[整理]考研数学高数定积分公开课讲义(汤家凤)

第九章 定 积 分1 定积分的定义一、背景1、曲边梯形的面积1()ni i i S f x ξ=≈∆∑2、变力所做的功 1()ni i i W F x ξ=≈∆∑上述问题均可归结为一个特定形式的和式逼近，思想方法：分割、近似求和、取极限.二、定积分的定义定义 1 设闭区间[],a b 内有1n -个点，依次为0121n n a x x x x x b -=<<<⋅⋅⋅<<=，其把[],a b 分成n 个小区间[]1,,1,i i i x x i n -∆==⋅⋅⋅.称这些点或小闭子区间构成[],a b 的一个分割，记为{}01,,n T x x x =⋅⋅⋅或{}12,,n ∆∆⋅⋅⋅∆，小区间i ∆的长度为1i i i x x x -∆=-，同时记{}1max i i nT x ≤≤=∆，称为分割T 的模(或细度).注1 ||||,1,i x T i n ∆≤=⋅⋅⋅. 因而，||||T 可用来刻画[],a b 被分割的细密程度，同时，若T 给定，则||||T 确定，而对同一细度(模), 相应的分割却有无穷多个.定义 2 设f 为[],a b 上的函数,对[],a b 上的分割{}12,,n T =∆∆⋅⋅⋅∆,任取点,i i ξ∈∆1,i n =⋅⋅⋅，作和式1()niii f x ξ=∆∑，称为函数f 在[],a b 上的一个积分和，也称为Riemann 和.注2. Riemann 和与分割T 及i ξ的取法有关. 对同一个分割T ，相应的Riemann 和有无穷多个.定义 3 设f 是[],a b 上的函数，J 为一个确定的数. 若对任给正数0ε>，存在正数0δ>，使得对[],a b 上的任何分割T ，以及其上任选的i ξ，只要T δ<，就有1()niii f x Jξε=∆-<∑，则称f 在[],a b 上可积(或Riemann 可积) ，数J 称为f 在[],a b 上的定积分(或Riemann 积分) ，记作()baJ f x dx =⎰. 其中f 称为被积函数，x 称为积分变量，[],a b 称为积分区间，,a b 分别称为积分的下限、上限.注.1()lim ()nbi i aT i f x dx f x ξ→==∆∑⎰⇔0,0,,,,i i T T εδδξ∀>∃>∀<∀∈∆1()()nbi i ai f x f x dx ξε=∆-<∑⎰定积分的几何意义(f 可积)(1) 0f ≥时，()ba f x dx ⎰就是以,,x a xb x ==轴及()y f x =围成的曲边梯形的面积.(2) 0f ≤时，()baf x dx ⎰为x 轴下方的曲边梯形面积的相反数(负面积) .(3) ()baf x dx ⎰是曲线()y f x =在x 轴上方部分所有曲边梯形的正面积与下方所有曲边梯形的负面积的代数和. (4) 注.()()()bb baaaf x dx f t dt f u du ==⎰⎰⎰，定积分与积分变量无关.三、举例例 1 已知函数2()f x x =在区间[]0,1上可积，求120x dx ⎰.例 2 已知1()1f x x=+，()sin g x x π=在[]0,1上可积. 利用定积分的定义说明 1) 10111lim()1221n dx n n n x→∞++⋅⋅⋅+=+++⎰. 2) 10012(1)1lim (sin sin sin )sin sin n n xdx x dx n n n n ππππππ→∞-++⋅⋅⋅+==⎰⎰.给出一般公式().......ba f x dx =⎰例 3 讨论Dirichlet 函数1()0x D x x ⎧=⎨⎩，为有理数，为无理数 在[]0,1上的可积性.四、 定积分的计算 定理 (微积分基本定理)设[]:,f a b R →可积，存在可导函数[]:,F a b R →，使F f '=，则()()|()()bx bx a af x dx F x F b F a ====-⎰上式也称为Newton-Leibniz 公式.例 4 求例2中定积分的值.例 5 1) 211(ln )eex dx x⎰;2) 2⎰;3) 求11()f x dx -⎰，其中210()0x x x f x e x --<⎧=⎨≥⎩， ，;4) 0⎰;5) 221lim nn i in i→∞=+∑;6) 112lim[(1)(1)(1)]n n n n n n→∞++⋅⋅⋅+.2 可积性条件一、可积的必要条件定理1 若函数f 在[],a b 上可积，则f 在[],a b 上有界.注 有界仅是f 可积的必要条件，而非充分条件. 如[]0,1上的()D x . 定理2 设函数f 在[],a b 上可积，则f 在(),a b 内至少有一个连续点. [ 若函数f 在[],a b 上处处不连续，则f 必不可积. ] 二、可积的充要条件设{}12,,n T =∆∆⋅⋅⋅∆为[],a b 上的一个分割，设f 在[],a b 上有界，则f 在每个i ∆上必有上下确界，记{}sup ()ii x M f x ∈∆=，{}inf ()ii x m f x ∈∆=，1,i n =⋅⋅⋅.作和式1()n i i i S T M x ==∆∑，1()ni i i s T m x ==∆∑，分别称为f 关于T 的上和和下和(Darboux 上下和) , 从而i i ξ∀∈∆，1,i n =⋅⋅⋅，1()()()ni i i s T f x S T ξ=≤∆≤∑. (作图几何意义)注 当分割T 确定后，则上和与下和完全确定.性质1 对同一分割T ,上和()S T 是所有积分和1()ni i i f x ξ=∆∑的上确界(相对于i ξ取),下和()s T 是所有积分和1()ni i i f x ξ=∆∑的下确界, 即{}1()inf ()i i n i i i s T f x ξξ∈∆=⎧⎫=∆⎨⎬⎩⎭∑， {}1()sup ()i i n i i i S T f x ξξ∈∆=⎧⎫=∆⎨⎬⎩⎭∑，且 1()()()()()ni i i m b a s T f x S T M b a ξ=-≤≤∆≤≤-∑，其中,M m 分别为f 在[],a b 上的上、下确界.性质2 设T '为分割T 添加p 个新分点后所得到的分割. 则()()()()s T s T s T p M m T '≤≤+- ()()()()S T S T S T p M m T '≥≥--即分点增加后，下和不减，上和不增.性质3 若T 与T '为任意两个分割，T ''为T 与T '所有分点合并组成的分割，记为T T T '''=+，则 ()()s T s T ''≥， ()()S T S T ''≤；()()s T s T '''≥， ()()S T S T '''≤.性质4 对任意两个分割T 、T '，总有()()s T S T '≤.即：对任何两个分割，下和总不大于上和. 因而，所有的上和有下界，所有的下和有上界，从而分别有下、上确界，记为S 和s . 即{}inf ()TS S T =，{}sup ()Ts s T =，称S 和s 分别为f 在[],a b 上的上、下积分，记为()ba S f x dx -=⎰，()b a s f x dx -=⎰.性质5 ()()()()bbaa mb a f x dx f x dx M b a ---≤≤≤-⎰⎰性质6. [Darboux 定理] 0lim ()()b a T S T f x dx -→=⎰，0lim ()()ba T s T f x dx →-=⎰.定理 3 (第一充要条件) [],a b 上的有界函数f 可积⇔()()bb a a f x dx f x dx --=⎰⎰定理4 (可积的第二充要条件)[],a b 上的有界函数f 可积⇔ 0ε∀>，存在分割T ，使得()()S T s T ε-<.由于11()()()nni i i i i i i S T s T M m x x ω==-=-∆=∆∑∑，其中i i i M m ω=-称为f 在i ∆上的振幅. 从而有定理4' [],a b 上的有界函数f 可积⇔0ε∀>，存在分割T ，使得1ni i i x ωε=∆<∑.定理4'的几何意义：若f 可积，则曲线()y f x =可用总面积任意小的一系列小矩形覆盖. 反之亦然.三、可积函数类(充分条件)定理 5. 若f 在[],a b 上连续，则f 在[],a b 上可积.定理 6. 若f是[],a b上仅有有限个间断点的有界函数，则f在[],a b上可积.注.改变可积性函数在某些点处的值, 不改变可积性, 也不改变积分值. 定理7. 若f为[],a b上的单调函数，则f在[],a b上可积.例1试用两种方法证明函数0 0()1111xf xxn n n=⎧⎪=⎨<≤⎪+⎩，，，1,2n=⋅⋅⋅在[]0,1上可积.例2 设f 在[],a b 上有界，{}[],n a a b ⊂，lim n na c =.证明：若f 仅在{}n a 上间断，则f 在[],a b 上可积.例3 f 在[],a b 上可积，[][],,a b αβ⊂，则f 在[],αβ上可积.例4 证明定理2: 若f 在[],a b 上可积，则f 在(),a b 内至少有一个连续点(从而有无穷多个连续点) .例5 证明: Riemann 函数[]1, ()0 0,10,1p x p q q p q q f x x ⎧=>⎪=⎨⎪=⎩，和互素,，或中的无理数 在[]0,1上可积，且1()0f x dx =⎰.(第三充要条件)3 定积分的性质一、定积分的性质 1. 线性性质定理 1 设f 在[],a b 上可积，k 为常数，则kf 在[],a b 上可积，且 ()()bbaakf x dx k f x dx =⋅⎰⎰.定理 2 设,f g 在[],a b 上可积，则f g ±在[],a b 上可积，且()()()()bb baaaf xg x dx f x dx g x dx ±=±⎰⎰⎰.推论. 设,f g 在[],a b 上可积，,αβ为常数，则f g αβ+在[],a b 上可积，且()()()()bb baaaf xg x dx f x dx g x dx αβαβ+=+⎰⎰⎰.2. 乘积可积性定理 3 设,f g 在[],a b 上可积，则f g ⋅在[],a b 上可积. 注 一般情形下，()()()()b b baaaf xg x dx f x dx g x dx ⋅≠⋅⎰⎰⎰.定理 4 有界函数f 在[],a c 和[],c b 上可积f ⇔在[],a b 上可积，且()()()bcbaacf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰规定 1) ()0aa f x dx =⎰.2)()()baab f x dx f x dx =-⎰⎰，()b a <.则对任何,,a b c 均有 ()()()bc baacf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰.4. 关于函数的单调性定理5 设,f g 在[],a b 上可积，且()()f x g x ≤，[],x a b ∀∈，则()()bbaaf x dxg x dx ≤⎰⎰.