两条直线的位置关系

A1x＋B1y＋C1＝0， ＝0， 两条直线的交点坐标就是方程组 的解， A2x＋B2y＋C2＝0
若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点坐标；若 方程组无解， 则两条直线无公共点， 此时两条直线平行； 反之， 亦成立．
3．几种距离 (1)两点间的距离 平面上的两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)间的距离公式： (x1－x2)2＋(y1－y2)2 d(A，B)＝AB＝___________________． (2)点到直线的距离
2x－3y＋1＝0， 则由 得 3x－2y－6＝0.
N(4，3)．
又因为 m′经过点 N(4，3)， 所以由两点式得直线 m′的方程为 9x－46y＋102＝0.
(3)设 P(x，y)为 l′上任意一点， 则 P(x，y)关于点 A(－1，－2)的对称点为 P′(－2－x，－4－y)， 因为 P′在直线 l 上， 所以 2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，即 2x－3y－9＝0.
【解】
33 x＝－13， 33 4 解得 所以 A′－13，13. y＝ 4 . 13
(2)在直线 m 上取一点，如 M(2，0)， 则 M(2，0)关于直线 l 的对称点 M′必在直线 m′上． 2×a＋2－3×b＋0＋1＝0， 2 2 6 30 设 M′(a，b)，则 解得 M′13，13. b－0×2＝－1. 3 a－ 2 设直线 m 与直线 l 的交点为 N，
【解析】 (－1，2)．
5x＋2y＋1＝0， (1)解方程组 得 l1，l2 的交点坐标为 3x＋2y－1＝0，
3 5 由 l3 的斜率为 得 l 的斜率为－ . 5 3 5 则由点斜式方程可得 l 的方程为 y－2＝－ (x＋1)， 3 即 5x＋3y－1＝0.

课前双基巩固
课堂考点探究
第44讲 两直线的位置关系
作业手册
1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.
2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.
3.探索并掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离.
课标要求
1.两条直线的位置关系
课前双基巩固
◈ 知识预习 ◈
k1·k2=-1
(0,4)
(2)直线x-2y-3=0关于定点M(-2,1)对称的直线的方程是 .
课堂考点探究
[解析] (2)方法一:设所求直线上一点的坐标为(x,y),则其关于点M(-2,1)对称的点的坐标为(-4-x,2-y).因为点(-4-x,2-y)在直线x-2y-3=0上,所以(-4-x)-2(2-y)-3=0,即x-2y+11=0.方法二:因为点M不在直线x-2y-3=0上,所以所求直线与已知直线平行,因此可设所求直线的方程为x-2y+λ=0(λ≠-3),则点M到两条直线的距离相等,即=,解得λ=11或λ=-3(舍去),所以所求直线的方程为x-2y+11=0.
[解析]连接PQ,当PQ与l1,l2垂直时,|PQ|为l1,l2间距离的最大值,又|PQ|==,∴l1,l2间距离的取值范围是(0,].故选D.
D
[总结反思]求解点到直线距离的最值问题时,应注意观察直线是否过定点,若过定点,则可将点到直线距离的最值问题转化为两点间的距离问题.运用点到直线的距离公式时,需注意直线方程应为一般式;运用两平行直线间的距离公式时,两直线方程中x,y的系数需要对应相等.
3. [教材改编]已知直线l1:x-2y-2=0,l2:x-2y-1=0,则直线l1,l2之间的距离为 ( )A. B. C. D.

