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两条直线的位置关系

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光山二高2010届高三数学第一轮复习学案 第九章《立体几何》

§9.02空间两条直线的位置关系 共8页,第1页 课题：§9.01空间两条直线的位置关系 日期：2009年

月

日星期

【复习目标】

1． 掌握空间直线的位置关系，理解异面直线的定义，并能判定和证明两条直线是异面直线；

2． 会用转化的方法求异面直线所成的角，渗透“化归”的数学思想方法；

3． 初步掌握“文字语言”、“符号语言”、“图形语言”的相互转化。

【课前预习】

1. 空间两条直线位置关系的分类：

2. 分别与两条异面直线同时相交的两条直线不可能有什么样的位置关系？ ；

3. 两条直线没有交点是这两条直线为异面直线的 条件.

4. 两异面直线在一平面内射影的可能图形是 （写出所有可能）。

5. “a、b是两条异面直线”是指：（1）ab，但a不平行b；（2）a平面，b平面；且ab；（3）a平面，b平面；且；（4）a平面，b平面；（5）不存在平面，能使a平面，且b平面.上述结论中，正确的是（ ）

A．（1）（4）（5） B．（1）（3）（4） C．（2）（4） D．（1）（5）

6. 设a、b是两条异面直线，下列命题结论正确的是 （ ）

A．有且仅有一条直线与a、b都垂直 B．过a有且仅有一个平面与b平行

C．有且仅有一个平面与a、b都垂直 D．过空间任一点必可作一条直线与a、b都相交

1.：空间两条直线的位置关系

（1）相交直线——有且仅有一个公共点；

（2）平行直线——在同一平面内，没有公共点；

（3）异面直线——不同在任何一个平面内，没有公共点。

相交直线和平行直线也称为共面直线．

异面直线的画法常用的有下列三种：

2. 平行直线：

在平面几何中，平行于同一条直线的两条直线互相平行，这个结论在空间也是成立的。即

公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

3.等角定理 ababab光山二高2010届高三数学第一轮复习学案 第九章《立体几何》

§9.02空间两条直线的位置关系 共8页,第2页 cbaPBCAD

O1D1C1B1A1PABCD

D1C1B1A1ABCD 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等．

推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等．

4．异面直线定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线

推理模式：,,,ABaBaAB与a是异面直线

三．例题分析：

【典型例题】

例2 如图，已知不共面的三条直线,,abc相交于点P，Aa，Ba，Cb，Dc，求证：AD与BC是异面直线。

例3 如图，平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，A1C1B1D1=O1，B1D截面A1BC1=P，求证：①PBO1；②B1D被平面A1BC1截于三等分点。

例4 长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB=a，BC=b，AA1=c，且ab，求：

（1） 下列异面直线的距离：AB与CC1；AB与A1C1；AB与B1C；

（2） 异面直线BD1与AC所成的角的余弦值。

例3．已知不共面的三条直线a、b、c相交于点P，aA，aB，bC，cD，求证：AD与BC是异面直线． 光山二高2010届高三数学第一轮复习学案 第九章《立体几何》