推论 (积分值的估计) 设f 在[],a b 上可积，,M m 分别为f 在[],a b 上的上、下确界，则 ()()()ba mb a f x dx M b a -≤≤-⎰.定理6 若函数f 在[],a b 上可积，则f 在[],a b 上可积，且|()||()|bbaaf x dx f x dx ≤⎰⎰.注. 定理 6的逆不真.6. 积分第一中值定理定理 7 若函数f 在[],a b 上连续，则至少存在一点[],a b ξ∈，使得()()()baf x dx f b a ξ=-⎰.几何意义: 称1()ba f x dxb a -⎰为f 在[],a b 上的平均值.定理7' (推广的第一中值定理) 若,f g 在[],a b 上连续，且()g x 在[],a b 上不变号，则至少存在一点[],a b ξ∈，使得()()()()bbaaf xg x dx f g x dx ξ=⎰⎰.[()1g x ≡时，即为定理7.]二、应用举例例 1 求11()f x dx -⎰. 其中2110() 01x x x f x e x ---≤<⎧=⎨≤<⎩， ，.例 2 求()sin f x x =在[]0,π上的平均值.例 3 若f 在[],a b 上连续，()0f x ≥，且()0f x ≡/，则()0ba f x dx >⎰.例 4比较积分1⎰和21x e dx ⎰的大小.例 5证明：22ππ<<⎰.例 6 若f 在[],a b 上可积，()0f x >，则()0ba f x dx >⎰.例 7 若,f g 在[],a b 上可积，则{}()max (),()M x f x g x =在[],a b 上可积.*例 8 设f 在[],a b 上可积，且()0f x m >>，则1f可积.*例 9 证明：若f 在[],a b 上连续，且()()0b baaf x dx xf x dx ==⎰⎰，则在(),a b 内至少存在两点12,x x 使12()()0f x f x ==. 又若2()0bax f x dx =⎰，此时，f 在(),a b 内是否至少有三个零点?*例 10 设f 在[],a b 上二阶可导，且()0f x ''>，证明: 1) 1()()2ba ab f f x dx b a+≤-⎰ 2) 又若()0f x ≤，[],x a b ∈，则又有2()()ba f x f x dxb a ≥-⎰，[],x a b ∈.*例11证明：(1)11ln(1)11ln2n nn+<++⋅⋅⋅+<+(2)1112lim1lnnnn→∞++⋅⋅⋅+=*例13若f可积，m f M≤≤，g在[,]m M上连续，则复合函数h g f=可积.由此, 若f可积, 则2f,13,f||f, ()f xe, (0)f≥,1(inf0)ff>可积.4 微积分基本定理 定积分的计算一、微积分基本定理 1. 变限积分的可微性设f 在[],a b 上可积，则任何[],x a b ∈，f 在[],a x 上也可积，从而()()xa x f t dt Φ=⎰，[],x ab ∈定义了一个以x 为积分上限的函数, 称为变上限积分.定理1 若f 在[],a b 上可积，则()()xa x f t dt Φ=⎰在[],ab 上连续.定理 2 (原函数存在定理，微积分学基本定理)若f 在[],a b 上连续，则()()xa x f t dt Φ=⎰在[],ab 上处处可导，且()()()xa d x f t dt f x dx'Φ==⎰，[],x a b ∈.注. 1) 当f 在[],a b 上连续，则()()xax f t dt Φ=⎰为f 的一个原函数，且f 的任一原函数()()xaF x f t dt C =+⎰. 令x a =，则()F a C =. 从而()()()xaf t dt F x F a =-⎰——Newton-Leibniz .2) 定理2. 揭示了导数和定积分之间的深刻联系，同时证明了连续函数必有原函数，并说明变上限积分就是一个原函数. 由于它的重要作用而被称为微积分基本定理.3) 同样可定义变下限积分()()bxxbf t dt f t dt =-⎰⎰. 且当f 连续时，有()()bxd f t dt f x dx =-⎰ 4) 变上限积分()xaf t dt ⎰一般不写作()xaf x dx ⎰.例 1 1)⎰2) 220sin cos t tdt π⎰例 2 设f 在[],a b 上连续，()0f x ≥，且()0f x ≡/，证明: ()0baf x dx >⎰.例 3 设f 为连续函数，,u v 均为可导函数，且复合f u ，f v 均有意义，证明()()()(())()(())()v x u x d f t dt f v x v x f u x u x dx''=⋅-⋅⎰.例 4 求1) 230limx x x +→⎰2) 222010cos limx x x t dtx →-⎰二、定积分的换元法定理 3 设f 在[],a b 上连续，Φ满足条件1) ()a αΦ=，()b βΦ=. [](),,a t b t αβ≤Φ≤∈ 2) ()t Φ在[],αβ上有连续导函数，则()(())()baf x dx f t t dt βα'=Φ⋅Φ⎰⎰.例 5 1)⎰2) 220sin cos t tdt π⎰3)10x x dx e e -+⎰4)3212(1)dx x x -+⎰5)120ln(1)1x dx x ++⎰6) 已知32()4f x dx =-⎰，求21(1)xf x dx +.注 在换元法计算定积分时，一要注意积分上下限的变化(这里只需要求,a b 的对应值为,αβ，而不计较,αβ的大小) . 二是要注意代入新变量，直接求定积分的值，而无需变量还原. (此与不定积分是不一样的. 这是因为不定积分求的是被积函数的原函数，其变量应一致，而定积分的结果是一个数值，只需求出即可) .注 定理3换元积分条件，f 可减弱为f 可积，ϕ可减弱为()t ϕ'在[],αβ上可积，且除有限个点外()0t ϕ'>(或()0t ϕ'<) . (保证[][]:,,a b ϕαβ→是11-的.) 例 6 设f 为[],a a -(对称区间) 上的连续奇(偶) 函数，则()0aaf x dx -=⎰(0()2()a aaf x dx f x dx -=⎰⎰) .如求22223(sin3cos 5arctan 1)x x x x x e x dx ππ--⋅+⋅--⎰.例 7 设f 为(,)-∞+∞上以T 为周期的可积函数，证明：对任何实数a R ∈，有()()a TTaf x dx f x dx +=⎰⎰.例 8 设f 为连续函数，则1) 22(sin )(cos )f x dx f x dx ππ=⎰⎰;2)(sin )(sin )2xf x dx f x dx πππ=⎰⎰.由此计算2sin sin cos xdx x x π+⎰和20sin 1cos x x dx xπ⋅+⎰.例 9 设f 在[],a b 上连续，求证：()()bbaaf x dx f a b x dx =+-⎰⎰.由此计算362cos (2)xdx x x πππ-⎰.三、分部积分定理 4 若(),()u x v x 为[],a b 上的连续可导函数，则有定积分分部积分公式()()()()()()bbb a aau x v x dx u x v x u x v x dx ''⋅=⋅-⋅⎰⎰或()()()()()()bb b a aau x dv x u x v x v x du x =⋅-⎰⎰例 10 1) 10x xe dx ⎰ 2)21ln ex xdx ⎰3) 1ln eexdx ⎰4) 1arcsin xdx ⎰5) 2sin x x e dx π⋅⎰6)4⎰例 11 求20sin nxdx π⎰和2cos n xdx π⎰.注 由前两式可推出著名的Wallis 公式：2(2)!!1lim 2(21)!!21m m m m π→∞⎡⎤=⋅⎢⎥-+⎣⎦.四、Taylor 公式的积分型余项 推广的分部积分公式设(),()u t v t 在[,]a b 上有1n +阶连续导函数，则(1)()(1)()()()()()()()(1)()()bn n n n n baau t v t dt u t v t u t v t u t v t +-'⎡⎤⋅=⋅-⋅+⋅⋅⋅+-⋅⎣⎦⎰1(1)(1)()()bn n au t v t dt +++-⋅⎰.设f 在0x 处的某邻域0()U x 有1n +阶连续导函数，0()x U x ∈，则有(1)()1(1)()()()()()()!()0()xxn n n n n n xx x x x t ft dt x t f t n x t f t n f t f t dt +--⎡⎤-=-+-+⋅⋅⋅++⋅⎣⎦⎰⎰()00000()!()![()()()()]!n n f x n f x n f x f x x x x x n '=-+-+⋅⋅⋅+-!()n n R x =(1)1()()()!x n n n x R x f t x t dt n +⇒=-⎰ ——积分型余项注 1) 由推广的第一积分中值定理((1)()n f t +连续，()n x t -在[]0,x x 或[]0,x x 上保持同号) ，则(1)1()()()!x n n n x R x f x t dt n ξ+=-⎰(1)101()()(1)!n n f x x n ξ++=-+ ——Lagrange 型余项2) 直接由积分第一中值定理，有(1)01()()()()!n n n R x f x x x n ξξ+=-- (1)10001(())(1)()!n n n f x x x x x n θθ++=+--- 00x =时，(1)11()()(1)!n n n n R x f x x n θθ++=-， 01θ≤≤——Cauchy 型余项五、积分第二中值定理 定理 5 设f 在[],a b 上可积,1) 若g 在[],a b 上减，且()0g x ≥，则存在[],a b ξ∈，使()()()()baaf xg x dx g a f x dx ξ=⎰⎰.2) 若g 在[],a b 上增，且()0g x ≥，则存在[],a b η∈，使()()()()bbaf xg x dx g b f x dx η=⎰⎰.推论. 设f 在[],a b 上可积，g 为单调函数，则存在[],a b ξ∈，使得()()()()()()bbaaf xg x dx g a f x dx g b f x dx ξξ=+⎰⎰⎰.例 12 设()f x 为[]0,2π上的单调递减函数，证明：对任何正整数n ，恒有20()sin 0f x nxdx π≥⎰.定理 6 设函数f 在闭区间[],a b 上连续，函数g 在[],a b 上可导，且导函数()g x '在[],a b 上非负且连续，则存在[],c a b ∈，使得()()()()()()bc baacf xg x dx g a f x dx g b f x dx =+⎰⎰⎰.例 13 证明：当0x >时，有不等式21sin x cxt dt x+≤⎰(0)c >.例 14 设()y f x =为[],a b 上严格增的连续曲线，试证：存在(),a b ξ∈使图中阴影部分面积相同.