根据的不同形式，我们有如下的公式：再求解二阶常系数非齐次线性微分方程：该方程的通解为，其中为齐次线性微分方程的通解，为非齐次线性微分方程的特解.下面讨论的求法.'''0.y py qy ++='''0y py qy ++=20.r pr q ++=12,r r 12,r r '''().y py qy f x ++=*1122C y C y y ++1122C y C y +*y *y【例4】：求下列微分方程的解. （1）40y y （2）0y y （3）0y y（4）6100y y y （5）20yyy答案：（1）221212,,xxy c e c ec c 是常数.（2）1212cos sin ,,y c x c x c c 是常数.（3）1212,,x y c c e c c 是常数.（4）31212cos sin ,,,xyec x c x c c 是常数.（5）1212,,x y c c x e c c 是常数.【例5】：3阶常系数线性齐次微分方程的通解为 答案：为常数.【例6】：具有特解，，的3阶常系数齐次线性微分方程是.答案：【例7】：在下列微分方程中，以（为任意常数）为通解的是（）.答案：220y y y y ''''''-+-=________.y =2123123cos sin ,,,xy c e c x c x c c c 1xy e -=22xy xe -=33xy e =A 0y y y y ''''''--+=B 0y y y y ''''''+--=C 61160y y y y ''''''-+-=D 220y y y y ''''''--+=B123cos 2sin 2xy C e C x C x =++123,,C C C ()A ''''''440y y y y +--=()B ''''''440y y y y +++=()C ''''''440y y y y --+=()D ''''''440y y y y -+-=()D【例8】：求下列微分方程的解： （1）（2）'''2x y y yxe（3）（4） （5）； 答案：（1）为常数.（2）为常数.（3）为常数.（4）12121cos cos 2sin 2,,3yx c x c x c c 为常数.（5）为常数.【例9】：求解下列微分方程:（1）. （2）. （3） 答案：（1）为常数.（2）为常数.（3）为常数.2、可降阶的高阶微分方程（*数学一、二）1）型的方程 '2''2;y y y x --=322;x y y y xe '''-+=''4cos ;y y x +=''cos y y x +=221212113,,224x x yx x c e c e c c 2121211,,24xx x y e x c e c e c c 212122,,xx x yxe x c e c e c c 12121sin cos sin ,,2y x x c x c x c c '''22x y y y e +-=2'',(0)x y a y e a +=≠cos .y y x x ''+=+212122,,3xxx yxe c ec e c c 121221cos sin ,,1x ye c ax c ax c c a12121sin cos sin ,,2yx x xc x c x c c '''(,)y f x y =作变量代换，则有.代入原方程有，这是一个关于未知函数的一阶微分方程.求解它，我们可以求出，设，则积分可以得到.2）型的方程作变量代换，则有,代入原方程有，这是一个关于未知函数的一阶微分方程.求解它，我们可以求出，设，则积分可以得到.【例10】求解下列微分方程（1） （2）答案：（1）为常数.（2）212112112111ln 1,0,01arcsin,0c c y xc c c yx c c c yxc c c ，12,c c 为常数.【例11】求微分方程''1'y xy 满足初始条件的特解.答案：2111424yx x3、欧拉方程（*数学一）形如的微分方程称为欧拉方程.当0,x 令则有，， .以此类推，将这些关系代回就可以将原方程化为常系数线性微分方程. 同理，当0,x只需令.t x e'p y =''dp y dx =(,)dpf x p dx=p 'y '(,)y x C ϕ=y '''(,)y f y y ='p y =''dp dp dy dpy p dx dy dx dy===(,)dp p f y p dy =p 'y '(,)y y C ϕ=y '''0;xy y +=()2'''1.yy y+=1212ln ,,yc x c c c (1)(1)1y y '==()1(1)2(2)'121...()nn n n n n n n x ya x y a x y a xy a y f x -----+++++=t x e =t dy dy dt dy e dx dt dx dt-==22222222t t t t t t t d y d dy d dy dt d y dy d y dy e e e e e e e dx dx dt dt dt dx dt dt dt dt-------⎡⎤⎡⎤⎡⎤===-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦【例12】求欧拉方程的通解 答案：为常数.四、差分方程（*数学三）1.一阶常系数线性齐次差分方程通解为2.一阶常系数线性非齐次差分方程通解为其中是非齐次差分方程的特解. 1)（1）若令 （2）若令 2）， （1）若令 （2）若令【例13】求差分方程的通解. 答案：为常数. 【例14】求差分方程的通解. 答案：（1）为常数.)0(024222>=++x y dx dyx dx y d x12122,,c c y c c x x 10t t y ay ++=,)()(tc a C t y -⋅=1()t t y ay f t ++=.)(*t c t y t y y +=*t y ()()m f t P t =,1-≠a );(t Q y m t =*,1-=a );(t tQ y m t =*)()(t P d t f m t⋅=)0(≠d ,0≠+d a );(t Q d y m tt ⋅=*,0=+d a );(t Q td y m tt ⋅=*121050t t y y t ++-=5615,72tt yc c 12tt t y y t +-=22,t yc t c。