§9.02空间两条直线的位置关系 共8页,第3页 证一：（反证法）假设AD和BC共面，所确定的平面为α，

那么点P、A、B、C、D都在平面α内，∴直线a、b、c都

在平面α内，与已知条件a、b、c不共面矛盾，假设不成立，

∴AD和BC是异面直线。

证二：（直接证法）∵a∩c=P，∴它们确定一个平面，设为α，由已知C平面α，B∈平面α，AD平面α，BAD，∴AD和BC是异面直线。

【巩固练习】

1. 若a与b是异面直线，b与c也是异面直线，则a与c （ ）

A．只能是异面直线 B．只能是平行直线

C．只能是相交直线或平行直线 D．可以是平行直线，也可以是相交直线或异面直线。

2. 在正四面体ABCD中，设棱长为a，E、F分别是AB、CD的中点，则EF与AC所成角的大小为

，AB与CD成的角为

，AB、CD间的距离为 。

3. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，BC与B1D所成角的余弦值是 。

【本课小结】

【课后作业】

1. 求证：每两条都相交，且不共点的四条直线必共面。

2. 在正方体ABCD—A1B1C1D1中，MN分别为A1B1、BB1的中点，求AM、CN所成的角。

3. a、b为异面直线，A、B在a上，C、D在b上，AB=8，CD=6，M、N分别为AD、BC中点，且MN=5，求a、b所成的角。

4. 在空间四边形ABCD中，AD=AC=BD=BC=a，AB=CD=b，E、F分别是AB、CD的中点。

a) 求证：EF是AB和CD的公垂线；

b) 求AB和CD间的距离。

5. 直三棱柱A1B1C1—ABC中，∠BCA=90°，点D1、F1分别为A1B1、A1C1的中点，若BC=CA=C1C，求BD1与AF1所成角的余弦值。

五、课后作业：

课题：§9.02空间两条直线的位置关系 日期：2009年

月

日星期

一、选择题

1．下列四个命题：

（1）分别在两个平面内的两条直线是异面直线

（2）和两条异面直线都垂直的直线有且只有一条 光山二高2010届高三数学第一轮复习学案 第九章《立体几何》

§9.02空间两条直线的位置关系 共8页,第4页 （3）和两条异面直线都相交的两条直线必异面

（4）若a与b是异面直线，b与c是异面直线，则a与c也异面

其中真命题个数为 （ D ）

()A3 ()B2 ()C1 ()D0

2．在正方体ABCD''''DCBA中，M、N分别是棱'AA和AB的中点，P为上底面ABCD的中心，则直线PB与MN所成的角为（ A ）

()A300 ()B450 ()C600 ()D

3．AB、CD在平面α内，AB//CD，且AB与CD相距28厘米，EF在平面α外，EF//AB，且EF与AB相距17厘米，EF与平面α相距15厘米，则EF与CD的距离为（ C ）

()A25厘米 ()B39厘米 ()C25或39厘米 ()D15厘米

4．已知直线a，如果直线b同时满足条件：①a、b异面②a、b所成的角为定值③a、b

间的距离为定值，则这样的直线b有（ D ）

()A1条 ()B2条 ()C4条 ()D无数条

5．已知异面直线a与b所成的角为500，P为空间一点，则过点P与a、b所成的角都是300的直线有且仅有（ B ）

()A1条 ()B2条 ()C3条 ()D4条

班级

姓名

题号 1 2 3 4

5

6 7 8 9 10 11

12

答案

二、填空题

6．在正三棱柱111CBAABC中，若12BBAB，则1AB与BC1所成的角的大小 090

7．在棱长为a的正四面体中，相对两条棱间的距离为______a22__________．

8．两条异面直线a、b间的距离是1cm，它们所成的角为600，a、b上各有一点A、B，距公垂线的垂足都是10cm，则A、B两点间的距离为__cmcm301101或______．

三、解答题

9．在三棱台ABCCBA111中，侧棱1BB⊥底面ABC，且21CAAABC，cmBAAB2211．

（1）求证：BABC1，AABC1，BAAA11．

（2）求异面直线AA1和BC的距离． 光山二高2010届高三数学第一轮复习学案 第九章《立体几何》

§9.02空间两条直线的位置关系 共8页,第5页 9、（1）略证，先证BC⊥平面AA1B1B，即得BC⊥A1B，

BC⊥A1A，又∵A1A⊥A1C（已知），由三垂线定理的逆定理

可知，A1A⊥A1B

（2）略解，由（1）知，A1A⊥A1B，A1B⊥BC，

∴A1B就是A1A和BC的公垂线段。但△AA1B∽△BB1A1，

∴1111BAABABBA，又AB=2cm，

10． 一条长为cm2的线段AB夹在互相垂直的两个平面、之间，AB与所成角为045，与所成角为030，且l，lAC，lBD，C、D是垂足，求（1）CD的长；（2）AB与CD所成的角