习 题1. 求)0(F '及)4(πF '. 其中⎰-=202sin )(x t tdt e x F2. 求下列极限(1) ⎰→xx dt t x 020cos 1lim (2) dxe dt e x txt x ⎰⎰∞→020222)(lim3. 求下列积分(1) ⎰⋅2042sin cos πxdx x (2)dx x ⎰-224(3) dx xx⎰+202sin 1cos π (4) dx xx ⎰+411(5) dx x x ⎰-1122)2( (6)dx x a x a2202-⎰(7)dx xx ⎰++311 (8)xdx x 3sin][3π⎰4. 求下列积分 (1) dx xe x⎰-2ln 0(2) ⎰210arccos xdx(3) ⎰-adx x a 022 (4) dx x x⎰-1221(5)⎰-2ln 01dx e x(6)dx ax x aa⎰-+222(7)dx xb x a xx ⎰+⋅202222sin cos cos sin π(8)dx x x ee⎰1ln(9)⎰+20cos sin cos πdx xx x(10)⎰+-adx xa xa 0arctan(11)dx e x x ⎰-⋅202sin π(12)dx xa xa x a⎰+-025. 求下列极限 (1) ∑=+∞→nk n nk 123lim (2) 2213lim k n nk nk n -∑=∞→6. 证明 (1)⎰⎰-=-11)1()1(dx x x dx x x m n n m(2) 若f 在R 上连续, 且⎰=x adt t f x f )()(, 则.0)(≡x f (3) 0sin sin ,m n mx nxdx m n N m nπππ-≠⎧=∈⎨=⎩⎰，(4)⎰-=ππ0cos sin nx mx(5) 设f 在],0[π上连续,且⎰⎰⎰===πππ0cos )(sin )()(xdx x f xdx x f dx x f求证f 在),0(π内至少两个零点.定积分1、定积分的定义1()lim ()nbi i aT i f x dx f x ξ→==∆∑⎰0,0,,,,di i T T εδδξ⇔∀>∃>∀<∀∈∆1()ni i i f x J ξε=∆-<∑. (())baJ f x dx =⎰2、可积函数(充要) 条件1) f 在[],a b 上可积⇒f 在[],a b 上有界⇒f 在(),a b 内至少有一个连续点2) f 在[],a b 上可积⇔()()b ba a f x dx f x dx --=⎰⎰⇔0,,()()T S T s T εε∀>∃-< ⇔10,,ni i i T w x εε=∀>∃∆<∑3) f 在[],a b 上连续⇒f 在[],a b 上可积f 在[],a b 上单调⇒f 在[],a b 上可积f 在[],a b 上仅有限个间断点(或间断点仅有限个聚点) ，则f 在[],a b 上可积. f 在[],a b 上可积，g 与f 仅有限个点处不相等，则g 在[],a b 上可积，且()()bbaag x dx f x dx =⎰⎰4) 可积函数复合未必可积.3、定积分性质1) 线性性质 2) 子区间可积性 3) 乘积可积 4) 区间可加性 5) 单调性 6) 绝对可积性4、微积分基本定理与Newton-Leibniz 公式定理. 若f 在[],a b 上连续，则()()xa x f t dt Φ=⎰在[],ab 上处处可导，且()()()xa d x f t dt f x dx'Φ==⎰. 由此可得()()()baf x dx F b F a =-⎰.注. 若f '可积，则()()()b af x dx f b f a '=-⎰.定理. 若f 在[],a b 上可积，则()()xax f t dt Φ=⎰在[],a b 上连续.结论 (变限积分的导数)()()(())(())()(())()h x g x f t dt f h x h x f g x g x '''=⋅-⋅⎰5、定积分的积分方法 1) 换元设()y f x =在[],a b 上可积，()x t ϕ=满足ϕ'在[],αβ上可积，且在[],αβ上至多除有限个点使()0t ϕ'=，其余点()0t ϕ'>，(),()a b ϕαϕβ==，则()(())()baf x dx f t t dt βαϕϕ'=⋅⎰⎰[ 注意：积分上下限只需对应，而不管大小. ] 2) 分部积分 (注意具体被积函数的形式) 设,u v ''为[],a b 上可积函数, 则 bbb a aaudv uv vdu =-⎰⎰.6、Taylor 公式与积分中值定理. 1) 可积函数未必有原函数.1, 01;() 1 , 1 2.x f x x -≤≤⎧=⎨<<⎩ 2) 有原函数的函数也未必可积.22211cos 2sin , 0;()0, 0.x x f x x x xx ⎧-+≠⎪=⎨⎪=⎩在[1,1]-上有原函数220, 0;()1sin , 0.x x F x x x =⎧⎪=⎨⋅≠⎪⎩ 但f 在[0,1]上不可积.3) 可积不连续的函数也可能有原函数.习 题 课一、定积分的计算 例 1 1)20πθ⎰2) 1t x t dt -⎰, (1,0,01)x x x ><≤≤3)arctana⎰4) 10(1)xdx x α+⎰5)10ln(1dx ⎰6)0⎰7)121⎰8)2-⎰9) 21,0() , 0x x x f x e x -⎧+<⎪=⎨>⎪⎩ , 求31(2)f x dx -⎰.10) 1(2)2f =，(2)0f '=，20()1f x dx =⎰. 求120(2)x f x dx ''⎰.二、利用定积分定义求和式极限11111()lim ()lim ()nn i i T n i i f x dx f x f n n ξ→→∞===∆=∑∑⎰1()lim ()n ban i b a b af x dx f a i n n→∞=--=+∑⎰例 2 1) 221lim nn i i n i→∞=+∑2) 11lim[(1)]n n n k k n -→∞=+∏3) 12lim 1knnn k n k→∞=+∑4) 444333124lim (12)5n n n n →∞++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+三、变限积分的导数例 3 1)2sin b a d x dx dx⎰ 2) 2sin x a d tdt dx ⎰3) 10(arctan )t x e tdt '⋅⎰4)23ln t t d dxdt x⎰ 例 4 1) 设0x ≥时，()f x 连续，且230()x f t dt x =⎰，求()f x .2) 设f 连续，31()x f t dt x c -=+⎰，求c 与(7)f .例 5 1) 设f 在[],a b 上连续，0()()()xF x f t x t dt =-⎰，[],x a b ∈.求证：()()F x f x ''=.2) 设f 在[)0,+∞上连续，且()0f x >，00()()()xx tf t dt x f t dtϕ=⎰⎰.试证：ϕ在()0,+∞上严格增.3) f 为连续可导函数. 试求：()()xa d x t f t dt dx'-⎰.四、求含变限积分未定型极限 例 6 1) 20cos limsin xx x x t dttdt→⎰⎰2) 222020()limxt x x t e dt e dt→∞⎰⎰例 7 1) 设f 在[],a b 上连续，求证：(),x a b ∈时，1lim ()()()()xa h f t h f t dt f x f a n+→+-=-⎰.2) ()f x 在R 上连续，且以T 为周期，求证：0011lim ()()x Tx f t dt f t dt x T→∞=⎰⎰.3)1lim bb -→⎰，(01)b << 存在.4) 设f 在[]0,A (0)A ∀>上可积，lim ()x f x a →+∞=，则01lim()xx f t dt a x →+∞=⎰.五、定积分的极限例 8 1) 求证: 1) 10lim 1nnx dx x +⎰ 2) 120lim (1)n n x dx →∞-⎰3) 2lim sin n n xdx π→∞⎰2) 设f 在[]0,2π上单调，求证：20lim ()sin 0f x xdx πλλ→∞⋅=⎰.六、某些积分不等式1、利用积分关于被积函数的单调性证明不等式.例 9 证明不等式 11201413n x dx n x x n-≤≤-+⎰，n ∈.例 10 证明:1) 211<⋅⋅⋅+< 2) 11ln(1)11ln 2n n n+<++⋅⋅⋅+<+[由此证明11lim(1ln )2n n n ++⋅⋅⋅+-存在，一般称此极限为Euler 常数，记为C ]2、某些不等式的积分形式设函数,f g 在[],a b 上可积，对[],a b 上n 等分, 取[]1,i i i x x ξ-∈，若对任何n ，1i n ≤≤，有11()()nn i i i i b a b af g n n ξξ==--⋅≤⋅∑∑，则有()()b b a a f x dx g x dx ≤⎰⎰. 例 11 1) 证明Schwarz 不等式.设,f g 在[],a b 上可积, 则222()()()()b b ba a a f x g x dx f x dx g x dx ⎡⎤≤⋅⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰.而当,f g 连续时, 等号成立⇔c ∃，g cf =.2) 设f 在[],a b 上连续，且0f >，则21()()()bba af x dx dx b a f x ⋅≥-⎰⎰.3) 设f 在[]0,1上可积，证明：21120()()f x dx f x dx ≤⎰⎰.4) 设,f g 在[],a b 上可积，则有Minkowski 不等式()111222222()()()()b b b a a a f x g x dx f x dx g x dx ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+≤+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰.例 12 若ϕ在[]0,a 上连续，f 二阶可导，且()0f x ''≥, 则有Jesen 不等式0011(())(())a af t dt f t dt a a ϕϕ≥⎰⎰.3、其它不等式例13 1) 设f 在[]0,1上连续可导，证明：10()()()f x f t f t dt '≤+⎰，[]0,1x ∈.2) 设0a >，f 在[]0,a 上连续可导，则01(0)()()aa f f x dx f x dx a '≤+⎰⎰.3) 设f 在[]0,1上连续可导, 且(0)0,(1)1f f ==, 求证：110()()f x f x dx e -'-≥⎰.4) 设f 二阶可导, 求证：3()()()()224baa b Mf x dx b a f b a +--≤-⎰. 其中[],sup ()x a b M f x ∈''=.。