两条直线的位置关系判断方法设平面上两条直线的方程分别为11112222:0,:0l a x b y c l a x b y c ++=++=一．行列式法 记系数行列式为1122,a b D a b =1122,x c b D c b -=-1122y a c D a c -=-1l 和2l 相交⇔0D ≠ 1221b a b a ≠⇔1l 和2l 平行⇔0,0x D D =≠或0,0y D D =≠1l 和2l 重合⇔0===x y D D D二．比值法1l 和2l 相交⇔2121b b a a ≠()0b ,a 22≠； 1l 和2l 垂直⇔0b a b a 2211=+；1l 和2l 平行⇔212121c c b b a a ≠=()0c ,b ,a 222≠；1l 和2l 重合⇔212121c c b b a a ==()0c ,b ,a 222≠三．斜率法111222:y 0.:y 0l k x b l k x b =+==+=（条件：两直线斜率都存在，则可化成点斜式） 12l l ⇔与相交21k k ≠ ；12l l ⇔与平行2121b b k k ≠=，12l l ⇔与重合2121b b k k ==，；12l l ⇔与垂直-1.=21k k ;特别提醒：在具体判断两条直线的位置关系时，先考虑比值法，但要注意前提条件(分母不为零)；再考虑斜率法，但也有条件(两条直线的斜率都存在)，最后选择行列式(无条件)； 注：（1）两直线平行是它们的法向量（方向向量）平行的充分非必要条件；（2）两直线垂直是它们的法向量（方向向量）垂直的充要条件；（3）两条直线平行⇔它们的斜率均存在且相等或者均不存在；（4）两条直线垂直⇔他们的斜率均存在且乘积为-1，或者一个存在另一个不存在；例题分析1.下列命题中正确的是……………………………………………………………………（ B ）A.平行的两条直线的斜率一定相等B.平行的两条直线倾斜角相等C.两直线平行的充要条件是斜率相等D.两直线平行是他们在y 轴上截距不相等的充分条件分析：A.两条直线斜率均不存在时也是平行,此时斜率不存在；C.”斜率相等”是”两直线平行”的既不充分也不必要条件；D.既不充分也不必要条件，因为两条直线斜率均不存在时也是平行，此时不存在y 轴上的截距，反之显然不成立；2、若l1与l2为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别为a1，a2，斜率分别为k1，k2，则下列命题（1）若l1∥l2，则斜率k1=k2；（2）若斜率k1=k2，则l1∥l2；（3）若l1∥l2，则倾斜角a1=a2；（4）若倾斜角a1=a2，则l1∥l2；其中正确命题的个数是…………………………………………………………………（ C ）A．1 B．2 C．3 D．4分析：(2)(3)(4)对，此时要注意已知条件l1与l2为两条不重合的直线3、已知两条不重合的直线l1，l2的倾斜角分别为α1，α2，给出如下四个命题：①若sinα1=sinα2，则l1∥l2②若cosα1=cosα2，则l1∥l2③若l1⊥l2，则tanα1•tanα2=﹣1④若l1⊥l2，则sinα1sinα2+cosα1cosα2=0其中真命题是…………………………………………………………………………（ B ）A．①③B．②④C．②③D．①②③④0，，所以不一分析：①sinα1=sinα2，可知α1=α2或α1 +α2 =π，因为倾斜角α1，α2的范围[)π定推出；0，，所以可以推出；②cosα1=cosα2 ,可知α1=α2，因为倾斜角α1,α2的范围[)ππ，致使斜率不存在；③如果成立的话，必须斜率存在，可是α1=π，α2 =2④若两条直线斜率都存在时，显然成立，若两条直线斜率有一个不存在时也成立，π，此时也成立；下证，不妨设α1=π，α2 =24、已知直线06y )2k (x 3:l 1=++-与直线02y )3k 2(kx :l 2=+-+，记3k 2k )2k (3D -+-=.”0D =”是”两条直线1l 与直线2l 平行”的…………………………… ( A )A ．充分不必要条件；B ．必要不充分条件 ；C ．充要条件;D ．既不充分也不必要条件5、若直线1:l 22+=+x ay a 与直线2:l 1+=+ax y a 不重合，则12l l ∥的充要条件( C ）A. 1a =-；B. 12=a ； C. 1a =； D. 1a =或1a =-. 分析：法1：比值法，此时要保证分母不为零，故讨论当0a =时，1:2=l x ；2:1=l y ，此时垂直，不满足条件，舍去当1a -=时，1:0-=l x y ；2:0-=l y x ，此时重合，舍去当10a -，≠时，12122111+⇔=≠⇔=+a a l l a a a ∥ 法2.())1a (1a 2D );1a (2a D ,a 1D y x 2+-=+-=-=）（1a =⇔ 类似也可以用斜率法，此时只需要讨论0a =和0a ≠两种情况6、直线,01by x :l ,01y ax :l 21=-+=++则1ba -=是21l l ⊥的………………………………（ A ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件分析：⇔⊥21l l 0b a =+7、“a=2”是”直线ax+2y=0平行于直线x+y=1”的…………………………………………（ C ）A.充分不必要条件;B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件分析：(比值法:先观察有没有一条直线方程前面的系数是不是均为零，若有就把其作为分母)直线ax+2y=0平行于直线x+y=1⇔ 10121a ≠=2a =⇔ 8.已知直线()01m 4y )m m (x )3m m 2(:l 221=---+-+与直线()R a 03y )1a (x 2:l 2∈=+--(1)m 为___1m ≠且98m ≠-__时，21l l 与相交；(2)m 为__6- __时，21l l 与垂直；分析：直线方程含有参数m ，故必须保证这个方程表示的是直线（y ,x 前面的系数不全为零),故1≠m (1)21l l 与相交⇔98≠-m ; (2)21l l 与垂直⇔6=-m9、已知直线()R ααsin x y :l 1∈=和直线c x 2y :l 2+=，则下列关于直线21l ,l 关系判断正确的有____.③____①．通过平移可以重合；②不可能垂直；③可能与x 轴围成直角三角形；分析：①如果两条直线平移之后可以重合，就必须满足斜率相同，可是2αsin ≠②如果两条直线垂直就必须斜率之积等于-1，此时12αsin -=⋅，6π5α= ③由第②问中，可知这两条直线有可能垂直，故可能与x 轴围成直角三角形，因为只要有一个角是直角就可以啦；10、若直线l 1：2x+（m+1）y+4=0与直线l 2：mx+3y ﹣2=0平行，则m 的值为（ C ）A ．﹣2B ．﹣3C ．2或﹣3D ．﹣2或﹣3分析：同第5题11、已知P 1（a 1，b 1）与P 2（a 2，b 2）是直线y=kx+1（k 为常数）上两个不同的点，则关于x 和y 的方程组的解的情况是…………………………………………（ B ）A ． 无论k ，P 1，P 2如何，总是无解 B ． 无论k ，P 1，P 2如何，总有唯一解 C ． 存在k ，P 1，P 2，使之恰有两解 D ． 存在k ，P 1，P 2，使之有无穷多解 分析：此时使用行列式法，否则用其他方程需要讨论，因为要保证使用条件，故下面只需要先判断1221b a b a -是否为0证： 因为 P 1（a 1，b 1）与P 2（a 2，b 2）是直线y=kx+1（k 为常数）上两个不同的点并且直线y=kx+1的斜率存在，∴k=，即a 1≠a 2，并且b 1=ka 1+1，b 2=ka 2+1，∴a 2b 1﹣a 1b 2=a 2 (ka 1+1)-a 1 (ka 2+1)=ka 1a 2﹣ka 1a 2+a 2﹣a 1=a 2﹣a 1∴方程组有唯一解．。