解：（1）连BC、AD，可证AC⊥β，BD⊥α，∴ABC=300，

∠BAD=450 ，Rt△ACB中，BC=AB·cos300=3 ，

在Rt△ADB中，BD=AB·sin450=2

在Rt△BCD中，可求出CD=1cm（也可由AB2=AC2+BD2+CD2-2AC·BD·cos900求得）（2）作BE//l，CE//BD，BE∩CE，则∠ABE就是AB与CD所成的角，连AE，由三垂线定理可证BE⊥AE，先求出AE=3，再在Rt△ABE中，求得∠ABE=600。

说明：在（3）中也可作CH⊥AB于H，DF⊥AB于F，HF即为异面直线CH、DF的公垂线，利用公式CD2=CH2+DF2+HF2-2·CH·DFcosα，求出cosα=33。

【备用题】

【参考资料】

空间直线与平面

一、复习目标：

1．了解空间两条直线的位置关系．

2．掌握两条直线所成的角和距离的概念，会计算给出的异面直线的公垂线段的长．

二、课前预习：

1．下列四个命题：

（1）分别在两个平面内的两条直线是异面直线

（2）和两条异面直线都垂直的直线有且只有一条

（3）和两条异面直线都相交的两条直线必异面

（4）若a与b是异面直线，b与c是异面直线，则a与c也异面

其中真命题个数为 （ D ）

()A3 ()B2 ()C1 ()D0

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第2节 两直线的位置关系

第2节 两直线的位置关系

第2节 两直线的位置关系

知识梳理

1．两条直线平行与垂直的判定

(1)两条直线平行

对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2．特别地，当直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2平行．

(2)两条直线垂直

如果两条直线l1，l2斜率都存在，设为k1，k2，则l1⊥l2⇔k1·k2＝－1，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直．

2．两直线相交

直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共点的坐标与方程组A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0的解一一对应．

相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；

平行⇔方程组无解；

重合⇔方程组有无数个解．

3．距离公式

(1)两点间的距离公式

平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为|P1P2|＝（x2－x1）2＋（y2－y1）2．

特别地，原点O(0，0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝x2＋y2．

(2)点到直线的距离公式

平面上任意一点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝|Ax0＋By0＋C|A2＋B2．

(3)两条平行线间的距离公式

一般地，两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝|C1－C2|A2＋B2．

4．对称问题

(1)点P(x0，y0)关于点A(a，b)的对称点为P′(2a－x0，2b－y0)．

(2)设点P(x0，y0)关于直线y＝kx＋b的对称点为P′(x′，y′)，则有y′－y0x′－x0·k＝－1，y′＋y02＝k·x′＋x02＋b，可求出x′，y′.

1．两直线平行的充要条件

直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行的充要条件是A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)．

高三数学直线与直线的位置关系

高三数学直线与直线的位置关系

g3.1075 直线与直线的位置关系

一、知识要点

（一）平面内两条直线的位置关系有三种：重合、平行、相交。

1、当直线不平行于坐标轴时，直线与圆的位置关系可根据下表判定

l1：y=k1x+b1

l2：y=k2x+b2 l1：A1x+B1y+C1=0

l2：A2x+B2y+C2=0

平 行 K1=k2且b1≠b2

212121CCBBAA

重 合 K1=k2且b1=b2

212121CCBBAA

相 交 K1≠k2

2121BBAA

垂 直 K1k2=-1 A1A2+B1B2=0

2、当直线平行于坐标轴时可结合图形进行考虑其位置关系。

(二)点到直线的距离、直线与直线的距离

1、点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离为：d=)0(222200BABACByAx

2、直线l1∥l2，且其方程分别为l1：Ax+By+C1=0,l2：Ax+By+C2=0,

则l1与l2的距离为：d=)0(222221BABACC

（三）两条直线的交角公式

若直线l1的斜率为k1，l2的斜率为k2，则

（1）直线l1到l2的角满足：tan)1(1212112kkkkkk.