汤家凤积分中值定理汤家凤积分中值定理是微积分中的核心定理之一。

它是由中国数学家汤家凤于20世纪60年代提出的，并被广泛应用于微积分、数理逻辑、微分方程、计算机科学等领域。

本文将详细介绍汤家凤积分中值定理及其应用。

汤家凤积分中值定理是指在区间[a,b]上，连续函数f(x)与非负可积函数g(x)的积分值相等的情况下，必然存在c∈[a,b]，使得f(c) = g(c)的定理。

这个定理的证明需要引入魏尔斯特拉斯逼近定理，通过构造一个中间函数来找到f(x)与g(x)的交点。

汤家凤积分中值定理在微积分中的应用非常广泛，以下是其中的几个应用场景：1、证明拉格朗日中值定理据拉格朗日中值定理，如果f(x)在[a,b]上是连续的，并且在(a,b)内可微分，那么必有一个c∈(a,b)，使得f(b)-f(a)f'(c)。

柯西中值定理表明，如果f(z)和g(z)在一个圆内连续且在圆内可微分，那么必有一个点c在该圆内，使得[f(z2)-f(z1)]-[g(z2)-g(z1)][z2-z1] = [f(c)-g(c)][z2-z1]。

为了证明这个定理，可以通过构造一个中间函数h(x)，然后应用汤家凤积分中值定理。

构造h(x) = [f(z2)-f(z1)][g(z)-g(z1)]-[f(z)-f(z1)][g(z2)-g(z1)]，然后将它在圆内的边界上积分。

由于h(x)是这个圆内的连续函数，它必然有一个最大值M和最小值m。

因此，在圆内的边界上积分的值大于等于mtimes它的长度，小于等于Mtimes长度。

通过计算积分值的上下界之差，并除以第二个点减去第一个点的复数，可以得到柯西中值定理的结论。

三、总结汤家凤积分中值定理是微积分中一个非常重要的定理，它不仅仅是一个理论结果，同时也可以应用于实际问题中。

在微积分的学习过程中，了解和掌握这个定理的应用方法，是非常重要的。

汤家凤高等数学辅导讲义摘要：一、汤家凤高等数学辅导讲义的背景和特点1.汤家凤的高等数学辅导讲义在考研数学领域的地位和影响力2.讲义的内容和特点：全面、系统、深入、易懂二、汤家凤高等数学辅导讲义的主要内容1.基本概念和原理的讲解2.典型题型的归纳和解题方法的讲解3.注重基础，强化训练三、汤家凤高等数学辅导讲义的使用建议1.针对不同层次考生的使用建议2.与其他数学复习资料的配合使用建议3.复习策略和技巧的指导正文：汤家凤高等数学辅导讲义是考研数学领域的经典教材，受到了广大考生的青睐。