两直线的位置关系公式两直线的位置关系公式是指用数学公式来描述两条直线之间的位置关系。

在平面几何中，直线是最基本的图形，研究直线之间的位置关系对于解决很多几何问题具有重要意义。

下面将介绍两条直线的四种位置关系及其对应的公式。

1. 平行关系：当两条直线之间没有交点且始终保持相同的方向时，它们是平行的。

此时，可以使用斜率来判断两条直线是否平行。

如果两条直线的斜率相等但截距不相等，那么它们是平行的。

用数学公式表示为：直线1的斜率 = 直线2的斜率且直线1的截距≠ 直线2的截距2. 垂直关系：当两条直线之间的夹角为90度时，它们是垂直的。

在平面直角坐标系中，两条直线垂直的条件是它们的斜率的乘积等于-1。

用数学公式表示为：直线1的斜率× 直线2的斜率 = -13. 相交关系：当两条直线在平面上有一个公共的交点时，它们是相交的。

相交的情况有两种：交点为有限点和交点为无穷远点。

直线相交的条件是它们的斜率不相等。

用数学公式表示为：直线1的斜率≠ 直线2的斜率4. 重合关系：当两条直线完全重合时，它们是重合的。

重合的直线有无穷多个交点，它们的斜率和截距相等。

用数学公式表示为：直线1的斜率 = 直线2的斜率且直线1的截距 = 直线2的截距两条直线的位置关系可以通过斜率、截距等数学公式来判断。

这些公式可以帮助我们在解决几何问题时确定直线之间的位置关系，从而得出准确的结论。

在实际应用中，我们可以通过计算斜率和截距，或者观察直线的图形来判断它们的位置关系，进而解决相关问题。

直线的位置关系公式是平面几何中的重要概念，对于几何学的学习和实际问题的解决都具有重要意义。