（2） 直线l1与直线l2所成的角（简称夹角）满足：tan)1(1212112kkkkkk

说明：（1）当l1和l2的斜率都不存在时，所成的角为00；（2）当l1与l2的斜率有一个存在时，可画图、观察，根据另一条直线的斜率得出所求的角；（3）l1到l2的角1方

程 条

件

关 系

不同于l2到l1的角2，它们满足：21.

（四）两条直线的交点:两条直线的交点的个数取决于这两条直线的方程组成的方程组的解的个数。

二、考试要求

掌握两条直线平行与垂直的条件，能够根据直线的方程判定两直线的位置关系；会求两条相交直线的夹角和交点；掌握点到直线的距离公式。

三、基本训练

两条直线位置关系以及点到直线距离公式

两条直线位置关系以及点到直线距离公式

两条直线位置关系以及点到直线距离公式

一、两条直线相交、平行、重合条件

1. 重合：如何两条直线重合，那么化简之后的方程是相同的，具体为：

1） 斜截式：直线111:lykxb与直线222:lykxb重合1212,kkbb。

2） 一般式：直线1111:0lAxByC与直线2222:0lAxByC重合1112222220ABCABCABC。

3） 对于特殊情况（直线平行于x轴或垂直于x轴时需要单独讨论）。

2．平行：如果两条直线斜率相同或垂直于x轴，并且不重合，那么这两条直线就是平行的。

1） 斜截式：111:lykxb与直线222:lykxb平行1212,kkbb

2） 一般式：直线1111:0lAxByC与直线2222:0lAxByC平行1112222220ABCABCABC。

3） 对于特殊情况（直线平行于x轴或垂直于x轴时需要单独讨论）

3.相交：如果两条直线斜率不同那么必然相交与一点。

1）斜截式：111:lykxb与直线222:lykxb相交12kk

2）一般式：直线1111:0lAxByC与直线2222:0lAxByC相交1221ABAB

3）对于特殊情况（如果一条直线有斜率，而另一条直线没有斜率，那么这两条直线相交）。

例1：已知直线212:260,:110laxylxaya，求适合下列条件的a的取值范围。

1）1l与2l相交；

2）12//ll；

3）1l与2l重合。

例2：设三条直线21,23,345xyxkykxy交于一点，求k的值。

二、两条直线垂直的条件

1） 点斜式：111:lykxb与直线222:lykxb垂直121kk，如果1k和2k一个为0，另一个不存在，那么也有12ll。

两条直线之间的位置关系

两条直线之间的位置关系

1.两条直线的位置关系

已知两条直线的方程为：

l1：A1x＋B1y＋C1＝0，

l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则

(1)l1与l2相交的条件是：

A1B2－A2B1≠0或A1A2≠B1B2(A2B2≠0)；

(2)l1与l2平行的条件是：

A1B2－A2B1＝0且B1C2－C1B2≠0

或A1A2＝B1B2≠C1C2 (A2B2C2≠0)

(3)l1与l2重合的条件是：

A1＝λA2，B1＝λB2，C1＝λC2(λ≠0)

或A1A2＝B1B2＝C1C2(A2B2C2≠0)

(4)l1与l2垂直的条件是A1A2＋B1B2＝0；

(5)两条斜率存在的直线l1和l2垂直的条件是k1k2＝－1.

2.几种距离

(1)两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离|P1P2|＝x2－x12＋y2－y12.

(2)点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离

d＝|Ax0＋By0＋C|A2＋B2.

(3)两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0(其中C1≠C2)间的距离d＝|C1－C2|A2＋B2. 【知识拓展】

1.一般地，与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋m＝0；与之垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋n＝0.

2.过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0 (λ∈R)，但不包括l2.

3.点到直线与两平行线间的距离的使用条件：

(1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式.

(2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等.

【思考辨析】

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.( × )

(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.( × )