作者汤家凤老师拥有30 多年的考研数学辅导经验，对考研数学的考试方向和重点有着深刻的理解。

他的高等数学辅导讲义内容全面、系统、深入、易懂，不仅涵盖了所有考研数学知识点，还通过丰富的例题和讲解，使考生能够快速掌握解题方法和技巧。

讲义分为基础篇和提高篇两部分，其中基础篇注重概念和原理的讲解，帮助考生打牢基础；提高篇则针对典型题型进行归纳和解题方法的讲解，帮助考生提高解题能力。

此外，讲义还附有大量的练习题，供考生巩固所学知识。

针对不同层次的考生，汤家凤高等数学辅导讲义有着不同的使用方法。

对于基础较薄弱的考生，可以先从基础篇开始，逐章节学习，并完成相应的练习题；对于基础较好的考生，可以直接进入提高篇，强化训练。

当然，考生也可以根据自身的实际情况，有针对性地选择学习讲义中的部分内容。

在使用汤家凤高等数学辅导讲义的同时，考生还可以搭配其他数学复习资料，如教材、习题集、模拟题等，以提高复习效果。

同时，考生还需注意调整复习策略和技巧，如合理安排时间、分阶段复习、及时总结等，以期在考试中取得理想的成绩。

汤家凤高数基础班讲义1. 引言本讲义旨在介绍汤家凤高数基础班的课程内容和教学方法。

汤家凤高数基础班是一门为初学者设计的高等数学课程，旨在帮助学生建立扎实的高数基础，为进一步学习高等数学打下坚实的基础。

2. 课程目标•掌握代数与初等函数相关知识；•理解微积分的基本概念和方法；•学会运用微积分解决实际问题；•培养逻辑思维和问题解决能力。

3. 课程大纲3.1 代数与初等函数•实数与复数•集合论与不等式•函数与映射关系•初等函数及其性质3.2 极限与连续•数列极限及其性质•函数极限及其性质•连续性及其应用3.3 导数与微分•导数的概念与计算法则•高阶导数与隐函数求导法则•微分中值定理及其应用3.4 积分与应用•不定积分与定积分•定积分的计算法则•积分中值定理及其应用3.5 微分方程•常微分方程的基本概念•一阶常微分方程及其解法•高阶常微分方程及其解法4. 教学方法4.1 理论讲解教师将通过清晰明了的语言和示例，对每个知识点进行详细讲解。

教师会引导学生理解概念、掌握基本原理，并提供相关的数学推导过程。

4.2 练习与讨论教师将提供大量练习题，并指导学生进行课堂练习和小组讨论。

通过实际操作和合作交流，加深对知识点的理解和应用能力。

4.3 解题技巧分享教师将分享一些常见的解题技巧和方法，帮助学生更好地应对考试和实践中的各种问题。

同时，鼓励学生探索不同的解题思路，培养独立思考和创新能力。

4.4 实践案例分析教师将选取一些实际问题，通过案例分析的方式，将抽象的数学知识与实际问题相结合。

通过分析和解决实践问题，加深学生对数学应用的理解和体验。

5. 学习资源•教材：《高等数学》（第三版），汤家凤、吴立宗编著•参考书：《高等数学辅导教程》，汤家凤、吴立宗编著•网上资源：汤家凤高数基础班在线课程6. 考核方式•平时成绩：包括课堂表现、作业完成情况等；•期中考试：对前半个学期的知识进行检测；•期末考试：对全年知识进行综合考核。

汤家凤零基础高数不说格林公式(一)高数基础公式1. 求导法则•导数的线性性质：如果 f(x) 和 g(x) 是可导函数，a 和 b 是任意实数，则有：–导数的和：(af(x) + bg(x))’ = af’(x) + bg’(x)–导数的差：(af(x) - bg(x))’ = af’(x) - bg’(x)•常数倍法则：如果 c 是常数，f(x) 是可导函数，则有：–(cf(x))’ = cf’(x)•幂指数法则：如果 n 是常数，f(x) 是可导函数，则有：–(f(x)^n)’ = nf(x)^(n-1)*f’(x)•和差法则：如果 f(x) 和 g(x) 是可导函数，则有：–(f(x) + g(x))’ = f’(x) + g’(x)–(f(x) - g(x))’ = f’(x) - g’(x)•乘法法则：如果 f(x) 和 g(x) 是可导函数，则有：–(f(x) * g(x))’ = f’(x)g(x) + f(x)g’(x)•商法则：如果 f(x) 和 g(x) 是可导函数，则有：–(f(x)/g(x))’ = (f’(x)g(x) - f(x)g’(x))/g(x)^2示例说明对于函数 f(x) = x^3 + 2x^2 - 5x, 其导数为： - f’(x) =(3x^2 + 4x - 5)’2. 积分法则•不定积分的线性性质：如果 f(x) 和 g(x) 是可积函数，a 和 b 是任意实数，则有：–积分的和：∫(af(x) + bg(x))dx = a∫f(x)dx +b∫g(x)dx•幂指数积分法则：如果 n 不等于 -1，f(x) 是可积函数，则有：–积分公式：∫f(x)x^n dx = (f(x)x^(n+1))/(n+1) + C•和差法则：如果 f(x) 和 g(x) 是可积函数，则有：–∫(f(x) + g(x))dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx–∫(f(x) - g(x))dx = ∫f(x)dx - ∫g(x)dx•乘法法则：如果 f(x) 和 g(x) 是可积函数，则有：–∫(f(x) * g(x))dx = ∫f(x)g’(x)dx + ∫g(x)f’(x)dx •分部积分法：如果 u(x) 和 v(x) 都是可导函数，则有：–∫u(x)v’(x)dx = u(x)v(x) - ∫v(x)u’(x)dx示例说明对于函数 f(x) = 3x^2 + 2x, 其不定积分为： - ∫(3x^2 +2x)dx = ∫3x^2dx + ∫2xdx3. 泰勒展开•泰勒展开是用多项式来逼近函数的一种方法，具体展开式为：–f(x) = f(a) + f’(a)(x-a) + f’‘(a)(x-a)^2/2! + f’’’(a)(x-a)^3/3! + …示例说明对于函数 f(x) = sin(x)，其在 x = 0 处展开为泰勒级数： - f(x) ≈ x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + …结论上述公式为高数领域中常用的基础公式，对于理解和解题非常有帮助。

2013考研数学春季基础班线性代数辅导讲义-主讲：汤家凤第一讲 行列式一、基本概念定义1 逆序—设j i ,是一对不等的正整数，若j i >，则称),(j i 为一对逆序。

定义2 逆序数—设n i i i 21是n ,,2,1 的一个排列，该排列所含逆序总数称为该排列的逆序数，记为)(21n i i i τ，逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列。

定义3 行列式—称nnn n nna a a a a a a a a D212222111211=称为n 阶行列式，规定n nn nj j j j j j j j j a a a D 21212121)()1(∑-=τ。

定义 4 余子式与代数余子式—把行列式nnn n nna a a a a a a a a D 212222111211=中元素ij a 所在的i 行元素和j 列元素去掉，剩下的1-n 行和1-n 列元素按照元素原来的排列次序构成的1-n 阶行列式，称为元素ij a 的余子式，记为ij M ，称ij ji ij M A +-=)1(为元素ij a 的代数余子式。

二、几个特殊的高阶行列式1、对角行列式—形如na a a 00000021称为对角行列式，n n a a a a a a212100000=。

2、上（下）三角行列式—称nnn na a a a a a 022211211及nnn n a a a a aa212221110为上（下）三角行列式，nn nnnn a a a a a a a a a221122211211000=，nn nnn n a a a a a a a a a2211212221110=。

3、||||B A BO O A ⋅=，||||B A BO C A ⋅=，||||B A BCO A ⋅=。

4、范得蒙行列式—形如112112121111),,,(---=n nn n nn a a a a a a a a a V称为n 阶范得蒙行列式，且ni j j i n nn n nn a a a a a a a a a a a V ≤<≤----==1112112121)(111),,,(。

考研数学高分导学班讲义汤家凤课程配套讲义说明1、配套课程名称2013年考研数学高分导学（汤家凤，16课时）2、课程内容此课件为汤家凤老师主讲的2013考研数学高分导学班课程。

此课程包含线代和高数，请各位学员注意查看。

3、主讲师资汤家凤——文都独家授课师资，数学博士，教授，全国著名考研数学辅导专家，全国唯一一个能脱稿全程主讲的数学辅导老师，全国大学生数学竞赛优秀指导老师。

汤老师对数学有着极其精深的研究，方法独到。

汤老师正是凭借多年从事考研阅卷工作的经验，通过自己的归纳总结，在课堂上为学生列举大量以往考过的经典例子。

深入浅出，融会贯通，让学生真正掌握正确的解题方法。

严谨的思维、激情的课堂，轻松的学习，这是汤老师课堂的特色！主讲：高等数学、线性代数。

4、讲义20页（电子版）文都网校2011年9月15日2013考研数学高分导学班讲义线性代数部分—矩阵理论一、矩阵基本概念1、矩阵的定义—形如??mn m m n n a a a a a a a a a 212222111211，称为矩阵n m ?，记为n m ij a A ?=)(。

特殊矩阵有（1）零矩阵—所有元素皆为零的矩阵称为零矩阵。

（2）方阵—行数和列数都相等的矩阵称为方阵。

（3）单位矩阵—主对角线上元素皆为1其余元素皆为零的矩阵称为单位矩阵。

（4）对称矩阵—元素关于主对角线成轴对称的矩阵称为对称矩阵。

2、同型矩阵—行数和列数相同的矩阵称为同型矩阵。

若两个矩阵同型且对应元素相同，称两个矩阵相等。

3、矩阵运算（1）矩阵加、减法：=??????? ??=mn m m n n mn m m n n b b b b b b b b b B a a a a a a a a a A 212222111211212222111211,，则±±±±±±±±±=±mn mn m m m m n n n n b a b a ba b a b a b a b a b a b a B A221122222221211112121111。

汤家凤高数基础班讲义一、导论在汤家凤高数基础班中，我们将学习高等数学的基本概念和技巧。

高等数学是大学数学的核心课程之一，对于理工科学生来说尤为重要。

本讲义将帮助学生建立高数的基础知识框架，并提供实用的解题方法，以帮助学生更好地应对高数学习。

二、函数与极限1. 函数的定义与性质：函数的定义及基本性质，包括定义域、值域、单调性、奇偶性等。

2. 一些常见函数：介绍常见的函数类型，如线性函数、幂函数、指数函数、对数函数等，并讲述它们的基本性质。

3. 极限的概念与性质：解释极限的概念并引入极限的性质，包括左极限、右极限、无穷大与无穷小等。

三、导数与微分1. 导数的定义与求导法则：介绍导数的定义，包括导数的几何意义和物理意义，以及常用的求导法则。

2. 高阶导数与隐函数求导：讲解高阶导数的定义，以及如何求解隐函数的导数。

3. 微分与微分中值定理：解释微分的概念，介绍微分中值定理的原理和应用。

四、积分与其应用1. 不定积分与定积分：引入不定积分与定积分的概念，讨论它们的性质和基本计算方法。

2. 牛顿-莱布尼茨公式：介绍牛顿-莱布尼茨公式的原理和应用，解释它与积分的关系。

3. 定积分的应用：探讨定积分在曲线长度、曲面面积和体积计算中的应用。

五、级数与幂级数1. 级数的概念与性质：解释级数的概念，介绍级数的性质，如收敛性、发散性和部分和的计算方法。

2. 常见级数及其性质：介绍常见级数，如几何级数、调和级数等，并讲述它们的性质与求和方法。

3. 幂级数的收敛域：讨论幂级数的收敛域的求解方法，并举例说明。

六、常微分方程1. 常微分方程的基本概念：介绍常微分方程的定义、解的存在唯一性定理，以及一阶常微分方程的基本解法。

2. 高阶常微分方程：讲解高阶常微分方程的基本概念、特解与常数变易法。

3. 稳定性与相图：介绍稳定性的概念，讨论常微分方程的相图、稳定解和解的行为。

七、多元函数与偏导数1. 多元函数的概念与性质：引入多元函数的概念，介绍多元函数的极限、连续性以及偏导数。

概率论与数理统计概率论与数理统计是一门研究客观世界随机现象及其统计规律的学科，也是高等院校工程类和经济管理类专业的一门重要的基础课，更是全国硕士研究生招生考试数学一和数学三的重要考查内容，分值约占总分的20%。

本书根据概率论与数理统计课程的教学要求及全国硕士研究生招生考试的数学考试大纲编写而成。

本书作者在高校从事概率统计教学工作接近三十年，指导全国硕士研究生招生考试数学（包括高等数学、线性代数、概率统计）复习二十六年，有极其丰富的教学经验。

本书理论体系清晰系统，原理讲解深入浅出、通俗易懂，重要考点把握精准。

使用本书可以帮助考生迅速掌握概率统计的理论架构，提高考生分析问题、解决问题的能力。

本书的主要特点有：1.对各章知识进行系统总结基本概念理解到位、理解原理和性质的内涵及使用方法，清晰易懂，层次分明。

关键知识点后添加必要的注解，使重点更加突岀，提高相应知识的深度和广度。

2.对各章基本题型及重要考点进行分类与高等数学和线性代数相比，概率统计的重要考点相对较少，本书将每章的重要考点以题型的形式总结出来，同时在各题型中安排各章的小考点，给出各种题型的规范解法和解题思路，方法力求简明扼要。

希望本书的出版能帮助考生在较短的时间内，系统掌握概率统计的基本理论、基本题型及解题方法，提高利用数学理论解决实际问题的能九轻松应对研究生入学考试的概率统计部分。

本书可作为高校概率统计课程配套的参考资料，也可作为成人教育、教师和科技工作者的参考用书，希望本书能成为广大读者的良师益友。

本书若有不到之处，恳请读者批评指正。

汤老师微博汤老师微信公众号汤老师一直播ID：186288809汤家凤2021年3月于南京S^CONTENTS^^第一章随机事件与概率 (1)本章理论体系 (1)经典题型讲解 (7)题型一事件的关系与运算、概率基本公式 (7)题型二事件的独立性 (9)题型三三种常见的概型 (10)题型四全概率公式与贝叶斯公式 (11)第二章一维随机变量及其分布 (15)本章理论体系 (15)经典题型讲解 (20)题型一一维离散型随机变量的分布律与分布函数 (20)题型二一维连续型随机变量的概率密度与分布函数 (23)题型三一维既非离散又非连续型随机变量的分布函数 (28)题型四随机变量函数的分布 (28)第三章二维随机变量及其分布 (35)本章理论体系 (35)经典题型讲解 (40)题型一二维离散型随机变量的联合分布、边缘分布 (40)题型二二维连续型随机变量的联合分布、边缘分布 (42)题型三二维随机变量的条件分布、独立性 (45)题型四二维随机变量函数的分布 (51)第四章随机变量的数字特征 (61)本章理论体系 (61)经典题型讲解 (64)题型一离散型随机变量的数字特征 (64)题型二连续型随机变量的数字特征 (69)题型三多维随机变量的数字特征 (70)题型四相关性与独立性 (74)第五章大数定律与中心极限定理 (78)本章理论体系 (78)经典题型讲解 (80)1题型一切比雪夫不等式 (80)题型二大数走律 (81)题型三中心极限定理 (81)第六章数理统计基本概念 (84)本章理论体系 (84)经典题型讲解 (90)题型一统计量的基本概念 (90)题型二三个扌由样分布 (91)题型三分位点 (95)题型四统计学的数字特征与概率 (96)第七章参数估计 (99)本章理论体系 (99)经典题型讲解 (104)题型一离散型总体参数的点估计 (104)题型二连续型随机变量参数的点估计 (106)题型三估计量的无偏性（数学三不要求） (111)题型四参数的区间估计（数学三不要求） (115)第八章假设检验（数学三不要求） (117)本章理论体系 (117)经典题型讲解 (122)题型一-个正态总体的假设检验 (122)题型二两个正态总体的假设检验 (123)2机事件与概率藝存彖一、随机试验与随机事件定义H随机试验设E为随机试验，若满足如下条件：(1)在相同的条件下该试验可重复进行；(2)试验的结果是多样的且所有可能的结果在试验前都是确定的；(3)某次试验之前不确定具体发生的结果，这样的试验称为随机试验，简称试验，一般用字母E表示.定义何样本空间设E为随机试验，随机试验E的所有可能的基本结果所组成的集合，称为随机试验E的样本空间，记为0,0中的任意一个元素称为样本点.(1)样本空间中所有元素为随机试验的最基本的结果，即所有元素都具有不可再分性；(2)样本空间必须是所有可能的基本结果，即具有完备性，且同一个基本结果在样本空间中只出现一次.定义❸随机事件设E为随机试验4为其样本空间，则O的子集称为随机事件，其中0称为不可能事件称为必然事件.例如：一个均匀的正六面体的骰子，六个面分别标有1、2、3、4、5、6,随机扔骰子，该试验骰子朝上一面的数字的样本空间为0={1,2,3,4,5,6},事件A={2,4,6},表示“扔骰子后朝上的面的数为偶数”，事件B={1,2,3},表示“扔骰子后朝上的面的数不超过3”.二、事件的运算与关系(-)事件的运算定义❹事件的积设为两个随机事件，则事件A与事件B同时发生的事件.称为事件的积事件，记为43或A A B,如图1-1所示.图1-11>»考研数学概率论与数理统计辅导教程定义目事件的和设A,£为两个事件，则事件A或事件£发生的事件（或事件A,B至少有一个发生的事件），称为事件的和事件，记为A+B或A U如图1-2所示.AUB图1-2定义❻事件的差设A,B为两个随机事件，则事件A发生而事件B不发生的事件，称为事件的差事件，记为A—3,如图1-3所示.A-B图1-3定义❼出件的补设。

2015考研数学导学班辅导讲义高等数学部分第一章极限与连续第一部分函数的初等特性1、函数的奇偶性—设函数)(x f 的定义域关于原点对称，若)()(x f x f =−，称)(x f 为偶函数；若)()(x f x f −=−，称)(x f 为奇函数。

【例1】判断函数)1ln()(2x x x f ++=的奇偶性，并求其反函数。

2、函数的周期性—设)(x f 的定义域为D ，若存在0>T ，使得对任意的D x ∈，有D T x ∈+且)()(x f T x f =+，称)(x f 为周期函数。

【例2】讨论函数][)(x x x f −=的周期性。

3、函数的单调性—设对任意的D x x ∈21,且21x x <，有)()(21x f x f <，称)(x f 在D 上为单调增函数，反之称为单调减函数。

4、函数的有界性—若存在0>M ，对任意的D x ∈，有M x f ≤|)(|，称)(x f 在D 上有界。

第二部分极限一、定义1、极限的定义（1）数列极限(N −ε)—若对任意的0>ε，总存在0>N ，当N n >时，有ε<−||A a n 成立，称数列}{n a 以A 为极限，记为A a n n =∞→lim 。

（2）函数)(x f 当a x →时的极限（δε−）—若对任意的0>ε，总存在0>δ，当δ<−<||0a x 时，有ε<−|)(|A x f 成立，称A 为)(x f 当a x →时的极限，记为A x f ax =→)(lim 。

（3）函数)(x f 当∞→x 时的极限（X −ε）—若对任意的0>ε，存在0>X ，当X x >||时，有ε<−|)(|A x f成立，称A 为)(x f 当∞→x 时的极限，记为A x f x =∞→)(lim 。

【注解】（1）a x →的含义为⎩⎨⎧+→−→≠a x a x ax 和。

汤家凤高等数学辅导讲义【最新版】目录一、汤家凤《高等数学辅导讲义》简介二、讲义的主要特点和优势三、讲义的内容和结构四、如何有效利用讲义进行高等数学学习五、结论正文一、汤家凤《高等数学辅导讲义》简介汤家凤《高等数学辅导讲义》是一本针对考研数学一、数学二、数学三考试的辅导书籍。

本书由考研数学辅导老师汤家凤编写，总结了全国硕士研究生招生考试数学部分涉及的高等数学基础知识，包括基本概念、基本原理和基本公式，精选了典型的基本题型和综合题型，并对解题方法进行了详尽的讲解。

二、讲义的主要特点和优势1.全面系统：汤家凤《高等数学辅导讲义》系统全面地总结和概括了考研数学涉及的高等数学部分的基础知识，帮助考生深入了解考试重点。

2.精选题型：本书精选了 76 种题型，涵盖了 36 类知识点，可以帮助考生全面掌握考试中可能出现的各种题型。

3.详尽讲解：汤家凤老师在书中对每个题型的解题方法进行了详尽的讲解，并附有典型例题，方便考生学习和参考。

4.适用广泛：本书适用于数学一、数学二、数学三的考生，无论您报考哪一类数学，都可以从本书中找到适合自己的学习内容。

三、讲义的内容和结构汤家凤《高等数学辅导讲义》共分为若干章，每章内容包括：考察要求、核心题型、题型解析和练习题。

书中按照考试大纲编写，既注重基础知识的讲解，又注重解题技巧的传授。

四、如何有效利用讲义进行高等数学学习1.熟悉考试大纲：在学习讲义之前，要先了解考试大纲的要求，明确学习目标和重点。

2.系统学习：按照讲义的章节顺序进行学习，从基础知识开始，逐步掌握题型和解题方法。

3.多做练习：通过做练习题来检验自己的学习效果，及时发现并弥补知识漏洞。

4.及时复习：学习过程中要适时进行复习，加深对知识点的理解和记忆。

5.交流讨论：与同学或老师进行交流和讨论，共同进步。

五、结论汤家凤《高等数学辅导讲义》是一本非常适合考研数学考生的辅导书籍，全面系统地总结了考试重点和解题技巧。

2013考研数学春季基础班线性代数辅导讲义-主讲：汤家凤第一讲行列式一、基本概念定义1 逆序—设j i,是一对不等的正整数，若j i，则称),(j i 为一对逆序。

定义2 逆序数—设n i i i 21是n ,,2,1的一个排列，该排列所含逆序总数称为该排列的逆序数，记为)(21n i i i ，逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列。

定义3 行列式—称nnn n n n a a a a a a a a a D212222111211称为n 阶行列式，规定nnn nj jj j j j j j j a a a D21212121)()1(。

定义 4 余子式与代数余子式—把行列式nnn n n n a a a a a a a a a D212222111211中元素ij a 所在的i 行元素和j 列元素去掉，剩下的1n 行和1n 列元素按照元素原来的排列次序构成的1n 阶行列式，称为元素ij a 的余子式，记为ij M ，称ij ji ijM A )1(为元素ij a 的代数余子式。

二、几个特殊的高阶行列式1、对角行列式—形如n a a a 00000021称为对角行列式，n na a a a a a 212100000。

2、上（下）三角行列式—称nn n n a a a a a a 0022211211及nnn n a a a a a a 21222111000为上（下）三角行列式，nn nnn n a a a a a a a a a 2211222112110，nn nnn n a a a a a a a a a 22112122211100。

3、||||B A BOO A ，||||B A BOC A ，||||B A BCO A 。

4、范得蒙行列式—形如112112121111),,,(n nn n n n aaaa a a a a a V 称为n 阶范得蒙行列式，且ni j j in nn n n n a a aaaa a a a a a V 1112112121)(111),,,(。

汤家凤2024零基础讲义pdf首先你要搞清楚汤家凤2024《高等数学辅导讲义·零基础篇》是个什么东西。

如果你对高数纯纯的没有一点儿基础，那我建议你先看这本。

一、汤家凤2024《高等数学辅导讲义·零基础篇》是什么？（封面长这样↓）既然叫“零基础篇”，那么这本书的重点就在于帮助大家先理解基本概念，再掌握基本原理，最后学会基本的公式推导。

书的章节设置非常贴心。

1.在第一章前面增加预备章（即：零基础高等数学入门知识，包括第一节：集合、运算与关系，第二节：三角函数与反三角函数，第三节：常见不等式及数列），目的是帮助大家回忆起高中数学知识，更好地进入高数学习。

2.书中每一章开头都有本章思维导图，方便大家在学习每章之前整体了解本章的知识架构。

在解题方法方面，这本书没有做过多说明，只是起到一个入门的作用。

二、汤家凤2024《高等数学辅导讲义》是什么？（封面长这样↓）这本书是当你看完了《零基础篇》以后，对高数有点儿基础了，再来看的一本书。

如果你有高数基础，可以完全不用买《零基础篇》，直接上这本书完事。

汤家凤《高等数学辅导讲义》最突出的三大特点是：1.带你系统性复习高数，基础、强化、提高阶段都能用。

2.基础知识点和题型覆盖全。

这本书覆盖36类高数基础知识点和76种基础题型，解题步骤完整，很多重难点都是掰开了揉碎了给你讲，基本上看书就能理解。

3. 24版根据考研新大纲全新升级，直击考点，大幅提高你的应试能力。

这本书包含十二章，分别是：三、汤家凤《接力题典1800》是什么？（封面长这样↓）这套书分数一、数二、数三，每套书包含两本，分别是题目册和答案册。

因为学数学关键靠刷题，所以复习高数只看高数讲义是不够的，还要同步刷题提高计算能力和解题速度。

1800题目册里划分出基础篇和提高篇两部分。

基础篇的题较为简单，提高篇的题则有些难度。

有些人说1800很难，我想他大概说的是提高篇里的题。

如果你做基础篇的题仍然发现很困难，那我建议你还是重新看一下高数讲义、线代讲义和概率讲义，重新听听网课，先把基本概念和公式学明白吧。

第一讲 极限与连续主要内容归纳（略）要点题型解说一、极限问题种类一：连加或连乘的求极限问题 1．求以下极限：（ 1） lim111；n13 35(2n1)(2n 1)（ 2） limnk 3 1 ；1nk 2k 3n（ 3） lim [nk 11] n ；k (k 1)2．求以下极限：（ 1） lim111；222n4n 14n24nn3．求以下极限：（ 1） lim111；22222nn 2 n n21 n（ 2） lim nn!；nnn 1（ 3） lim。

ni2i 11nn种类二：利用重要极限求极限的问题 1．求以下极限：（ 1） lim cos x cos xcos x(x0) ；( n 1) n 112 n （ 2） limnsin；n222nnn2．求以下极限：1（ 1） lim 1 sin x 2 1 cos x ；x 011（ 3） lim1 tan x x 3ln(1 2 x)（4） lim cos1 sin x；xx 0x种类三：利用等价无量小和麦克劳林公式求极限的问题1．求以下极限：x 2；（ 1） lim1 tan x 1 sin x ；（ 2） lime tan xe x ；x 0x(1 cosx) x 0x(1 cosx)（ 3） lim1 2 cos xx1] ；（ 4） lim (11) ；x 3 [(3)x 2tan 2x 0xx（ 5） lim(3 x) x3 x2；x 0xln(1 f (x) ) f (x)（ 6）设 lim sin xA ，求 lim 。

x2x 0 a 1 x 0 xx 22．求以下极限： lim cos x e 23x 0x sin x种类四：极限存在性问题：1．设 x 1 1, x n 11 x n0 ，证明数列 { x n } 收敛，并求 lim x n 。

nnn2．设 f ( x) 在 [ 0, ) 上单一减少、非负、连续， a nf (k)f (x)dx(n 1,2, ) ，证明：k11lim a n 存在。

汤家凤高数基础班讲义涵盖了汤家凤教授在基础数学课程中最重要的概念、方法和原理。

以下是该讲义的主要内容，用600字概括：
1. 高等数学的基本概念：函数、极限、连续、导数、微分、不定积分、定积分等。

2. 重要定理和性质：导数和微分的定理和性质，定积分和不定积分的定理和性质等。

3. 解题方法：包括直接法、分析法、配方法、换元法、三角代换法、参数方程法等。

4. 基础数学原理在各个领域的应用：包括几何、物理、经济等方面的应用。

5. 基础数学基本技能的训练：包括如何分析问题、如何建立模型、如何选择合适的方法、如何进行数值计算等。

该讲义在高等数学基础课程中具有非常重要的地位，是学习高等数学的基础和关键。

它不仅包含了高等数学的基本概念、定理和性质，还提供了各种解题方法和技巧，更重要的是，它让学生深入理解基础数学原理在各个领域的应用，培养了学生的基本技能和解决问题的能力。

总的来说，汤家凤高数基础班讲义是学生学习高等数学的必备资料，它提供了全面、系统、深入的内容，帮助学生建立起高等数学的基本框架，为以后的学习打下坚实的基础。

无论是对于初次接触高等数学的学子，还是对于想要进一步提升自己数学水平的人，这都是一本不可或缺的资料。

希望这个回答对你有所帮助。

第一讲 极限与连续主要内容概括（略） 重点题型讲解一、极限问题类型一：连加或连乘的求极限问题 1．求下列极限： （1）⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-++⨯+⨯∞→)12)(12(1531311lim n n n ； （2）11lim 332+-=∞→k k nk n π；（3）∑=∞→+nk n n k k 1])1(1[lim ； 2．求下列极限： （1）⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++∞→n n n n n 22241241141lim ； 3．求下列极限： （1）⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++∞→22222212111lim n n n n n ； （2）nn nn !lim∞→； （3）∑=∞→++ni n ni n 1211lim。

类型二：利用重要极限求极限的问题 1．求下列极限：（1）)0(2cos 2cos 2cos lim 2≠∞→x xx x n n ； （2）n n n n n n 1sin )1(lim 1+∞→+；2．求下列极限： （1）()xx xcos 1120sin 1lim -→+；（3）)21ln(103sin 1tan 1lim x x x x x +→⎪⎭⎫⎝⎛++； （4）21cos lim x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→；类型三：利用等价无穷小和麦克劳林公式求极限的问题 1．求下列极限：（1）)cos 1(sin 1tan 1lim 0x x xx x -+-+→； （2）)cos 1(lim tan 0x x e e x x x --→；（3）]1)3cos 2[(1lim30-+→x x x x ； （4）)tan 11(lim 220xx x -→； （5）203)3(lim xx xx x -+→； （6）设A a x x f x x =-+→1)sin )(1ln(lim，求20)(lim x x f x →。

2．求下列极限：xx ex x x sin cos lim3202-→-类型四：极限存在性问题：1．设01,111=-+=+n n x x x ，证明数列}{n x 收敛，并求n n x ∞→lim 。

2024考研汤家凤高等数学辅导讲义（实用版）目录1.2024 考研汤家凤高等数学辅导讲义概述2.汤家凤辅导讲义的内容特点3.如何获取 2024 考研汤家凤高等数学辅导讲义4.汤家凤辅导讲义对考研数学的帮助正文一、2024 考研汤家凤高等数学辅导讲义概述2024 考研汤家凤高等数学辅导讲义是一本针对考研数学的高等数学辅导书籍，由著名数学教育专家汤家凤编写。

这本书旨在帮助广大考研学生更好地掌握高等数学的知识点，提高考研数学成绩。

二、汤家凤辅导讲义的内容特点1.系统性强：汤家凤辅导讲义全面覆盖了考研数学高等数学部分的所有知识点，从基本概念到复杂题目，都有详细讲解。

2.重点突出：汤家凤辅导讲义针对考研数学的考试重点进行了重点讲解，帮助学生把握考试命脉，提高答题效率。

3.技巧性强：汤家凤辅导讲义总结了大量解题技巧和方法，帮助学生快速解决各类题目，提高答题速度。

4.实用性强：汤家凤辅导讲义提供了大量实例和练习题，帮助学生巩固所学知识，提高实际解题能力。

三、如何获取 2024 考研汤家凤高等数学辅导讲义想要获取 2024 考研汤家凤高等数学辅导讲义，可以关注汤家凤的官方公众号或在线教育平台，也可以在各大书店或网络书店购买。

同时，一些考研交流群组也会分享电子版的讲义，可以加入相关群组进行获取。

四、汤家凤辅导讲义对考研数学的帮助1.提高理论水平：通过学习汤家凤辅导讲义，可以系统地掌握高等数学的理论知识，为考研数学打下坚实的基础。

2.提高解题能力：汤家凤辅导讲义中总结了大量解题技巧和方法，可以帮助学生提高解题能力，迅速提高考研数学成绩。

3.提高应试水平：汤家凤辅导讲义针对考研数学的考试重点进行了重点讲解，可以帮助学生把握考试命脉，提高答题效率和准确率。